درس ریاضی را چگونه یاد بگیریم؟ + آموزش تمام مباحث به زبان ساده
یادگیری درس ریاضی برخلاف تصور عموم می‌تواند بسیار آسان و شیرین باشد، به این شرط که در اولین قدم مفاهیم پایه آن را به‌خوبی بیاموزید. قدم بعدی تمرین و تکرار است. با تمرین و تکرار روش‌ها یا فرمول‌های مختلف در درس ریاضی، می‌توانید تسلط خود را روی یک موضوع کامل کنید. در این نوشته از مجله فرادرس به شما آموزش می‌دهیم که چگونه مفاهیم پایه در درس ریاضی مانند چهار عمل اصلی را بهتر یاد بگیرید. همچنین روش‌هایی را بیان می‌کنیم که با استفاده از آن‌ها بتوانید درس ریاضی را چه در داخل کلاس درس و چه خارج از آن به‌خوبی فرا بگیرید. در بخشهای بعدی این مطلب، تمام مباحث مطرح شده در کتاب‌های درسی ریاضی متوسطه اول و دوم را به‌صورت مختصر توضیح خواهیم داد.
- یاد می‌گیرید پایه‌های مفهومی ریاضی را اصولی و گام‌به‌گام تقویت کنید.
- خواهید آموخت چگونه با تمرین منظم و انجام به‌موقع تکالیف، یادگیری را تثبیت کنید.
- یاد می‌گیرید حضور مؤثر در کلاس و جبران غیبت‌ها را به‌درستی مدیریت کنید.
- یاد می‌گیرید مسائل را مشارکتی حل کرده و بازخورد سازنده دریافت کنید.
- به قواعد چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) مسلط می‌شوید.
- با روش تحلیل و طبقه‌بندی ساختار مفاهیم ریاضی مدرسه آشنا می‌شوید.
چطور درس ریاضی را بهتر یاد بگیریم؟
برای یادگیری درس ریاضی بهتر است پیش از اینکه به جستجو و تلاش برای استفاده از ابزارهای آنلاین بپردازید، در اولین قدم به اصول و مبانی این درس در کلاس درس کاملا مسلط شوید. این فرآیند با روش‌های سنتی و تمرین ریاضی روی کاغذ طی می‌شود. پس از گذراندن این مرحله، ابزارهای آنلاین می‌توانند در درک مفاهیم پیچیدهتر، تجسم مفاهیم به روش‌های جدید و تقویت درک شما کمک کننده باشند.
در این بخش برای اینکه در فراگیری درس ریاضی موفق شوید و در عین حال از یادگیری آن لذت ببرید، چند پیشنهاد داریم. اولین قدم این است که تلاش کنید یک دانش‌آموز خوب در درس ریاضی باشید. در این صورت انگیزه و رضایت شما به ادامه این روند رو به رشد کمک می‌کند. اینکه یک دانش‌آموز خوب در درس ریاضی محسوب شوید، کار سختی نیست.
کافی است نکات کلیدی زیر را رعایت کنید:
- حضور منظم و به‌موقع در کلاس ریاضی
- حل مثال‌های کلاسی همراه با معلم
- انجام تکالیف تعیین شده در همان روز
- کمک گرفتن در صورت نیاز
در ادامه به توضیح هر کدام از این موارد می‌پردازیم.
حضور منظم و به‌موقع در کلاس ریاضی
وقتی که جلسه‌ای از کلاس ریاضی خود را از دست می‌دهید، مجبور هستید مفاهیم توضیح داده شده در آن جلسه را به‌صورت خودخوان مطالعه کرده و یاد بگیرید. این مسئله باعث می‌شود کیفیت یادگیری شما در مقایسه با زمانی که در کلاس حضور دارید و به توضیحات معلم خود گوش می‌دهید، افت کند. همچنین سعی کنید به موقع در کلاس ریاضی خود حاضر شوید. حتی اگر کمی زودتر در کلاس حضور داشته باشید، بسیار بهتر است، چرا که می‌توانید در این بازه زمانی کتاب درسی خود را باز کرده و به مطالب درس جدید نگاهی بیندازید. دقت کنید لازم نیست در این مرحله کاملا با مفاهیم جدید آشنا شوید. فقط کافی است با نگاهی گذرا به مبحث جدید، بدانید عنوان مبحث درس امروز چیست.
به علاوه حضور زودتر در کلاس درس به شما اجازه می‌دهد تا کتاب و دفتر خود را باز کرده و کاملا برای نوت‌برداری یا مراجعه به متن کتاب در صورت نیاز آماده باشید. بنابراین تا حد امکان سعی کنید در کلاس ریاضی غیبت نداشته باشید، مگر در شرایطی که بیمار هستید. در این صورت حتما از همکلاسی‌های خود بخواهید تا در مورد مباحث تدریس شده، تمرین‌های حل شده و توضیحات داده شده با شما صحبت کرده و یادداشت‌های خود را در اختیار شما قرار دهند.
همچنین سعی کنید حتما تکالیف داده شده در آن جلسه را انجام دهید و در صورت نیاز، برای حل تمرین‌ها از معلم خود کمک بگیرید. اینکه عقب‌افتادگی خود را همان زمان جبران کنید، بسیار مهم است، چون با گذشت زمان و ناتمام ماندن یادگیری کامل آن مبحث، در درک و یادگیری مباحث بعدی که احتمالا مرتبط با این مبحث باشند، مشکل خواهید داشت و این زنجیره تا سال‌ها ممکن است ادامه پیدا کند. پیشنهاد می‌کنیم در صورت داشتن چنین تجربه‌ای، حتما در مورد مبحث آن جلسه تمرین‌های بیشتری خارج از تکالیف کلاسی حل کنید تا از یادگیری خود مطمئن شوید.
حل مثال‌های کلاسی همراه با معلم
دومین نکته کلیدی که بالاتر به آن اشاره کردیم، در مورد حل مثال‌ها یا تمرین‌هایی است که معلم هنگام تدریس بیان می‌کند. حتما تا به حال دیده‌اید که معلم پس از توضیح یک درس جدید، بلافاصله چند مثال حل می‌کند. اگر برای حل سوال به شما زمانی داده می‌شود و سپس سوال توسط معلم حل می‌شود، حتما دفتر خود را باز کرده و سعی کنید با توجه به توضیحات به سوال پاسخ دهید. با اینکه ممکن است نتوانید سوال را حل کنید، اما حتما این کار را امتحان کنید.در این صورت، پس از اینکه معلم شروع به حل سوال کرد، بهتر متوجه می‌شوید در کدام قسمت مشکل داشته‌اید.
همچنین سعی کنید پس از راه‌حل خود، راه‌حل معلم را واضح و مرحله به مرحله یادداشت کنید. گاهی لازم است علاوه بر روابطی که معلم روی تخته می‌نویسد، توضیحات معلم را نیز حتما یادداشت کنید. در ادامه تمرین‌ها و سوالاتی که معلم تا انتهای کلاس تعیین می‌کند را سعی کنید همان روز حل کنید تا یادگیری شما تثبیت شود. اگر موفق شدید به سوالی پاسخ دهید، حتما اعلام کنید تا تشویق شوید. فعالیت داوطلبانه در کلاس ریاضی علاقه شما را به یادگیری درس ریاضی تقویت می‌کند. همچنین اگر در فهم بخشی از مبحث مشکل دارید یا سوالی برای شما مطرح شده است، حتما با بالا بردن دست خود از معلم کمک بخواهید.
انجام تکالیف تعیین شده در همان روز
یکی از کلیدی‌ترین نکات یادگیری بهتر درس ریاضی این است که حتما تکالیف تعیین شده برای پس از کلاس را در همان روز انجام دهید. اغلب ممکن است این تکالیف را شب قبل از جلسه بعدی انجام دهید. این روش باعث می‌شود یادگیری شما در همان روز کامل نشود و در نتیجه، شاید در حل سوالات با مشکل مواجه شوید. اما اگر بلافاصله پس از اتمام کلاس ریاضی، به حل سوالات بپردازید، چون حضور ذهن بالاتری دارید، در نتیجه، راحت‌تر و سریع‌تر می‌توانید تکالیف خود را تمام کنید.
کمک گرفتن در صورت نیاز
در بخشهای قبل گفتیم که ممکن است نتوانید در برخی از جلسات کلاس درس ریاضی حضور داشته باشید. حتی ممکن است در کلاس باشید، اما مطالب بیان شده را به‌خوبی فرا نگرفته باشید. در این شرایط بهتر است با در نظر گرفتن زمان آزاد معلم خود، در زمانی خارج از وقت کلاس به او مراجعه کنید و از او کمک بگیرید. در این زمینه می‌توانید از گروه‌های مختلف یا سایر افراد نیز استفاده کنید. می‌توانید با دوستان خود گروهی تشکیل دهید و از کمک هم بهره ببرید.
دقت کنید که در گروهی عضو شوید که سطح دانش ریاضیات اعضای آن در سطح شما یا از شما بهتر باشد. همچنین می‌توانید در صورت نیاز از معلم خصوصی نیز استفاده کنید. مزیت کار با معلم خصوصی این است که تمرکز معلم فقط روی فعالیت و یادگیری شما است. در نتیجه احتمالا بهتر متوجه خواهد شد که مشکل شما در کدام بخش‌ها است.
چگونه درس ریاضی را با فرادرس بهتر یاد بگیریم؟
در این بخش لیستی از فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس را به شما معرفی کرده‌ایم که به ترتیب از پایه هفتم تا پایه دوازدهم به توضیح مطالب کتاب‌های درسی پرداخته‌اند. این دوره‌های آموزشی که بر اساس سرفصل‌های کتاب‌های درسی طراحی شده‌اند، شامل تمام مباحث درس ریاضی در مقطع متوسطه هستند:
- فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس
- فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
- فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس
- فیلم آموزش ریاضی پایه دهم فرادرس
- فیلم آموزش ریاضی پایه یازدهم علوم تجربی فرادرس
- فیلم آموزش ریاضی پایه دوازدهم علوم تجربی فرادرس
مفاهیم پایه در درس ریاضی
گفتیم مهم‌ترین نکته در یادگیری درس ریاضی این است که ابتدا به اصول اولیه و بسیار ساده آن کاملا مسلط شوید. در این بخش می‌خواهیم به زبانی ساده این مفاهیم پایه را در چهار بخش به شکل زیر توضیح دهیم:
- تسلط بر مبانی ریاضی - جمع
- تسلط بر مبانی ریاضی - تفریق
- تسلط بر مبانی ریاضی - ضرب
- تسلط بر مبانی ریاضی - تقسیم
اما پیش از پرداختن به مباحث بالا، ابتدا باید با مفهوم عدد و بخشهای مختلف ارقام یک عدد آشنا شوید. اولین مشخصه ریاضیات، اعداد هستند. اعداد می‌توانند تک رقمی یا یک رقمی، دو رقمی، سه رقمی و ... باشند. برای مثال اعداد ، و تک رقمی هستند، در حالی یک عدد دو رقمی و یک عدد سه‌رقمی محسوب می‌شود. اعداد یک رقمی فقط دارای یکی یا یکان هستند، در حالی که در اعداد دو رقمی علاوه‌بر یکی‌ها، دهتاییها یا دهگان هم داریم. اولین رقم از سمت راست در یک عدد دو رقمی، یکی‌های آن عدد محسوب می‌شود و دومین رقم، دهتایی یا دهگان آن است.
به همین ترتیب اعداد سه رقمی شامل سه رقم‌اند که به ترتیب از راست به چپ جزء یکی‌ها، دهتاییها و صدتایی‌ها هستند. اهمیت تشخیص ارزش مکانی هر کدام از رقم‌های یک عدد زمانی مشخص می‌شود که بخواهید هر کدام از چهار عمل اصلی را روی اعداد دو رقمی و بالاتر انجام دهید. با رعایت نکاتی که در ادامه شرح می‌دهیم، متوجه این نکته خواهید شد و بدون شک روند یادگیری درس ریاضی برای شما آسان‌تر، سریع‌تر و لذت‌بخش‌تر خواهد بود.
جمع در ریاضی
جمع اعداد با علامت نشان داده می‌شود. یکی از قواعد ساده در جمع اعداد، قاعده است. طبق این قاعده و با در نظر گرفتن محور اعداد به شکل زیر، جمع عدد با هر عددی، یک واحد به آن عدد اضافه می‌کند. قاعده بعدی در مورد معنا و مفهوم عدد صفر است. جمع عدد صفر با هر عددی، با خود آن عدد برابر است. بنابراین صفر به معنای هیچ است و اثری در اضافه شدن به یک عدد ندارد.
مورد بعدی جمع اعداد مشابه با هم است که بد نیست حاصل این جمع‌ها را به‌خاطر بسپارید. برای مثال، جمع اعداد و یا و . در ادامه یادگیری جمع اعداد، یکی از روش‌های موثر استفاده از نگاشت یا پیکان‌هایی به شکل زیر است تا بتوانید حاصل جمع اعداد مختلف با یک عدد مشخص مانند را راحت‌تر به خاطر بسپارید. در ادامه موضوع جمع اعداد، با نحوه جمع کردن چند عدد مختلف که زیر هم قرار می‌گیرند، آشنا می‌شوید.
جمع اعداد دو رقمی
کاربرد این روش جمع در پیدا کردن حاصل جمع اعداد دو رقمی است. برای مثال، در تصویر زیر مجموع دو عدد دو رقمی و نشان داده شده است. روند جمع دو عدد دو رقمی یا یک عدد یک رقمی با یک عدد دو رقمی به این صورت است که ابتدا دو عدد را کاملا زیر هم می‌نویسیم، به گونه‌ای که رقم یکان و دهگان هر دو عدد دقیقا زیر هم قرار بگیرند. علامت را برای نشان دادن جمع در سمت چپ دومین عدد به شکل زیر درج می‌کنیم. همچنین خطی که زیر این عدد کشیده می‌شود، نشان دهنده علاومت تساوی است.
سپس ابتدا اعداد ستون اول یا یکان را با هم جمع می‌کنیم. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، حاصل جمع دو عدد و برابر با عدد می‌شود که یک عدد دو رقمی است. عدد از دو عدد یک‌تایی و یک عدد دهتایی ساخته شده است. بنابراین اگر بخواهیم آن را زیر خط تساوی بنویسیم، فقط می‌توانیم رقم یکان آن یعنی عدد را درج کنیم. رقم دهگان آن که برابر است با یک دهتایی به بالای ستون دوم منتقل می‌شود.
چون ستون دوم نشان‌دهنده دهتاییها است، پس نباید این بخش را به شکل بنویسیم، بلکه باید آن را به‌عنوان عدد دهتایی در نظر بگیریم. به این ترتیب، عدد در ابتدای ستون دوم، با دو عدد دیگر در این ستون جمع می‌شوند. مجموع سه عدد این ستون که شامل و و هستند، برابر با عدد می‌شود.
تفریق در ریاضی
دومین عمل از چهار عمل اصلی در حساب، تفریق یا همان محاسبه اختلاف دو عدد است که با علامت نمایش داده می‌شود. در مورد تفریق هم قاعده‌ای مانند قاعده در جمع داریم که در اینجا به‌صورت یا یک واحد به عقب رفتن روی محور اعداد است. اگر یک واحد از هر عددی که روی محور اعداد قرار دارد، کم کنیم، حاصل برابر می‌شود با عدد قبل از آن. این فرآیند را در تصویر زیر مشاهده می‌کنید:
اگر جمع اعداد مشابه در بخش قبل را به‌خوبی به خاطر سپرده باشید، در این مرحله می‌توانید به‌راحتی عدد را از یا را از کم کنید. در این بخش رابطه نزدیک دو عمل اصلی جمع و تفریق مشخص می‌شود. به‌عنوان مثال، وقتی است، حتما برابر با می‌شود. همچنین حاصل تفریق یک عدد یک رقمی از یک عدد دو رقمی را یاد می‌گیرید که می‌تواند شامل قاعده قرض گرفتن هم نباشد.
برای مثال، تصویر زیر تفریق اعداد یک رقمی از دو رقمی را نشان می‌دهد که زیر هم نوشته شده‌اند و در به‌دست آوردن پاسخ آن‌ها، کاربرد قاعده قرض گرفتن لازم نیست. برای نمونه در مورد اولین مثال، ابتدا اعداد ستون اول یا ستون یکان را از هم کم می‌کنیم. حاصل برابر است با که پس از خط نشان‌دهنده علامت تساوی، نوشته شده است. در ستون بعدی که همان ستون دهگان محسوب می‌شود، عدد را داریم که از هیچ عدد دیگری کم نمی‌شود. پس خود این عدد را زیر خط قرار می‌دهیم.
تفریق انتقالی یا تفریق تکنیکی
در مثال‌های قبل دیدیم که برای انجام برخی از تفریق‌ها نیازی به کاربرد قاعده قرض گرفتن نیست. اما در مواردی ممکن است تفریق اعداد با استفاده از قاعده‌ای به نام قاعده قرض گرفتن انجام شود. چنین تفریقی، تفریق تکنیکی، انتقالی یا تفریق در جدول ارزش مکانی هم نامیده می‌شود. برای اینکه بهتر متوجه شوید چه زمانی باید از این قاعده استفاده کنید، به تصویر زیر دقت کنید. در این سوال می‌خواهیم ببینیم حاصل کم کردن عدد از عدد چیست. اولین قدم برای انجام تفریق دو عدد دو رقمی این است که این دو عدد را زیر هم و به شکل زیر بنویسیم.
در مرحله بعد ابتدا باید دو عددی را که در اولین ستون از سمت راست، یعنی ستون یکان یا یکی‌ها قرار دارند، از هم کم کنیم، یعنی باید عدد از کم شود. در حالی که می‌دانیم چنین چیزی امکان‌پذیر نیست. در این مواقع باید از تفریق انتقالی کمک بگیریم، به این صورت که به اولین عدد از ستون بعدی که ستون دهگان یا ده‌‌ها نام دارد، نگاه کنید. عدد را در این جایگاه داریم. با قرض گرفتن یک دهتایی از این عدد و انتقال این دهتایی به ابتدای ستون اول، عدد به تبدیل می‌شود.
معمولا برای اینکه در محاسبات خود اشتباه نکنیم، عدد را خط می‌زنیم و بالای آن عددی را که یک واحد از آن کمتر است، یعنی را می‌نویسیم. همچنین این دهتایی به اولین عدد در ستون یکی‌ها اضافه می‌شود. بنابراین عدد با جمع می‌شود و حالا به‌جای عدد را در این جایگاه داریم و می‌توانیم به‌راحتی عدد را از آن کم کنیم. حاصل کم کردن از در اولین ستون، عدد است که زیر خط نشان‌دهنده تساوی آن را می‌نویسیم.
ضرب در ریاضی
عمل ضرب به‌عنوان یکی از چهار عمل اصلی در درس ریاضی یکی از مهم‌ترین و پرکاربردترین بخش‌ها است. برای نشان دادن عمل ضرب بین دو عدد از نماد استفاده می‌شود. البته ممکن است در برخی متون به‌جای این نماد از علامت دات یا استفاده شود. ابتدا با قاعده ضرب هر عدد در و همین‌طور ضرب هر عدد در شروع می‌کنیم. ضرب هر عددی در همیشه برابر با است و ضرب هر عدد در همیشه برابر با خود آن عدد است:
قدم بعدی این است که جدول ضرب را به‌خاطر بسپارید. در این جدول حاصل ضرب تمام اعداد تا در یکدیگر نوشته شده است. پیشنهاد می‌کنیم آن‌قدر این جدول را تمرین کنید که با مشاهده ضرب هر دو عدد تک رقمی بتوانید به‌سرعت حاصل ضرب را بنویسید.
ضرب اعداد دو رقمی
پس از اینکه به ضرب اعداد یک رقمی کاملا مسلط شدید، می‌توانید ابتدا ضرب یک عدد تک رقمی در یک عدد دو رقمی را امتحان کنید. برای مثال، تصویر زیر را در نظر بگیرید. در اولین مثال، حاصل ضرب در خواسته شده است. بهتر است مانند بخش جمع و تفریق، در اینجا هم اگر یکی از اعداد ما دو رقمی است، عمل موردنظر را با زیر هم نوشتن دو عدد انجام دهیم، طوری که یکی‌های دو عدد کاملا زیر هم و دهتاییها هم کاملا زیر هم و در یک ستون قرار بگیرند.
بنابراین ابتدا باید را در ضرب کنیم، یعنی در اولین مرحله یکی‌ها در هم ضرب می‌شوند. حاصل ضرب این دو عدد طبق جدول ضرب برابر است با . می‌دانیم در ستون اول یعنی یکی‌ها مجازیم که فقط یکی‌های حاصل جمع را درج کنیم. عدد دارای یکی و تا دهتایی است. بنابراین فقط یکی آن یعنی عدد را زیر خط نشان دهنده تساوی قرار می‌دهیم و عدد دهتایی آن به ستون دهتاییها منتقل می‌شود.
در ادامه ممکن است به اشتباه بخواهید مانند عمل جمع یا تفریق عمل کنید، یعنی ضرب دو عددی که در ستون دهتایی قرار دارند یعنی و را انجام دهید. این روش اشتباه است. در اینجا تفاوت مهم دو عمل ضرب و تقسیم با دو عمل جمع و تفریق مشخص می‌شود. برای اینکه ضرب یک عدد یک رقمی در یک عدد دو رقمی را انجام دهیم، باید عدد یک رقمی را در هر دو رقم عدد دو رقمی ضرب کنیم.
یعنی عدد در این مثال، هم در و هم در ضرب می‌شود. ضرب در انجام شد و دیدیم که تا دهتایی به ما داد. حالا باید را در ضرب کنیم که می‌شود . حاصل این ضرب در ستون دهتاییها قرار می‌گیرد که شامل عدد از مرحله قبل است. پس باید را با در انتها جمع کنیم که می‌شود . برای اینکه این روند را بهتر درک کنید، به مثال دیگری که در ادامه بیان می‌شود، دقت کنید.
در تصویر بالا، توسط کادرهای آبی رنگ نشان داده شده است که عملیات ضرب چگونه به‌صورت تفکیک شده انجام می‌شود. ابتدا باید عدد در یکی‌های عدد یعنی ضرب شود. حاصل این ضرب برابر است با که یک عدد دو رقمی است. پس فقط می‌توانیم یکان آن یعنی را در بخش یکان پاسخ درج کنیم و دهگان آن یعنی به ابتدای ستون دوم منتقل می‌شود. مرحله بعد ضرب در است که می‌شود . جمع با از مرحله قبل برابر است با که در کنار و در قسمت پاسخ قرار می‌گیرد. پس پاسخ نهایی این ضرب برابر شد با .
در ادامه می‌خواهیم حاصل ضرب دو عدد دو رقمی را به‌دست آوریم. ابتدا باید دو عدد را کاملا زیر هم بنویسیم، طوری که یکی‌ها زیر هم و دهتاییها هم زیر هم قرار بگیرند. علامت ضرب را سمت چپ دومین عدد قرار می‌دهیم و خط افقی را زیر همین عدد و به نشانه علامت تساوی درج می‌کنیم. عدد دوم ما یعنی شامل عدد یکی و عدد دهتایی است. در ضرب دو عدد دو رقمی، باید ابتدا یکی‌های عدد دوم یعنی را در عدد اول یعنی به‌طور کامل ضرب کنیم. این عملیات با کادر آبی رنگ در شکل مشخص شده است و حاصل آن هم با رنگ آبی نوشته شده است.
در مرحله بعد، دهتایی عدد دوم یعنی را در عدد اول یعنی به‌طور کامل ضرب می‌کنیم. این فرآیند هم با کادر قرمز رنگ متمایز شده است که حاصل آن نیز عدد قرمز است. در نهایت دو عدد آبی و قرمز باید با هم جمع شوند تا محاسبه حاصل ضرب این دو عدد کامل شود. پس می‌توانیم بگوییم ضرب دو عدد دو رقمی برابر می‌شود با مجموع دو حاصل ضرب که هر کدام از این حاصل ضرب‌ها معادل است با ضرب یک عدد یک رقمی در یک عدد دو رقمی. با این توضیحات، عملیات ضرب را شروع می‌کنیم.
حاصل ضرب در می‌شود . اما همان‌طور که توضیح دادیم، مجاز هستیم که فقط یکی‌های عدد را زیر خط افقی بنویسیم و ده‌تایی‌های آن که برابر است با عدد به بالای ستون دوم منتقل می‌شوند. پس فقط را در جایگاه یکی‌های جواب می‌نویسیم. در مرحله بعد عدد در ضرب می‌شود که حاصل آن برابر است با . عدد با از مرحله قبل جمع می‌شود و در نهایت عدد به‌دست می‌آید که در کنار از مرحله قبل نوشته می‌شود. بنابراین برابر شد با اولین حاصل ضرب.
اما عملیات ما هنوز تمام نشده است. همین روند را برای ضرب در باید تکرار کنیم. ابتدا حاصل ضرب در را به‌دست می‌آوریم که می‌شود . نکته مهم در اینجا این است که رقم در معادل است با تا دهتایی. پس برای نوشتن عدد باید رقم آن را در جایگاه دهتایی از پاسخ و زیر عدد قرار دهیم. رقم آن نیز به ستون بعدی منتقل می‌شود تا با حاصل ضرب بعدی جمع شود. حاصل ضرب بعدی برابر است با ضرب در که می‌شود . اگر را با حاصل از مرحله قبل، جمع کنیم، به‌دست می‌آید که آن را کنار با رنگ قرمز می‌نویسم. بنابراین دومین ضرب ما به عدد ختم شد. در آخرین مرحله باید دو عدد و که با دو رنگ مختلف نمایش داده شده‌اند را با هم جمع کنیم که می‌شود .
تقسیم در ریاضی
آخرین عملیات از چهار عمل اصلی در درس ریاضی، تقسیم است که توسط مشخص می‌شود. تقسیم عکس ضرب است، بنابراین اگر به ضرب اعداد کاملا مسلط باشید، فرآیند تقسیم برای شما آسان است. برای مثال، می‌دانیم حاصل ضرب در می‌شود . پس اگر را بر تقسیم کنیم، پاسخ برابر است با . تصویر زیر این رابطه معکوس را به‌خوبی نمایش می‌دهد:
نامگذاری اجزای مختلف در یک تقسیم
- مقسوم: عددی است که می‌خواهیم آن را بر مقسوم علیه تقسیم کنیم (عدد ).
- مقسوم علیه: عددی است که مقسوم بر آن را تقسیم شده است (عدد ).
- خارج قسمت: عددی است که از تقسیم مقسوم بر مقسوم علیه به‌دست می‌آید (عدد ).
- باقیمانده: عددی است که در انتهای تقسیم با کم کردن حاصل‌ضرب خارج قسمت در مقسوم علیه و کم کردن حاصل از مقسوم به‌دست می‌آید (عدد ).
تقسیم اعداد دو رقمی و بخش‌پذیری
ابتدا رقم دهگان را بر تقسیم می‌کنیم. حاصل تقسیم بر برابر است با . پس عدد را زیر علامت تقسیم می‌نویسم. سپس این عدد را در ضرب می‌کنیم که می شود . را از به‌عنوان دهگان عدد کم می‌کنیم. حاصل می‌شود . این فرآیند تفریق را زیر عدد مانند آنچه که در بخش تفریق توضیح دادیم، زیر هم می‌نویسیم. در مرحله بعد رقم یکان یعنی را در کنار پاسخ تفریق بخش قبل یعنی درج می‌کنیم.
مباحث درس ریاضی متوسطه اول و دوم
ریاضیات علم مطالعه اعداد، مقادیر، اشکال، ساختارها، الگوها و روابطی است که بین اجزای مختلف هر کدام از این موارد وجود دارد. عمده مطالعات ریاضی اختصاص دارد به پیدا کردن روابط منطقی بین اجزای مختلف، فرمول‌بندی کردن این روابط و رسیدن به یک دیدگاه سیستماتیک جهت مدل‌سازی، شبیه‌سازی و حل مسائل در زندگی واقعی. به همین دلیل یادگیری ریاضیات زیربنا و اساس یادگیری بهتر علومی مانند فیزیک به‌شمار می‌رود و در رشته‌های متنوعی از جمله علوم مهندسی، اقتصاد و علوم کامپیوتر کاربرد دارد.
در بخشهای قبل با اصول یادگیری درس ریاضی و مبانی اولیه آن که شامل چهار عمل اصلی است، آشنا شدیم. در این بخش می‌خواهیم کمی فراتر رفته و برای علاقه‌مندان توضیح دهیم موضوعات مختلف درس ریاضی در دوره اول و دوم متوسطه چیست. با توجه به اینکه هدف ما در این بخش تنها معرفی مباحث درس ریاضی است، بنابراین در هر قسمت چند مطلب مرتبط از مجله فرادرس برای شما قرار داده شده است تا با مراجعه به این مقالات بتوانید با جزئیات بیشتری این مباحث را یاد بگیرید. مباحث درس ریاضی دوره‌های اول و دوم متوسطه با توجه به سرفصل کتاب‌های درسی، به شکل زیر طبقه‌بندی و معرفی خواهند شد:
- مباحث درس ریاضی پایه هفتم و هشتم
- مباحث درس ریاضی پایه نهم و دهم
- مباحث درس ریاضی پایه یازدهم و دوازدهم
مباحث درس ریاضی پایه هفتم و هشتم
درس ریاضی پایه هفتم شامل مباحث زیر است:
- راهبردهای حل مسئله
- اعداد صحیح
- جبر و معادله
- هندسه و استدلال
- شمارنده‌ها و اعداد اول
- سطح و حجم
- توان و جذر
- بردار و مختصات
- آمار و احتمال
همچنین در کتاب درسی ریاضی پایه هشتم موضوعات زیر توضیح داده می‌شود:
- اعداد صحیح و گویا
- اعداد اول
- چند‌ضلعی‌ها
- جبر و معادله
- بردار و مختصات
- مثلث
- توان و جذر
- آمار و احتمال
- دایره
همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، بسیاری از این مباحث با هم مشترک هستند. البته مباحث مشترک در درس ریاضی هفتم شامل اصول و تعاریف اولیه هستند و در ریاضی هشتم، همین موضوعات در سطوح پیشرفته‌تر بررسی می‌شوند. به همین جهت، در ادامه تیترهای مشابه را با در نظر گرفتن تمام مباحث مطرح شده در کتاب ریاضی هفتم و هشتم به‌طور کامل توضیح داد‌ه‌ایم.
راهبردهای حل مسئله
- درک صورت مسئله
- حل مسئله
- چک درستی راه‌حل و پاسخ به‌دست آمده
در زمینه درک مسئله، اولین قدم این است که صورت سوال را به دقت بخوانیم و دقیقا مشخص کنیم که به دنبال محاسبه یا اثبات چه چیزی هستیم. در این بخش می‌توانید با هایلایت کردن بخشهای مهم در صورت سوال یا تقسیم‌بندی کردن داده‌هایی که در صورت سوال در اختیار شما قرار داده شده است، حل مسئله را برای خود آسان‌تر کنید. در مرحله بعد، برای حل مسئله و پیدا کردن راه‌حل مناسب می‌توانید از تکنیک‌هایی نظیر رسم شکل، جدول یا نمودار استفاده کنید.
در برخی از مسائل درس ریاضی لازم است به دنبال پیدا کردن یک الگوی منطقی باشید. همچنین با تشخیص حوزه سوال و نوشتن فرمول‌هایی که در آن زمینه وجود دارد، ممکن است بتوانید راه‌حل را سریع‌تر حدس بزنید. برای مثال، در حل مسائل مربوط به محاسبه حجم یا مساحت اشکال هندسی، با توجه به نام شکل در صورت سوال و نوشتن فرمول مساحت، مساحت جانبی یا حجم آن مقطع، اگر داده‌های سوال را به تفکیک یادداشت کرده باشید، بلافصله می‌توانید تشخیص دهید برای پیدا کردن پاسخ ابتدا باید چه کمیتی را به‌دست آورید. در نهایت، در برخی از سوالات پس از محاسبه پاسخ، می‌توانید با معکوس کردن راه‌حل درستی روش و پاسخ خود را چک کنید.
اعداد صحیح
نکته مهمی که در تشخیص اعداد صحیح باید در نظر گرفته شود این است که اعداد کسری و اعداد اعشاری جزء اعداد صحیح نیستند. پس مجموعه اعداد صحیح شامل سه گروه اعداد زیر می‌شوند:
- اعداد مثبت یا (مجموعه اعداد طبیعی)
- اعداد منفی یا
- عدد صفر (که نه یک عدد مثبت است و نه یک عدد منفی)
نکته: مجموعه اعداد طبیعی زیرمجموعه‌ای از مجموعه اعداد صحیح است.
همان‌طور که در شکل بالا مشاهده می‌کنید، اعداد مثبت یا اعدادی که در سمت راست این محور قرار می‌گیرند، همواره از اعداد سمت چپ یا اعداد منفی و صفر بزرگتر هستند. مکان قرارگیری عدد صفر مبدا محور نامیده می‌شود. اعداد منفی همگی در سمت چپ صفر قرار می‌گیرند. به این ترتیب مجموعه اعداد صحیح را می‌توانیم با نماد و به شکل زیر داخل دو علامت آکولاد توصیف کنیم:
نکته مهم دیگری که در مورد اعداد صحیح وجود دارد قواعد جمع، تفریق، ضرب و تقسیم آن‌ها است که با توجه به علامت منفی در مورد اعداد منفی، با قواعد چهار عمل اصلی در مورد اعداد مثبت که قبلا توضیح دادیم، متفاوت است. در ادامه به اختصار این قواعد را با مثال توضیح می‌دهیم.
قواعد جمع اعداد صحیح
قواعد جمع اعداد صحیح در دو حالت زیر بررسی می‌شود:
- اگر دو عدد صحیح دارای علامت یکسانی باشند.
- اگر دو عدد علامت متفاوتی داشته باشند.
حالت اول یعنی در حالتی که هر دو عدد مثبت یا منفی باشند. در این صورت، ابتدا باید اعداد را بدون در نظر گرفتن علامت، با هم جمع کنیم. سپس اگر هر دو علامت مثبت داشته باشند، علامت حاصل‌جمع هم مثبت است و اگر هر دو علامت منفی داشته باشند، علامت پاسخ نیز منفی خواهد بود. در حالت دوم، ابتدا اختلاف دو عدد را به‌دست می‌آوریم (بدون در نظر گرفتن علامت‌ها، عدد بزرگتر از عدد کوچکتر کم می‌شود). اگر علامت عدد بزرگتر مثبت باشد، پاسخ نیز مثبت است. در غیر این صورت، علامت حاصل‌جمع منفی خواهد بود.
نکته: اعداد مثبت را می‌توانیم با قرار دادن علامت مثبت قبل از عدد یا بدون قرار دادن هیچ علامتی مشخص کنیم. پس قرار دادن علامت مثبت قبل از یک عدد مثبت اجباری نیست.
برای مثال، می‌خواهیم حاصل‌جمع دو عدد و را با تعیین مکان قرارگیری این اعداد روی محور اعداد صحیح به‌دست آوریم. عدد یک عدد مثبت است که به اندازه پنج واحد به سمت راست و با در نظر گرفتن صفر به‌عنوان مبدا، روی محور مشخص می‌شود:
عدد بعدی است که برای مشخص کردن مکان آن روی محور اعداد، کافی است ده واحد در جهت منفی یا به سمت چپ عدد پیش برویم. به این ترتیب، مشخص است که با جمع کردن این دو عدد در نهایت باقی می‌ماند. پاسخ این روش با پاسخ روشی که بالاتر بیان شد، کاملا یکسان خواهد شد.
قواعد تفریق اعداد صحیح
قواعد محاسبه اختلاف اعداد صحیح به این صورت است:
- ابتدا لازم است عمیلات تفریق را به جمع تبدیل کنیم.
- سپس دقیقا با قواعدی که برای جمع اعداد صحیح بیان شد، پیش می‌رویم.
برای نمونه، فرض کنید می‌خواهید حاصل تفریق را به‌دست آورید. ابتدا می‌توانیم با قرار دادن عملگر یا علامت جمع بین این دو عدد، این مسئله را از تفریق به مجموع تبدیل کنیم:
نکته: منفی در مثبت یا مثبت در منفی همیشه با منفی برابر است.
با توجه به نکته‌ای که بیان شد، به‌جای منفی، از مثبت در منفی استفاده کردیم. حالا علامت منفی متعلق به عدد دوم است و مجموع یک عدد مثبت و منفی را باید پیدا کنیم. طبق قواعد جمع دو عدد صحیح، چون دو عدد مختلف العلامت داریم، باید عدد کوچک از عدد بزرگ کم شود و در انتها علامت عدد بزرگتر (که منفی است) در کنار پاسخ قرار داده شود:
قواعد ضرب اعداد صحیح
برای اینکه ضرب اعداد صحیح را سریع انجام دهید، کافی است جدول زیر را در این زمینه به‌خاطر بسپارید:
| ضرب علامت‌ها | نتیجه | مثال |
قواعد تقسیم اعداد صحیح
اعداد گویا
نکته: مجموعه اعداد صحیح و در نتیجه مجموعه اعداد طبیعی هر دو زیرمجموعه‌ای از مجموعه اعداد گویا هستند.
شکل‌های زیر به‌خوبی تفاوت اعداد صحیح و گویا را نشان می‌دهند. و دو عدد صحیح روی محور اعداد هستند که بین آن‌ها هیچ عدد صحیح دیگری وجود ندارد.
اما اگر بخواهیم تمام اعداد گویا بین این دو عدد صحیح را در نظر بگیریم، بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد که در شکل زیر تنها چهار عدد از این تعداد بی‌نهایت روی محور اعداد نمایش داده شده است:
برای اینکه بتوانیم اعداد گویا یا کسری را با هم جمع کرده، از هم کم کنیم یا ضرب و تقسیم این نوع اعداد را انجام دهیم، قواعد و روش‌های خاصی وجود دارد که در بخش بعد آن‌ها را توضیح می‌دهیم.
جمع و تفریق اعداد گویا
اما اگر بخواهیم حاصل عبارت زیر را که مخرج‌های مختلفی دارد، به‌دست آوریم، چگونه باید عمل کنیم؟
در این موارد که مخرج کسرها با هم برابر نیست، باید مخرج مشترک بگیریم تا مخرج‌ها یکسان شوند. در بخش بعد این روش را توضیح خواهیم داد.
مخرج مشترک
اگر مضرب‌های این دو مخرج را با هم مقایسه کنیم، مشخص است که اولین مضرب مشترک عدد است. پس این عدد مخرج مشترک ما در این مثال است. حالا باید ببینیم مخرج‌ها در سوال بالا در چه عددی ضرب شوند تا به مخرج مشترک برسیم. پس از یافتن این عدد، لازم است صورت و مخرج آن کسر در این عدد ضرب شوند. برای نمونه، مخرج کسر باید در ضرب شود تا به مخرج مشترک برسیم، پس صورت این کسر هم در ضرب می‌شود. به همین ترتیب، در کسر بعدی یعنی مخرج باید در ضرب شود تا به برسیم، پس صورت این کسر هم در ضرب می‌شود:
حالا به دو کسر با مخرج یکسان رسیدیم. کافی است مخرج مشترک را به‌عنوان مخرج پاسخ قرار داده و صورت کسرها را با هم جمع کنیم تا حاصل‌جمع این دو کسر محاسبه شود:
ضرب و تقسیم اعداد گویا
طبق این قاعده، حاصل‌ضرب دو کسر و می‌شود:
نکته: صفر تنها عددی است که معکوس ندارد، چون کسری که مخرج آن صفر باشد در ریاضیات تعریف نشده است.
برای مثال، حاصل برابر است با:
نمایش اعشاری کسرها
حاصل این تقسیم، یک عدد اعشاری شد که رقم اعشار آن تکرار ندارد. اما در تبدیل کسر به عدد اعشاری، حاصل برابر می‌شود با:
عدد مخلوط و تبدیل آن به کسر
دقت کنید به‌جای عدد کامل از کسر استفاده کردیم. راه‌حل ساده‌تر برای تبدیل عدد مخلوط به کسر این است که مخرج بخش کسری را در عدد کامل ضرب کرده و حاصل را با صورت بخش کسری جمع کنیم. این عدد صورت کسر موردنظر است. مخرج کسر موردنظر نیز، همان مخرج بخش کسری در عدد مخلوط خواهد بود. به مثال زیر توجه کنید:
نکته ۱: هرگاه صورت و مخرج کسری با هم برابر باشند، آن کسر همواره با عدد یک برابر است ().
نکته ۲: در صورتی می‌توانیم یک کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنیم که صورت آن از مخرج‌اش بزرگتر باشد.
برای نمونه، فرض کنید می‌خواهیم کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنیم. ابتدا را به تقسیم می‌کنیم. خارج قسمت این تقسیم است و باقیمانده آن . بنابراین عدد مخلوط معادل با این کسر می‌شود:
جمع و تفریق اعداد مخلوط
مطالب مجله فرادرس را در جستجوی گوگل سریع‌تر ببینید
عالی ❤️❤️❤️