اشکال هندسی | تعاریف، فرمول های محاسبه محیط و مساحت — به زبان ساده

در این مطلب که راهنمایی برای اشکال هندسی است، با انواع شکل‌های هندسی آشنا می‌شویم و علاوه بر بیان تعریف آن‌ها، فرمول‌های محاسبه مساحت، محیط و حجمشان را ارائه می‌کنیم.

دایره

«دایره» (Circle) به مجموعه نقاطی از یک صفحه گفته می‌شود که فاصله یکسانی از یک نقطه مرکزی دارند. دایره تنها از نقاط مرزی تشکیل می‌شود. فاصله بین نقطه میانی و مرز دایره را «شعاع» می‌نامند. پاره‌خطی که نقاط انتهایی آن روی دایره باشد و از نقطه میانی عبور کند «قطر» نامیده می‌شود. قطر دو برابر شعاع است. همچنین، پاره‌خطی را که نقاط انتهایی آن روی مرز دایره قرار دارند، اما از مرکز عبور نمی‌کند، «وتر» می‌نامیم.

برای آشنایی بیشتر با دایره، پیشنهاد می‌کنیم به مطلب «دایره چیست ؟ — تعریف و مفاهیم به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مساحت دایره

دایره زیر را در نظر بگیرید.

مساحت یک دایره با شعاع $$r$$ برابر است با:

$$ \large \boxed {A = \pi r ^ 2 } $$

همچنین، مساحت یک دایره با قطر $$ d $$ به صورت به دست می‌آید:

$$ \large \boxed {A = \pi \frac {d ^ 2 }{4}} $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت دایره و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «مساحت دایره — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

محیط دایره

محیط دایره‌ای به شعاع $$r $$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large \boxed {P = 2 \pi r } $$

اگر قطر $$d$$ دایره را داشته باشیم، محیط آن به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \boxed {P = \pi d } $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه محیط دایره و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «محیط دایره — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مثلث

مثلث یکی از اشکال هندسی مهم است، زیرا سایر چند‌ضلعی‌ها (با تعداد ضلع‌های بیشتر از ۳) به مثلث قابل تجزیه هستند. جالب است بدانید که مثلث تنها چندضلعی است که اگر اندازه اضلاع آن را داشته باشیم، یک شکل منحصر به فرد خواهیم داشت. سه نوع مثلث در شکل زیر نشان داده شده‌اند.

ضلع مثلث پاره‌خطی است که دو رأس مجاور مثلث را به هم متصل می‌کند. رأس، محل برخورد دو ضلع مثلث است. ارتفاع: یک پاره‌خطی است که از یک رأس آغاز می‌شود و بر ضلع مقابل (یا امتداد آن) عمود است. محل برخورد ارتفاع با قاعده یا امتداد آن، پای عمود نام دارد. همچنین، قاعده مثلث ضلعی است که ارتفاع بر آن عمود می‌شود.

برای آشنایی بیشتر با مثلث و انواع آن، به آموزش «مثلث چیست ؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مساحت مثلث

مثلث زیر را در نظر بگیرید.

مساحت مثلث بالا به ارتفاع $$h$$ و قاعده $$b $$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \boxed {A = \frac 12 \times b \times h } $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت مثلث و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «مساحت مثلث — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.

محیط مثلث

محیط مثلث با ساق‌های $$s_1$$ و $$s_2$$ و قاعده $$b$$ برابر است با:

$$ \large \boxed {P = s_1 + s_ 2 + b} $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه محیط مثلث و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «محیط مثلث — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.

برای آشنایی بیشتر با فرمول های محیط و مساحت و حجم اشکال مختلف هندسی، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

• برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

مربع

مربع یکی از اشکال هندسی با چهار ضلع مساوی است که هر چهار زاویه آن برابر با 90 درجه است. مستطیل تقریباً‌ ویژگی‌های مشابهی با یک مربع دارد، اما تفاوت این دو شکل در این است که در یک مستطیل فقط اضلاع مقابل با هم برابرند و اندازه اضلاع مجاور آن با هم برابر نیست. بنابراین، مستطیل تنها در صورتی مربع خوانده می‌شود که طول هر چهار ضلع آن برابر باشد. در واقع، می‌توان چنین گفت که مربع نوع خاصی از یک مستطیل است.

قطر مربع یک پاره‌خط است که دو رأس مقابل مربع را به هم موصل می‌کند. رأس محل برخورد دو ضلع مجاور مربع است. از آنجا که هر مربع چهار رأس دارد، بنابراین در یک مربع دو قطر وجود خواهد داشت.

برای آشنایی بیشتر با مربع، به آموزش «مربع چیست ؟ — تعریف و مفاهیم به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مساحت مربع

مربع زیر را در نظر بگیرید.

مساحت این مربع به ضلع $$ s $$ به صورت زیر به دست می‌آید:

$$\large \boxed {A = s ^ 2 }$$

محیط مربع

محیط مربع نیز به صورت زیر محاسبه خواهد شد:

$$\large \boxed {P = 4 s }$$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه محیط مربع و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «محیط مربع و محاسبه آن | به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مستطیل

مستطیل یک چهارضلعی که دو جفت ضلع دارد که طول اضلاع روبه‌روی آن با یکدیگر برابرند. در مستطیل هر چهار زاویه داخلی قائمه هستند. ضلع کوچک مستطیل عرض نامیده می‌شود و ضلع بزرگ آن را طول می‌نامیم. قطر مستطیل نیز، یک پاره‌خط است که دو رأس مقابل را به هم وصل می‌کند.

برای آشنایی بیشتر با مستطیل، به مطلب «مستطیل چیست ؟ — تعریف و مفاهیم به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مساحت مستطیل

مستطیل زیر را در نظر بگیرید.

مساحت این مستطیل برابر است با:

$$ \large \boxed {A = l \times w} $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت مستطیل و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «مساحت مستطیل — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

محیط مستطیل

محیط مستطیلی به طول $$ l $$ و عرض $$w $$ برابر است با:

$$ \large \boxed {P = 2 ( l + w)} $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه محیط مستطیل و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «محیط مستطیل و محاسبه آن — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

لوزی

لوزی یکی از اشکال هندسی چهارضلعی است که اندازه هر چهار ضلع آن با هم برابر است. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینیم، قطرهای لوزی عمود منصف یکدیگر هستند.

برای آشنایی بیشتر با لوزی، به آموزش «لوزی و محاسبات آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.

مساحت لوزی

مساحت یک لوزی با قطرهای $$ d _ 1 $$ و $$ d _ 2 $$ برابر است با:

$$\large \boxed { A = \frac 12 d _ 1 d _ 2 }$$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت لوزی و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «مساحت لوزی — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

محیط لوزی

محیط یک لوزی به ضلع $$l$$ برابر است با:

$$\large \boxed { P = 4 l }$$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه محیط لوزی و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «محیط لوزی — به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

متوازی الاضلاع

متوازی‌ الاضلاع یکی از اشکال هندسی چهارضلعی است که اضلاع روبه‌روی آن موازی یکدیگرند. اندازه اضلاع و زوایای روبه‌رو در متوازی‌الاضلاع با هم برابر است. در متوازی الاضلاع شکل زیر، $$b$$ قاعده است که معمولاً (نه همیشه) در قسمت پایین و کف شکل است. $$h$$ ارتفاع متوازی الاضلاع است که خطی را نشان می‌دهد که از قاعده بالا بر قاعده پایین عمود می‌شود. قطر متوازی الاضلاع نیز پاره‌خطی است که دو رأس مقابل را به هم وصل می‌کند.

برای آشنایی بیشتر با متوازی‌الاضلاع، به آموزش «متوازی الاضلاع چیست ؟ — تعریف و مفاهیم به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مساحت متوازی الاضلاع

مساحت متوازی‌الاضلاعی با ارتفاع $$h$$ و قاعده $$ b $$ با فرمول زیر به دست می‌آید:‌

$$ \large \boxed {A = b \times h } $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت متوازی الاضلاع و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «مساحت متوازی الاضلاع و محاسبه آن | به زبان ساده» مراجعه کنید.

محیط متوازی الاضلاع

اگر دو ضلع متوالی یک متوازی‌الاضلاع برابر با $$a $$ و $$ b $$ باشند، محیط آن برابر خواهد بود با:

$$ \large \boxed {P = 2 ( a + b ) } $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه محیط متوازی الاضلاع و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «محیط متوازی الاضلاع و محاسبه آن | به زبان ساده» مراجعه کنید.

ذوزنقه

ذوزنقه یکی از اشکال هندسی چهارضلعی است که دو ضلع آن‌ با هم موازی هستند. دو ضلع موازی ذوزنقه را قاعده می‌نامند و دو ضلع دیگر ساق‌های آن هستند. کوتاه‌ترین فاصله بین دو قاعده را ارتفاع‌ می‌نامند.

برای آشنایی ببیشتر با ذوزنقه، به مطلب «ذوزنقه چیست؟ | محاسبات و فرمول‌ها به زبان ساده (+فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مساحت ذوزنقه

اگر ارتفاع ذوزنقه را $$h $$ و قاعده‌های آن را $$ b_1 $$ و $$ b_2 $$ و ساق‌هایش را $$s_1$$ و $$s_ 2 $$ فرض کنیم، مساحت آن برابر خواهد بود با:

$$ \large \boxed {A = \frac 1 2 h ( b _ 1 + b _ 2 ) } $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت ذوزنقه و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «محاسبه مساحت ذوزنقه — به زبان ساده» مراجعه کنید.

محیط ذوزنقه

محیط ذوزنقه‌ای با قاعده‌های $$ b_1 $$ و $$ b_2 $$ و ساق‌های $$s_1$$ و $$s_ 2 $$ برابر است با:

$$\large \boxed {P=s_1 + b_ 1 + s _2 + b _ 2}$$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه محیط ذوزنقه و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «محیط ذوزنقه و محاسبه آن | به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

بیضی

بیضی یکی از اشکال هندسی و مقاطع مخروطی است که از تقاطع مخروط با صفحه‌ای که نسبت به قاعده مخروط زاویه دارد، ساخته می‌شود. در واقع، بیضی‌‌ مجموعه تمام نقاطی از صفحه است که مجموع فاصله آن‌ها از دو نقطه ثابت (که کانون نامیده می‌شوند) یک مقدار ثابت است. در شکل زیر، F و G کانون‌های بیضی هستند و P نقطه‌ای از مکان هندسی بیضی است.

در شکل زیر، $$a$$ قطر بزرگ و $$b$$ قطر کوچک بیضی هستند.

برای آشنایی بیشتر با بیضی، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «بیضی چیست ؟ | تعریف و مفاهیم به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مساحت بیضی

مساحت یک بیضی با قطر کوچک $$b$$ و قطر بزرگ $$ a $$ با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \boxed {A = \pi a b }$$

محیط بیضی

روش‌های مختلفی برای تقریب محیط بیضی وجود دارد. محیط تقریبی بیضی برابر است با:

$$\large \boxed {P = 2 \pi \sqrt {\frac {a^2+b^2}2} }$$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه محیط بیضی و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «محیط بیضی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.

n ضلعی

n ضلعی، همان‌گونه که از نامش پیداست، یکی از اشکال هندسی است که n ضلع دارد.

مساحت n ضلعی

مساحت یک n ضلعی با ارتفاع $$h$$ و طول ضلع $$a$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \boxed { A = \frac 12 n \times a \times h }$$

محیط n ضلعی

محیط یک n ضلعی به طول ضلع $$a$$ برابر است با:

$$\large \boxed { P = n \times a }$$

کره

کره یکی از اشکال هندسی سه‌بعدی گرد و متقارن حول یک نقطه است. همه نقاط سطح کره فاصله یکسانی از مرکز کره دارند. این فاصله شعاع نامیده می‌شود و در شکل زیر با $$r$$ مشخص شده است. قطر کره نیز پاره‌خطی است که از مرکز کره عبور کرده و دو نقطه از سطح کره را به یکدیگر وصل می‌کند.

مساحت سطح کره

مساحت سطح کره‌ای به شعاع $$r$$ برابر است با:

$$\large \boxed {S = 4 \pi r ^2 }$$

مساحت سطح کره‌ای به قطر $$d$$ به صورت زیر به دست می‌آید:‌

$$\large \boxed {S = \pi d ^2 }$$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت کره و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «مساحت کره و محاسبه آن | به زبان ساده» مراجعه کنید.

حجم کره

حجم کره‌ای با شعاع $$r$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:‌

$$\large \boxed { V = \dfrac { 4 } { 3 } \pi r ^ 3 } $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه حجم کره و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «حجم کره و محاسبه آن | به زبان ساده» مراجعه کنید.

مکعب مستطیل

مکعب مستطیل یکی از اشکال هندسی سه‌بعدی است که ۸ رأس، ۱۲ ضلع و ۶ وجه دارد. تمام وجه‌های روبه‌رو در مکعب مستطیل برابر هستند. همچنین، مکعب مستطیل دارای مقاطع مستطیلی است.

حجم مکعب مستطیل

حجم مکعب مستطیل شکل بالا به ارتفاع‌ $$h$$، طول $$ l $$ و عرض $$w $$ برابر است با:

$$\large \boxed {V = h \times w \times l }$$

مساحت مکعب مستطیل

مساحت سطح مکعب مستطیلی به ارتفاع‌ $$h$$، طول $$ l $$ و عرض $$w $$ برابر است با:‌

$$\large \boxed { S = 2 \times (w l + w h + l h ) }$$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت مکعب مستطیل و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «مساحت مکعب مستطیل و محاسبه آن | به زبان ساده» مراجعه کنید.

استوانه

استوانه یکی از اشکال هندسی سه‌بعدی است که دو دایره موازی و هم‌اندازه در بالا و پایین دارد. این دایره‌ها را قاعده می‌نامیم. فاصله بین دو قاعده را نیز ارتفاع می‌گوییم. اگر قاعده‌های بالا و پایین استوانه در یک راستا باشند، استوانه را قائم و اگر بر هم منطبق نباشند، استوانه را مایل می‌نامیم. شکل زیر استوانه مایل و قائم را نشان می‌دهد.

برای آشنایی بیشتر با استوانه، به مطلب «استوانه و مفاهیم آن در هندسه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.

استوانه زیر را داریم.

حجم استوانه

حجم استوانه‌ای با ارتفاع $$h$$ و شعاع قاعده $$r $$ برابر است با:

$$\large \boxed { V = \pi r ^ 2 h }$$

مساحت استوانه

اگر یک استوانه دارای ارتفاع $$h$$ و شعاع قاعده $$r $$ باشد، مساحت سطح آن به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \boxed { S = 2 \pi r h }$$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه مساحت استوانه و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «مساحت استوانه و محاسبه آن | به زبان ساده» مراجعه کنید.

مخروط

مخروط یکی از اشکال هندسی سه‌بعدی است که از سطح مقطع به آرامی یا به سرعت (بسته به سطح قاعده و ارتفاع) تا رأس باریک می‌شود. شکل زیر یک مخروط را نشان می‌دهد.

حجم مخروط

حجم مخروطی به شعاع قاعده $$r$$ و ارتفاع $$h$$، برابر است با:

$$\large \boxed { V = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h } $$

برای آشنایی بیشتر با محاسبه حجم مخروط و مثال‌های آن، پیشنهاد می‌کنیم به آموزش «حجم مخروط و محاسبه آن | به زبان ساده» مراجعه کنید.

مساحت سطح مخروط

مساحت سطح یک مخروط که شعاع قاعده آن $$r$$ و ارتفاعش $$h$$ است، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \boxed { S = \pi r (r + \sqrt {r ^ 2 + h ^ 2 })}$$

مخروط ناقص

شکل زیر یکی از اشکال هندسی به نام مخروط ناقص را نشان می‌دهد که تفاوت آن با مخرط کامل این است که قسمت بالای آن بریده و جدا شده است.

حجم مخروط ناقص

حجم یک مخروط ناقص با ارتفاع $$h$$، شعاع قاعده بالای $$r_ 2 $$ و شعاع قاعده پایین $$ r _ 1 $$ برابر است با:‌

$$\large \boxed { V = \frac 13 \pi h (r_1^2 + r _ 1 r_ 2 + r _ 2 ^ 2 )}$$

مساحت سطح مخروط ناقص

حجم یک مخروط ناقص با طول شیب $$s$$، شعاع قاعده بالای $$r_ 2 $$ و شعاع قاعده پایین $$ r _ 1 $$ برابر است با:‌

$$\large \boxed { S = \pi \times (r_ 1 + r_ 2 ) \times s }$$

منشور

منشور یکی از اشکال هندسی فضایی است که دو وجه از وجه‌های آن مشابه هستند و به آن‌ها قاعده می‌گوییم. قاعده‌های منشور می‌توانند اشکال هندسی مسطح مانند مثلث، مربع، مستطیل یا هر چندضلعی دیگری باشند. وجوه دیگر منشور مستطیل یا متوازی‌الاضلاع هستند. دقت کنید که قاعده‌های منشور انحنا ندارند و باید چندضلعی باشند.

برای آشنایی بیشتر با منشور، به مطلب «آشنایی با منشور و محاسبات آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.

حجم منشور

حجم منشوری به طول $$l$$ و قاعده $$b$$ و ارتفاع قاعده $$h$$ برابر است با:

$$\large \boxed { V = \frac 13 l w h }$$

برای آشنایی بیشتر با روش محاسبه حجم منشور، به مطلب «حجم منشور و فرمول محاسبه آن — به زبان ساده» مراجعه کنید.

مساحت منشور

مساحت سطح منشوری به طول $$l$$ و قاعده $$b$$ و ارتفاع قاعده $$h$$ برابر است با:

$$\large \boxed { S = 3 b l + b h }$$

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

برای آشنایی بیشتر با مباحث اشکال هندسی، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این آموزش ویدیویی که مدت زمان آن ۴ ساعت و ۳ دقیقه است، شامل چهار درس می‌شود.

در درس اول این آموزش، موضوعات ترسیم‌های هندسی و استدلال بیان شده‌اند. مباحث درس دوم، به قضیه تالس و تشابه مثلث‌ها و کاربردهای آن‌ها اختصاص یافته است. در درس سوم، مباحث مربوط به چندضلعی‌ها و ویژگی‌هایی از آن‌ها و همچنین، مساحت و کاربردهای آن مورد بیان شده است. در نهایت، موضوع درس چهارم، تجسم فضایی است که خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر تجسمی را شامل می‌شود.

• برای مشاهده فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) + اینجا کلیک کنید.

برای یادگیری اشکال مختلف هندسی و محاسبه محیط، مساحت و حجم آن‌ها، توصیه می‌کنیم آموزش‌های مجله فرادرس را که در این زمینه تهیه شده‌اند، مطالعه کنید: