بردار یکه — به زبان ساده

۱۷۷۴۷ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۴ آبان ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۵ دقیقه
بردار یکه — به زبان ساده

بردار یکه دقیقاٌ در جواب سوال «میدان هفت‌تیر کجاست؟» نهفته است. اگر در جواب بشنوید که «۵۰۰ متر برو»، به طور یقین با خود تصور می‌کنید که یا فرد پاسخ‌دهنده سوال شما را متوجه نشده است یا علاقه‌ای به دادن پاسخ صحیح به سوال شما ندارد. چه چیز در این جواب برای شما عجیب است؟ جهت! در سوالی که شما پرسیده‌اید، باید بدانید نیاز است در کدام جهت حرکت کنید. این همان چیزی است که در فرمول‌نویسی ریاضیات و فیزیک برای تعریف کمیت‌های برداری استفاده ‌می‌شود و توسط بردار یکه مشخص می‌شود. در این مطلب بردارهای یکه و ویژگی آن‌ها را مطالعه می‌کنیم.

بردار یکه چیست؟

بردار یکه، برداری با طول ۱ است و می‌تواند در هر راستایی باشد. به طور معمول $$\hat{i}$$ (معمولاٌ آی هت (کلاه) خوانده می‌شود) بردار یکه در راستای $$x$$، $$\hat{j}$$ بردار یکه در راستای $$y$$ و $$\hat{k}$$ بردار یکه در راستای $$z$$ است.

گاهی بردارها به طول یکه خودشان نرمالیزه می‌شوند، ولی در هدف بردار یکه که مشخص کردن جهت بردار است، تغییری ایجاد نمی‌شود. برای بردار دلخواه $$\overrightarrow{V}$$ بردار یکه برابر است با:

$$\large \hat{V} = \frac{\overrightarrow{V}}{\left\|\overrightarrow{V}\right\|}$$

طول این بردار برابر با ۱ و هم جهت با بردار $$\overrightarrow{V}$$ است.

مثال: شکل زیر را در نظر بگیرید:

بردارهای یکه
شکل ۱: بردار $$\overrightarrow{OA}$$ در دو بعد نمایش داده شده است.

بردار یکه $$\overrightarrow{OA}$$ در شکل (۱) را محاسبه کنید.

حل: نمایش $$\overrightarrow{OA}$$ توسط سه بردار یکه مرسوم به صورت زیر است:

$$\large \overrightarrow{OA}=3\hat{i}+3\hat{j}$$

برای محاسبه طول بردار از مبحث محاسبات مربوط به بردار استفاده می‌کنیم و داریم:

$$\large |OA|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}$$

در نتیجه داریم:

$$\large |\hat{OA}|=(\frac{1}{\sqrt{18}})\ 3\hat{i}+3\hat{j}$$

که طول این بردار برابر با $$1$$ است.

کاربردهای بردار یکه

فرض کنید بردار مکان یک ذره به صورت زیر نوشته شود:

$$\large \overrightarrow{r}=2\hat{i}-4\hat{j}+3\hat{k}$$

رابطه بالا بیان می‌کند که طول $$\overrightarrow{r}$$ در راستای $$x$$ها ۲ متر، در راستای $$y$$های منفی ۴ متر و در راستای $$z$$ها ۳ متر است. در بعضی کتاب‌های مرجع به جای $$(\hat{i},\hat{j},\hat{k})$$ از $$(\hat{x},\hat{y},\hat{z})$$ یا $$(e_{x},e_{y},e_{z})$$ استفاده می‌شود. در حقیقت در رابطه بالا بردار $$\overrightarrow{r}$$ توسط سه بردار یکه معرفی شده است.

بردارهای یکه
شکل 2: سه بردار یکه مرسوم در این شکل با $$\hat{x}$$، $$\hat{y}$$ و $$\hat{z}$$ نمایش داده شده‌اند.

جمع و ضرب بردارهای یکه

بردارهای یکه دستگاه مختصات بر یکدیگر عمود هستند، در نتیجه ضرب داخلی یا ضرب نقطه‌ای (.) بردارهای یکه هم‌نام برابر با ۱ و برای بردارهای یکه غیر هم‌نام صفر است، یعنی داریم:

$$\large{\displaystyle \mathbf {\color {blue}{\hat{i}}} .\mathbf {\color {blue}{\hat{i}}} =\mathbf {\color {red}{\hat{j}}}. \mathbf {\color {red}{\hat{j}}} =\mathbf {\color {green}{\hat{k}}} . \mathbf {\color {green}{\hat{k}}} =\mathbf {1} }$$

$$\large{\displaystyle \mathbf {\color {blue}{\hat{i}}} .\mathbf {\color {red}{\hat{j}}} =\mathbf {\color {red}{\hat{j}}}. \mathbf {\color {green}{\hat{k}}} =\mathbf {\color {green}{\hat{k}}} . \mathbf {\color {blue}{\hat{i}}} =\mathbf {0} }$$

در نتیجه ضرب داخلی دو بردار $$\overrightarrow{V}$$ و $$\overrightarrow{W}$$ برابر است با:

$$\large \begin{aligned} \overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{W} &= (v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k}) \cdot (w_x \hat{i} + w_y \hat{j} + w_z \hat{k}) \\ &= v_x w_x \hat{i} \cdot \hat{i} + v_y w_y \hat{j} \cdot \hat{j} + v_z w_z \hat{k} \cdot \hat{k} \\ &= v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z \end{aligned}$$

ضرب خارجی برای بردارهای یکه عکس ضرب داخلی عمل می‌کند، بدین معنا که ضرب خارجی بردارهای یکه هم‌نام برابر با صفر و مقدار ضرب خارجی بردارهای یکه غیرهم‌نام ۱ است، همچنین جهت بردار حاصل با توجه به رابطه حاکم بر ضرب خارجی بردارها مشخص می‌شود. در حقیقت داریم:

$$\large{\displaystyle \mathbf {\color {blue}{\hat{i}}} \times \mathbf {\color {blue}{\hat{i}}} =\mathbf {\color {red}{\hat{j}}} \times \mathbf {\color {red}{\hat{j}}} =\mathbf {\color {green}{\hat{k}}} \times \mathbf {\color {green}{\hat{k}}} =\mathbf {0} }$$

$$\large{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{\hat{i}}} &\times \mathbf {\color {red}{\hat{j}}} &&=\mathbf {\color {green}{\hat{k}}} \\\mathbf {\color {red}{\hat{j}}} &\times \mathbf {\color {green}{\hat{k}}} &&=\mathbf {\color {blue}{\hat{i}}} \\\mathbf {\color {green}{\hat{k}}} &\times \mathbf {\color {blue}{\hat{i}}} &&=\mathbf {\color {red}{\hat{j}}} \end{alignedat}}}$$

در مورد جمع دو بردار که توسط بردارهای یکه خود نمایش داده می‌شوند، باید گفت که تنها مقدار بردارهای یکه هم‌نام با یکدیگر جمع می‌شوند و بردارهای یکه غیرهم‌نام اثری روی یکدیگر ندارند. بدین ترتیب برای دو بردار $$\overrightarrow{V}$$ و $$\overrightarrow{W}$$ داریم:

$$\large \overrightarrow{V}+\overrightarrow{W}= (v_x \hat{i} + v_y \hat{j} + v_z \hat{k}) + (w_x \hat{i} + w_y \hat{j} + w_z \hat{k}) = (v_x + w_x) \hat{i} + (v_y + w_y) \hat{j} + (v_z + w_z) \hat{k}$$

تجزیه بردارها به بردار یکه

اگر اندازه یک بردار و زاویه بردار با یکی از محورهای مختصات را داشته باشیم، می‌توانیم بردار را با استفاده از روابط مثلثاتی به بردارهای یکه تجزیه کنیم.

یک بردار دو بعدی به طول $$|a|$$ را که با محور افقی زاویه $$\theta$$ می‌سازد، در نظر بگیرید:

تجزیه بردار دو بعدی
شکل ۳: تجزیه بردار دو بعدی.

برای تجزیه این بردار در راستای بردار یکه‌های مرسوم یعنی $$\hat{i}$$ و $$\hat{j}$$ داریم:

$$\large \overrightarrow{a}=a_{x}\hat{i}+a_{y}\hat{j}$$

که

$$\large a_{x}=|a|\cos\theta$$
$$\large a_{y}=|a|\sin\theta$$

اگر مانند شکل زیر بردار سه بعدی باشد، مولفه‌های آن در سه بعد به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

تجزیه بردار سه بعدی.
شکل ۴: تجزیه بردار سه بعدی.

$$\large \overrightarrow{a}=a_{x}\hat{i}+a_{y}\hat{j}+a_{z}\hat{k}$$

که در رابطه بالا $$(a_{x},a_{y},a_{z})$$ برابر هستند با:

$$\large a_{x}=|a|\cos\alpha=|a|\sin\theta\cos\phi$$
$$\large a_{y}=|a|\cos\beta=|a|\sin\theta\sin\phi$$
$$\large a_{z}=|a|\cos\gamma=|a|\cos\theta$$

زوایای $$\theta$$ و $$\phi$$ که در شکل (۴) نیز مشخص شده‌اند برابر هستند با:

$$\large \theta=\cos^{-1}(\frac{z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}})$$

$$\large \phi=\tan^{-1}\frac{a_{y}}{a_{x}}$$

باید این نکته را به خاطر داشت که در تجزیه سه‌بعدی بردارها $$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)=1$$ است. برای درک بیشتر این موضوع به حل یک مثال می‌پردازیم.

مثال: بردار مکان $$a$$ در سه بعد، با طول ۴ متر با محورهای $$x$$ و $$y$$ زاویه یکسان و برابر با ۶۰ درجه می‌سازد. $$\overrightarrow{a}$$ را بر حسب بردارهای یکه آن بنویسید.

حل: با توجه به رابطه $$\cos^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\beta)+\cos^{2}(\gamma)=1$$، مقدار زاویه سوم را می‌توان به دست آورد و داریم:

$$\large \cos\gamma=\sqrt{1-(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta)}$$
$$\large\rightarrow \cos\gamma =\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$

در نتیجه:

$$\large a_{x}=|a|\cos\alpha=2\ (m)$$
$$\large a_{y}=|a|\cos\beta=2\ (m)$$
$$\large a_{z}=|a|\cos\gamma=2\sqrt{2}\ (m)$$

نمایش برداری مکان بر حسب بردارهای یکه به صورت زیر خواهد بود:

$$\large \overrightarrow{a}=2\hat{i}+2\hat{j}+2\sqrt{2}\hat{k}$$

بردارهای یکه در دستگاه مختصات قطبی، کروی و استوانه‌ای

آنچه تا اینجا گفته شد، بردارهای یکه در دستگاه مختصات کارتزین بود. سوالی که مطرح می‌شود این است که این بردارها در دستگاه‌های مختصات دیگر چگونه هستند و چه شکلی دارند.

دستگاه مختصات قطبی

دستگاه مختصات قطبی از دو مولفه $$r$$ و $$\theta$$ تشکیل شده است. بردارهای یکه این دستگاه مختصات با $$\hat{r}$$ و $$\hat{\phi}$$ نمایش داده می‌شوند. رابطه بردارهای یکه بین دستگاه کارتزین و مختصات قطبی به صورت زیر نوشته می‌شود:

دستگاه مختصات قطبی
شکل ۵: دستگاه مختصات قطبی.

$$\large \hat{r}=\cos\phi\ \hat{x}+\sin\phi\ \hat{y}$$

$$\large \hat{\phi}=-\sin\phi\ \hat{x}+\cos\phi\ \hat{y}$$

دستگاه مختصات کروی

همان طور که از تجزیه بردارهای سه بعدی نیز دیدیم، هندسه دستگاه‌های مختصات سه‌بعدی کمی پیچیده‌تر است. البته اگر شما تجسم فضایی خوبی داشته باشید این موضوع به راحتی قابل بررسی است.

دستگاه مختصات کروی و بردارهای یکه آن
شکل ۶: دستگاه مختصات کروی و بردارهای یکه آن.

در شکل (۶) بردارهای یکه برای مختصات کروی نشان داده شده است. به این ترتیب برای مثال بردار $$a$$ در مختصات کروی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\large \overrightarrow{a}=a_{r}\hat{r}+a_{\theta}\hat{\theta}+a_{\phi}\hat{\phi}$$

$$(\hat{r},\hat{\theta},\hat{\phi})$$ در معادله بالا، در شکل به صورت $$(e_{r},e_{\theta},e_{\phi})$$ نمایش داده شده‌اند. مانند مختصات قطبی، برای تبدیل بردارهای یکه از مختصات کروی به کارتزین از ماتریس زیر استفاده می کنیم:

$$\large {{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat{x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}}$$

دستگاه مختصات استوانه‌ای

یک بردار در مختصات استوانه‌ای دارای سه مولفه $$(\rho, \phi, z)$$ است، که در شکل زیر نمایش داده شده است.

دستگاه مختصات استوانه ای به همراه بردارهای یکه
شکل ۷: دستگاه مختصات استوانه‌ای و بردارهای یکه آن.

بردارهای یکه در مختصات استوانه‌ای به صورت $$(\hat{\rho}, \hat{\phi},\hat{z})$$ یا $$(e_{\rho},e_{\phi},e_{z})$$ نمایش داده می‌شوند. برای تبدیل بردارهای یکه از دستگاه مختصات استوانه‌ای به کارتزین از ماتریس زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large {\displaystyle{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$$

حاصلضرب داخلی بردارهای یکه در دو دستگاه مختصات مختلف را می‌توان توسط دو جدول زیر محاسبه کرد:

جدول ۱: بردارهای یکه دستگاه مختصات کروی بر حسب دستگاه مختصات کارتزین.

جدول دستگاه کروی بر حسب کارتزین

جدول ۲: بردارهای یکه دستگاه مختصات استوانه‌ای بر حسب بردارهای یکه دستگاه مختصات کارتزین.

ردارهای یکه دستگاه مختصات استوانه ای بر حسب دستگاه مختصات کارتزین

به راحتی می‌توان دید که برای مثال از جدول اول $$\hat{x}.\hat{r}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$$ است و یا از جدول دوم $$\hat{\phi}.\hat{y}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$$ است. این روابط نشان می‌دهند که می‌توان به راحتی بین دستگاه‌های مختصات جابه‌جا شد.

بر اساس رای ۶۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
RILLIANTDr. M. Negahban Socratic Q&AStackExchangeDr. Daniel FleischWolframeMathWorldUNIVERSITY OF DELAWARE
۴ دیدگاه برای «بردار یکه — به زبان ساده»

تشخیص جهت بردار نرمال چجوریه؟؟

کاربرد بردار یکه در مهندسی عمران چیست؟؟

سلام چرا بردار های یکه در دستگاه مختصات بر هم عمودند

سلام لطفا فیلم هم تهیه کنید…

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *