ساده کردن رادیکال ها – به زبان ساده با مثال و تمرین

۱۶۴۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۴ دی ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۲۶ دقیقه
دانلود PDF مقاله
ساده کردن رادیکال ها – به زبان ساده با مثال و تمرینساده کردن رادیکال ها – به زبان ساده با مثال و تمرین

«رادیکال» (Radical) یکی از مهم‌ترین ابزارهای جبری در ریاضیات است که کاربرد گسترده‌ای در انجام محاسبات عددی دارد. گاهی در محاسبات خود با عبارت‌های پیچیده‌‌ای شامل چندین رادیکال یا ترکیب رادیکال با کسرها یا ضرب و تقسیم رادیکال‌ها مواجه ‌می‌شویم. در این موارد نیاز است با بکار بردن روش‌های خاصی، به ساده کردن رادیکال ها بپردازیم.

997696

در این مطلب از مجله فرادرس ابتدا توضیح می‌دهیم که منظور ما از ساده کردن رادیکال ‌ها چیست. در ادامه پس از اینکه مفهوم رادیکال و قوانین حاکم بر آن را توضیح دادیم، چهار عمل اصلی یعنی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم رادیکال‌ها را بررسی می‌کنیم و با ارائه تعداد زیادی مثال، نشان می‌دهیم که روند ساده کردن رادیکال ها در این بخش‌ها چگونه است. به‌علاوه نحوه گویا کردن مخرج کسرهای رادیکالی و همچنین مثال‌هایی از رادیکال به توان دو و رادیکال زیر رادیکال را توضیح می‌دهیم. یکی دیگر از روش‌های ساده کردن رادیکال این است که فرجه رادیکال را تغییر دهیم. بنابراین در یک بخش به توضیح این موضوع با حل مثال پرداخته‌ایم. در تمام بخش‌های این مطلب، تعدادی تمرین در قالب سوالات چهار گزینه‌ای نیز برای شما در نظر گرفته شده است تا بتوانید میزان یادگیری خود را در هر بخش بسنجید. به این ترتیب، با مطالعه و حل مثال‌‌های متنوع در این آموزش می‌توانید به فرآیند ساده کردن رادیکال‌ کاملا مسلط شوید.

ساده کردن رادیکال

فرض کنید می‌خواهید یک عبارت پیچیده جبری که شامل رادیکال است را ساده کنید. ساده کردن رادیکال ها به این معنا است که بهتر است جواب نهایی ما به‌صورت یکی از موارد زیر باشد:

  • رادیکالی که دیگر نتوانیم آن را به یک عدد صحیح تبدیل کنیم.
  • عدد زیر رادیکالی که شامل هیچ فاکتور یا مولفه‌ای از ریشه کامل نباشد.
  • در عبارت نهایی یا پاسخ خود، عدد اعشاری نداشته باشیم.

توضیحی که در مورد دومین مورد وجود دارد این است که در ساده کردن رادیکال ها بهتر است هر عدد زیر رادیکال را به شکل حاصل‌ضرب چند فاکتور یا مولفه بازنویسی کنیم، طوری که تا حد امکان یکی از این مولفه‌ها یا فاکتورها ریشه کامل داشته باشد. برخی از ریشه‌های کامل در جدول زیر به‌صورت خلاصه بیان شده‌اند:

مربع کاملمکعب کامل
22=42^2 = 423=82^3 = 8
32=93^2 = 933=273^3 = 27
52=255^2 = 2553=1255^3 = 125
72=497^2 = 4973=3437^3 = 343
92=819^2 = 8193=7299^3 = 729

می‌دانیم توان دوم یا ضرب عدد در خودش معادل است با مربع کامل و توان سوم یا سه بار ضرب کردن یک عدد در خودش معادل است با مکعب کامل آن عدد. به این ترتیب اعداد با ریشه کامل به اعداد صحیح خارج از رادیکال تبدیل شده و تمام اعدادی که زیر رادیکال باقی می‌مانند، در ساد‌ه‌ترین حالت خود خواهند بود.

در مورد سومین مورد نیز باید توجه کنیم زمانی که ریشه دوم یک عدد را محاسبه می‌کنیم، همیشه حاصل برابر با یک عدد صحیح و بدون اعشار نخواهد بود. برای مثال اگر ریشه دوم عدد 88 را در ماشین‌ حساب بزنید، عددی به‌صورت 2.82842712 ...2.82842712 \ ... می‌گیریم که می‌توان آن را گرد کرد و به فرم یک عدد صحیح نوشت. اما باید دقت کنید در ساده کردن رادیکال‌ ها نمی‌توانیم با گرد کردن حاصل رادیکال، آن را به شکل یک عدد صحیح بنویسیم.

رادیکال چیست؟

برای اینکه در ساده کردن رادیکال ها موفق‌تر عمل کنیم، ابتدا باید درک درستی از تعریف رادیکال داشته باشیم. رادیکال در ریاضیات با نماد \sqrt{} نمایش داده می‌شود و  مفهوم آن عکس مفهوم «توان» (Exponent) است. بسته به اینکه عدد پشت رادیکال چه مقداری است، از رادیکال برای محاسبه ریشه دوم، سوم و به همین ترتیب تا ریشه nام یک عدد می‌توان استفاده کرد.

به عدد پشت رادیکال، «درجه یا فرجه رادیکال» گفته می‌شود. فرجه رادیکال نشان می‌دهد که یک عدد چند مرتبه در خودش ضرب می‌شود تا عدد زیر رادیکال حاصل شود.

تصویری از یک عبارت زیر رادیکال - ساده کردن رادیکال ها

بنابراین رایکال یک عدد معادل است با ریشه nام آن عدد. در حقیقت این ریشه می‌تواند ریشه مربعی، مکعبی یا در حالت کلی، ریشه nام آن عدد باشد. برای مثال ریشه سوم 125125 را با 1253\sqrt[3]{125} نشان می‌دهیم که برابر است با 1253=5\sqrt[3]{125} = 5. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، این عبارت دقیقا عکس عبارت 5×5×5=53=1255\times5\times5=5^3=125 یا مفهوم توان سوم عدد 55 است.

پس عبارت an\sqrt[n]{a} به معنای ریشه nام عدد aa است که معمولا به‌صورت aa رادیکال nn خوانده می‌شود. 52, 103, 10554\sqrt[2]{5}, \ \sqrt[3]{10}, \ \sqrt[4]{1055} چند نمونه عدد رادیکالی هستند. اما همیشه زیر نماد رادیکال فقط عدد نداریم. برای مثال ممکن است یک معادله یا نامساوی ریاضیاتی زیر رادیکال داشته باشیم. در این صورت چنین معادله‌ای را معادله رادیکالی می‌نامیم. همچنین ممکن است یک عبارت جبری بر حسب چند متغیر مختلف زیر رادیکال داشته باشیم. در بخش بعد مروری داریم بر قوانین کلی حاکم بر رادیکال‌ها.

قوانین کلی حاکم بر رادیکال ها

بخش مهم دیگری که لازم است در روند ساده کردن رادیکال ها بدانیم، قوانین کلی حاکم بر محاسبات و بررسی رادیکال‌ها است. در ادامه این قوانین بیان شده است:

    1. اگر عدد زیر رادیکال مثبت باشد، حاصل رادیکال هم عددی مثبت است (273=3\sqrt[3]{27} = 3).
    2. اگر عدد زیر رادیکال منفی و فرجه رادیکال عدد فردی باشد، حاصل رادیکال هم عددی منفی است (273=3\sqrt[3]{-27} = -3).
    3. اگر عدد زیر رادیکال منفی و فرجه رادیکال عدد زوجی باشد، حاصل رادیکال یک عدد حقیقی نخواهد بود (812\sqrt[2]{-81} = موهومی).
    4. اگر فرجه رادیکال نوشته نشده باشد، منظور ریشه دوم است (22=222\sqrt{22} = \sqrt[2]{22}).
    5. ضرب دو عدد رادیکالی مجزا با فرجه یکسان معادل است با ضرب آن دو عدد زیر یک رادیکال و با همان فرجه (123×103=1203\sqrt[3]{12} \times\sqrt[3]{10} =\sqrt[3]{120}).
    6. تقسیم دو عدد رادیکالی مجزا با فرجه یکسان معادل است با تقسیم دو عدد زیر یک رادیکال و با همان فرجه (84=84\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}}).
    7. امکان شکستن یک عدد رادیکالی به دو عدد رادیکالی با همان فرجه وجود دارد (27=9×3\sqrt{27} = \sqrt{9} \times \sqrt{3}).
    8. امکان نوشتن یک عدد رادیکالی به فرم توانی در معادلات وجود دارد (x=25(x)2=(25)2\sqrt{x} = 25 \Rightarrow (\sqrt{x})^2 = (25)^2).
    9. هر عدد زیر رادیکال با توان mm و فرجه nn معادل است با همان عدد به توان  mn\frac{m}{n}، یعنی داریم amn=amn\sqrt[n]{a^m} = a^ {\frac{m}{n} }.
    10. قانون نهم را می‌توانیم به شکل amn=amn=(an)ma^ {\frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a^m} = ( \sqrt[n]{a} )^m هم در نظر بگیریم.

در ادامه این نوشته خواهید دید که چگونه می‌توانیم از این قوانین در ساده کردن رادیکال‌ ها استفاده کنیم. فرض کنید بخواهیم یک معادله رادیکالی را حل کنیم. عموما اولین کاری که می‌کنیم این است که رادیکال را حذف کنیم تا محاسبات ساده‌تر انجام شود. برای اینکه رادیکال را از یک عبارت رادیکالی با فرجه nn حذف کنیم، باید طرفین معادله را به توان nn برسانیم. برای نمونه، معادله ساده زیر را در نظر بگیرید:

xn=p\sqrt[n]{x} = p

از آخرین قانونی که گفتیم استفاده می‌کنیم و معادله بالا را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

xn=x1nx1n=p\sqrt[n]{x} = x ^{\frac{1}{n}} \Rightarrow x ^{\frac{1}{n}} = p

حالا با به توان nn رساندن طرفین خواهیم داشت:

(x1n)n=pn\Rightarrow (x ^{\frac{1}{n}})^n = p^n

x=pn\Rightarrow x = p^n

چگونه ساده کردن رادیکال ها را با فرادرس بهتر بیاموزیم؟

مبحث رادیکال در اغلب کتاب‌های ریاضی متوسطه وجود دارد. در این بخش لیستی از فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس را به شما معرفی کرده‌ایم که به ‌ترتیب از پایه هفتم تا پایه دوازدهم به توضیح مطالب کتاب‌های درسی پرداخته‌اند. این دوره‌های آموزشی که بر اساس سرفصل‌های کتاب‌های درسی طراحی شده‌اند، شامل مباحث پایه‌ برای یادگیری مفهوم و قوانین حاکم بر ساده کردن رادیکال ها مانند توان و جذر در ریاضی پایه هفتم تا ساده کردن معادلات رادیکالی در ریاضی پایه یازدهم رشته علوم تجربی است:

تصویری از مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست فرادرس
برای دسترسی به مجموعه فیلم آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور همراه با تمرین، حل مثال و تست در فرادرس، روی عکس کلیک کنید.
  1. فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس
  2. فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
  3. فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس
  4. فیلم آموزش ریاضی پایه دهم فرادرس
  5. فیلم آموزش ریاضی پایه یازدهم علوم تجربی فرادرس

ضرب و تقسیم رادیکال‌ها

در ادامه یادگیری نحوه ساده کردن رادیکال ها، در این بخش و بخش بعدی چهار عمل اصلی یعنی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم رادیکال‌ها را بررسی می‌کنیم تا ببینیم چگونه می‌توان در حین انجام این عملیات رادیکال‌های داده شده را ساده‌تر کرد. ابتدا ضرب و تقسیم چند عبارت رادیکالی را در این بخش بررسی می‌کنیم و در بخش بعد به جمع و تفریق رادیکال‌ها خواهیم پرداخت. برای شروع، باید ببینیم قاعده ضرب و تقسیم رادیکال‌ها چیست.

اگر a‌a و bb دو عدد حقیقی و مثبت باشند که در هم ضرب شده و هر دو زیر یک رادیکال مشابه قرار دارند، چنین عبارتی معادل است با حاصل‌ضرب هر کدام از اعداد رادیکالی an‌\sqrt[n]{a} ‌ و bn‌\sqrt[n]{b} ‌ با فرجه‌ای مشابه با فرجه رادیکال اولیه، یعنی داریم:

abn=anbn‌\sqrt[n]{ab}= ‌\sqrt[n]{a} ‌\sqrt[n]{b}

در رابطه بالا n‌n ‌ همواره یک عدد صحیح و مثبت به شکل n2‌n \geq 2 ‌ است. در مورد تقسیم اعداد رادیکالی نیز قاعده مشابهی برقرار است:

abn=anbn‌\sqrt[n]{\frac{a}{b}}= ‌\frac{\sqrt[n]{a}}{ ‌\sqrt[n]{b}}

در ادامه با حل چند مثال و تمرین این دو قاعده را بهتر متوجه خواهید شد. همچنین در مورد ضرب و تقسیم رادیکال‌ها، خاصیت توزیع‌پذیری برقرار است، به این معنا که اگر یک فاکتور عددی خارج از یک پرانتز حاوی چند عدد رادیکالی داشته باشیم، این فاکتور عددی در تک تک جملات عبارت رادیکالی ضرب می‌شود:

a(b+c)=ab+aca ( \sqrt{b}+ \sqrt{c}) =a \sqrt{b} + a \sqrt{c}

مثال ۱

حاصل‌ضرب دو عبارت رادیکالی زیر در ساده‌ترین حالت ممکن چقدر می‌شود؟

514 . 46-5\sqrt{14} \ . \ 4\sqrt{6}

پاسخ

با توجه به اینکه فرجه هر دو عدد رادیکالی مشابه است، پس می‌توانیم آن‌ها را به‌صورت زیر بنویسیم:

5×4×14×6-5 \times 4 \times\sqrt{14 \times 6}

همچنین می‌دانیم که در ضرب چند عدد، امکان جابجایی اعداد به شکل بالا وجود دارد:

2084-20 \sqrt{84}

این عدد را می‌توان ساد‌ه‌تر کرد. چون در سوال ساده‌ترین جواب خواسته شده است، پس با شکستن عدد 8484 به‌صورت زیر خواهیم داشت:

2084=204×21=204×21=4021-20 \sqrt{84} = -20 \sqrt{4 \times 21} = -20 \sqrt{4 } \times \sqrt{21} = -40 \sqrt{21}

مشخص است که جواب نهایی از این ساده‌تر نخواهد شد.

مثال ۲

جواب نهایی 2183 . 61532 \sqrt[3]{18} \ . \ 6 \sqrt[3]{15} چقدر است؟

پاسخ

باز هم فرجه دو عدد رادیکالی مشابه هم است. پس می‌توانیم آن‌ها را زیر یک رادیکال قرار داده و در هم ضرب کنیم. همچنین ضرایب هر دو نیز در هم ضرب خواهند شد:

2183 . 6153=2×6×18×1532 \sqrt[3]{18} \ . \ 6 \sqrt[3]{15}= 2\times6 \times \sqrt[3]{18 \times15}

12 270312 \ \sqrt[3]{270}

می‌توانیم این عدد را ساده‌تر کنیم. با در نظر گرفتن اینکه فرجه رادیکال 33 است، باید عدد زیر رادیکال را به اعدادی بشکنیم که یکی از آن‌ها ریشه سوم کاملی داشته باشد:

12 2703=12 27×103=12 273×103=3610312 \ \sqrt[3]{270} = 12 \ \sqrt[3]{27\times10} = 12 \ \sqrt[3]{27} \times\sqrt[3]{10}=36 \sqrt[3]{10}

مثال ۳

حاصل‌ضرب 8x25 . 4x35\sqrt[5]{8x^2} \ . \ \sqrt[5]{4x^3}  را به‌دست آورده و تا حد امکان ساده کنید:

پاسخ

فرجه هر دو رادیکالی که در هم ضرب شده‌اند برابر است با 5‌5. پس طبق قاعده ضرب رادیکال‌ها، می‌توانیم عبارت‌های جبری زیر دو رادیکال را در هم ضرب کنیم:

8x25 . 4x35=8x2×4x35\sqrt[5]{8x^2} \ . \ \sqrt[5]{4x^3} = \sqrt[5]{8x^2 \times 4x^3}

حالا با ضرب کردن ضرایب عددی در هم و ضرب کردن دو عبارت جبری بر حسب x‌x در هم، خواهیم داشت:

8x2×4x35=32x55\sqrt[5]{8x^2 \times 4x^3} =\sqrt[5]{32 x^5 }

می‌دانیم در ضرب دو عبارت توانی با پایه‌های مشابه و توان‌های مختلف، حاصل برابر است با پایه مشترک و مجموع توان‌ها. بنابراین توا‌ن‌های x‌x در محاسبات بالا با هم جمع شده‌اند. با توجه به اینکه توان x‌x با فرجه رادیکال یکی شده است، می‌توانیم آن را از زیر رادیکال خارج کنیم. همچنین در مورد عدد 3232 هم می‌دانیم که 325=2\sqrt[5]{32} =2 برقرار است. پس جواب نهایی برابر است با:

32x55=2x\sqrt[5]{32 x^5 } = 2x

مثال ۴

با ساده کردن رادیکال 76(310515)7\sqrt{6} ( 3\sqrt{10} - 5\sqrt{15}) به چه عبارتی می‌رسید؟

پاسخ

در این سوال باید از خاصیت توزیع‌پذیری در ضرب رادیکال‌ها به گونه‌ای که توضیح دادیم، استفاده کنیم. پس ابتدا عددی که خارج از پرانتز است را در هر کدام از جملات داخل پرانتز ضرب می‌کنیم:

76(310515)=76 . 31076 . 5157\sqrt{6} ( 3\sqrt{10} - 5\sqrt{15}) = 7\sqrt{6} \ . \ 3\sqrt{10} - 7\sqrt{6} \ . \ 5\sqrt{15}

حالا با ضرب کردن اعداد ساده در هم و ضرب کردن اعداد رادیکالی در هم، خواهیم داشت:

76 . 31076 . 515=216035907\sqrt{6} \ . \ 3\sqrt{10} - 7\sqrt{6} \ . \ 5\sqrt{15} = 21 \sqrt{60} - 35 \sqrt{90}

توجه کنید که عبارت جبری بالا شامل دو جمله است. پس در ضرب کردن مقادیر عددی و رادیکال‌ها باید فقط فاکتورهایی که در همان جمله هستند را در نظر بگیریم. مثلا نمی‌توانیم ضریب عددی 55 را در ضریب عددی 33 ضرب کنیم، چون این دو ضریب برای دو جمله هستند. حاصل عبارت بالا را می‌توانیم با شکستن اعداد زیر رادیکال ساد‌ه‌تر کنیم:

21603590=214×15359×1021 \sqrt{60} - 35 \sqrt{90} = 21 \sqrt{4\times15} - 35 \sqrt{9\times10}

214×15359×10=42151051021 \sqrt{4\times15} - 35 \sqrt{9\times10} = 42 \sqrt{15} - 105 \sqrt{10}

مثال ۵

دو عبارت رادیکالی زیر را که به شکل داده شده بر هم تقسیم شده‌اند، ساده کنید:

‌‌44y6a49y2a8‌‌ \frac{\sqrt{44y^6a^4}}{\sqrt{9y^2a^8}}

پاسخ

از قاعده تقسیم رادیکال‌ها استفاده می‌کنیم و دو رادیکال داده شده که فرجه یکسانی دارند را به یک رادیکال به شکل زیر تبدیل می‌کنیم:

‌‌44y6a49y2a8=44y6a49y2a8‌‌ \frac{\sqrt{44y^6a^4}}{\sqrt{9y^2a^8}} = \sqrt \frac{44y^6a^4}{9y^2a^8}

حالا می‌توانیم با توجه به قواعد تقسیم اعداد توان‌‌دار، کسر زیر رادیکال را ساده کنیم. همچنین با شکستن اعداد زیر رادیکال این امکان وجود دارد که بتوانیم برخی فاکتورها را از زیر رادیکال خارج کنیم:

‌‌44y6a49y2a8=44y49a4=4×11×y49a4‌‌ \sqrt \frac{44y^6a^4}{9y^2a^8} = \sqrt \frac{44y^4}{9a^4} = \sqrt \frac{4\times 11 \times y^4}{9a^4}

می‌دانیم ‌‌9a4=3a2‌‌ \sqrt {9a^4} =3a^2. پس داریم:

‌‌4×11×y49a4=2y2113a2‌‌\sqrt \frac{4\times 11 \times y^4}{9a^4}= \frac{2y^2\sqrt{11} }{3a^2 }

تمرین

پاسخ ساده شده عبارت 60x4 . 6x7\sqrt{60x^4} \ . \ \sqrt{6x^7} کدام گزینه است؟

6x210x6x^2 \sqrt{10x}

6x510x6x^5 \sqrt{10x}

6x5106x^5 \sqrt{10}

6x2106x^2 \sqrt{10}

پاسخ تشریحی

گزینه دوم درست است. فرجه هر دو رادیکال یکسان و برابر با 22 است. پس می‌توانیم با توجه به علامت دات یا ضرب بین‌شان، آ‌ن‌ها را در هم ضرب کنیم:

60x4 . 6x7=60x4×6x7=360x11\sqrt{60x^4} \ . \ \sqrt{6x^7} = \sqrt{60x^4 \times 6x^7 }=\sqrt{360 x^{11} }

در محاسبه بالا ضرایب عددی در هم ضرب شده‌اند. همچنین دو عبارت جبری بر حسب xx نیز در هم ضرب شده‌اند که حاصل به کمک قواعد توان به‌دست آمده است. حالا می‌توانیم عدد و عبارت نهایی بر حسب xx را طوری تجزیه کنیم که فاکتوری به‌صورت ریشه کامل داشته باشند تا بتوانیم آن‌ها را از زیر رادیکال خارج کنیم:

360x11=36×10×x10×x\sqrt{360 x^{11} } = \sqrt{36 \times10\times x^{10} \times x}

می‌دانیم 36=6\sqrt{36 } = 6. از طرفی طبق قاعده amn=amn=(an)ma^ {\frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a^m} = ( \sqrt[n]{a} )^m در مورد رابطه توان عدد زیر رادیکال و فرجه رادیکال داریم:

x10=x102=x5\sqrt{ x^{10} } = x^{\frac{10}{2}}=x^5

در نتیجه خواهیم داشت:

36×10×x10×x=6x510x\sqrt{36 \times10\times x^{10} \times x}= 6x^5 \sqrt{10x}

جمع و تفریق رادیکال ها

در این بخش می‌خواهیم قواعدی را که مربوط به جمع و تفریق رادیکال‌ها است، معرفی کنیم. در ادامه با حل مثال نشان می‌دهیم که چگونه می‌توان به ساده کردن رادیکال ها با استفاده از این قوانین پرداخت. اما پیش از اینکه به توضیح این موضوع و یادگیری همراه با حل مثال بپردازیم، پیشنهاد می‌کنیم در همین زمینه فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس را که دارای بخشی با عنوان «توان و جذر» است، مشاهده کنید. لینک این دوره آموزشی در ادامه برای شما قرار داده شده است:

وقتی که فرجه و عبارت زیر دو رادیکال کاملا با هم مشابه باشد، در این صورت می‌توانیم آن‌ها را دو رادیکال مشابه در نظر بگیریم. حالا اگر دو رادیکال مشابه با ضرایب متفاوتی مانند aa و bb با هم جمع یا از هم کم شوند، با فاکتورگیری از رادیکال مشترک، می‌توان ضرایب را با هم جمع یا از هم کم کرد:

ax±bx=(a±b)xa\sqrt{ x } \pm b\sqrt{ x } = (a \pm b)\sqrt{ x }

در رابطه بالا aa و bb اعداد حقیقی و xx هم یک عدد حقیقی و همواره مثبت است. می‌دانیم در رابطه بالا رادیکال‌های مشابه ما در حقیقت دارای فرجه 22 هستند. با در نظر گرفتن ریشه nام، می‌توانیم شکل کلی‌تر عبارت بالا را به‌صورت زیر بنویسیم:

axn±bxn=(a±b)xna\sqrt[n]{x} \pm b\sqrt[n]{x} = (a \pm b) \sqrt[n]{x}

در ادامه با حل مثال این مبحث را بررسی و تمرین می‌کنیم تا ببینیم روند ساده کردن رادیکال ها در موقعیت‌های جمع یا تفریق رادیکال‌ها چگونه است.

مثال ۱

حاصل عبارت زیر پس از ساده کردن رادیکال ها چقدر می‌شود؟

250+322\sqrt{50} + \sqrt{32}

پاسخ

دو عدد رادیکالی داریم که فرجه یکسانی برابر با 22 دارند. اما چون اعداد زیر رادیکال مانند هم نیستند، نمی‌توانیم رادیکال‌ها را مشابه هم در نظر بگیریم. بنابراین لازم است اعداد زیر رادیکال را بشکنیم. در مورد 5050 می‌توانیم از حاصل‌ضرب 25×225 \times 2 استفاده کنیم و برای عدد 3232 نیز بهترین انتخاب حاصل‌ضرب 16×216 \times 2 است. در هر کدام از این دو حاصل ضرب، اعدادی داریم که ریشه کامل دارند. پس خواهیم داشت:

250+32=225×2+16×22\sqrt{50} + \sqrt{32} = 2\sqrt{25 \times 2} + \sqrt{16 \times 2 }

در مرحله بعد کافی است این حاصل‌ضرب‌ها را از هم جدا کنیم و در قالب دو رادیکال مختلف بنویسیم:

225×2+16×2=225×2+16×22\sqrt{25 \times 2} + \sqrt{16 \times 2 } = 2\sqrt{25} \times \sqrt{2} + \sqrt{16 } \times \sqrt{2}

با توجه به اینکه داریم 25=5\sqrt{25} = 5 و 16=4\sqrt{16} = 4، پس رابطه بالا به شکل زیر به‌دست می‌آید:

225×2+16×2=102+422\sqrt{25} \times \sqrt{2} + \sqrt{16 } \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} + 4\sqrt{2}

حالا به دو رادیکال کاملا مشابه هم رسیدیم که می‌توانیم ضرایب آن‌ها را با هم جمع کنیم:

102+42=(10+4)2=14210\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (10+4) \sqrt{2} = 14 \sqrt{2}

مثال ۲

عبارت عددی 765+435935+657\sqrt[5]{6} + 4\sqrt[5]{3} - 9\sqrt[5]{3} +\sqrt[5]{6} را ساده کنید:

پاسخ

ابتدا باید رادیکال‌های مشابه را تشخیص دهیم. طبق تعریف باید هم عبارت زیر رادیکال و هم فرجه برای دو یا چند عبارت رادیکالی کاملا یکسان باشد تا بتوانیم آن‌ها را مشابه در نظر بگیریم. در این سوال دو رادیکال مشابه به شکل 65\sqrt[5]{6} و دو رادیکال مشابه دیگر به شکل 35\sqrt[5]{3} داریم. پس با مرتب کردن عبارت داده شده به شکل زیر، خواهیم داشت:

765+435935+65=765+65+4359357\sqrt[5]{6} + 4\sqrt[5]{3} - 9\sqrt[5]{3} +\sqrt[5]{6} = 7\sqrt[5]{6} +\sqrt[5]{6} + 4\sqrt[5]{3} - 9\sqrt[5]{3}

حالا دو جمله اول طبق قواعد جمع و تفریق رادیکال‌ها با هم جمع می‌شوند و دو جمله بعدی نیز با هم:

765+65+435935=(7+1)65+(41)357\sqrt[5]{6} +\sqrt[5]{6} + 4\sqrt[5]{3} - 9\sqrt[5]{3} = (7+1)\sqrt[5]{6} + (4-1)\sqrt[5]{3}

(7+1)65+(41)35=865+335(7+1)\sqrt[5]{6} + (4-1)\sqrt[5]{3} = 8\sqrt[5]{6} + 3\sqrt[5]{3}

مثال ۳

عبارت 545+618298+205\sqrt{45} + 6\sqrt{18} - 2\sqrt{98} +\sqrt{20} را ساده کنید:

پاسخ

در این مثال هم ابتدا باید رادیکال‌های مشابه را تشخیص دهیم. اما در نگاه اول هیچ رادیکال مشابهی نداریم، با اینکه فرجه تمام رادیکال‌ها یکسان و مساوی با 22 است، اما اعداد زیر رادیکال‌ها با هم فرق دارد. از بخش‌های قبل به خاطر داریم که بهتر است تا حد امکان اعداد زیر رادیکال را بر حسب حاصل‌ضرب دو عدد که یکی دارای ریشه کامل است، بازنویسی کنیم. این نکته را می‌توانیم برای تمام اعداد زیر رادیکال در این عبارت اعمال کنیم.

بنابراین با شکستن اعداد زیر هر رادیکال خواهیم داشت:

59×5+69×2249×2+4×55\sqrt{9 \times 5} + 6\sqrt{9 \times 2} - 2\sqrt{49 \times 2} +\sqrt{4 \times 5}

طبق قاعده حاصل‌ضرب رادیکال‌ها، می‌توانیم هر رادیکال را به شکل زیر ساده‌تر کنیم:

59×5+69×2249×2+4×55\sqrt{9 } \times \sqrt{5 } + 6\sqrt{9 } \times \sqrt{2 } - 2\sqrt{49 } \times \sqrt{2 } +\sqrt{4 } \times \sqrt{5 }

در عبارت بالا می‌توانیم خیلی از اعداد را از زیر رادیکال خارج کنیم و به‌صورت عدد صحیح بنویسیم:

155+182142+2515 \sqrt{5 } + 18 \sqrt{2 } - 14 \sqrt{2 } +2 \sqrt{5 }

حالا در عبارت بالا رادیکال‌های مشابه مشخص هستند. با مرتب کردن و قرار دادن جملات با رادیکال مشابه در کنار هم، به‌راحتی می‌توانیم این حاصل‌جمع را پیدا کنیم:

155+25+182142=(15+2)5+(1814)215 \sqrt{5 } +2 \sqrt{5 }+ 18 \sqrt{2 } - 14 \sqrt{2 } = (15+2) \sqrt{5 }+ (18-14) \sqrt{2 }

175+4217 \sqrt{5 }+ 4 \sqrt{2 }

مثال ۴

حاصل‌جمع عبارت 45439163+5934\sqrt[3]{54} - 9\sqrt[3]{16} + 5 \sqrt[3]{9} را به‌صورت ساده شده به‌دست آورید:

پاسخ

با اینکه فرجه تمام رادیکال‌ها یکسان و مساوی با 33 است، باز هم در نگاه اول هیچ رادیکال مشابهی نداریم. بنابراین با شکستن اعداد زیر هر رادیکال امکان اینکه به رادیکال‌های مشابه برسیم را امتحان می‌کنیم. اما نکته مهمی که باید به آن دقت کنیم این است که بر خلاف مثال قبل، در اینجا فرجه رادیکال‌ها مساوی با 33 است. بنابراین لازم است اعداد زیر رادیکال را به اعدادی تبدیل کنیم که ریشه سوم کاملی داشته باشند.

مثلا اگر 5454 را به شکل 9×69 \times 6 بنویسیم، کمکی به ساده‌سازی نمی‌شود. اما اگر این عدد را به شکل 27×227 \times 2 بنویسیم، چون عدد 2727 معادل است با توان سوم عدد سه، پس می‌توانیم آن را از رادیکال خارج کنیم:

427×2398×23+5934\sqrt[3]{27\times 2} - 9\sqrt[3]{8\times2} + 5 \sqrt[3]{9}

دقت کنید 93\sqrt[3]{9} را نمی‌توانیم از این ساده‌تر بنویسیم. با جدا کردن حاصل‌ضرب‌ها در عبارت بالا خواهیم داشت:

4273×23983×23+5934\sqrt[3]{27}\times\sqrt[3]{2} - 9\sqrt[3]{8}\times\sqrt[3]{2} + 5 \sqrt[3]{9}

با توجه به اینکه 273=3\sqrt[3]{27}=3 و 83=2\sqrt[3]{8}=2، خواهیم داشت:

12231823+59312\sqrt[3]{2} - 18\sqrt[3]{2} + 5 \sqrt[3]{9}

حالا در رابطه ساده شده بالا دو رادیکال کاملا مشابه هم داریم. پس می‌توانیم ضرایب این دو را با هم جمع کنیم:

(1218)23+593=623+593(12 - 18)\sqrt[3]{2} + 5 \sqrt[3]{9} =-6\sqrt[3]{2} + 5 \sqrt[3]{9}

دانش‌آموزی در حال نوشتن تکالیف خود است.

تمرین ۱

حاصل‌جمع 224+234+3644342\sqrt[4]{2}+ 2\sqrt[4]{3} + 3 \sqrt[4]{64} - \sqrt[4]{3} برابر با کدام گزینه است؟

(2+624)2434(2+ 6 \sqrt[4]{2} ) \sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{3}

824+348 \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3}

1624+3416 \sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{3}

(2+624)24+34(2+ 6 \sqrt[4]{2} ) \sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3}

پاسخ تشریحی

گزینه آخر صحیح است. در این سوال فرجه تمام رادیکال‌ها یکسان و مساوی با 44 است و با توجه به اعداد زیر رادیکال، فقط دو رادیکال 34\sqrt[4]{3} در نگاه اول مشابه هم هستند. پس این دو جمله مشابه را کنار هم می‌نویسیم. در مورد دو جمله دیگر، می‌توانیم با شکستن عدد 6464 دو رادیکال مشابه دیگر به شکل 24\sqrt[4]{2} ایجاد کنیم:

224+3644+234342\sqrt[4]{2}+ 3 \sqrt[4]{64}+2\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{3}

224+332×24+(21)342\sqrt[4]{2}+ 3 \sqrt[4]{32\times2}+(2- 1)\sqrt[4]{3}

با توجه به اینکه می‌دانیم 164=2\sqrt[4]{16} =2، پس اگر عبارت زیر رادیکال در دومین جمله را بر حسب عدد 1616 بنویسیم، می‌توانیم یک عدد صحیح از آن خارج کنیم:

224+316×24×24+342\sqrt[4]{2}+ 3 \sqrt[4]{16\times2} \times \sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3}

224+624×24+342\sqrt[4]{2}+ 6 \sqrt[4]{2} \times \sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3}

با در نظر گرفتن دو رادیکال مشابه جدید، خواهیم داشت:

(2+624)24+34(2+ 6 \sqrt[4]{2} ) \sqrt[4]{2}+\sqrt[4]{3}

تمرین ۲

حاصل عبارت عددی زیر به ساده‌ترین شکل ممکن برابر است با:

33737687+23847+357-3\sqrt[7]{3} - 3\sqrt[7]{768} + 2 \sqrt[7]{384} +3 \sqrt[7]{5}

1373571\sqrt[7]{3} - 3\sqrt[7]{5}

137+3571\sqrt[7]{3} + 3\sqrt[7]{5}

(1627)37+357‌(1- 6\sqrt[7]{2}) \sqrt[7]{3} +3 \sqrt[7]{5}

(1+627)37+357‌(1+6\sqrt[7]{2}) \sqrt[7]{3} +3 \sqrt[7]{5}

پاسخ تشریحی

گزینه سوم درست است. تمام فرجه‌ها در این سوال برابر با 77 هستند، اما هیچ رادیکالی مشابه دیگری نیست. ابتدا اعداد بزرگی که زیر رادیکال‌های وسط قرار دارند را ساده می‌کنیم.

دو رادیکال ابتدا و آخر در ساد‌ه‌ترین حالت ممکن هستند و همین جا می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که احتمالا باید دو جمله وسط را بر حسب رادیکال‌هایی مانند 57\sqrt[7]{5} یا 37\sqrt[7]{3} بازنویسی کنیم. البته می‌توان حدس زد که چون این دو عدد بزرگ بر 55 بخش‌پذیر نیستند، پس رادیکال 57\sqrt[7]{5} تا اینجا مشابهی نخواهد داشت.

اما با توجه به اینکه داریم 768=256×3‌768 = 256 \times3 و 384=128×3‌384 = 128 \times3، می‌توانیم عبارت بالا را به شکل زیر بنویسیم:

33733×2567+23×1287+357-3\sqrt[7]{3} - 3\sqrt[7]{3\times256} + 2 \sqrt[7]{3\times128} +3 \sqrt[7]{5}

337337×2567+237×1287+357-3\sqrt[7]{3} - 3\sqrt[7]{3}\times\sqrt[7]{256} + 2 \sqrt[7]{3} \times\sqrt[7]{128}+3 \sqrt[7]{5}

از طرفی داریم 1287=2\sqrt[7]{128}=2 و 2×128=2562 \times128=256. پس رابطه بالا ساده‌تر هم می‌شود:

337337×2×1287+437+357-3\sqrt[7]{3} - 3\sqrt[7]{3}\times\sqrt[7]{2\times 128} + 4 \sqrt[7]{3}+3 \sqrt[7]{5}

337627×37+437+357-3\sqrt[7]{3} - 6\sqrt[7]{2}\times\sqrt[7]{3} + 4 \sqrt[7]{3}+3 \sqrt[7]{5}

حالا سه رادیکال مشابه هم داریم که می‌توانیم آن‌ها را با هم جمع کنیم:

(3+4627)37+357‌(-3+4- 6\sqrt[7]{2}) \sqrt[7]{3} +3 \sqrt[7]{5}

(1627)37+357‌(1- 6\sqrt[7]{2}) \sqrt[7]{3} +3 \sqrt[7]{5}

تمرین ۳

ساده شده عبارت جبری رادیکالی 3(715x3+8x60x)\sqrt{3} ( 7\sqrt{15x^3} + 8x \sqrt{60x}) کدام است؟

69x‌69x

69x10x‌69x \sqrt{10 x}

345x2‌345x^2

69x5x‌69x \sqrt{5 x}

پاسخ تشریحی

گزینه آخر صحیح است. ابتدا باید با توجه به خاصیت توزیع‌پذیری در ضرب رادیکال‌ها، عدد پشت پرانتز را در هر یک از دو جمله داخل پرانتز ضرب کنیم:

3(715x3+8x60x)=7315x3+8x360x\sqrt{3} ( 7\sqrt{15x^3} + 8x \sqrt{60x}) = 7\sqrt{3}\sqrt{15x^3} + 8x\sqrt{3} \sqrt{60x}

با توجه به مشابه بودن فرجه رادیکال‌ها در هر یک از دو جمله، می‌توانیم عبارت‌های زیر هر دو رادیکال در هر یک از جملات را در هم ضرب کرده و زیر یک رادیکال قرار دهیم.

در مرحله بعد باید اعداد یا عبارت‌های جبری بر حسب xx زیر رادیکال را تجزیه کنیم، با این هدف که بتوانیم فاکتورهایی با ریشه کامل داشته باشیم که از زیر رادیکال خارج می‌شوند:

745x3+8x180x=79×5×x2×x+8x36×5×x7\sqrt{45x^3} + 8x \sqrt{180x} = 7\sqrt{9\times 5 \times x^2 \times x} + 8x \sqrt{36\times5\times x}

حالا می‌توانیم به‌راحتی با خارج کردن برخی فاکتورها هر یک از جملات را ساده کنیم:

79×5×x2×x+8x36×5×x=21x5x+48x5x‌7\sqrt{9\times 5 \times x^2 \times x} + 8x \sqrt{36\times5\times x} = 21x\sqrt{ 5 x} +48x \sqrt{5 x}

در آخرین مرحله با توجه به اینکه دو رادیکال کاملا مشابه هم داریم، می‌توانیم این دو را طبق قاعده جمع رادیکال‌ها با هم جمع کنیم. کافی است با فاکتورگیری از رادیکال مشابه، ضرایب را با هم جمع کنیم:

21x5x+48x5x=(21x+48x)5x=69x5x‌ 21x\sqrt{ 5 x} +48x \sqrt{5 x} = (21x+48x) \sqrt{5 x} = 69x \sqrt{5 x}

ساده کردن رادیکال‌ به توان دو

یکی دیگر از نمونه سوالاتی که ممکن است در فرآیند ساده کردن رادیکال ها با آن مواجه شویم، رادیکال به توان دو است. در این نمونه سوالات عموما لازم است از قواعد جمع و تفریق به همراه ضرب و تقسیم رادیکال‌ها با در نظر گرفتن خاصیت توزیع‌پذیری و تمام نکاتی که تا اینجا گفتیم، استفاده کنیم.

اما تکنیک جدیدی که گاهی نیاز داریم برای حل آسان‌تر این نوع مسائل بکار ببریم، استفاده از فرمول‌های اتحاد در ریاضی است. اگر تمایل دارید مرور مختصری به انواع اتحاد داشته باشید، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «فرمول اتحاد در ریاضی – همه اتحاد ها + مثال و حل تمرین» از مجله فرادرس را در این زمینه مطالعه کنید.

مثال ۱

مجذور عبارت ‌‌57+2‌‌5\sqrt{7} + \sqrt{2} در ساده‌ترین حالت ممکن چقدر است؟

پاسخ

می‌دانیم مجذور به معنای توان دو است. پس در حقیقت می‌خواهیم حاصل ‌‌(57+2)2‌‌(5\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 را به‌دست آوریم. یک راه‌حل این است که این پرانتز را در خودش ضرب کنیم:

‌‌(57+2)2=(57+2) . (57+2)‌‌(5\sqrt{7} + \sqrt{2})^2=(5\sqrt{7} + \sqrt{2}) \ . \ (5\sqrt{7} + \sqrt{2})

‌‌(57.+2) . (57+2)=57.57+57.2+2.57+2.2‌‌(5\sqrt{7}. + \sqrt{2}) \ . \ (5\sqrt{7} + \sqrt{2}) = 5\sqrt{7}.5\sqrt{7} + 5\sqrt{7}.\sqrt{2} + \sqrt{2}. 5\sqrt{7} + \sqrt{2}.\sqrt{2}

در رابطه بالا اولین جمله از اولین پرانتز به‌ ترتیب در دو جمله پرانتز دوم ضرب شده است. همچنین دومین جمله از پرانتز اول هم در دو جمله پرانتز دوم ضرب شده است. در نهایت تمام این حاصل‌ضرب‌ها با هم جمع شده‌اند. با توجه به قاعدع ضرب رادیکال‌ها، می‌توانیم تمام اعداد زیر رادیکال‌ها را در هر جمله با هم ضرب کنیم. همچنین اعداد ساده هم در هر جمله با هم ضرب می‌شوند:

‌‌57.57+57.2+2.57+2.2=2549+514+514+4‌‌5\sqrt{7}.5\sqrt{7} + 5\sqrt{7}.\sqrt{2} + \sqrt{2}. 5\sqrt{7} + \sqrt{2}.\sqrt{2}= 25\sqrt{49} + 5\sqrt{14}+5\sqrt{14} + \sqrt{4}

اعداد زیر رادیکال در جمله اول و آخر مجذور کامل هستند و از زیر رادیکال خارج می‌شوند. همچنین دو جمله وسط با داشتن فاکتور رادیکالی کاملا مشابه، طبق قاعده جمع رادیکال‌ها با هم جمع می‌شوند:

‌‌2549+514+514+4=175+(5+5)14+2=177+1014‌‌ 25\sqrt{49} + 5\sqrt{14}+5\sqrt{14} + \sqrt{4} = 175 + (5+5) \sqrt{14}+ 2= 177 +10 \sqrt{14}

همان‌طور که مشاهده می‌کنید این روش زمان‌بر است و به همین علت احتمال خطای بالاتری هم دارد. راه‌‌حل مناسب‌تر این است که از فرمول اتحاد مربع کامل به شکل زیر استفاده کنیم که در آن ‌‌a‌‌ a معادل با ‌‌57‌‌5\sqrt{7} و ‌‌b‌‌ b معادل با ‌‌2‌‌ \sqrt{2} است:

‌‌(a+b)2=a2+2ab+b2‌‌ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

‌‌(57+2)2=(57)2+2×57×2+(2)2‌‌ (5\sqrt{7} + \sqrt{2})^2=(5\sqrt{7})^2+2 \times 5\sqrt{7} \times\sqrt{2}+( \sqrt{2})^2

‌‌(57)2+2×57×2+(2)2=25×7+107×2+2‌‌(5\sqrt{7})^2+2 \times 5\sqrt{7} \times\sqrt{2}+( \sqrt{2})^2 = 25\times7+10\sqrt{7\times2 }+ 2

‌‌25×7+107×2+2=177+1014‌‌ 25\times7+10\sqrt{7\times2 }+ 2 = 177+10\sqrt{14 }

در ساده‌سازی بالا می‌دانیم که برای مثال حاصل ‌‌(7)2‌‌(\sqrt{7} )^2 مساوی است با 77.

مثال ۲

ساده کردن رادیکال های ضرب شده زیر به چه عددی منجر می‌شود؟

‌‌(85)(8+5)‌‌ (8 - \sqrt{5})(8 + \sqrt{5})

پاسخ

برای پاسخ دادن به سوال بالا، اگر دقت کنیم می‌توانیم از فرمول اتحاد مزدوج استفاده کنیم که به شکل زیر است:

‌‌(a+b)(ab)=a2b2‌‌ (a+b) (a-b)=a^2-b^2

با در نظر گرفتن ‌‌8‌‌ 8 به‌عنوان ‌‌a‌‌ a و ‌‌5‌‌ \sqrt{5} به‌عنوان ‌‌b‌‌ b، مشخص است که حاصل‌ضرب صورت سوال معادل می‌شود با سمت چپ تساوی بالا. بنابراین کافی است برای محاسبه جواب ‌‌8‌‌ 8 به توان دو را از ‌‌5‌‌ \sqrt{5} به توان دو کم کنیم:

‌‌(85)(8+5)=82(5)2=645=59‌‌ (8 - \sqrt{5})(8 + \sqrt{5}) = 8^2 - ( \sqrt{5})^2 = 64 - 5=59

ساده کردن رادیکال‌ های کسری

پس از اینکه آموختیم چگونه با کاربرد قواعد مربوط به چهار عمل اصلی و یا استفاده از اتحادها می‌توان فرآیند ساده کردن رادیکال ها را انجام داد، در این بخش چند نمونه سوال شامل عبارت‌های رادیکالی در قالب کسر را با هم حل می‌کنیم. به‌ویژه کاربرد قاعده تقسیم رادیکال‌ها در این بخش مهم است. ساده‌سازی چنین عباراتی با ساده کردن صورت و مخرج به‌صورت مجزا انجام می‌شود. در مرحله بعد کافی است جملات مشترک در صورت و مخرج را حذف کنیم تا پاسخ به‌دست آید.

مثال ۱

عبارت کسری ‌‌3+273‌‌ \frac{-3+ \sqrt{27}}{3} را ساده کنید:

پاسخ

در این مثال یک عبارت کسری داریم که مخرج آن نیاز به ساده کردن ندارد. در صورت کسر می‌توانیم با تجزیه عدد زیر رادیکال داشته باشیم:

‌‌3+273=3+9×33=3+333‌‌ \frac{-3+ \sqrt{27}}{3} = \frac{-3+ \sqrt{9\times3}}{3} = \frac{-3+ 3\sqrt{3}}{3}

حالا با فاکتورگیری از عدد ‌‌3‌‌ 3 در صورت و سپس ساده کردن صورت و مخرج با هم خواهیم داشت:

‌‌3+333=3(1+3)3=31‌‌ \frac{-3+ 3\sqrt{3}}{3} = \frac{3(-1 +\sqrt{3})}{3}=\sqrt{3} -1

مثال ۲

عبارت زیر را ساده کنید:

‌‌1510832023‌‌ \frac{15 \sqrt[3]{108}}{20 \sqrt[3]{2}}

پاسخ

با توجه به اینکه ضرایب عددی در صورت و مخرج با هم ساده می‌شوند و اینکه می‌توانیم اعداد زیر رادیکال را طبق قاعده تقسیم رادیکال‌ها، زیر یک رادیکال ببریم، خواهیم داشت:

‌‌1510832023=3410823‌‌ \frac{15 \sqrt[3]{108}}{20 \sqrt[3]{2}} = \frac{3 }{4 } \sqrt[3]{\frac{108}{ 2}}

‌‌3410823=34543=3427×23‌‌ \frac{3 }{4 } \sqrt[3]{\frac{108}{ 2}} = \frac{3 }{4 } \sqrt[3]{54}=\frac{3 }{4 } \sqrt[3]{27\times2}

می‌دانیم ‌‌273=3‌‌ \sqrt[3]{27} = 3. در نتیجه جواب به شکل زیر خواهد شد:

‌‌3427×23=9423‌‌\frac{3 }{4 } \sqrt[3]{27\times2} = \frac{9 }{4 } \sqrt[3]{2}

تمرین

پاسخ ساده شده برای عبارت 442644\frac{\sqrt[4]{4}}{2\sqrt[4]{64} } برابر است با:

44

14\frac{1}{4}

12\frac{1}{2}

22

پاسخ تشریحی
مشاهده پاسخ تشریحی برخی از سوالات، نیاز به عضویت در مجله فرادرس و ورود به آن دارد.

گویا کردن مخرج رادیکالی

یکی دیگر از مهم‌ترین بخش‌هایی که در ساده‌ کردن رادیکال ها اغلب استفاده می‌شود، گویا کردن مخرج رادیکالی است. با این روش در مخرج کسر اولیه دیگر رادیکال نخواهیم داشت. در این گونه مسائل باید عبارت رادیکالی را در کسری ضرب کنیم که صورت و مخرج آن یکسان و برابر با مخرج رادیکالی در صورت سوال است. برای مثال اگر عبارت رادیکالی ما به شکل 12\frac{1}{\sqrt{ 2} } باشد، گویا کردن آن به‌صورت زیر انجام می‌شود:

12=12×22\frac{1}{\sqrt2 }= \frac{1}{\sqrt2 } \times \frac{\sqrt2 }{\sqrt2 }

که حاصل آن خواهد شد:

12×22=22\frac{1}{\sqrt2 } \times \frac{\sqrt2 }{\sqrt2 }=\frac{\sqrt2 }{2 }