ریاضی، علوم پایه ۸۰۶۶ بازدید

کمان دایره شامل دو نقطه روی دایره و تمام نقاط بین آن دو نقطه است. به عبارت دیگر، کمان، قسمتی از محیط دایره محسوب می‌شود. در این آموزش، ویژگی‌ها، اجزا، روش رسم و محاسبه کمان دایره را معرفی می‌کنیم. به علاوه، ضمن حل چندین مثال متنوع، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با کمان دایره پاسخ می‌دهیم.

فهرست مطالب این نوشته

دایره و اجزای آن

دایره، شکل مسطحی است که از یک منحنی بسته تشکیل می‌شود. تمام نقاط دایره، در فاصله مشخصی از یک نقطه ثابت قرار دارند. به این نقطه ثابت، مرکز دایره می‌گویند.

نقاط دایره

فاصله مرکز دایره تا محیط آن، با عنوان شعاع شناخته می‌شود. از دیگر اجزای دایره می‌توان به وتر، قطر، کمان، قطاع، قطعه و مماس اشاره کرد.

اجزای دایره

کمان دایره چیست؟

قوس یا «کمان» (Arc)، منحنی محدود به دو نقطه است. کمان دایره، به عنوان بخشی از دایره یا به طور دقیق‌تر، بخشی از محیط دایره تعریف می‌شود. برای درک مفهوم کمان، با استفاده از مداد، یک دایره مانند دایره زیر رسم کنید. سپس، دو نقطه مانند نقاط الف و ب را بر روی محیط دایره در نظر بگیرید.

نمایش مفهوم قوس یا کمان دایره

نقاط الف و ب، محیط دایره را به دو منحنی کوچک و بزرگ تقسیم می‌کنند. این منحنی‌ها با عنوان کمان یا قوس دایره شناخته می‌شوند. در تصویر زیر، دو کمان محدود به نقاط الف و ب را با رنگ‌های متفاوت نمایش داده‌ایم. کمان دایره یا قوس دایره

علامت کمان دایره چیست؟

در هندسه، قوس دایره، با علامت ⌒ در بالای حروف نقاط انتهایی آن نمایش داده می‌شود. به عنوان مثال، اگر بخواهیم کمان محدود به دو نقطه A و B بر روی محیط دایره را نمایش دهیم، از عبارت $$\overset{\LARGE\frown}{AB}$$ استفاده می‌کنیم. این عبارت را به صورت «کمان AB» می‌خوانیم.

ویژگی های کمان دایره چه هستند؟

ویژگی‌های کمان، ارتباط نزدیکی با مفهوم زاویه مرکزی و محاطی دایره دارند. در بخش‌های بعدی، به تعریف این زوایا خواهیم پرداخت. از مهم‌ترین خواص کمان دایره می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

  • در یک دایره، زوایای مرکزی مقابل به کمان‌هایی با طول برابر، اندازه برابر دارند.
  • زوایای محاطی مقابل یک کمان با هم برابر هستند.
  • اندازه زاویه مرکزی مقابل یک کمان، دو برابر اندازه زاویه محاطی مقابل همان کمان است.
  • در یک دایره، اگر دو کمان برابر باشند، وترهای نظیر آن‌ها نیز با هم برابرند.

کمان دایره چگونه رسم می شود ؟

پرگار، بهترین ابزار برای رسم دایره است. بنابراین، این ابزار معمولا به منظور رسم کمان‌های دایره مورد استفاده قرار می‌گیرد. به منظور رسم یک کمان، دهانه پرگار را به اندازه دلخواه (شعاع مورد نظر) باز می‌کنیم و سوزن آن را بر روی یک نقطه دلخواه (مرکز مورد نظر) قرار می‌دهیم.

تنظیم پرگار برای رسم کمان دایره

در مرحله بعد، پرگار را به اندازه دلخواه (طول کمان) می‌چرخانیم. به این ترتیب، کمان دایره رسم می‌شود.

رسم کمان دایره با پرگار

اندازه های کمان دایره چه هستند؟

کمان دایره، با دو اندازه طول کمان و زاویه مرکزی مشخص می‌شود. در ادامه، به تعریف این اندازه‌ها می‌پردازیم. در بخش بعد نیز، روش‌های تعیین طول و زاویه را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

طول کمان دایره چیست ؟

کمان، بخشی از محیط دایره است. بر اساس این تعریف، طول کمان دایره، نسبتی از محیط دایره کامل خواهد بود. کمان دایره با واحدهای طول نظیر میلی‌متر، سانتی‌متر، متر و غیره بیان می‌شود. در ریاضیات، طول کمان را با حرف l در ابتدای عبارت جبری آن نمایش می‌دهند. به عنوان مثال، اگر طول $$\overset{\LARGE\frown}{AB}$$ برابر 7 سانتی‌متر باشد، نمایش آن به صورت $$\overset{\LARGE\frown}{lAB} = ۷ cm$$ خواهد بود.

زاویه کمان دایره چیست ؟

زاویه مقابل کمان در مرکز دایره، با عنوان زاویه کمان یا زاویه مرکزی دایره شناخته می‌شود. اگر شعاع‌های دایره را از دو انتهای کمان رسم کنیم، شکلی مشابه شکل زیر به وجود می‌آید.

زاویه مقابل کمان دایره
هر دو زاویه بالا، از نوع زوایای مرکزی دایره هستند.

زاویه کمان را معمولا با حرف m در ابتدای عبارت جبری آن نمایش می‌دهند. به عنوان مثال، اگر زاویه $$\overset{\LARGE\frown}{AB}$$ برابر 40 درجه باشد، نمایش آن به صورت $$\overset{\LARGE\frown}{mAB} = ۴۰^{\circ}$$ خواهد بود. توجه داشته باشید که دو کمان با زاویه‌های مرکزی برابر می‌توانند دارای طول‌های متفاوت باشند. به عنوان مثال، در تصویر زیر، $$\overset{\LARGE\frown}{mAB}$$ و $$\overset{\LARGE\frown}{mCD}$$ برابر هستند. با این وجود، $$\overset{\LARGE\frown}{lAB}$$ بزرگتر از $$\overset{\LARGE\frown}{lCD}$$ است.

زاویه محاطی دایره چیست و چه رابطه‌ای با زاویه مرکزی دارد؟

زاویه محاطی، زاویه‌ای است که راس آن بر روی محیط دایره قرار دارد و ضلع‌های آن، دایره را قطع کرده‌اند. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک زاویه محاطی را نمایش می‌دهد.

زاویه محاطی مقابل کمان دایره
زاویه راس A، یک زاویه محاطی است.

با استفاده از قانون جمع زوایای داخلی مثلث و زوایای مکمل می‌توان ثابت کرد که اگر یکی از ضلع‌های زاویه محاطی از مرکز دایره عبور کند (یکی از ضلع‌های زاویه محاطی، قطر دایره باشد)، اندازه زاویه مرکزی مقابل کمان، دو برابر اندازه زاویه محاطی خواهد بود.

زاویه محاطی و زاویه مرکزی
زاویه مرکزی مقابل کمان AD، دو برابر زاویه محاطی مقابل این کمان است.

بر اساس خواص کمان دایره، تمام زوایای محاطی مقابل یک کمان، هم‌اندازه‌اند. بنابراین، تمام زوایای مرکزی مقابل یک کمان، دو برابر زوایای محاطی مقابل آن کمان هستند.

زاویه ظلی چیست و چه رابطه‌ای با زاویه مرکزی دارد؟

به زاویه‌ای که راس آن بر روی دایره قرار گیرد، یکی از ضلع‌های آن بر دایره مماس بوده و ضلع دیگر آن وتری از دایره باشد، زاویه ظلی می‌گویند. زاویه ظلی، نصف کمان روبه‌روی آن است.

زاویه ظلی

زاویه و طول کمان دایره چگونه اندازه گیری می شود ؟

اندازه‌گیری زاویه کمان توسط روش‌های دستی یا محاسباتی انجام می‌شود. برای اندازه‌گیری طول کمان نیز می‌توان از فرمول‌های مخصوص استفاده کرد.

تعیین دستی زاویه کمان

نقاله، وسیله مخصوص اندازه‌گیری زاویه شکل‌های هندسی است. این وسیله، به منظور تعیین دسی زاویه کمان دایره نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد. کمان BA در دایره زیر را در نظر بگیرید.

کمان AB (مثال اندازه گیری زاویه مقابل کمان)

برای اندازه‌گیری زاویه مقابل این کمان، ابتدا شعاع‌های دو انتهای آن را رسم می‌کنیم.

رسم شعاع‌های کمان برای اندازه گیری زاویه آن

سپس، مرکز نقاله را بر روی مرکز دایره قرار می‌دهیم. اگر راستای خط زاویه صفر درجه را بر روی یکی از شعاع‌ها منطبق کنیم، شعاع دیگر از روی عدد زاویه کمان عبور خواهد کرد. به عنوان مثال، در تصویر زیر، زاویه کمان برابر 55 درجه است.

اندازه گیری زاویه مقابل کمان با نقاله

محاسبه طول کمان

برای درک نحوه محاسبه طول کمان، ابتدا باید با فرمول محیط دایره آشنا شوید. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

شعاع × عدد پی × 2 = محیط دایره کامل

$$
C= ۲\pi r
$$

زاویه یک دایره کامل برابر 360 درجه است. به عبارت دیگر، در صورتی که زاویه مقابل یک کمان، برابر 360 درجه باشد، طول آن با محیط دایره کامل برابر خواهد بود. اگر زاویه مقابل کمان، کمتر از 360 درجه باشد، طول آن از ضرب محیط دایره در نسبت زاویه کمان به 360 درجه بدست می‌آید.

بر اساس توضیحات بالا، فرمول طول کمان دایره برابر است با:

(360 ÷ زاویه کمان) × محیط دایره کامل = طول کمان

یا

(360 ÷ زاویه کمان) × شعاع × عدد پی × 2 = طول کمان

عبارت جبری طول کمان دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
l = r \theta
$$

  • l: طول کمان
  • r: شعاع دایره
  • θ: زاویه مقابل کمان بر حسب رادیان

این فرمول، فرم کلی فرمول قبلی است. در صورتی که زاویه بر حسب رادیان داده شد، می‌توان به طور مستقیم از این فرمول استفاده کرد. در غیر اینصورت (بیان زاویه به صورت درجه)، باید زاویه را توسط نسبت زیر به شکل رادیان درآورد:

$$
rad = \frac { deg \times \pi } {۱۸۰}
$$

  • rad: زاویه بر حسب رادیان
  • deg: زاویه بر حسب درجه
  • π: عدد ثابت 3/14

مثال 1: محاسبه طول کمان

طول $$\overset{\LARGE\frown}{AB}$$ را حساب کنید.

مثال تعیین طول کمان دایره با شعاع 100 و زاویه 36 درجه

به منظور تعیین طول $$\overset{\LARGE\frown}{AB}$$، دو راه وجود دارد. در تصویر بالا، شعاع دایره کامل داده شده است. محیط این دایره برابر است با:

شعاع × عدد پی × 2 = محیط دایره کامل

100 × 3/14 × 2 = محیط دایره کامل

628 = محیط دایره کامل

نسبت طول کمان به محیط دایره برابر نسبت زاویه مقابل آن به زاویه دایره کامل است:

$$
\frac {\overset{\LARGE\frown}{AB}} {۶۲۸} = \frac {۳۶}{۳۶۰}
$$

بنابراین داریم:

$$
\frac {\overset{\LARGE\frown}{AB}} {۶۲۸} = \frac {۱}{۱۰}
$$

$$
\overset{\LARGE\frown}{AB} = \frac {۱ \times ۶۲۸}{۱۰}
$$

$$
\overset{\LARGE\frown}{AB} = ۶۲/۸
$$

در نتیجه، طول $$\overset{\LARGE\frown}{AB}$$ برابر 62/8 است. در روش دوم می‌توانستیم اندازه شعاع و زاویه مقابل کمان را به طور مستقیم در فرمول زیر وارد کنیم:

(360 ÷ زاویه کمان) × شعاع × عدد پی × 2 = طول کمان

(360 ÷36) × 100 × 3/14 × 2 = طول کمان

(0/1) × 100 × 3/14 × 2 = طول کمان

10 × 3/14 × 2 = طول کمان

31/4 × 2 = طول کمان

62/8 = طول کمان

مثال 2: محاسبه زاویه کمان

طول یک کمان برابر 56 سانتی‌متر و طول دایره کامل برابر 168 سانتی‌متر است. زاویه مقابل کمان را حساب کنید.

در این مثال نیز مشابه با مثال 1 می‌توانیم زاویه کمان را به دو روش تعیین کنیم. در اینجا، ساده‌ترین روش، تعیین نسبت طول کمان به محیط و استفاده از مقدار به دست آمده است:

3 ÷ 1 = 168 ÷ 56 = نسبت طول کمان به محیط

نسبت طول کمان به محیط دایره برابر یک‌سوم است. بنابراین، زاویه مقابل کمان نیز یک‌سوم زاویه دایره (360 درجه تقسیم بر 3) خواهد بود:

120 = 3 ÷ 360 = زاویه کمان

در نتیجه، زاویه مقابل کمان دایره برابر 120 درجه است.

مثال 3: محاسبه طول کمان بر حسب رادیان

اگر زاویه مقابل یک کمان برابر π/4 (پی چهارم) و شعاع دایره کامل برابر 3 باشد، طول کمان بر حسب رادیان چقدر خواهد بود؟

در صورت مسئله، اندازه زاویه بر حسب رادیان داده شده است. از این‌رو، به منظور تعیین طول کمان از فرمول آن بر حسب رادیان استفاده می‌کنیم:

$$
l = r \theta
$$

  • l: طول کمان
  • r: شعاع دایره برابر 3
  • θ: زاویه مقابل کمان برابر پی چهارم

$$
l = ۳ \times \frac {\pi}{۴}
$$

$$
l = \frac {۳}{۴} \pi
$$

مثال 4: محاسبه طول کمان به کمک خواص مماس

مماس دایره، خطی است که با محیط دایره در یک نقطه تلاقی پیدا می‌کند. در صورت رسم شعاع دایره از نقطه تلاقی، یک زاویه قائمه بین مماس و شعاع دایره تشکیل می‌شود. در تصویر زیر، پاره‌خط AB در نقطه A بر دایره مماس شده است. نقطه O نیز مرکز دایره را نمایش می‌دهد. با توجه به توضیحات ارائه شده، زاویه کمان AD و طول آن را محاسبه کنید.

تعیین طول کمان از روی مماس دایره

در تصویر بالا، پاره‌خط AB، مماس دایره و پاره‌خط OA، شعاع دایره است. طبق تعریف، زاویه بین این دو پاره‌خط باید 90 درجه باشد.

زاویه بین شعاع دایره و مماس

بنابراین، دو زاویه مثلث OAB را داریم. زاویه سوم در راس O، از قانون جمع زوایای داخلی مثلث به دست می‌آید. مطابق با این قانون، مجموع زوایای داخلی هر مثلث برابر 180 درجه است. به این ترتیب، داریم:

$$
\hat {O} + \hat {A} + \hat {B} = ۱۸۰^{\circ}
$$

$$
\hat {O} + ۹۰^{\circ} + ۲۰^{\circ} = ۱۸۰^{\circ}
$$

$$
\hat {O} + ۱۱۰^{\circ} = ۱۸۰^{\circ}
$$

$$
\hat {O} = ۱۸۰^{\circ} – ۱۱۰^{\circ}
$$

$$
\hat {O} = ۷۰^{\circ}
$$

در نتیجه، زاویه راس O یا همان زاویه مقابل به کمان AD برابر 70 درجه است. با داشتن زاویه کمان می‌توانیم طول آن را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنیم:

$$
\overset{\LARGE\frown}{lAD} = ۲ \pi r \times \frac {\theta}{۳۶۰}
$$

  • $$\overset{\LARGE\frown}{lAD}$$: طول کمان
  • r: شعاع دایره برابر 8
  • θ: زاویه مقابل کمان برابر 70 درجه

$$
\overset{\LARGE\frown}{lAD} = ۲ \times ۳/۱۴ \times ۸ \times \frac {۷۰}{۳۶۰}
$$

$$
\overset{\LARGE\frown}{lAD} = ۵۰/۲۴ \times \frac {۷۰}{۳۶۰}
$$

$$
\overset{\LARGE\frown}{lAD} = \frac {۳۵۱۶/۸}{۳۶۰}
$$

$$
\overset{\LARGE\frown}{lAD} \approx ۹/۷۷
$$

در نتیجه، طول کمان AD تقریبا برابر 9/77 است.

اجزای مرتبط با کمان دایره چه هستند؟

وتر، قطعه و قطاع دایره، با توجه به مفهوم کمان تعریف می‌شوند. در ادامه به معرفی این موارد می‌پردازیم.

وتر دایره چیست؟

به پاره‌خطی که دو انتهای کمان دایره را به هم وصل می‌کند، وتر دایره می‌گویند.

کمان و وتر دایره

قطعه دایره چیست؟

قطعه دایره، ناحیه محدود به وتر و کمان دایره است. به عنوان مثال، در تصویر زیر، ناحیه سفید، یکی از قطعه‌های دایره و ناحیه رنگی، قطعه مکمل آن را نمایش می‌دهد.

قطاع دایره چیست؟

اگر دو انتهای کمان دایره را به مرکز آن متصل کنیم، دایره به دو قطاع تقسم می‌شود. قطاع دایره، ناحیه محدود به کمان و دو شعاع آن است. در تصویر زیر، هر دو ناحیه سفید و رنگی، به عنوان قطاع‌های دایره در نظر گرفته می‌شوند.

نمایش مفهوم قطاع دایره با استفاده از کمان و شعاع
قطر دایره، آن را به دو قطاع برابر (نیم‌دایره) و دو کمان برابر تقسیم می‌کند.

کمان نیم دایره چیست؟

اگر اندازه کمان برابر با نصف محیط دایره باشد، به آن کمان نیم‌دایره می‌گویند.

محاسبه آنلاین زاویه و طول کمان دایره

یکی از روش‌های محاسبه زاویه و طول کمان دایره، استفاده از سایت‌های اینترنتی تخصصی در این زمینه است. به عنوان مثال، ماشین حساب سایت Omni Calculator (+) امکان محاسبه اندازه‌های طول و زاویه کمان را به همراه مساحت قطاع و طول وتر مقابل کمان را فراهم می‌کند. تصویر زیر، ماشین حساب کمان در سایت Omni Calculator را نمایش می‌دهد.

ماشین حساب کمان در سایت Omni Calculator

با وارد کردن اندازه زاویه مرکزی (θ) و یکی از اندازه‌های شعاع، قطر، مساحت قطاع یا طول وتر، طول کمان محاسبه می‌شود و در کادر مخصوص آن (L) به نمایش در می‌آید. به عنوان مثال، بر اساس محاسبات این ماشین حساب، طول کمان با زاویه مرکزی 45 درجه و شعاع 19 متر برابر با 14/92 است.

محاسبه طول کمان با زاویه مرکزی 45 درجه و شعاع 19 متر در Omni Calculator

در صورت مشخص بودن اندازه طول کمان و یکی از اندازه‌های شعاع، قطر یا مساحت قطاع، امکان تعیین زاویه مرکزی کمان نیز فراه می‌شود. تصویر زیر، محاسبه زاویه کمان با طول 20 متر و شعاع 30 متر را نمایش می‌دهد.

محاسبه زاویه کمان دایره با طول 20 متر و شعاع 30 متر

یکی دیگر از ویژگی‌های ابزارهای محاسبه آنلاین زاویه و طول کمان دایره، امکان تنظیم واحد تمام اندازه‌های ورودی و خروجی است. به عنوان مثال، در صورت تمایل می‌توانید زاویه را بر حسب رادیان وارد یا محاسبه کنید.

سوالات متداول در رابطه با کمان دایره

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با کمان دایره، به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

تعریف کمان دایره چیست؟

کمان دایره، بخشی از محیط دایره است.

کمان دایره چند درجه است؟

زاویه کمان دایره، زاویه برخورد شعاع‌های رسم شده از دو انتهای آن است.

ابزار رسم کمان دایره چیست؟

بهترین ابزار دستی برای رسم کمان دایره، پرگار است.

رابطه بین کمان و وتر دایره چیست؟

وتر، خط اتصال‌دهنده دو انتهای یک کمان است.

رابطه بین کمان و محیط دایره چیست؟

طول کمان، از ضرب محیط دایره در زاویه مقابل کمان (بر حسب رادیان) به دست می‌آید.

تفاوت کمان با قطاع چیست؟

کمان دایره، بخشی از محیط دایره است. قطاع، بخشی متشکل از کمان و دو شعاع دایره است.

تفاوت زاویه مرکزی و محاطی دایره چیست؟

راس زاویه مرکزی دایره بر روی مرکز آن قرار می‌گیرد؛ در صورتیکه راس زاویه محاطی دایره بر روی محیط آن قرار دارد.

شباهت زاویه مرکزی و محاطی دایره چیست؟

هر دو زاویه مرکزی و محاطی، محدود به محیط دایره (روی محیط یا درون آن) هستند.

کدام دو نقطه دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کنند؟

نقاط ابتدا و انتهای هر قطر، دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کنند.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۱۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر آموزش‌های مهندسی عمران، معدن و ژئوتکنیک مجله فرادرس را می‌نویسد.