فرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثال

۲۲۰۹۰ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۵ دی ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۵۵ دقیقه
دانلود PDF مقاله
فرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثالفرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثال

ریاضی هشتم در سال دوم دوره اول متوسطخ یا همان مقطه هشتم برای دانش‌آموزان رشته‌های مختلف تدریس می‌شود. این درس، ۹ فصل دارد که طی آن‌ها، مباحثی نظیر عددهای صحیح و گویا، عددهای اول، چندضلعی‌ها، جبر و معادله، بردار و مختصات، مثلث، توان و جذر، آمار و احتمال و دایره را پوشش می‌دهد. آشنایی با مباحث و فرمول های ارائه شده در درس ریاضی هشتم، از اهمیت بالایی برای موفقیت در آزمون‌های دبیرستان برخوردار است. به همین دلیل، بسیاری از دانش‌آموزان به دنبال منبع جامعی هستند که فرمول های ریاضی هشتم را برایشان خلاصه کرده باشد. در این مطلب از مجله فرادرس، تمام فرمول های ریاضی هشتم را به شما معرفی می‌کنیم و به حل مثال برای هر کدام می‌پردازیم. شما می‌توانید این مطلب را برای مرور سریع فرمول های ریاضی هشتم ذخیره کنید.

فهرست مطالب این نوشته
997696

۱. عددهای صحیح و گویا: فرمول های فصل اول ریاضی هشتم

در فصل اول ریاضی هشتم، به موضوعاتی مانند یادآوری عددهای صحیح، عددهای گویا، معکوس عددهای گویا و عملیات‌های اصلی روی عددهای گویا (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عددهای گویا) پرداخته می‌شود.

به هر عددی که بتوان آن را به‌صورت کسر ab\frac { a } { b } نوشت، عدد گویا می‌گویند. به شرط اینکه aa و bb، عددهای صحیح باشند و bb برابر با ۰۰ نباشد (b۰b \ne ۰ ). در ادامه، نکات، مفاهیم و فرمول های مهم فصل اول ریاضی هشتم را به همراه مثال مرور می‌کنیم.

یک پسر نشسته روی مبل با یک کتاب در دست در حال فکر کردن - فرمول های ریاضی هشتم

مروری بر مفهوم عددهای صحیح و عملیات ریاضی روی آن ها

«عدد صحیح» (Integer Number)، عددی است که می‌توان آن را بدون جز کسری نوشت. مجموعه زیر، مجموعه اعداد صحیح را نمایش می‌دهد:

Z={, ...,۲,۱,۰,+۱,+۲, ...,+}\mathbb{Z} = \{ - \infty , \ ..., - ۲ , - ۱ , ۰ , + ۱ , + ۲ , \ ..., + \infty \}

برای به دست آوردن قرینه عدد، آن را در عدد منفی یک (۱- ۱) ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال، قرینه عددهای ۶۶، (۷)- ( - ۷ ) و ۸- ۸ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

۶(۱)×۶=۶۶ \to ( - ۱ )\times ۶ = - ۶

(۷)=۷(۱)×۷=۷- ( - ۷ ) = ۷ \to ( - ۱ )\times ۷ = - ۷

۸(۱)×(۸)=۸- ۸ \to ( - ۱ )\times ( - ۸ ) = ۸

ترتیب عملیات‌های ریاضی به صورت زیر است:

  1. پرانتز
  2. توان
  3. ضرب
  4. تقسیم
  5. جمع
  6. تفریق

به عنوان مثال برای محاسبه ۱۲×(۱(۸۹))۱ - ۲ \times ( ۱ - ( ۸ - ۹ ) )، ابتدا عملیات درون داخلی‌ترین پرانتز، یعنی (۸۹)( ۸ - ۹ ) را انجام می‌دهیم:

۸۹=۱۸ - ۹ = - ۱

۱۲×(۱(۱))۱ - ۲ \times ( ۱ - ( - ۱ ) )

سپس، حاصل پرانتز بعدی، یعنی (۱(۱))( ۱ - ( - ۱ ) ) را به دست می‌آوریم:

(۱(۱))=۱+۱=۲( ۱ - ( - ۱ ) ) = ۱ + ۱ = ۲

۱۲×(۲)۱ - ۲ \times ( ۲ )

اکنون، به سراغ عملیات ضرب می‌رویم:

۲×(۲)=۴۲ \times ( ۲ ) = ۴

۱۴۱ - ۴

در نهایت، عملیات تفریق را انجام می‌دهیم تا به جواب برسیم:

۱۴=۳۱ - ۴ = - ۳

۱۲×(۱(۸۹))=۳۱ - ۲ \times ( ۱ - ( ۸ - ۹ ) ) = - ۳

اگر بخواهیم حاصل جمع و تفریق چند عدد را به دست بیاوریم، بهتر است ابتدا عددهای دارای علامت مثبت را جداگانه با یکدیگر جمع کرده و عددهای دارای علامت منفی را نیز جداگانه با یکدیگر جمع کنیم. سپس عددهای دارای علامت منفی را از عددهای دارای علامت مثبت کم کنیم. به عنوان مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:

۲+۴۶+۸۱۰+۱۲- ۲ + ۴ - ۶ + ۸ - ۱۰ + ۱۲

جمع عددهایی که علامت مثبت دارند عبارت است از:

+۴+۸+۱۲=۲۴+ ۴ + ۸ + ۱۲ = ۲۴

جمع عددهایی که علامت منفی دارند عبارت است از:

۲۶۱۰=(۲+۶+۱۰)=(۱۸)- ۲ - ۶ - ۱۰ = - ( ۲ + ۶ + ۱۰ ) = - (۱۸ )

در نتیجه:

۲+۴۶+۸۱۰+۱۲=۲۴(۱۸)=۶- ۲ + ۴ - ۶ + ۸ - ۱۰ + ۱۲ = ۲۴ - ( ۱۸ ) = ۶

عددهای گویا و مرتب سازی آن ها

«عدد گویا» (Rational Number)، عددی است که می‌توان آن را با جز کسری نمایش داد. عددهای صحیح، زیرمجموعه عددهای گویا هستند. زیرا امکان نمایش هر عدد صحیح به صورت عدد کسری وجود دارد. به عنوان مثال:

۲=۲۱۲ = \frac { ۲ } { ۱ }

نمودار ون مجموعه‌های عددهای طبیعی، صحیح، گویا و گنگ

برای آشنایی با این بخش از کتاب ریاضی هشتم، باید با اصول مقایسه کسرها از جمله تبدیل کسر به اعشار، تبدیل عدد اعشاری به کسر و تبدیل عدد مخلوط به کسر آشنا باشید. در صورت آشنایی با این مباحث، به راحتی می‌توانید مسائلی مانند مرتب‌سازی عددهای زیر را انجام دهید.

۳۵,۱۱۰,۰,۲,۱۲,۳۵\frac { ۳ }{ ۵ }, \frac { ۱ }{ ۱۰ }, ۰, ۲, - \frac { ۱ }{ ۲ }, - \frac { ۳ }{ ۵ }

عددهای بالا از کوچک به بزرگ و از چپ به راست عبارت هستند از:

۳۵,۱۲,۰,۱۱۰,۳۵,۲- \frac { ۳ }{ ۵ }, - \frac { ۱ }{ ۲ }, ۰, \frac { ۱ }{ ۱۰ }, \frac { ۳ }{ ۵ }, ۲

جمع و تفریق عددهای گویا

روش اجرای عملیات ریاضی بر روی عددهای گویا، به نحوه نوشتن آن‌ها بستگی دارد. در ادامه، چندین مثال از حالت‌های مختلف جمع و تفریق عددهای گویا آورده شده است:

۳۵+۴۵=۳+۴۵=۷۵\frac { ۳ } { ۵ } + \frac { ۴ } { ۵ } = \frac { ۳ + ۴ } { ۵ } = \frac { ۷ } { ۵ }

۴۵۳۵=۴۳۵=۱۵\frac { ۴ } { ۵ } - \frac { ۳ } { ۵ } = \frac { ۴ - ۳ } { ۵ } = \frac { ۱ } { ۵ }

اگر مخرج کسرها یکی نباشد، ابتدا از آن‌ها مخرج مشترک می‌گیریم و سپس آن‌ها را با هم جمع یا تفریق می‌کنیم:

۲۳۳۴=(۲×۴)(۳×۳)۳×۴=۸۹۱۲=۱۱۲=۱۱۲\frac { ۲ } { ۳ } - \frac { ۳ } { ۴ } = \frac { ( ۲ \times ۴) - ( ۳ \times ۳ ) } { ۳ \times ۴ } = \frac { ۸ - ۹ } { ۱۲ } = \frac { - ۱ } { ۱۲ } = - \frac { ۱ } { ۱۲ }

در صورت اعشاری بودن عددهای، عملیات جمع و تفریق را با توجه به بخش عدد صحیح و اعشاری انجام می‌دهیم:

۰/۸۵۰/۵=۰/۸۵۰/۵۰=۰/۳۵۰/۸۵ - ۰/۵ = ۰/۸۵ - ۰/۵۰ = ۰/۳۵

۲/۳۵/۸=۸/۱- ۲/۳ - ۵/۸ = -۸/۱

۲۵۱۸/۴=۶/۶۲۵ - ۱۸/۴ = ۶/۶

اگر عددهای، مخلوط باشند، آن را به فرم کسری بازنویسی می‌کنیم و عملیات جمع و تفریق را روی آن‌ها انجام می‌دهیم:

۴۱۴۲=(۴×۴+۱)۴۲=۸+۱۴۸۴- ۴ \frac { ۱ } { ۴ } - ۲ = - \frac { ( ۴\times ۴ + ۱) }{۴} - ۲ = -\frac { ۸ + ۱ } { ۴ } - \frac { ۸ } { ۴ }

۴۱۴۲=(۴×۴+۱)۴۲=۸+۱۴۸۴=۹۴۸۴=۱۷۴- ۴ \frac { ۱ } { ۴ } - ۲ = - \frac { ( ۴\times ۴ + ۱) }{۴} - ۲ = -\frac { ۸ + ۱ } { ۴ } - \frac { ۸ } { ۴ } = - \frac { ۹ } { ۴ } - \frac { ۸ } { ۴ } = -\frac { ۱۷ } { ۴ }

ضرب و تقسیم عددهای گویا

ضرب عددهای کسری با ضرب صورت‌ها در یکدیگر و ضرب مخرج‌ها در یکدیگر انجام می‌شود. به عنوان مثال:

۳۴×(+۵۷)=۳×۵۴×۷=۱۵۲۸- \frac { ۳ } { ۴ } \times \left ( + \frac { ۵ } { ۷ } \right ) = - \frac { ۳ \times ۵}{ ۴ \times ۷} = - \frac { ۱۵ }{ ۲۸}

برای تقسیم عددهای کسری، مقسوم علیه را معکوس کرده و در مقسوم ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال:

۶۳۵÷۸۲۱=۶۳۵×۲۱۸=۶×۲۱۳۵×۸=۱۲۶۲۸۰\frac { ۶ } { ۳۵ } \div \frac { ۸ } { ۲۱ } = \frac { ۶ } { ۳۵ } \times \frac { ۲۱ } { ۸ } = \frac { ۶ \times ۲۱ } { ۳۵ \times ۸ } = \frac { ۱۲۶ }{ ۲۸۰ }

در صورت وجود عدد اعشاری یا مخلوط، پس از تبدیل آن‌ها به عددهای، ضرب و تقسیم را مانند مثال‌های بالا انجام می‌دهیم. در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در رابطه با عددهای اول را معرفی می‌کنیم.

۲. عددهای اول: فرمول های فصل دوم ریاضی هشتم

فصل دوم کتاب ریاضی هشتم، به مبحث عددهای اول اختصاص دارد. در این فصل، ضمن یادآوری یادآوری مفهوم عدد اول، نحوه تعیین عددهای اول آموزش داده می‌شود. فصل دوم ریاضی هشتم، فرمول های خاصی را معرفی نمی‌کند و بیشتر به تعریف چند مفهوم مرتبط با عددهای اول و مرکب می‌پردازد.

در ادامه، خلاصه‌ای از نکات مهم و مفاهیم مورد نیاز برای آشنایی با این فصل را مرور می‌کنیم:

  • عدد اول: هر عدد طبیعی و بزرگ‌تر از یک که فقط بر یک و خودش بخش‌پذیر باشد.
  • عامل یا شمارنده: عددهایی که در هم ضرب می‌شوند و یک عدد دیگر را می‌سازند.
  • عامل یا شمارنده یک عدد: مقسوم‌علیه‌های آن عدد با باقیمانده صفر
  • تجزیه عددها: نمایش عددها به صورت ضرب شمارنده‌های آن‌ها
  • تجزیه به عددهای اول: نمایش عددهای به صورت ضرب شمارنده‌های اول آن
  • تعریف عدد مرکب: هر عدد طبیعی که بتوان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک بنویسیم
  • عدد ۱، نه اول است نه مرکب
  • تقسیم‌بندی عددهای طبیعی: عددهای طبیعی به سه بخش عددهای اول، عددهای مرکب و عدد یک تقسیم می‌شوند.
  • اول بودن دو عدد نسبت به هم: عددهایی که ب.م.م آن‌ها برابر با یک باشد.
  • شمارنده‌های عددهای طبیعی: به غیر از عدد ۱۱، هر عدد طبیعی حداقل دو شمارنده دارد.
  • روش غربال: روشی برای تعیین عددهای اول در میان چندین عدد است. این روش با خط زدن عددهای مضرب عددهای اول و مربع عددهای اول انجام می‌شود. به این ترتیب، عددهای باقی مانده، عدد اول خواهند بود.
یک صندلی و میز پر از کتاب و مداد

در ادامه، مفاهیم و فرمول های فصل دوم ریاضی هشتم را با حل مثال آموزش می‌دهیم.

کدامیک از گزینه‌های زیر، عدد ۴۰۴۰ را به صورت ضرب شمارنده‌های اول نمایش می‌دهد؟

۴×۱۰۴ \times ۱۰

۲×۲۰۲ \times ۲۰

۵×۸۵ \times ۸

۲×۲×۲×۵۲ \times ۲ \times ۲ \times ۵

مشاهده جواب

برای درک بهتر نحوه حل این مثال، تمام گزینه‌ها را به ترتیب بررسی می‌کنیم. در گزینه اول (۴×۱۰۴ \times ۱۰)، عدد ۴۰۴۰، به صورت حاصل‌ضرب دو عدد ۴۴ و ۱۰۱۰ نوشته شده است. این عددهای مرکب هستند و هیچکدام از آن‌ها، اول نیستند. زیرا می‌توان آن‌ها را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک نوشت:

۴=۲×۲۴ = ۲ \times ۲

۱۰=۲×۵۱۰ = ۲ \times ۵

در گزینه دوم (۲×۲۰۲ \times ۲۰)، عدد ۴۰۴۰، به صورت حاصل‌ضرب دو عدد ۲۲ و ۲۰۲۰ نوشته شده است. عدد ۲۲، یک عدد اول است اما ۲۰۲۰، اول نیست. زیرا، می‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک نوشت:

۲۰=۴×۵۲۰ = ۴ \times ۵

گزینه سوم (۵×۸۵ \times ۸) نیز شرایط مشابه گزینه دوم دارد. در این گزینه، عدد ۴۰۴۰، به صورت حاصل‌ضرب دو عدد ۵۵ و ۸۸ نوشته شده است. عدد ۵۵، یک عدد اول است اما ۸۸، اول نیست. زیرا، می‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک نوشت:

۸=۲×۴۸ = ۲ \times ۴

در گزینه چهارم (۲×۲×۲×۴۲ \times ۲ \times ۲ \times ۴)، عدد ۴۰۴۰، به صورت حاصل‌ضرب سه عدد ۲۲ در یک عدد ۵۵ نوشته شده است. عددهای ۲۲ و ۵۵، اول هستند. بنابراین، گزینه صحیح، گزینه چهار است.

کدامیک از گزینه‌های زیر، عددهای اول بین ۱۰۱۰ تا ۲۰۲۰ را نمایش می‌دهند؟

{۱۱,۱۴,۱۷,۱۹}\{ ۱۱, ۱۴, ۱۷, ۱۹ \}

{۱۱,۱۳,۱۵,۱۹}\{ ۱۱, ۱۳, ۱۵, ۱۹ \}

{۱۱,۱۳,۱۷,۱۹}\{ ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۹ \}

{۱۱,۱۳,۱۷,۱۸}\{ ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۸ \}

مشاهده جواب

عددهای اول بین ۱۰۱۰ تا ۲۰۲۰ عبارت هستند از:

{۱۱,۱۳,۱۷,۱۹}\{ ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۹ \}

گزینه‌های دیگر، تمام عددهای اول بین ۱۰۱۰ تا ۲۰۲۰ را نمایش نمی‌دهند و در تمام آن‌ها، یک عدد مرکب وجود دارد.

کدامیک از جفت عددهای زیر، نسبت به هم اول هستند؟

(۲,۸)( ۲, ۸)

(۱۲,۵)( ۱۲, ۵)

(۲۴,۲۷)( ۲۴, ۲۷)

(۱۵,۱۰)( ۱۵, ۱۰)

مشاهده جواب

به منظور تعیین ببینیم کدامیک از دو عدد نسبت به هم اول هستند، باید ب.م.م آن‌ها به دست بیاوریم. اگر ب.م.م دو عدد، برابر با ۱۱ باشد، آن دو عدد نسبت به هم اول هستند. ب.م.م گزینه‌های سوال عبارت هستند از:

(۲,۸)=۲( ۲, ۸) = ۲

(۵,۱۲)=۱( ۵, ۱۲) = ۱

(۲۴,۲۷)=۳( ۲۴ , ۲۷) = ۳

(۱۰,۱۵)=۵( ۱۰ , ۱۵) = ۵

در نتیجه، عددهای ۵۵ و ۱۲۱۲ نسبت به هم اول هستند.

عددهای اول مجموعه زیر را به روش غربال تعیین کنید.

{۱,۲,۳,۴,۵,۶,۷,۸,۹,۱۰,۱۱,۱۲,۱۳,۱۴,۱۵,۱۶,۱۷,۱۸,۱۹,۲۰,۲۱,۲۲,۲۳,۲۴,۲۵}\begin {aligned} & \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۸, ۹, ۱۰, ۱۱, ۱۲, ۱۳, ۱۴,\\ & ۱۵, ۱۶, ۱۷, ۱۸, ۱۹, ۲۰, ۲۱, ۲۲, ۲۳, ۲۴, ۲۵ \} \end{aligned}

مشاهده جواب

مجموعه عددهای بالا، اعداد ۱۱ تا ۲۵۲۵ را نمایش می‌دهد. برای تعیین عددهای اول این مجموعه، ابتدا عدد ۱۱ را خط می‌زنیم. زیرا عدد ۱۱، اول نیست:

{۱̸,۲,۳,۴,۵,۶,۷,۸,۹,۱۰,۱۱,۱۲,۱۳,۱۴,۱۵,۱۶,۱۷,۱۸,۱۹,۲۰,۲۱,۲۲,۲۳,۲۴,۲۵}\begin {aligned} & \{\not{۱}, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۸, ۹, ۱۰, ۱۱, ۱۲, ۱۳, ۱۴,\\ & ۱۵, ۱۶, ۱۷, ۱۸, ۱۹, ۲۰, ۲۱, ۲۲, ۲۳, ۲۴, ۲۵ \} \end{aligned}

عدد ۲۲، یک عدد اول است، به این عدد دست نمی‌زنیم اما بر روی مضرب‌های این عدد و مربع این عدد خط می‌کشیم:

{۱̸,۲,۳,۴̸,۵,۶̸,۷,۸̸,۹,۱̸۰,۱۱,۱̸۲,۱۳,۱̸۴,۱۵,۱̸۶,۱۷,۱̸۸,۱۹,۲̸۰,۲۱,۲̸۲,۲۳,۲̸۴,۲۵}\begin {aligned} & \{ \not{۱}, ۲, ۳, \not ۴, ۵, \not ۶, ۷, \not ۸, ۹, \not ۱۰, ۱۱, \not ۱۲, ۱۳, \not ۱۴, \\ & ۱۵, \not ۱۶, ۱۷, \not ۱۸, ۱۹, \not ۲۰, ۲۱, \not ۲۲, ۲۳, \not ۲۴, ۲۵ \} \end{aligned}

عدد ۳۳، نیز یک عدد اول است، به این عدد دست نمی‌زنیم اما بر روی مضرب‌های این عدد و مربع این عدد خط می‌کشیم:

{۱̸,۲,۳,۴̸,۵,۶̸,۷,۸̸,۹̸,۱̸۰,۱۱,۱̸۲,۱۳,۱̸۴,۱̸۵,۱̸۶,۱۷,۱̸۸,۱۹,۲̸۰,۲̸۱,۲̸۲,۲۳,۲̸۴,۲۵}\begin {aligned} & \{ \not{۱}, ۲, ۳, \not ۴, ۵, \not ۶, ۷, \not ۸, \not ۹, \not ۱۰, ۱۱, \not ۱۲, ۱۳, \not ۱۴, \\ & \not ۱۵, \not ۱۶, ۱۷, \not ۱۸, ۱۹, \not ۲۰, \not ۲۱, \not ۲۲, ۲۳, \not ۲۴, ۲۵ \} \end{aligned}

عدد بعدی که خط نخورده باشد، عدد ۵۵ است. این عدد نیز یک عدد اول است، به این عدد دست نمی‌زنیم اما بر روی مضرب‌های این عدد و مربع این عدد خط می‌کشیم:

{۱̸,۲,۳,۴̸,۵,۶̸,۷,۸̸,۹̸,۱̸۰,۱۱,۱̸۲,۱۳,۱̸۴,۱̸۵,۱̸۶,۱۷,۱̸۸,۱۹,۲̸۰,۲̸۱,۲̸۲,۲۳,۲̸۴,۲̸۵}\begin {aligned} & \{ \not{۱}, ۲, ۳, \not ۴, ۵, \not ۶, ۷, \not ۸, \not ۹, \not ۱۰, ۱۱, \not ۱۲, ۱۳, \not ۱۴, \\ & \not ۱۵, \not ۱۶, ۱۷, \not ۱۸, ۱۹, \not ۲۰, \not ۲۱, \not ۲۲, ۲۳, \not ۲۴, \not ۲۵ \} \end{aligned}

اگر عددهای باقی‌مانده را بررسی کنیم، می‌بینیم که دیگر هیچ عددی مضرب عدد دیگر یا مربع آن نیست. بنابراین، تمام عددهای باقی‌مانده اول هستند:

{۲,۳,۵,۷,۱۱,۱۳,۱۷,۱۹,۲۳}\{۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۹, ۲۳\}

در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی بهترین روش یادگیری فرمول های ریاضی هشتم می‌پردازیم.

چگونه فرمول های ریاضی هشتم را یاد بگیریم

پوستر فیلم آموزش فرمول های ریاضی هشتم
برای دسترسی به فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم، روی تصویر کلیک کنید.

دوره متوسطه، پر از مباحث جدید نسبت به دوره ابتدایی است. دانش‌آموزان در این دوره، با مفاهیم پیشرفته‌تر در حوزه‌های مختلف از جمله ریاضی آشنا می‌شوند. کتاب ریاضی هشتم، مطالبی را که دانش‌آموزان در پایه هفتم یاد گرفته‌اند را بازتر می‌کند و نکات جالب‌تری از کار با اعداد، شکل‌های هندسی، نمودارها، حل معادله، انجام عملیات‌های ریاضی بر روی بردارها و غیره را آموزش می‌دهد. رسیدن به آمادگی برای یادگیری مفاهیم ریاضی پایه نهم و ورود قدرتمند به دوره متوسطه دوم، به میزان آشنایی شما با دروس هفتم و هشتم بستگی دارد. در مجموع، ریاضیات دوره متوسطه اول (ریاضی هفتم، ریاضی هشتم و ریاضی نهم)، مانند دانه‌های زنجیر به هم متصل هستند.

بهترین راه برای یادگیری فرمول های ریاضی هشتم و دیگر کتاب‌های ریاضی، مطالعه منابع درسی و انجام مثال‌ها و تمرینات متنوع است. فیلم های آموزشی فرادرس، تمام نیازهای شما را برای آشنایی با این فرمول‌ها و نحوه حل مسائل ریاضی متوسطه برطرف می‌کند. در این فیلم‌های آموزشی جامع، تمام سرفصل‌های کتاب‌های ریاضی پوشش داده شده‌اند. در ادامه، عنوان فیلم‌های آموزش ریاضی متوسطه در فرادرس را مشاهده می‌کنید:

اگر به یادگیری اصولی دیگر دروس دوره متوسطه اول و پایه هشتم علاقه‌مند هستید، فیلم‌های آموزشی فرادرس در مجموعه‌های زیر را نیز بررسی کنید:

در مطلب «فرمول های ریاضی نهم در یک نگاه و با مثال»، نکات مهم تمام درس‌های کتاب ریاضی نهم را به طور خلاصه معرفی کردیم. در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث چندضلعی‌ها را معرفی می‌کنیم.

۳. چندضلعی ها: فرمول های فصل سوم ریاضی هشتم

فصل سوم کتاب ریاضی هشتم، به مبحث چندضلعی‌ها و فرمول های مرتبط با آن‌ها اختصاص دارد. در این فصل، تعریف چندضلعی‌ها، تقارن، توازی، تعامد، چهارضلعی‌ها، زاویه‌های داخلی و زاویه‌های خارجی آموزش داده می‌شود. جدول زیر، فرمول های فصل سوم ریاضی هشتم را نمایش می‌دهد.

مبحثفرمول
مجموع زاویه‌های داخلی nn ضلعی(n۲)×۱۸۰°(n-۲) \times ۱۸۰°
اندازه هر زاویه nn ضلعی منتظم(n۲)×۱۸۰°n\frac { ( n - ۲ ) \times ۱۸۰° } { n }
مجموع زوایای خارجی nn ضلعی منتظم۳۶۰۳۶۰ ^ { \circ }

در ادامه، برخی از اصطلاحات و مفاهیم مهم این فصل را مرور می‌کنیم:

اجزای چند ضلعی منتظم
اجزای چند ضلعی منتظم
  • چندضلعی: خط شکسته بسته بر روی صفحه، که یکدیگر را فقط و فقط در راس‌ها (محل رسیدن ضلع‌ها به یکدیگر) قطع می‌کند.
  • چندضلعی منتظم: چندضلعی دارای ضلع‌ها و زاویه‌های مساوی
  • تقارن: اگر شکلی را از خط یا نقطه مشخصی تا بزنیم به طوری که دو نیمه آن کاملا روی هم منطبق شود، می‌گوییم شکل، دارای تقارن است.
  • خط تقارن: در یک شکل با تقارن محوری، به خطی که اجزای شکل در دو طرف آن، بازتاب یکدیگر باشند، خط تقارن می‌گویند.
  • مرکز تقارن: در یک شکل با تقارن مرکزی یا تقارن چرخشی، اگر شکلی را حول یک نقطه دوران دهیم و نتیجه دوران، روی خود شکل منطبق شود، به آن نقطه، مرکز تقارن می‌گوییم.
  • تعداد خط تقارن چندضلعی‌های منتظم: تعداد خط تقارن یا محور تقارن چندضلعی‌های منتظم برابر با تعداد ضلع‌های آن‌ها است.
  • مرکز تقارن چندضلعی‌های منتظم: زوج‌ضلعی‌های منتظم دارای مرکز تقارن هستند اما فردضلعی‌های منتظم، مرکز تقارن ندارند.
  • خط‌های موازی و مورب: اگر خطی دو خط دیگر را با زاویه‌های مساوی قطع کند، آن دو خط با هم موازی هستند و خط قطع‌کننده آن، با عنوان خط مورب یا خط متقاطع شناخته می‌شود.
  • علامت جبری برای نمایش دو خط موازی: aba \parallel b (خط aa با خط bb موازی است.)
  • علامت جبری برای نمایش دو خط غیرموازی: aba \nparallel b (خط aa با خط bb موازی نیست.)
  • خط‌های عمود: اگر دو خط همدیگر را با زاویه ۹۰۹۰ ^ { \circ } قطع کنند، می‌گوییم آن دو خط بر هم عمودند.
  • علامت جبری برای نمایش دو خط عمود برهم: aba \perp b (خط aa بر خط bb عمود است.)
  • قوانین خطوط موازی و عمود: دو خط عمود بر یک خط، باهم موازی هستند. اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود شود، بر دیگری نیز عمود می‌شود. دو خط موازی با یک خط با یکدیگر موازی هستند.
  • متوازی‌الاضلاع: چهارضلعی‌ای که ضلع‌های روبه‌روی آن، دو به دو با هم موازی‌اند.
  • زاویه داخلی: زاویه‌های درون چندضلعی
  • زاویه خارجی: زاویه‌ی در راس چندضلعی بین امتداد یک ضلع با ضلع مجاورش (مکمل زاویه داخلی در هر راس)

توازی و تعامد

دو خط aa و bb، موازی هستند. خط dd، این دو خط را با زاویه‌های مساوی قطع می‌کند. از این‌رو، به آن خط مورب می‌گویند.

خطوط متوازی و متقاطع

ویژگی‌های زاویه‌های عددگذاری شده در تصویر بالا در موارد زیر خلاصه می‌شود:

  • زاویه‌های مجاور، مکمل یکدیگرند. مثال: زاویه‌های ۱۱ و ۳۳
  • زاویه‌های روبه‌رویی یا متقابل به راس، با یکدیگر برابرند. مثال: زاویه‌های ۱۱ و ۲۲
زاویه‌های شماره‌گذاری شده را پیدا کنید. خط‌های aa و bb، دو خط موازی هستند.
دو خط موازی با یک خط متقاطع
مشاهده جواب

زاویه ۱۳۵۱۳۵ درجه، با زاویه شماره ۱۱، یک زاویه نیم‌صفحه را می‌سازد. بنابراین:

d۱^+۱۳۵=۱۸۰\hat { d _ ۱ } + ۱۳۵ ^ { \circ } = ۱۸۰ ^ { \circ }

d۱^=۱۸۰۱۳۵\hat { d _ ۱ } = ۱۸۰ ^ { \circ } - ۱۳۵ ^ { \circ }

d۱^=۴۵\hat { d _ ۱ } = ۴۵ ^ { \circ }

زاویه شماره ۲۲ نیز همین شرایط را در کنار زاویه ۱۳۵۱۳۵ درجه دارد. بنابراین:

d۲^=۴۵\hat { d _ ۲ } = ۴۵ ^ { \circ }

زاویه ۱۳۵۱۳۵ درجه، در مقابل زاویه شماره ۴۴ قرار دارد. از این‌رو، این دو زاویه با هم برابرند:

d۴^=۱۳۵\hat { d _ ۴ } = ۱۳۵ ^ { \circ }

اکنون، تمام زاویه‌های محل تقاطع خط‌های bb و dd را به دست آوردیم. به دلیل موازی بودن خط‌های aa و bb، تمام این زاویه‌ها با زاویه‌های محل تقاطع خط aa و خط dd برابر خواهند بود. بنابراین:

d۳^=۱۳۵\hat { d _ ۳ } = ۱۳۵ ^ { \circ }

چهارضلعی ها

متوازی‌الاضلاع، یک چهارضلعی است که ضلع‌های روبه‌روی آن دو به دو با هم موازی و مساوی‌اند. از مهم‌ترین خواص این شکل‌های هندسی می‌توان به موازی بودن ضلع‌های روبه‌رو، مساوی بودن ضلع‌های روبه‌رو، مکمل بودن زاویه‌های داخلی مجاور، داشتن تقارن مرکز تقارن، برابر بودن اندازه قطرها و منصف بودن قطرها اشاره کرد. شکل‌های زیر، از انواع متوازی‌الاضلاع به شمار می‌روند:

انواع چهارضلعی‌ها
از بالا-راست تا پایین-چپ: مربع، مستطیل، لوزی، متوازی‌الاضلاع، ذوزنقه و شبه‌لوزی

زاویه های داخلی

زاویه داخلی، زاویه‌ای است که درون یک چندضلعی قرار دارد. تصویر زیر، زاویه‌های داخلی و خارجی یک مثلث را نمایش می‌دهد. در بخش بعدی به تعریف زاویه خارجی می‌پردازیم.

زوایای داخلی و خارجی مثلث

در مبحث زاویه‌های داخلی، مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی‌ها، اهمیت بالایی دارد. شما باید با مجموع زاویه‌های داخلی شکل‌های مهم آشنا باشید. به عنوان مثال، جمع زاویه‌های داخلی مثلث برابر با ۱۸۰۱۸۰ درجه و جمع زاویه‌های داخلی چهارضلعی برابر با ۳۶۰۳۶۰ درجه است. فرمول مجموع زاویه‌های داخلی به صورت زیر نوشته می‌شود:

(n۲)×۱۸۰°(n-۲) \times ۱۸۰°

  • n: تعداد ضلع‌های چندضلعی

زاویه های خارجی

زاویه خارجی، زاویه‌ای است که بین یک ضلع و امتداد آن ضلع تشکیل می‌شود. تصویر زیر، زاویه‌های داخلی و خارجی یک شش‌ضلعی منتظم را نمایش می‌دهد.

زاویه های داخلی و خارجی یک شش ضلعی منتظم

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، هر زاویه خارجی با زاویه داخلی مجاورش، یک زاویه نیم‌صفحه (زاویه ۱۸۰۱۸۰ درجه) را تشکیل می‌دهد. به عبارت دیگر:

۱۸۰۱۸۰ ^ { \circ } = زاویه خارجی مجاور + زاویه داخلی

اندازه زاویه‌های xx و yy را محاسبه کنید.یک مثلث با دو زاویه داخلی معلوم
مشاهده جواب

در این سوال، یک مثلث با دو زاویه داخلی معلوم را داریم. xx، زاویه داخلی مجهول و yy، زاویه خارجی مجهول است. برای به دست آوردن xx، از فرمول مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی استفاده می‌کنیم. البته بر اساس این فرمول، باید بدانید که مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر با ۱۸۰۱۸۰ درجه است. بنابراین:

۵۵+۶۵+x^=۱۸۰۵۵ ^ { \circ } + ۶۵ ^ { \circ } + \hat { x } = ۱۸۰ ^ { \circ }

x^=۱۸۰۵۵۶۵\hat { x } = ۱۸۰ ^ { \circ } - ۵۵ ^ { \circ } - ۶۵ ^ { \circ }

x^=۱۸۰۱۲۰\hat { x } = ۱۸۰ ^ { \circ } - ۱۲۰ ^ { \circ }

x^=۶۰\hat { x } = ۶۰ ^ { \circ }

در نتیجه، زاویه داخلی xx برابر با ۶۰۶۰ درجه است. این زاویه، مکمل زاویه خارجی مجاور خود، یعنی زاویه yy است. به عبارت دیگر:

x^+y^=۱۸۰\hat { x } + \hat { y } = ۱۸۰ ^ { \circ }

۶۰+y^=۱۸۰۶۰ ^ { \circ } + \hat { y } = ۱۸۰ ^ { \circ }

y^=۱۸۰۶۰\hat { y } = ۱۸۰ ^ { \circ } - ۶۰ ^ { \circ }

y^=۱۲۰\hat { y } = ۱۲۰ ^ { \circ }

به خاطر داشته باشید که مجموع زاویه‌های خارجی چندضلعی‌ها، همیشه برابر با ۳۶۰۳۶۰ درجه است. برای اثبات این موضوع می‌توانید مجموع زاویه‌های خارجی چند چندضلعی با زاویه‌های داخلی دلخواه را محاسبه و مقایسه کنید. در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث جبر و معادله را معرفی می‌کنیم.

۴. جبر و معادله: فرمول های فصل چهارم ریاضی هشتم

فصل چهارم کتاب ریاضی هشتم، به موضوع جبر و معادله اختصاص دارد. در این فصل، مباحثی مانند ساده کردن عبارت‌های جبری، پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری، تجزیه عبارت‌های جبری و معادله آموزش داده می‌شوند.

جدول زیر، فرمول های فصل چهارم ریاضی هشتم را نمایش می‌دهد.

عنوانفرمول
فرمول جبری مساحت مربعA=x۲A = x ^ ۲
فرمول جبری مساحت مستطیلA=xyA = x y
فرمول جبری مساحت دایرهA=πr۲A = \pi r ^ ۲
فرمول جبری مساحت مثلثA=۱۲ahA = \frac { ۱ } { ۲ } a h
فرمول جبری مساحت متوازی‌الاضلاعA=ahA = a h
فرمول جبری مساحت ذوزنقهA=۱۲(a+b)hA = \frac { ۱ } { ۲ } ( a + b ) h

در ادامه نیز، مهم‌ترین نکات فصل چهارم ریاضی هشتم به طور خلاصه آورده شده‌اند:

  • دورقمی بودن عدد aba b به صورت ab\overline { { a b } } نمایش داده می‌شود.
  • تمام اعداد بخش‌پذیر بر ۲۲، زوج هستند.
  • اگر nn یک عدد طبیعی باشد، ۲n۲ n، یک عدد زوج و ۲n+۱۲ n + ۱، یک عدد فرد خواهد بود.
  • حاصل‌ضرب دو عدد زوج، یک عدد زوج است.

ساده کردن عبارت های جبری

عبارت‌های جبری، روش بیان مسائل به زبان ریاضی است. روش‌های مختلفی برای ساده کردن این عبارت‌ها وجود دارد. در ادامه، مهم‌ترین مفاهیم این بخش را با حل مثال توضیح می‌دهیم.

عبارت‌های کلامی زیر را به صورت جبری بنویسید:

«یک به توان هر عدد، برابر با یک می‌شود.»

«مربع یا مجذور عدد aa»

«هر عدد به توان یک، برابر خود عدد می‌شود.»

مشاهده جواب

۱a=۱۱ ^ a = ۱

a۲a ^ ۲

a۱=aa ^ ۱ = a

عبارت‌های جبری زیر را ساده کنید.

۹x+۷x۸x۳+۱۱x+۵۹ x + ۷ x - ۸ x - ۳ + ۱۱ x + ۵

(۳x۲y)(۲x۳y)( ۳ x - ۲y ) ( ۲ x - ۳y )

مشاهده جواب

برای ساده‌سازی ۹x+۷x۸x۳+۱۱x+۵۹ x + ۷ x - ۸ x - ۳ + ۱۱ x + ۵، عبارت‌هایی که دارای ضریب xx هستند را در کنار یکدیگر قرار می‌دهیم و سپس اعداد را می‌نویسیم:

۹x+۷x۸x+۱۱x۳+۵۹ x + ۷ x - ۸ x + ۱۱ x - ۳ + ۵

حاصل جمع و تفریق عبارت‌های دارای xx برابر است با:

۹x+۷x۸x+۱۱x=۱۹x۹ x + ۷ x - ۸ x + ۱۱ x = ۱۹ x

حاصل جمع و تفریق اعداد نیز برابر است با:

۳+۵=۵۳=۲- ۳ + ۵ = ۵ - ۳ = ۲

به این ترتیب داریم:

۹x+۷x۸x۳+۱۱x+۵=۱۹x+۲۹ x + ۷ x - ۸ x - ۳ + ۱۱ x + ۵ = ۱۹ x + ۲

برای ساده‌سازی (۳x۲y)(۲x۳y)( ۳ x - ۲y ) ( ۲ x - ۳y )، باید جمله‌های دو عبارت‌های جبری داخل هر پرانتز را در دیگری ضرب کنیم. برای شروع، جمله اول پرانتز اول را در جمله‌های پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

۳x(۲x۳y)=(۳x)(۲x)+(۲x)(۳y)۳ x ( ۲ x - ۳ y ) = ( ۳ x ) ( ۲ x ) + ( ۲ x ) ( - ۳ y )

(۳x)(۲x)=۶xx=۶x۲( ۳ x ) ( ۲ x ) = ۶ x x = ۶ x ^ ۲

(۳x)(۳y)=۹xy( ۳ x ) ( - ۳ y ) = - ۹ x y

۳x(۲x۳y)=۶x۲۹xy۳ x ( ۲ x - ۳ y ) = ۶ x ^ ۲ - ۹ x y

در مرحله بعد، جمله دوم پرانتز اول را در جمله‌های پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

۲y(۲x۳y)=(۲y)(۲x)+(۲y)(۳y)- ۲ y ( ۲ x - ۳ y ) = ( - ۲ y ) ( ۲ x ) + ( - ۲ y ) ( - ۳ y )

(۲y)(۲x)=۴yx( - ۲ y ) ( ۲ x ) = - ۴ y x

(۲y)(۳y)=۶yy=۶y۲( - ۲ y ) ( - ۳ y ) = ۶ y y = ۶ y ^ ۲

۲y(۲x۳y)=۴yx+۶y۲- ۲ y ( ۲ x - ۳ y ) = - ۴ y x + ۶ y ^ ۲

اکنون، حاصل‌ضرب جمله‌های پرانتز اول در پرانتز دوم را با هم جمع می‌کنیم:

(۳x۲y)(۲x۳y)=۶x۲۹xy۴yx+۶y۲( ۳ x - ۲y ) ( ۲ x - ۳y ) = ۶ x ^ ۲ - ۹ x y - ۴ y x + ۶ y ^ ۲

عبارت‌های xyx y و yxy x، یکسان هستند. بنابراین، می‌توانیم بنویسیم:

(۳x۲y)(۲x۳y)=۶x۲۹xy۴xy+۶y۲( ۳ x - ۲y ) ( ۲ x - ۳y ) = ۶ x ^ ۲ - ۹ x y - ۴ x y + ۶ y ^ ۲

۹xy۴xy=۱۱xy- ۹ x y - ۴ x y = ۱۱ x y

در نتیجه:

(۳x۲y)(۲x۳y)=۶x۲۱۱xy+۶y۲( ۳ x - ۲y ) ( ۲ x - ۳y ) = ۶ x ^ ۲ - ۱۱ x y + ۶ y ^ ۲

پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری

عبارت‌های جبری، ترکیبی از جمله‌ها هستند که با عملیات‌های ریاضی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و غیره) در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند. به عنوان مثال، ۵x+۵۵ x + ۵ یک عبارت جبری است. این عبارت، از یک متغیر (xx)، یک عدد (۵۵) و علامت جمع (++) تشکیل می‌شود. اکنون به جای xx، یک مقدار عددی قرار می‌دهیم. به عنوان مثال، می‌گوییم:

۵x+۱۵ x + ۱

x=۱x = - ۱

در نتیجه، خواهیم داشت:

۵(۱)+۵=۵+۵=۰۵ ( - ۱ ) + ۵ = - ۵ + ۵ = ۰

در این مثال، با در نظر گرفتن x=۱x = - ۱، مقدار عددی عبارت جبری را به دست آوردیم. مثال بعدی را شما حل کنید.

مساحت مکعب مستطیلی به طول، عرض و ارتفاع زیر را به دست بیاورید:
  • عرض: ۶۶
  • طول: ۲۲
  • ارتفاع: ۳۳
مشاهده جواب

مساحت مساحت مکعب مستطیل با استفاده از فرمول جبری زیر محاسبه می‌شود:

A=۲(wllhhw)A = ۲ ( w l l h h w )

  • w: عرض مکعب مستطیل
  • l: طول مکعب مستطیل
  • h: ارتفاع مکعب مستطیل

در صورت سوال، مقدار هر یک از متغیرهای بالا داده شده است.

  • w: عرض مکعب مستطیل برابر با ۶ w=۶w = ۶
  • l: طول مکعب مستطیل برابر با ۲ l=۲l = ۲
  • h: ارتفاع مکعب مستطیل برابر با ۳ h=۳h = ۳

این مقادیر را به جای متغیر مربوط به آن‌ها درون فرمول قرار می‌دهیم:

A=۲(wllhhw)=۲(۶×۲۲×۳۳×۶)A = ۲ ( w l l h h w ) = ۲ ( ۶ \times ۲ ۲ \times ۳ ۳ \times ۶ )

از آنجایی که عملیات ضرب نسبت به جمع اولویت دارد، رابطه بالا به صورت زیر ساده می‌شود:

A=۲(۱۲۶۱۸)A = ۲ ( ۱۲ ۶ ۱۸ )

A=۲(۳۶)A = ۲ ( ۳۶ )

A=۷۲A = ۷۲

تجزیه عبارت های جبری

تجزیه عبارت‌های جبری، فرآیند نمایش عبارت‌های جبری به صورت ضرب دو یا چند عبارت است. به عنوان مثال، عبارت جبری زیر را در نظر بگیرید:

a(b+c)a ( b + c )

یک درخت پر از عدد - فرمول های ریاضی هشتم

بر اساس خاصیت توزیع‌پذیری، می‌توانیم aa در هر یک از جمله‌های داخل پرانتز ضرب کنیم و به عبارت زیر برسیم:

a(b+c)=ab+aca ( b + c ) = a b + a c

اکنون، عبارت ab+aca b + a c را در نظر بگیرید. این عبارت را به صورت ضرب زیر می‌نویسیم:

ab+ac=a(b+c)a b + a c = a ( b + c )

طی فرآیند بالا، عمل تجزیه را بر روی عبارت جبری انجام داده‌ایم. خاصیت توزیع‌پذیری و تجزیه، عکس یکدیگر هستند. تجزیه عبارت‌های جبری، طی یک فرآیند ساده انجام می‌گیرد. در این فرآیند، ابتدا عامل یا بخش مشترک بین جمله‌های عبارت جبری شناسایی شده و سپس، عامل مشترک در مجموع جمله‌های غیرمشترک ضرب می‌شود.

صورت و مخرج کسر زیر را تجزیه و سپس کسر را ساده کنید.

a۲bab۲a۳b۲a۲b۳\frac { a ^ ۲ b - a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ - a ^ ۲ b ^ ۳}

مشاهده جواب

ساده‌سازی کسر را با تجزیه صورت و مخرج آن شروع می‌کنیم. به این منظور، صورت کسر را در نظر بگیرید:

a۲bab۲a ^ ۲ b - a b ^ ۲

برای تجزیه این عبارت، باید عامل مشترک جمله‌های آن را پیدا کنیم. عامل مشترک، پارامتری است که در هر جمله وجود دارد. عامل مشترک عبارت بالا، aba b است.

a۲b=ab×aa ^ ۲ b = a b \times a

ab۲=ab×ba b ^ ۲ = a b \times b

به منظور نوشتن عبارت تجزیه شده، عامل مشترک را پشت یک پرانتز می‌نویسیم:

a۲bab۲=ab(       )a ^ ۲ b - a b ^ ۲ = a b ( \ \ \ \ \ \ \ )

عبارت جبری صورت کسر، دو جمله دارد که علامت یکی از آن‌ها مثبت و دیگری منفی است. این علامت‌ها را به ترتیب درون پرانتز قرار می‌دهیم:

a۲bab۲=ab(+       )a ^ ۲ b - a b ^ ۲ = a b ( + \ \ \ - \ \ \ \ )

سپس، عامل غیرمشترک هر جمله را به ترتیب، درون پرانتز جایگذاری می‌کنیم:

a۲bab۲=ab(+ab)a ^ ۲ b - a b ^ ۲ = a b ( + a -b )

a۲bab۲=ab(ab)a ^ ۲ b - a b ^ ۲ = a b ( a -b )

در مرحله بعد، عبارت جبری مخرج کسر را در نظر می‌گیریم:

a۳b۲a۲b۳a ^ ۳ b ^ ۲ - a ^ ۲ b ^ ۳

عامل مشترک جمله‌های این عبارت، a۲b۲a ^ ۲ b ^ ۲ است. مانند صورت، مخرج را نیز تجزیه می‌کنیم:

a۳b۲a۲b۳=a۲b۲(ab)a ^ ۳ b ^ ۲ - a ^ ۲ b ^ ۳ = a ^ ۲ b ^ ۲ ( a - b )

عبارت‌های تجزیه شده را درون کسر قرار می‌دهیم:

a۲bab۲a۳b۲a۲b۳=ab(ab)a۲b۲(ab)\frac { a ^ ۲ b - a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ - a ^ ۲ b ^ ۳} = \frac { a b ( a -b ) } { a ^ ۲ b ^ ۲ ( a - b ) }

(ab)( a - b ) را از صورت و مخرج کسر ساده می‌کنیم:

a۲bab۲a۳b۲a۲b۳=aba۲b۲\frac { a ^ ۲ b - a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ - a ^ ۲ b ^ ۳} = \frac { a b } { a ^ ۲ b ^ ۲ }

مخرج کسر را به صورت ضرب aba b در aba b می‌نویسیم:

a۲bab۲a۳b۲a۲b۳=abab×ab\frac { a ^ ۲ b - a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ - a ^ ۲ b ^ ۳} = \frac { a b } { a b \times a b }

اکنون می‌توانیم aba b را نیز از صورت و مخرج ساده کنیم:

a۲bab۲a۳b۲a۲b۳=۱ab\frac { a ^ ۲ b - a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ - a ^ ۲ b ^ ۳} = \frac { ۱ } { a b }

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با کمک تجزیه عبارت‌های جبری، کسر اولیه به یک کسر ساده تبدیل شد.

معادله

معادله، گزاره‌ای است که برابر بودن دو عبارت جبری را نمایش می‌دهد. بسیاری از مسائل ریاضی، به کمک مفهوم معادله بیان و حل می‌شوند. چندین معادله در ادامه آورده شده‌اند:

۳۸x+۵=۱۶- \frac { ۳ }{ ۸ } x + ۵ = \frac { ۱ } { ۶ }

۵۱۲x۷۱۸=۲\frac { ۵ }{ ۱۲ } x - \frac { ۷ } { ۱۸ } = ۲

۴x+۲۷=۳۲x۴ x + \frac { ۲ }{ ۷ } = \frac { ۳ } { ۲ } x

روش‌های مختلفی برای حل معادله وجود دارد. ساده‌ترین روش حل معادلات بالا (معادلات درجه اول)، نوشتن اعداد در یک سمت معادله و نوشتن متغیر در سمت دیگر است.

عرض مستطیلی برابر با ۵۵ سانتی‌متر و محیط آن برابر با ۲۴۲۴ سانتی‌متر است. طول مستطیل را به دست بیاورید.
مشاهده جواب

برای به دست آوردن طول مستطیل، فرمول جبری محیط مستطیل را می‌نویسیم:

P=۲(l+w)P = ۲ ( l + w )

  • P: محیط مستطیل برابر با ۲۴۲۴ سانتی‌متر
  • l: طول مستطیل
  • w: عرض مستطیل برابر با ۵۵ سانتی‌متر

مقادیر معلوم را درون فرمول محیط مستطیل قرار می‌دهیم:

۲۴=۲(l+۵)۲۴ = ۲ ( l + ۵ )

اکنون، یک معادله با یک متغیر مجهول (ll) داریم. برای حل این معادله، سعی می‌‌کنیم اعداد را به یک سمت ببریم و متغیر را در سمت دیگر نگه داریم. به این منظور، ابتدا دو طرف معادله را تقسیم بر ۲۲ می‌کنیم تا ضریب پشت پرانتز از بین برود:

۱۲=l+۵۱۲ = l + ۵

در مرحله بعد، عدد ۵۵ را به سمت دیگر می‌بریم:

۱۲۵=l۱۲ -۵ = l

۷=l۷ = l

در نتیجه، طول مستطیل برابر با ۷۷ سانتی‌متر است.

در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث بردار و مختصات را معرفی می‌کنیم.

۵. بردار و مختصات: فرمول های فصل پنجم ریاضی هشتم

فصل پنجم کتاب ریاضی هشتم، به معرفی فرمول های جمع بردارها، ضرب عدد در بردار و بردارهای واحد مختصات می‌پردازد.

جدول زیر، مهم‌ترین فرمول های فصل پنجم ریاضی هشتم را نمایش می‌دهد.

عنوانفرمول
جمع برداری[xy]+[zt]=[x+zy+t]\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} z \\ t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x +z \\ y+t \end{bmatrix}
ضرب عدد در بردارk[xy]=[kxky]k \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k x \\ k y \end{bmatrix}
قرینه بردار [xy]\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}[xy]\begin{bmatrix} - x \\ - y \end{bmatrix}
مختصات بردارهای واحدi=[۱۰]\vec { i } = \begin{bmatrix} ۱ \\ ۰ \end{bmatrix}j=[۰۱]\vec { j } = \begin{bmatrix} ۰ \\ ۱ \end{bmatrix}

جمع بردارها

بردار، کمیتی است که دارای اندازه و جهت است. به عنوان مثال، اگر شخصی از نقطه AA به سمت نقطه BB حرکت کند، میزان و جهت جابجایی آن، با AB\vec { A B } نمایش داده می‌شود. اکنون اگر شخص، مسیر خود را از نقطه BB تا نقطه CC ادامه دهد، بردار BC\vec { B C } به اندازه و جهت حرکت او اضافه می‌شود.

دو بردار پشت هم

برای اینکه بفهمیم شخص، مجموعا به چه اندازه و در کدام جهت حرکت کرده است، از جمع برداری استفاده می‌کنیم. در تصویر بالا، حاصل جمع بردارهای AB\vec { A B } و BC\vec { B C }، برداری است که ابتدای AB\vec { A B } را به انتهای BC\vec { B C } وصل می‌کند. این بردار، AC\vec { A C} است.

جمع دو بردار - فرمول های ریاضی هشتم

فرمول جمع برداری در فضای دوبعدی به صورت زیر نوشته می‌شود:

AB+BC=AC\vec { A B } + \vec { B C } = \vec { A C }

AB=[xy]\vec { A B } = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

BC=[zt]\vec { B C } = \begin{bmatrix} z \\ t \end{bmatrix}

AC=[xy]+[zt]=[x+zy+t]\vec { A C } = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} z \\ t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x +z \\ y+t \end{bmatrix}

در تساوی زیر، مقدار xx و yy را به دست بیاورید.

[   ۳۴]+[   x۲]=[۷y]\begin{bmatrix} \ \ \ ۳ \\ - ۴ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \ \ \ x \\ - ۲ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ۷ \\ y \end{bmatrix}

مشاهده جواب

رابطه کلی جمع دو بردار به صورت زیر نوشته می‌شود:

[xy]+[zt]=[x+zy+t]\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} z \\ t \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x +z \\ y+t \end{bmatrix}

با توجه به این رابطه و اطلاعات صورت سوال، داریم:

۳+x=۷  x=۷۳=۴۳ + x = ۷ \ \to \ x = ۷ - ۳ =۴

۴۲=y  y=۶- ۴ - ۲ = y \ \to \ y = - ۶

ضرب عدد در بردار

اگر یک عدد ثابت را در یک بردار ضرب کنیم، آن عدد در طول و عرض بردار ضرب می‌شود. نمایش جبری ضرب عدد در بردار به صورت زیر است:

k[xy]=[kxky]k \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k x \\ k y \end{bmatrix}

برای به دست آوردن قرینه یک بردار، آن را در عدد ۱- ۱ ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال، اگر b\vec { b }، قرینه بردار a=[xy]\vec { a } = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} باشد، داریم:

b=a=[xy]\vec { b } = - \vec { a } = \begin{bmatrix} - x \\ - y \end{bmatrix}

بردارهای a\vec { a } و b\vec { b } را در نظر بگیرید. بردار c=۲a+۳b\vec { c } = ۲ \vec { a } + ۳ \vec { b } را رسم کنید.

دو بردار با مبدا یکسان
مشاهده جواب

برای به دست آوردن c=۲a+۳b\vec { c } = ۲ \vec { a } + ۳ \vec { b }، ابتدا، بردارهای ۲a۲ \vec { a } و ۳b۳ \vec { b } را رسم می‌کنیم.

رسم بردارهای حاصلاز ضرب عدد در بردار

اکنون، می‌توانیم حاصل جمع بردارهای ۲a۲ \vec { a } و ۳b۳ \vec { b } را به دست بیاوریم. از آنجایی که ابتدای هر دو بردار روی یکدیگر قرار دارد، از روشی موسوم به روش متوازی‌الاضلاع استفاده می‌کنیم. در این روش، یک بردار هم‌اندازه ۲a۲ \vec { a } را در انتهای ۳b۳ \vec { b } و یک بردار هم‌اندازه ۳b۳ \vec { b } را در انتهای ۲a۲ \vec { a } رسم می‌کنیم.

رسم متوازی الاضلاع برای به دست آوردن جمع برداها - فرمول های ریاضی هشتم

قطر متوازی‌الاضلاع بالا، حاصل جمع برداری c=۲a+۳b\vec { c } = ۲ \vec { a } + ۳ \vec { b } خواهد بود.

رسم قطر متوازی الاضلاع به عنوان حاصل جمع بردارها
حاصل عبارت زیر را به دست بیاورید.

(۱۲)[۱۲۸]+۶[۷۳]\left ( - \frac { ۱ }{ ۲ } \right )\left [ \begin{matrix} ۱۲ \\ -۸ \end{matrix} \right ] + ۶ \left [ \begin{matrix} ۷ \\ ۳ \end{matrix} \right ]

مشاهده جواب

عبارت (۱۲)[۱۲۸]+۶[۷۳]\left ( - \frac { ۱ }{ ۲ } \right )\left [ \begin{matrix} ۱۲ \\ -۸ \end{matrix} \right ] + ۶ \left [ \begin{matrix} ۷ \\ ۳ \end{matrix} \right ]، حاصل جمع دو بردار را نمایش می‌دهد که هر یک از آن‌ها در یک عدد ضرب شده‌اند. از این‌رو، برای به دست آوردن حاصل عبارت، ابتدا باید جواب ضرب عدد در هر بردار را به دست بیاوریم. به این منظور، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

(۱۲)[۱۲۸]=[(۱۲)×۱۲(۱۲)×(۸)]=[۶۴]\left ( - \frac { ۱ }{ ۲ } \right )\left [ \begin{matrix} ۱۲ \\ -۸ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} \left ( - \frac { ۱ }{ ۲ } \right ) \times ۱۲ \\ \left ( - \frac { ۱ }{ ۲ } \right ) \times ( - ۸ ) \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} - ۶ \\ ۴ \end{matrix} \right ]

۶[۷۳]=[۶×۷۶×۳]=[۴۲۱۸]۶ \left [ \begin{matrix} ۷ \\ ۳ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} ۶ \times ۷ \\ ۶ \times ۳ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} ۴۲ \\ ۱۸ \end{matrix} \right ]

در نهایت، جواب ضرب‌های عدد در بردار را با هم جمع می‌کنیم:

[۶۴]+[۴۲۱۸]=[۶+۴۲۴+۱۸]=[۳۶۲۲]\left [ \begin{matrix} - ۶ \\ ۴ \end{matrix} \right ] + \left [ \begin{matrix} ۴۲ \\ ۱۸ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} - ۶ + ۴۲ \\ ۴ + ۱۸\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} ۳۶ \\ ۲۲ \end{matrix} \right ]

(۱۲)[۱۲۸]+۶[۷۳]=[۳۶۲۲]\left ( - \frac { ۱ }{ ۲ } \right )\left [ \begin{matrix} ۱۲ \\ -۸ \end{matrix} \right ] + ۶ \left [ \begin{matrix} ۷ \\ ۳ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} ۳۶ \\ ۲۲ \end{matrix} \right ]

بردارهای واحد مختصات

بردار واحد، برداری با اندازه (طول یا عرض) واحد است. بردارهای واحد روی محورهای مختصات به صورت زیر نمایش داده می‌شوند:

i=[۱۰]\vec { i } = \begin{bmatrix} ۱ \\ ۰ \end{bmatrix}

j=[۰۱]\vec { j } = \begin{bmatrix} ۰ \\ ۱ \end{bmatrix}

بردارهای یکه روی محورهای مختصات - فرمول های ریاضی هشتم

از بردارهای واحد، برای نمایش ساده و خطی بردارهای دیگر استفاده می‌شود. برای درک این موضوع، مثال زیر را حل کنید.

مختصات بردار a\vec { a } را به دست بیاورید.

a=۴i+۲j\vec { a } = ۴ \vec { i } + ۲ \vec { j }

مشاهده جواب

برای پاسخگویی به این سوال، ابتدا مختصات بردارهای واحد را در نظر بگیرید:

i=[۱۰]\vec { i } = \begin{bmatrix} ۱ \\ ۰ \end{bmatrix}

j=[۰۱]\vec { j } = \begin{bmatrix} ۰ \\ ۱ \end{bmatrix}

این مختصات را درون رابطه a\vec { a } قرار می‌دهیم:

a=۴[۱۰]+۲[۰۱]\vec { a } = ۴ \begin{bmatrix} ۱ \\ ۰ \end{bmatrix} + ۲ \begin{bmatrix} ۰ \\ ۱ \end{bmatrix}

با توجه به قاعده ضرب عدد در بردار، داریم:

a=[۴۰]+[۰۲]\vec { a } = \begin{bmatrix} ۴ \\ ۰ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} ۰ \\ ۲ \end{bmatrix}

اکنون، بردارهای موجود را بر اساس قاعده جمع برداری، با هم جمع می‌کنیم:

a=[۴۲]\vec { a } = \begin{bmatrix} ۴ \\ ۲ \end{bmatrix}

a=۴i+۲j=[۴۲]\vec { a } = ۴ \vec { i } + ۲ \vec { j } = \begin{bmatrix} ۴ \\ ۲ \end{bmatrix}

در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث مثلث را معرفی می‌کنیم.

۶. مثلث: فرمول های فصل ششم ریاضی هشتم

در فصل ششم کتاب ریاضی هشتم، مباحث مرتبط با مثلث‌ها از جمله رابطه فیثاغورس، شکل‌های هم‌نهشت، مثلث‌های هم‌نهشت و هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه تدریس می‌شود.

از مهم‌ترین فرمول های فصل ششم ریاضی هشتم، می‌توان به قضیه فیثاغورس اشاره کرد. رابطه قضیه فیثاغورس به صورت زیر نوشته می‌شود:

a۲=b۲+c۲a ^ ۲ = b ^ ۲ + c ^ ۲

  • a: اندازه وتر مثلث قائم‌الزاویه
  • b: اندازه یکی از ساق‌های مثلث قائم‌الزاویه
  • c: اندازه ساق دیگر مثلث قائم‌الزاویه

در جدول زیر، برخی از تعاریف و ویژگی‌های مهم فصل ششم ریاضی هشتم، به طور خلاصه آورده شده‌اند.

عنوانتعریف
قضیه فیثاغورسدر یک مثلث قائم‌الزاویه، مجذور وتر با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر برابر است.
عکس قضیه فیثاغورساگر در مثلثی، مجذور یک ضلع با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث، قائم‌‌الزاویه است.
هم‌نهشتیبه شکل‌هایی که با یک یا چند تبدیل هندسی، کاملا بر روی هم منطبق می‌شوند را شکل‌های هم‌نهشت می‌گویند.
حالت‌های هم‌نهشتی مثلث‌ها(ض ض ض)، (ض ز ض) و (ز ض ز)
حالت‌های هم‌نهشتی مثلث قائم‌الزاویه(و ض) و (و ز)
فاصله نقاط عمود منصف پاره‌خط از دو سر آنهر نقطه روی عمود منصف یک پاره‌خط، از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است.
فاصله نقاط نیمساز از دو ضلع زاویههر نقطه روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است.

رابطه فیثاغورس

رابطه فیثاغورس، یکی از مهم‌ترین و شناخته شده‌ترین فرمول های ریاضی است که در حوزه‌های مختلفی از جمله مثلثات کاربرد دارد. این رابطه به صورت زیر نوشته می‌شود:

a۲=b۲+c۲a ^ ۲ = b ^ ۲ + c ^ ۲

  • a: اندازه وتر مثلث قائم‌الزاویه
  • b: اندازه یکی از ساق‌های مثلث قائم‌الزاویه
  • c: اندازه ساق دیگر مثلث قائم‌الزاویه
آیا مثلثی با ضلع‌های ۶، ۸ و ۱۰ سانتی‌متر، قائم‌الزاویه است؟
مشاهده جواب

اگر اندازه ضلع‌های مثلث، در رابطه فیثاغورس صدق کند، آن مثلث به عنوان یک مثلث قائم‌الزاویه در نظر گرفته می‌شود. در اینجا، اندازه ضلع‌ها برابر است با:

  • ۶ سانتی‌متر
  • ۸ سانتی‌متر
  • ۱۰ سانتی‌متر

می‌دانیم که در صورت قائم‌الزاویه بودن مثلث، اندازه وتر آن از ساق‌ها بزرگ‌تر خواهد بود. بنابراین، ضلع ۱۰ سانتی‌متری را به عنوان وتر در نظر می‌گیریم و مقدار آن را به همراه اندازه ساق‌ها، درون رابطه فیثاغورس قرار می‌دهیم:

a۲=b۲+c۲a ^ ۲ = b ^ ۲ + c ^ ۲

  • a: اندازه وتر مثلث قائم‌الزاویه برابر با ۱۰ سانتی‌متر
  • b: اندازه یکی از ساق‌های مثلث قائم‌الزاویه برابر با ۶ سانتی‌متر
  • c: اندازه ساق دیگر مثلث قائم‌الزاویه برابر با ۸ سانتی‌متر

۱۰۲=۶۲+۸۲۱۰ ^ ۲ = ۶ ^ ۲ + ۸ ^ ۲

۱۰۰=۳۶+۶۴۱۰۰ = ۳۶ + ۶۴

۱۰۰=۱۰۰   ۱۰۰ = ۱۰۰ \ \ \ \checkmark

شکل های هم نهشت

اگر شکلی را بتوانیم با یک یا چند تبدیل هندسی مانند تقارن، دوران و یا انتقال، طوری بر شکل دیگر منطبق کنیم که هر دو شکل یکدیگر را کاملا بپوشانند، می‌گوییم این دو شکل، هم‌نهشت هستند.

مثلث های هم نهشت - فرمول های ریاضی هشتم

هم‌نهشت بودن شکل‌ها را با علامت زیر نمایش می‌دهیم:

\cong

هم‌نهشت نبودن شکل‌ها را نیز با علامت زیر بیان می‌کنیم:

≇\not\cong

به عنوان مثال، اگر دو مثلث ABCA B C و GHFG H F، هم‌نهشت باشند، می‌نویسیم:

ABCGHF\triangle { A B C } \cong \triangle { G H F }

مثلث های هم نهشت

مثلث‌ها، یکی از شکل‌های پرکاربرد هندسی هستند که مسئله هم‌نهشتی برای آن‌ها، معمولا بیشتر از دیگر شکل‌های هندسی مطرح می‌شود. برای هم‌نهشتی و مثلث، سه حالت کلی وجود دارد:

  • (ض ض ض): برابری سه ضلع
  • (ض ز ض): برابری دو ضلع و زاویه بین
  • (ز ض ز): برابری دو زاویه و ضلع بین

به عنوان مثال، اگر دو مثال، دارای سه ضلع هم‌اندازه باشند، با توجه به حالت (ض ض ض)، هم‌نهشت خواهند بود.

هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه

در مثلث‌های قائم‌الزاویه، ضمن مشخص بودن اندازه یکی از زاویه‌ها (زاویه ۹۰۹۰ درجه)، بر اساس رابطه فیثاغورس، اندازه ضلع‌ها با یکدیگر رابطه دارند. همین ویژگی، دو حالت هم‌نهشتی دیگر در مثلث‌های قائم‌الزاویه به وجود می‌آورد که عبارت هستند از:

  • (و ض): برابری وتر و یک ضلع
  • (و ز): برابری وتر و یک زاویه تند (زاویه غیرقائمه)

در حالت (و ض)، اگر وتر و یکی از ساق‌ها در دو مثلث با هم برابر باشند، با توجه به رابطه فیثاغورس، ضلع سوم آن‌ها نیز با هم برابر خواهد بود و حالت (ض ض ض) به وجود می‌آید. در حالت (و ز)، به دلیل برابر بودن یک زاویه تند و زاویه قائمه، قطعا زاویه سوم دو مثلث نیز با هم برابر می‌شود. علاوه بر این، از آنجایی که وترها با هم برابرند، حال (ز ض ز) به وجود می‌آید. در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث توان و جذر را معرفی می‌کنیم.

۷. توان و جذر: فرمول های فصل هفتم ریاضی هشتم

عنوان فصل هفتم کتاب ریاضی هشتم، «توان و جذر» است. در این فصل، مباحثی نظیر توان، تقسیم اعداد توان‌دار، جذر تقریبی، نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد و خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها آموزش داده می‌شود.

مهم‌ترین فرمول های فصل هفتم ریاضی هشتم در جدول زیر آورده شده‌اند.

عنوانفرمول
ضرب دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساویam×an=am+na ^ m \times a ^ n = a ^ { m + n }
ضرب دو عدد توان‌دار با توان مساویam×bm=(a×b)ma ^ m \times b ^ m = ( a \times b ) ^ m
حاصل یک عدد توان‌دار به توان عدد دیگر(am)n=amn\left ( a ^ m \right ) ^ n = a ^ { m n }
تقسیم دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساویam÷an=amna ^ m \div a ^ n = a ^ { m - n }
تقسیم دو عدد توان‌دار با توان‌های مساویam÷bm=(ab)ma ^ m \div b ^ m = \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ m
جذر حاصل‌ضرب دو عددab=ab\sqrt { a b } = \sqrt { a } \sqrt { b }
جذر حاصل تقسیم دو عددab=ab\sqrt { \frac{ a } { b } } = \frac { \sqrt { a } }{ \sqrt { b } }

در فرمول های بالا، aa، یک عدد دلخواه بوده و mm و nn، دو عدد طبیعی هستند. bb نیز یک عدد طبیعی غیرصفر است (b۰b \ne ۰).

یادآوری ضرب اعداد توان دار

اعداد توان‌دار، اعدادی هستند که به صورت ترکیبی و به فرم زیر نمایش داده می‌شوند:

ama ^ m

اجزای اعداد توان‌دار، عبارت هستند از:

  • پایه: عددی که در پایین نوشته می‌شود (مانند aa در ama ^ m).
  • نما: عدد که در بالا نوشته می‌شود (مانند mm در ama ^ m).

در فصل هفتم کتاب ریاضی هشتم، اشاره‌ای به جمع و تفریق دو عدد توان دار نمی‌شود. البته می‌توان رابطه کلی زیر را برای انجام این عملیات در نظر گرفت:

xab  ±  yab=(x±y)abx a^b \; \pm \; y a^b = (x \pm y ) a^b

روابط مربوط به ضرب اعداد توان‌دار با پایه یا مبنای مساوی، عبارت هستند از:

aman=am+na ^ m \cdot a ^ n = a ^ { m + n }

ambm=(ab)ma ^ m \cdot b ^ m = ( a b ) ^ m

یک پسر نشسته در حال کتاب خواندن

حاصل عبارت ۱۲۵×۱۸۳×(۱۹)۳۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ را به صورت یک عبارت توان‌دار بنویسید.

مشاهده جواب

برای ساده‌سازی ۱۲۵×۱۸۳×(۱۹)۳۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳، از قوانین ضرب اعداد توان‌دار استفاده می‌کنیم. به این منظور، ابتدا عدد ۱۲۵۱۲۵ را به فرم توانی زیر می‌نویسیم:

۱۲۵=۵۳۱۲۵ = ۵ ^ ۳

به این ترتیب، داریم:

۱۲۵×۱۸۳×(۱۹)۳=۵۳×۱۸۳×(۱۹)۳۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ = ۵ ^ ۳ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳

توان تمام عددهای بالا برابر با ۳۳ است. بنابراین و بر اساس فرمول ضرب عددهای توان‌دار با توان مساوی، خواهیم داشت:

ambm=(ab)ma ^ m \cdot b ^ m = ( a b ) ^ m

۱۲۵×۱۸۳×(۱۹)۳=(۵×۱۸×۱۹)۳۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ = \left ( ۵ \times ۱۸ \times \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳

در نتیجه:

۱۲۵×۱۸۳×(۱۹)۳=۱۰۳۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ = ۱۰ ^ ۳

اگر یک عدد توان‌دار را به توان عدد دیگر برسانیم، حاصل آن، عددی با مبنایی برابر با مبنای قبلی و نمایی برابر با حاصل‌ضرب توان‌ها خواهد بود. این قانون در قالب فرمول زیر بیان می‌شود:

(am)n=amn\left ( a ^ m \right ) ^ n = a ^ { m n }

حاصل عبارت ۲۳×(۲۲)۴۲ ^ ۳ \times \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ را به صورت یک عبارت توان‌دار بنویسید.
مشاهده جواب

برای به دست آوردن حاصل عبارت ۲۳×(۲۲)۴۲ ^ ۳ \times \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴، ابتدا به سراغ جمله دارای پرانتز می‌رویم. این جمله، عبارت است از:

(۲۲)۴\left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴

با توجه به فرمول حاصل یک عدد توان‌دار به توان عدد دیگر، داریم:

(am)n=amn\left ( a ^ m \right ) ^ n = a ^ { m n }

(۲۲)۴=۲۲×۴\left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ = ۲ ^ { ۲ \times ۴ }

(۲۲)۴=۲۸\left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ = ۲ ^ ۸

این عدد را درون عبارت مورد سوال قرار می‌دهیم:

۲۳×(۲۲)۴=۲۳×۲۸۲ ^ ۳ \times \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ = ۲ ^ ۳ \times ۲ ^ ۸

حاصل‌ضرب دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی عبارت است از:

am×an=am+na ^ m \times a ^ n = a ^ { m + n }

۲۳×۲۸=۲۳+۸=۲۱۱۲ ^ ۳ \times ۲ ^ ۸ = ۲ ^ { ۳ + ۸ } = ۲ ^ { ۱۱ }

در نتیجه:

۲۳×(۲۲)۴=۲۱۱۲ ^ ۳ \times \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ = ۲ ^ { ۱۱ }

تقسیم اعداد توان دار

مبحث تقسیم اعداد توان‌دار در کتاب ریاضی هشتم، در دو فرمول زیر خلاصه می‌شود:

am÷an=amna ^ m \div a ^ n = a ^ { m - n }

am÷bm=(ab)ma ^ m \div b ^ m = \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ m

دمای مرکز خورشید حدود ۱۵۱۵ میلیون درجه سلسیوس و دمای مرکز زمین حدود ۵۵ هزار درجه سلسیوس است. نسبت دمای مرکز خورشید به دمای مرکز زمین را به صورت یک عدد توان‌دار بیان کنید.

مشاهده جواب

جواب

یکی از روش‌های رایج برای نمایش اعداد بزرگ یا کوچک در دنیای ریاضی و فیزیک، استفاده از نماد علمی است. در این روش، عدد مورد نظر به صورت یک عدد توان‌دار بیان می‌شود. در این مثال، دمای مرکز خورشید، در حدود ۱۵۱۵ میلیون درجه سلسیوس یا ۱۵۰۰۰۰۰۰۱۵ ۰۰۰۰۰۰ درجه سلسیوس است. برای نمایش ساده‌تر، این عدد به صورت زیر نوشته می‌شود:

۱۵۰۰۰۰۰۰=۱۵×۱۰۷۱۵ ۰۰۰۰۰۰ = ۱۵ \times ۱۰ ^ ۷

دمای مرکز زمین، برابر با ۵۰۰۰۵۰۰۰ درجه سلسیوس یا ۵×۱۰۳C۵ \times ۱۰ ^ ۳ C درجه سلسیوس است. اکنون اگر بخواهیم نسبت این دو دما را به دست بیاوریم، می‌نویسیم:

۱۵×۱۰۷۵×۱۰۳\frac { ۱۵ \times ۱۰ ^ ۷ }{ ۵ \times ۱۰ ^ ۳ }

این عبارت را به صورت زیر ساده می‌کنیم:

۱۵۵×۱۰۷۱۰۳\frac { ۱۵ }{ ۵ } \times \frac { ۱۰ ^ ۷ }{ ۱۰ ^ ۳ }

بر اساس فرمول تقسیم دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی، داریم:

am÷an=amna ^ m \div a ^ n = a ^ { m - n }

۱۰۷۱۰۳=۱۰۷۳=۱۰۴\frac { ۱۰ ^ ۷ }{ ۱۰ ^ ۳ } = ۱۰ ^ { ۷ - ۳ } = ۱۰ ^ ۴

۱۵۵×۱۰۷۱۰۳=۱۵۵×۱۰۴=۳×۱۰۴\frac { ۱۵ }{ ۵ } \times \frac { ۱۰ ^ ۷ }{ ۱۰ ^ ۳ } = \frac { ۱۵ }{ ۵ } \times ۱۰ ^ ۴ = ۳ \times ۱۰ ^ ۴

در نتیجه، نسبت دمای مرکز خورشید به دمای مرکز زمین، حدود ۳×۱۰۴۳ \times ۱۰ ^ ۴ است.

حاصل تقسیم ۹۴۳۴\frac { ۹ ^ ۴ } { ۳ ^ ۴ } چیست؟

مشاهده جواب

۹۴۳۴\frac { ۹ ^ ۴ } { ۳ ^ ۴ }، تقسیم دو عدد توان‌دار با توان مساوی را نمایش می‌دهد. حاصل این عبارت از رابطه زیر به دست می‌آید:

am÷bm=(ab)ma ^ m \div b ^ m = \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ m

۹۴۳۴=(۹۳)۴\frac { ۹ ^ ۴ } { ۳ ^ ۴ } = \left ( \frac { ۹ } { ۳ } \right ) ^ ۴

(۹۳)۴=۳۴\left ( \frac { ۹ } { ۳ } \right ) ^ ۴ = ۳ ^ ۴

۹۴۳۴=۳۴\frac { ۹ ^ ۴ } { ۳ ^ ۴ } = ۳ ^ ۴

جذر تقریبی

جذر، ریشه دوم یا رادیکال، از پرکاربردترین مفاهیم در حل مسائل ریاضی، مخصوصا حل معادله درجه دو است. اگر عدد زیر رادیکال، مربع کامل (حاصل‌ضرب یک عدد در خودش) نباشد، جذر عدد برابر با یک عدد طبیعی نیست. بنابراین، یا باید آن را به صورت رادیکالی بیان کرد، یا مقدار تقریبی آن را به دست آورد. کتاب هشتم ریاضی، فرآیند زیر را برای تعیین مقدار تقریبی جذر یک عدد معرفی می‌کند:

  1. در نظر گرفتن نزدیک‌ترین مربع‌های کامل بزرگ‌تر و کوچک‌تر از عدد زیر رادیکال
  2. محاسبه وسط دو عدد انتخابی
  3. محاسبه مربع عدد به دست آمده در مرحله دوم
  4. تشخیص بزرگ‌تر یا کوچک‌تر بودن جواب رادیکال با مقایسه عدد به دست آمده در مرحله سوم و عدد زیر رادیکال اصلی
    • اگر عدد به دست آمده در مرحله سوم، کوچک‌تر از عدد زیر رادیکال باشد، بازه جذر تقریبی به سمت بالا محدود می‌شود.
    • اگر عدد به دست آمده در مرحله سوم، بزرگ‌تر از عدد زیر رادیکال باشد، بازه جذر تقریبی به سمت پایین محدود می‌شود.
  5. تکرار مراحل دو تا چهار برای افزایش دقت تقریب

فرآیند محاسبه جذر تقریبی را با حل یک مثال مرور می‌کنیم.

جواب ۴۰\sqrt { ۴۰ } را به کمک جذر تقریبی به دست بیاورید.
مشاهده جواب

برای به دست آوردن جواب تقریبی ۴۰\sqrt { ۴۰ }، ابتدا نزدیک‌ترین مربع‌های کامل بزرگ‌تر و کوچک‌تر از عدد زیر رادیکال (۴۰۴۰) را مشخص می‌کنیم. این اعداد، ۳۶۳۶ , ۴۹۴۹ هستند. بنابراین:

\sqrt { ۳۶ } \lt \sqrt { ۴۰ } \lt \sqrt { ۴۹ }

به عبارت دیگر، ۴۰\sqrt { ۴۰ }، بین عدد ۶۶ و ۷۷ قرار دارد:

۶<۴۰<۷۶ \lt \sqrt { ۴۰ } \lt ۷

در مرحله بعد، وسط ۶۶ و ۷۷ را در نظر می‌گیریم. این عدد برابر است با:

۶+۷۲=۶/۵\frac { ۶ + ۷ } { ۲ } = ۶/۵

در قدم بعدی، عدد بالا را به توان ۲۲ می‌رسانیم:

۶/۵۲=۴۲/۲۵۶/۵ ^ ۲ = ۴۲/۲۵

عدد ۴۲/۵۴۲/۵، بزرگ‌تر از ۴۰۴۰ است. بنابراین، جواب ۴۰\sqrt { ۴۰ }، کوچک‌تر از ۶/۵۶/۵ و بزرگ‌تر ۶۶ خواهد بود. یعنی:

۶<۴۰<۶/۵۶ \lt \sqrt { ۴۰ } \lt ۶/۵

وسط دو عدد ۶۶ و ۶/۵۶/۵ برابر با ۶/۲۵۶/۲۵ بوده و مربع آن برابر با ۳۹/۰۶۲۵۳۹/۰۶۲۵ است. به دلیل کوچک‌تر بودن ۳۹/۰۶۲۵۳۹/۰۶۲۵ از ۴۰۴۰، جواب ۴۰\sqrt { ۴۰ }، بین ۶/۲۵۶/۲۵ تا ۶/۵۶/۵ خواهد بود. با توجه به کوچک بودن بازه، جواب مربع‌های بین ۶/۲۵۶/۲۵ تا ۶/۵۶/۵ را حساب کرده و با ۴۰۴۰ مقایسه می‌کنیم:

۶/۲۵۲=۳۰/۰۶۲۵۶/۲۵ ^ ۲ = ۳۰/۰۶۲۵

۶/۳۰۲=۳۹/۶۹۶/۳۰ ^ ۲ = ۳۹/۶۹

۶/۳۵۲=۴۰/۳۲۲۵۶/۳۵ ^ ۲ = ۴۰/۳۲۲۵

۶/۴۰۲=۴۰/۶۴۶/۴۰ ^ ۲ = ۴۰/۶۴

۶/۴۵۲=۴۱/۶۰۲۵۶/۴۵ ^ ۲ = ۴۱/۶۰۲۵

۶/۵۲=۴۲/۲۵۶/۵ ^ ۲ = ۴۲/۲۵

از میان اعداد بالا، ۳۹/۶۹۳۹/۶۹ به ۴۰۴۰ نزدیک‌تر است، در نتیجه، جواب تقریبی ۴۰\sqrt { ۴۰ } را می‌توانیم برابر با ۶/۳۰۶/۳۰ در نظر بگیریم.

نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد

نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد، با استفاده از مفاهیم مرتبط با مثلث قائم‌الزاویه و قضیه فیثاغورس انجام می‌شود. برای درک فرآیند انجام این کار، می‌خواهیم عدد ۲۲\sqrt { ۲ } - ۲ را روی محور اعداد مشخص کنیم. به این منظور، ابتدا عدد مورد نظر را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم تا از بخش غیررادیکالی آن به عنوان جمله اول و بخش رادیکالی آن، به عنوان جمله دوم دیده شود:

۲+۲- ۲ + \sqrt { ۲ }

عدد غیررادیکالی، نقطه شروع را نمایش می‌دهد. بر روی محور اعداد، این نقطه را مشخص می‌کنیم.

محور اعداد با علامت روی عدد منفی 2

اکنون، باید یک مثلث قائم الزاویه رسم کنیم. جهت این مثلث به علامت پشت عدد رادیکالی بستگی دارد. به دلیل مثبت بودن علامت پشت رادیکال، جهت رسم مثلث به سمت راست خواهد بود. اندازه ساق‌های مثلث، با توجه به عدد زیر رادیکال تعیین می‌شود. باید اعدادی را پیدا کنیم که جمع مربع‌های آن‌ها برابر با عدد زیر رادیکال شود. این اعداد برابر با ۱۱ و ۱۱ هستند. زیرا:

۱۲+۱۲=۲۱ ^ ۲ + ۱ ^ ۲ = ۲

پس به اندازه یک واحد، به سمت راست، یکی از ساق‌های مثلث قائم‌الزاویه را رسم می‌کنیم.

رسم یکی از ساق‌های مثلث قائم الزاویه روی محور اعداد

در انتهای ساق اول، ساق دوم را به صورت عمود رسم می‌کنیم.

رسم ساق دوم مثلث قائم الزاویه روی محور اعداد - فرمول های ریاضی هشتم

با اتصال دو ساق، رسم وتر و مثلث قائم‌الزاویه، تکمیل می‌شود.

تکمیل مثلث قائم الزاویه روی محور اعداد

اکنون، به مرکز ۲- ۲ و شعاع وتر مثلث، یک کمان را به گونه‌ای رسم می‌کنیم که محور اعداد را در سمت راست مثلث قطع کند.

نمایش عدد رادیکالی روی محور اعداد

محل تقاطع کمان با محور اعداد، عدد ۲۲\sqrt { ۲ } - ۲ را نمایش می‌دهد. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در رابطه با ضرب و تقسیم رادیکال‌ها را به همراه حل مثال معرفی می‌کنیم.

خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها

مفهوم رادیکال، ارتباط بسیار نزدیکی با مفهوم اعداد توان‌دار دارد. فرمول های ضرب و تقسیم رادیکال‌ها را می‌توان به کمک ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار به دست آورد. به عنوان مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:

ab\sqrt { a b }

فرم توانی این عبارت به صورت زیر نوشته می‌شود:

ab=(ab)۱۲\sqrt { a b } = ( a b ) ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }

عبارت توانی بالا، به صورت زیر نیز قابل بیان است:

(ab)۱۲=a۱۲b۱۲( a b ) ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } = a ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } b ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }