حجم کره و محاسبه آن | به زبان ساده

فرمول حجم کره چیست؟

همچنین، از آموزش‌های قبل می‌دانیم که فرمول مساحت سطح کره‌ای به شعاع $$r$$ برابر با $$S= 4 \pi r ^ 2$$ است. جالب است بدانید که کره از بین همه اجسام هندسی با مساحت یکسان، دارای بیشترین حجم است.

اثبات فرمول حجم کره

شکل زیر را در نظر بگیرید.

$$\large d V = \pi x ^ 2 d y$$

مجموع عناصر استوانه‌ای از $$o$$ تا $$r$$ یک نیم‌کره است. با دو برابر کردن نیم‌کره، حجم کره به دست می‌آید:

$$\large V = 2 \pi \int _ 0 ^ r x ^ 2 d y$$

$$\large \begin {align*} V & = 2 \pi \int _ 0 ^ r ( r ^ 2 - y ^ 2 ) d y = 2 \pi \left [ r ^ 2 y - \dfrac { y ^ 3 } { 3 } \right ] _ 0 ^ r \\ & = 2 \pi \left [ \left ( r ^ 3 - \dfrac { r ^ 3 } { 3 } \right ) - \left ( 0 - \dfrac { 0 ^ 3 } { 3 } \right ) \right ] \\ & = 2 \pi \left [ \dfrac { 2 r ^ 3 } { 3 } \right ] = \dfrac { 4 \pi r ^ 3 } { 3 } \end {align*}$$

مثال های محاسبه حجم کره

در این بخش، چند مثال از محاسبه حجم کره را حل می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱: حجم کره‌ای به شعاع $$5$$ چقدر است.

حل: طبق فرمولی که گفتیم، حجم کره برابر است با:

$$\large V = \frac { 4 } { 3 } \pi \times 5 ^ 3 = \frac { 5 0 0 } { 3 } \pi = 1 6 6 \frac { 2 } { 3 } \pi$$

مثال ۲: اگر مساحت سطح کره‌ای برابر با $$144 \pi$$  باشد، حجم آن را به دست آورید.

حل: با توجه به فرمول $$4 \pi r ^ 2$$ مربوط به مساحت سطح کره، مساحت داده شده را می‌توان به صورت زیر نوشت:

$$\large 144 \pi = 4 \pi \times 6 ^ 2 .$$

بنابراین، می‌توان گفت که شعاع کره $$r=6$$ است. در نتیجه، حجم آن به صورت زیر به دست می‌آید:‌

$$\large V = \frac { 4 } { 3 } \pi r ^ 3 = \frac { 4 } { 3 } \pi \times 6 ^ 3 = 2 8 8 \pi .$$

مثال ۳: یک گوی طلایی داریم که حجم آن $$\frac { 4 \pi } { 3 } \text { cm} ^ 3$$ است. اگر بخواهیم اندازه (شعاع) این گوی طلایی را دو برابر کنیم، به چه مقدار طلای اضافه نیاز داریم؟

حل: با توجه به فرمول $$V = \frac { 4 } { 3 } \pi r ^ 3$$ مربوط به حجم کره که در آن، $$r$$ شعاع کره است، شعاع برابر با $$r = 1 \text { cm}$$ به دست خواهد آمد. از آنجا که می‌خواهیم شعاع دو برابر، یعنی $$2 \text { cm}$$ شود، حجم طلای مورد نیاز برای گوی جدید، $$\frac { 4 } { 3 } \pi \times 2 ^ 3 = \frac { 3 2 \pi }{ 3 } \left ( \text {cm} ^ 3 \right )$$ است. در نتیجه، مقدار طلای اضافه مورد نیاز برابر خواهد بود با:

$$\large \frac { 3 2 \pi } { 3 } \text { cm} ^ 3 - \frac { 4 \pi }{ 3 } \pi \text { cm} ^ 3 = \frac { 2 8 \pi } { 3 } \text { cm} ^ 3 .$$

مثال ۴: حجم کره $$a$$، به اندازه $$\frac { 1 } { 2 7 }$$ برابر کوچک‌تر از کره $$b$$ است. در این صورت، مساحت سطح کره $$a$$ چند برابر مساحت سطح کره $$b$$ خواهد بود؟

حل: فرض کنید $$R_a$$ و $$R_b$$، به ترتیب، شعاع‌های کره‌های $$a$$ و $$b$$ باشند. با توجه به فرمول حجم $$V = \frac { 4 } { 3 } \pi r ^ 3$$ کره یا شعاع $$r$$، می‌توان نوشت:

$$\large \frac { 4 } { 3 } \pi { R _ a } ^ 3 = \frac { 1 } { 2 7 } \cdot \frac { 4 } { 3 } \pi { R _ b } ^ 3$$

که منجر به رابطه $$R _ a = \frac { 1 } { 3 } R _ b$$ می‌شود.

بنابراین، با توجه به فرمول $$S = 4 \pi r ^ 2$$ مساحت سطح کره به شعاع $$r$$، مساحت سطح کره $$a$$، به اندازه $$\left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ 2 = \frac { 1 } { 9 }$$ برابر کوچک‌تر از مساحت سطح کره $$b$$ خواهد بود.

بخش مخروطی یک کلاهک کروی به شعاع $$r=3$$ دارد. نسبت حجم کل کره اصلی به این مخروط کروی چقدر است؟

حل:‌ شکل زیر را در نظر بگیرید:

$$\large V _ {ss} = \dfrac { 2 } { 3 } \pi ( 5 ^ 2 ) ( 1 ) = \dfrac { 5 0 } { 3 } \pi$$

حجم کره اصلی نیز برابر است با:

$$\large V = \dfrac { 4 } { 3 } \pi R ^ 3 = \dfrac { 4 } { 3 } \pi ( 5 ^ 3 ) = \dfrac { 5 0 0 } { 3 } \pi$$

در نهایت، نسبت حجم کره به حجم مخروط کروی به صورت زیر محاسبه می‌شود:‌

$$\large \dfrac { V } { V _ { s s } } = \dfrac { \dfrac { 5 0 0 } { 3 } \pi } { \dfrac { 5 0 }{ 3 } \pi } = \dfrac { 5 0 0 } { 5 0 } = 10$$

مثال ۶: حجم کره شکل زیر را به دست آورید (مقدار $$\pi$$ را برابر با $$3.14$$ در نظر بگیرید).

حل: قطر کره برابر با $$42\, \text{cm}$$ است و بنابراین، شعاع آن $$r = 21\, \text{cm}$$ خواهد بود. با کمک فرمول حجم کره، خواهیم داشت:

$$\large V = \frac 43 \pi r ^ 3 = \frac 43 \times 3.14 \times 21^ 3 =\frac 43 \times 3.14 \times 9261 =38,772.7\; \text{cm}^3$$