اعداد مرکب چیست و چه اعدادی هستند؟ | به زبان ساده و با مثال

۳۴۷۴۲ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۱ فروردین ۱۴۰۳
زمان مطالعه: ۱۰ دقیقه
اعداد مرکب چیست و چه اعدادی هستند؟ | به زبان ساده و با مثال

در نوشتارهای دیگر مجله فرادرس با مفهوم اعداد و همچنین مجموعه اعداد صحیح و طبیعی آشنا شدید. بررسی و همچنین شناخت ویژگی‌های این اعداد، به ظهور شاخه‌ای از علم ریاضی منجر شد که به آن نظریه اعداد گفته می‌شود. در کتاب ریاضی گسسته پایه دوازدهم، بخشی به مفاهیم مربوط به اعداد صحیح و بخش‌پذیری اختصاص دارد. ‌همنهشتی و عاد کردن، قسمت‌های دیگری از این کتاب را تشکیل می‌دهند. شاید خواندن این متن و نوشتار، مقدمه‌ای برای ورود به آن موضوعات باشد. ولی در این متن می‌خواهیم با اعداد مرکب آشنا شده و به صورت ساده آن‌ها را معرفی کنیم. در نتیجه دانش فراگیران را در حد ریاضی هشتم در نظر گرفته و براساس آن محاسبات را اجرا خواهیم کرد.

997696

اگر می‌خواهید اطلاعات بیشتری در زمینه نظریه اعداد و همچنین نظریه مجموعه‌ها بدانید، پیشنهاد می‌کنیم که مطالب دیگر مجله فرادرس با عناوین مجموعه ها در ریاضیات — مفاهیم پایه و نظریه اعداد و کاربردهای آن — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن نوشتارهای قضایای همنهشتی در اعداد صحیح — به زبان ساده و بخش پذیری در اعداد — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

اعداد مرکب چیست و چه اعدادی هستند؟

همانطور که می‌دانید، از اعداد برای شمارش و مشخص کردن یک کمیت استفاده می‌شود. برای مثال برای مشخص کردن وزن یک جسم، از اعداد استفاده می‌کنیم. در اصل وقتی می‌گوییم که وزن جسمی ۳۰۰ گرم است به این معنی است که براساس استاندارد (یکای جرم) وزن این جسم، ۳۰۰ برابر وزنه استاندارد با وزن ۱ گرم است. بنابراین می‌نویسیم:

300=1×300 \large 300 = 1 \times 300

پس وزن این جسم را می‌توان ترکیبی از جرم ۳۰۰ وزنه استاندارد یک گرمی در نظر گرفت. به همین شکل نیز می‌توان برای اعداد صحیح (طبیعی) یک واحد در نظر گرفت و بقیه اعداد را برحسب آن‌ها نوشت.

precision weights
وزنه‌های استاندارد

برای مثال عدد 12 را در نظر بگیرید. این عدد را می‌توان به صورت حاصل ضرب اعداد دیگر که همگی طبیعی هستند، نمایش داد.

12=2× 6,      12=6×2,      12=3×4,      12=4×3 \large 12 = 2 \times  6 , \;\;\; 12 = 6 \times 2 , \;\;\; 12 = 3 \times 4 , \;\;\; 12 = 4 \times 3

بنابراین ۱۲ را می‌توان از ترکیب (ضرب) اعداد ۳ و ۴ یا اعداد ۲ و ۶ بدست آورد. به همین دلیل ۱۲ را یک «عدد مرکب» (composite Number) می‌نامیم.

نکته: گروه دیگری از اعداد نیز وجود دارند که در «مجموعه اعداد مختلط» (Complex Set) قرار می‌گیرند که تعریفی متفاوت داشته و نباید با اعداد مرکب اشتباه گرفته شوند.

اعداد اول و مرکب

همانطور که برای اندازه‌گیری وزن، مبنا و معیار، وزنه‌های استاندارد شده در نظر گرفته شد، در نظریه اعداد نیز برای ساختن اعداد مرکب، اعدادی به کار می‌روند که به عنوان معیار بوده و اعداد طبیعی دیگر براساس آن‌ها محاسبه و تولید می‌شوند. به چنین اعدادی، «اعداد اول» (Prime Numbers) می‌گویند. هر عدد اول را فقط می‌توان به صورت حاصل‌ضرب خودش در یک نوشت. توجه داشته باشید که ۱ نه عدد اول است و نه عدد مرکب زیرا در تعریف ارائه شده برای اعداد اول یا مرکب صدق نمی‌کند.

به عنوان تعریفی دیگر، می‌توان عددی را به عنوان عدد اول در نظر گرفت که نتوان آن را به صورت حاصلضرب دو عدد دیگر (به جز یک) نمایش داد. واضح است که هر عدد اول را می‌توان به صورت ضرب خودش در 1 نوشت. بنابراین این حالت را از تعریف اعداد اول خارج کرده‌ایم. مجموعه اعداد اول، بی‌نهایت عضو دارد ولی می‌توان ۱۰ عدد اول ابتدای مجموعه اعداد طبیعی را به صورت زیر نشان داد.

{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,} \large \{ 2 ,3 ,5 ,7, 11, 13 , 17, 19, 23, 29, \ldots \}

نکته: در بین اعداد اول، فقط ۲ عدد زوج است و بقیه اعداد اول، همگی فرد هستند. زیرا همه اعداد زوج، مضربی از ۲ بوده و دیگر عدد اول نخواهند بود.

مشخص است که اعضای این مجموعه را می‌توان برای تولید اعداد دیگر (اعداد مرکب) به کار گرفت. به اعداد زیر توجه کنید که در آن‌ها اولین عدد به کار رفته در ضرب، یک عدد اول است.

12=2×6,    27=3×9,     8=2×4,    4=2×2,    16=2×8 \large 12 = 2 \times 6 , \;\; 27 = 3 \times 9, \;\;  \\ \large 8 = 2 \times 4 , \;\; 4 = 2 \times 2 , \;\; 16 = 2 \times 8

رابطه ۱

اگر این شیوه ضربی را برای اعداد مرکب (که در سمت راست قرار دارند) به کار ببریم، هر عدد مرکب را به صورت ضرب اعداد اول نوشته‌ایم. این عمل را تجزیه به عوامل اول یا تجزیه به عامل‌های اول می‌نامند. برای مثال عدد ۶ که در سمت راست اولین عمل ضرب در رابطه بالا دیده می‌شود، یک عدد مرکب است، زیرا می‌توان آن را به صورت حاصل‌ضرب ۲ در ۳ نوشت که هر دو عدد اول هستند. در نتیجه ۱۲ را به شکل حاصل ضرب این عوامل نشان خواهیم داد.

12=2×6=2×(2×3)=2×2×3=22×3 \large 12 = 2 \times 6 = 2 \times (2 \times 3) \\ \large = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3

رابطه ۲

معلم ابتدایی پای تخته در حال درس دادن اعداد (تصویر تزئینی مطلب اعداد مرکب)

در رابطه ۲، عدد ۱۲ را به صورت ضرب عوامل اول آن نوشتیم. در ادامه اعداد دیگر که در رابطه ۱ قرار دارند، را به همین شکل به صورت حاصل‌ضرب عوامل اول، می‌نویسیم. برای صرفه‌جویی در نوشتن ضرب یک عدد در خودش، از توان رساندن، استفاده کرده‌ایم. واضح است که پایه توان حتما یک عدد اول بوده ولی نمای به کار رفته، ممکن است از اعداد مرکب یا اول باشد.

27=3×9=3×3×3=33 \large 27 = 3 \times 9 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3

8=2×4=2×2×2=23 \large 8= 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3

16=2×8=2×2×2×2=24 \large 16= 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4

در ادامه به روش تجزیه اعداد مرکب براساس ضرب عوامل اول خواهیم پرداخت. سپس اعداد مرکب بزرگ را به صورت ضرب عوامل اول می‌نویسم. برای انجام این کار الگو یا مراحل زیر را طی خواهیم کرد.

مراحل یا گام‌های تجزیه اعداد مرکب به عوامل اول

  • عدد مورد نظر (مثلا a) را به اولین عدد اولی که بر آن بخش‌پذیر باشد، تقسیم کنید.
    • اگر عدد مورد نظر زوج بود، آن را به اولین عدد اول (۲) تقسیم کنید. واضح است که در این گام، عدد ۲، مقسوم علیه نامیده می‌شود.
    • اگر عدد مورد نظر فرد بود، آن را به اولین عدد اول که بر آن بخش پذیر باشد، تقسیم کنید. عدد اول مورد استفاده در این گام،‌ مقسوم علیه نام دارد.
  • خارج قسمت تقسیم قسمت بعد را در نظر بگیرید و مرحله قبل را تکرار کنید.
  • عملیات گفته شده در بالا را تا زمانی که خارج قسمت برابر با عدد یک باشد، ادامه دهید.
  • عدد مورد نظر یعنی a را به صورت ضرب مقسوم علیه‌های به کار رفته، بنویسید.

برای اجرای گام‌های بالا به چند عدد اول (مثلا اعداد اول بین ۱ تا ۱۰۰) نیازمندیم تا بتوانیم آن‌ها را به عنوان مقسوم علیه به کار گیریم.

اعداد اول بین ۱ تا ۱۰۰

در جدول زیر، اعداد اول بین ۱ تا ۱۰۰ را مشاهده می‌کنید. به این ترتیب هنگام اجرای مراحل یا گام‌های تجزیه اعداد مرکب به عوامل اول می‌توان از اعداد این جدول استفاده کرد.

جدول ۱: اعداد اول بین ۱ تا ۱۰۰

12345678
235711131719
910111213141516
2329313741434753
1718192021222324
5961677173798389
25       
97       

همانطور که مشخص است، اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰، شامل ۲۵ عدد است. در ادامه به ذکر چند مثال برای تجزیه اعداد مرکب به عوامل اول می‌پردازیم.

مثال ۱: عدد ۱۲۸ را در نظر بگیرید. از آنجایی که این عدد، زوج است، مقسوم علیه را در گام اول، ۲ محسوب کرده و محاسبات را پی می‌گیریم.

128÷2=64,      64÷2=32,      32÷2=16,      16÷2=8,      8÷2=4,      4÷2=2,      2÷2=1 \large 128 \div 2 = 64 , \;\;\; 64 \div 2 = 32 ,\;\;\; \\ \large 32 \div 2 = 16 , \;\;\; 16 \div 2 = 8 , \;\;\; \\ \large 8 \div 2 = 4, \;\;\; 4 \div 2 = 2 , \;\;\; \\ \large 2 \div 2 = 1

در سمت چپ تساوی‌ها، عدد بعد از علامت ÷\div همان مقسوم علیه است. نتیجه تقسیم هم که در سمت راست هر تساوی قابل مشاهده است، خارج قسمت نام دارد. بنابراین می‌توان ۱۲۸ را به صورت ضرب همه مقسوم علیه‌های آن که به شکل عدد اول هستند، نوشت.

128=2×2×2×2×2×2×2=27 \large 128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^ 7

دانش آموزی در حال نگاه کردن به تخته سیاه است

مثال 2: این بار عدد 405 را در نظر می‌گیریم. از آنجایی که این عدد، فرد است، مقسوم علیه را در گام اول، از بین اعداد اول بزرگتر از ۲ جستجو می‌کنیم. می‌دانیم که مجموع ارقام 405 برابر با 4 + 0 + 5 = 9 است بنابراین بر ۳ که دومین عدد اول محسوب می‌شود، بخش پذیر است.

405÷3=135,      135÷3=45,      45÷3=15,      15÷3=5,      5÷5=1 \large 405 \div 3 = 135, \;\;\; 135 \div 3 = 45 ,\;\;\; \\ \large 45 \div 3 = 15 , \;\;\; 15 \div 3 = 5 , \;\;\; 5 \div 5 = 1

405=3×3×3×3×3×5=34×5 \large 405= 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \\ \large = 3^ 4 \times 5

اعداد مرکب بین ۱ تا ۱۰۰

این بار به جدول اعداد مرکب بین ۱ تا ۱۰۰ اشاره می‌کنیم. واضح است که تمامی اعداد طبیعی که در جدول ۱ دیده نمی‌شوند، اعداد مرکب محسوب خواهند شد.

جدول ۲: اعداد مرکب بین ۱ تا ۱۰۰ (تجزیه به عوامل اول)

ردیفعدد مرکبردیفعدد مرکب
1 4=22 4 = 2 ^23955=5×11 55 = 5 \times 11
26=2×36=2 \times 34056=23×7 56= 2^3 \times 7
48=238 = 2^34157=3×19 57= 3 \times 19
59=329 = 3^24258=2×29 58= 2 \times 29
610=2×510 = 2 \times 54360=22×3×5 60= 2^2 \times 3 \times 5
712=22×312 = 2^2 \times 34462=2×31 62 = 2 \times 31
814=2×7 14 = 2 \times 74563=32×7 63= 3^2 \times 7
915=3×515 = 3 \times 54664=26 64= 2 ^ 6
1016=2416 = 2^44765=5×13 65= 5 \times 13
1118=2×3218 = 2 \times 3^24866=2×3×11 66= 2 \times 3 \times 11
1220=22×5 20 = 2^2 \times 54968=22×17 68= 2^2 \times 17
1321=3×721 = 3 \times 75069=3×23 69= 3 \times 23
1422=2×1122 = 2 \times 115170=2×5×7 70= 2 \times 5 \times 7
1524=23×324= 2^3 \times 35272=23×32 72= 2^3 \times 3^2
1625=52 25 = 5^25374=2×37 74= 2 \times 37
1726=2×13 26 = 2 \times 135475=3×52 75= 3 \times 5 ^ 2
1827=3327 = 3 ^35576=22×19 76= 2^2 \times 19
1928=22×7 28 = 2 ^2 \times 75677=7×11 77= 7 \times 11
2030=2×3×530 = 2 \times 3 \times 55778=2×3×13 78= 2 \times 3 \times 13
2132=25 32 = 2^55880=24×5 80= 2^4 \times 5
2233=3×11 33 = 3 \times 115981=34 81= 3^4
2334=2×1734 = 2 \times 176082=2×41 82= 2 \times 41
2435=5×735 = 5 \times 76184=22×3×7 84= 2^2 \times3 \times 7
2536=22×32 36 = 2 ^ 2 \times 3^26285=5×17 85= 5 \times 17
2638=2×19 38 = 2 \times 196386=2×43 86= 2 \times 43
2739=3×13 39 = 3 \times 136487=3×29 87= 3 \times 29
2840=23×540 = 2^3 \times 56588=23×11 88= 2^3 \times 11
2942=2×3×742 = 2 \times 3 \times 76690=2×32×5 90= 2 \times 3^2 \times 5
3044=22×1144 = 2^2 \times 11 6791=7×13 91= 7 \times 13
3145=32×545 = 3^2 \times 56892=22×23 92 = 2^2 \times 23
3246=2×2346 = 2 \times 236993=3×13 93= 3 \times 13
3348=24×3 48= 2^4 \times 37094=2×47 94= 2 \times 47
3449=7×7 49 = 7 \times 77195=5×19 95= 5 \times 19
3550=2×52 50 = 2 \times 5^27296=25×3 96= 2^5 \times 3
3651=3×17 51= 3 \times 177398=2×72 98= 2 \times 7^2
3752=22×1352 = 2^2 \times 137499=32×11 99= 3^2 \times 11
3854=2×33 54= 2 \times 3^3 75100=22×52 100= 2 ^2 \times 5^2

بنابراین اعداد مرکب از ۱ تا ۱۰۰ شامل ۷۵ عدد است که به ۲۵ عدد اول در این بازه، تشکیل ۱۰۰ عدد از مجموعه اعداد طبیعی را می‌دهند.

نکته: همه اعداد اولی که در تجزیه اعداد ۱ تا ۱۰۰ به کار رفته‌اند، کمتر از 50 هستند. زیرا اگر فرض کنیم، عدد مورد نظر بزرگتر از ۵۰ باشد، حاصل ضرب آن با ۲ بزرگتر از ۱۰۰ خواهد بود. از این قاعده برای جستجوی اعداد اول و تجزیه یک عدد مرکب به عامل‌های اول استفاده کنید. به این ترتیب همیشه برای تجزیه یک عدد مرکب، از اعداد اولی استفاده کنید که از نصف آن عدد کوچکتر یا برابر باشد. برای مثال اگر بخواهیم عدد 38 را به عامل‌های اول تجزیه کنیم، حتما اعداد اول سازنده آن کوچکتر یا مساوی با ۱۹ هستند. این موضوع به خوبی در جدول ۲ قابل مشاهده است.

دانش آموز دبستانی نشسته پشت نیمکت در حال نوشتن

بزرگترین اعداد اول

با استفاده از رایانه‌ها و محاسبات تکراری و همچنین به کارگیری ریاضیات پیشرفته، بزرگترین اعداد اول کشف یا محاسبه شده‌اند. در جدول ۳، بیست عدد اول که از بقیه اعداد اول بزرگتر هستند دیده می‌شود.

جدول ۳: بزرگترین اعداد اول شامل بزرگترین عدد اول تا بیستمین رتبه

رتبهعددتاریخ کشفتعداد ارقام
1282589933 − 112/7/201824,862,048
2277232917 − 112/26/201723,249,425
3274207281 − 11/7/201622,338,618
4257885161 − 11/25/201317,425,170
5243112609 − 18/23/200812,978,189
6242643801 − 16/4/200912,837,064
7237156667 − 19/6/200811,185,272
8232582657 − 19/4/20069,808,358
910223 × 231172165 + 110/31/20169,383,761
10230402457 − 112/15/20059,152,052
11225964951 − 12/18/20057,816,230
12224036583 − 15/15/20047,235,733
13220996011 − 111/17/20036,320,430
1410590941048576 + 110/31/20186,317,602
159194441048576 + 18/29/20176,253,210
16168451 × 219375200 + 19/17/20175,832,522
177 × 218233956 + 110/1/20205,488,969
181234471048576 − 123447524288 + 12/23/20175,338,805
197 × 66772401 + 19/9/20195,269,954
208508301 × 217016603 − 13/21/20185,122,515

تجزیه جمله های مرکب

بخش مهمی از ریاضیات، براساس پارامترها و متغیرها بنا نهاده شده. البته می‌دانیم که هر یک از این پارامترها و علائم می‌توانند نماینده یک یا چند عدد باشند. برای آشنایی بیشتر با نحوه تغییر اعداد به متغیرها و پارامترها بهتر است مطلب معادله و نامعادله در ریاضی — پیدایش و کاربردها را مطالعه کنید.

معلم در کنار تخته ای پر از اعداد

عبارت‌ها و جمله‌های ریاضی را نیز گاهی به صورت ضرب و به شکل مرکب می‌نویسند. اغلب این کار به کمک اتحادها در ریاضی صورت می‌گیرد. به رابطه‌های زیر توجه کنید.

(a2+b2+2ab)=(a+b)2 \large (a^2 + b^2 +2ab ) = (a+ b)^2

(a2+b22ab)=(ab)2 \large (a^2 + b^2 -2ab ) = (a- b)^2

(a2b2)=(ab)(a+b) \large (a^2 - b^2 ) = (a- b)(a +b)

همانطور که می‌بینید، طرف چپ، جمله‌های ریاضی بوده که در سمت راست به صورت ضرب عبارت‌ها نوشته شده. این کار نیز تجزیه محسوب می‌شود. به این ترتیب جمع جمله‌ها را به صورت ضرب عبارت‌های دیگر درآورده‌ایم.

حال فرض کنید که مقدار a=2a = 2 و b=3b=3 باشد که هر دو عدد اول هستند. در این صورت به ترتیب رابطه‌های زیر را خواهیم داشت.

4+9+12=(22+32+2(2×3))=(2+3)2=25 \large 4 + 9 + 12 = (2^2 + 3^2 +2(2 \times 3 ) ) \\ \large = (2+ 3)^2 =25

4+912=(22+322(2×3))=(23)2=1 \large 4 + 9 - 12 = (2^2 + 3^2 -2(2 \times 3) ) \\ \large = (2 - 3)^2 = 1

49=(2232)=(23)(2+3)=(1)(5)=5 \large 4 - 9 = (2^2 - 3^2 ) = (2- 3)(2 +3) \\ \large =(-1)(5) = -5

به این موضوع توجه داشته باشید که اغلب در بحث نظریه اعداد، به مجموعه اعداد طبیعی یا مقادیر صحیح مثبت اکتفا می‌کنیم و روابط بخش‌پذیری یا عاد کردن را مورد بررسی قرار می‌دهیم. برای مقادیر منفی کافی است که آن‌ها را در یک مقدار منفی ضرب کرده و نتیجه را مورد بررسی قرار دهیم. به همین دلیل بیشتر قضیه‌های نظریه اعداد مربوط به مقادیر صحیح مثبت است.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار از مجله فرادرس به این پرسش پاسخ دادیم که اعداد مرکب چیست و چه اعدادی هستند. بحث اعداد اول و تجزیه اعداد مرکب به عوامل اول، موضوعی است که مشخص می‌کند چگونه می‌توان اعداد طبیعی را از طریق اعداد اول ایجاد کرد. بسیاری از اصول و قضیه‌های همنهشتی در نظریه اعداد نیز از همین قسمت آغاز می‌شود. هر چند روش تشخیص عدد اول یا عدد مرکب ساده است ولی محاسبات تقسیم و روال معرفی شده برای تجزیه اعداد مرکب یا تشخیص اعداد اول برای اعداد بسیار بزرگ، زمان زیادی می‌برد. به همین جهت به کمک رایانه‌ها، عمل تجزیه را انجام می‌دهند. تا به امروز (تاریخ انتشار این مطلب) بزرگترین عدد اولی که محاسبه شده است، 1- 282,589,933 بوده که دارای 24,862,048 رقم است.

بر اساس رای ۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
۲ دیدگاه برای «اعداد مرکب چیست و چه اعدادی هستند؟ | به زبان ساده و با مثال»

عدد شش رقمی مرکب

عالی بود، بهترینها رو براتون آرزو می کنم

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *