ریاضی, علوم پایه 997 بازدید

در نوشتارهای دیگر مجله فرادرس با مفهوم اعداد و همچنین مجموعه اعداد صحیح و طبیعی آشنا شدید. بررسی و همچنین شناخت ویژگی‌های این اعداد، به ظهور شاخه‌ای از علم ریاضی منجر شد که به آن نظریه اعداد گفته می‌شود. در کتاب ریاضی گسسته پایه دوازدهم، بخشی به مفاهیم مربوط به اعداد صحیح و بخش‌پذیری اختصاص دارد. ‌همنهشتی و عاد کردن، قسمت‌های دیگری از این کتاب را تشکیل می‌دهند. شاید خواندن این متن و نوشتار، مقدمه‌ای برای ورود به آن موضوعات باشد. ولی در این متن می‌خواهیم با اعداد مرکب آشنا شده و به صورت ساده آن‌ها را معرفی کنیم. در نتیجه دانش فراگیران را در حد ریاضی هشتم در نظر گرفته و براساس آن محاسبات را اجرا خواهیم کرد.

اگر می‌خواهید اطلاعات بیشتری در زمینه نظریه اعداد و همچنین نظریه مجموعه‌ها بدانید، پیشنهاد می‌کنیم که مطالب دیگر مجله فرادرس با عناوین مجموعه ها در ریاضیات — مفاهیم پایه و نظریه اعداد و کاربردهای آن — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن نوشتارهای قضایای همنهشتی در اعداد صحیح — به زبان ساده و بخش پذیری در اعداد — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

اعداد مرکب چیست و چه اعدادی هستند؟

همانطور که می‌دانید، از اعداد برای شمارش و مشخص کردن یک کمیت استفاده می‌شود. برای مثال برای مشخص کردن وزن یک جسم، از اعداد استفاده می‌کنیم. در اصل وقتی می‌گوییم که وزن جسمی ۳۰۰ گرم است به این معنی است که براساس استاندارد (یکای جرم) وزن این جسم، ۳۰۰ برابر وزنه استاندارد با وزن ۱ گرم است. بنابراین می‌نویسیم:

$$ \large 300 = 1 \times 300 $$

پس وزن این جسم را می‌توان ترکیبی از جرم ۳۰۰ وزنه استاندارد یک گرمی در نظر گرفت. به همین شکل نیز می‌توان برای اعداد صحیح (طبیعی) یک واحد در نظر گرفت و بقیه اعداد را برحسب آن‌ها نوشت.

precision weights
وزنه‌های استاندارد

برای مثال عدد 12 را در نظر بگیرید. این عدد را می‌توان به صورت حاصل ضرب اعداد دیگر که همگی طبیعی هستند، نمایش داد.

$$ \large 12 = 2 \times  6 , \;\;\; 12 = 6 \times 2 , \;\;\; 12 = 3 \times 4 , \;\;\; 12 = 4 \times 3 $$

بنابراین ۱۲ را می‌توان از ترکیب (ضرب) اعداد ۳ و ۴ یا اعداد ۲ و ۶ بدست آورد. به همین دلیل ۱۲ را یک «عدد مرکب» (composite Number) می‌نامیم.

نکته: گروه دیگری از اعداد نیز وجود دارند که در «مجموعه اعداد مختلط» (Complex Set) قرار می‌گیرند که تعریفی متفاوت داشته و نباید با اعداد مرکب اشتباه گرفته شوند.

اعداد اول و مرکب

همانطور که برای اندازه‌گیری وزن، مبنا و معیار، وزنه‌های استاندارد شده در نظر گرفته شد، در نظریه اعداد نیز برای ساختن اعداد مرکب، اعدادی به کار می‌روند که به عنوان معیار بوده و اعداد طبیعی دیگر براساس آن‌ها محاسبه و تولید می‌شوند. به چنین اعدادی، «اعداد اول» (Prime Numbers) می‌گویند. هر عدد اول را فقط می‌توان به صورت حاصل‌ضرب خودش در یک نوشت. توجه داشته باشید که ۱ نه عدد اول است و نه عدد مرکب زیرا در تعریف ارائه شده برای اعداد اول یا مرکب صدق نمی‌کند.

به عنوان تعریفی دیگر، می‌توان عددی را به عنوان عدد اول در نظر گرفت که نتوان آن را به صورت حاصلضرب دو عدد دیگر (به جز یک) نمایش داد. واضح است که هر عدد اول را می‌توان به صورت ضرب خودش در 1 نوشت. بنابراین این حالت را از تعریف اعداد اول خارج کرده‌ایم. مجموعه اعداد اول، بی‌نهایت عضو دارد ولی می‌توان ۱۰ عدد اول ابتدای مجموعه اعداد طبیعی را به صورت زیر نشان داد.

$$ \large \{ 2 ,3 ,5 ,7, 11, 13 , 17, 19, 23, 29, \ldots \} $$

نکته: در بین اعداد اول، فقط ۲ عدد زوج است و بقیه اعداد اول، همگی فرد هستند. زیرا همه اعداد زوج، مضربی از ۲ بوده و دیگر عدد اول نخواهند بود.

مشخص است که اعضای این مجموعه را می‌توان برای تولید اعداد دیگر (اعداد مرکب) به کار گرفت. به اعداد زیر توجه کنید که در آن‌ها اولین عدد به کار رفته در ضرب، یک عدد اول است.

$$ \large 12 = 2 \times 6 , \;\; 27 = 3 \times 9, \;\;  \\ \large 8 = 2 \times 4 , \;\; 4 = 2 \times 2 , \;\; 16 = 2 \times 8 $$

رابطه ۱

اگر این شیوه ضربی را برای اعداد مرکب (که در سمت راست قرار دارند) به کار ببریم، هر عدد مرکب را به صورت ضرب اعداد اول نوشته‌ایم. این عمل را تجزیه به عوامل اول یا تجزیه به عامل‌های اول می‌نامند. برای مثال عدد ۶ که در سمت راست اولین عمل ضرب در رابطه بالا دیده می‌شود، یک عدد مرکب است، زیرا می‌توان آن را به صورت حاصل‌ضرب ۲ در ۳ نوشت که هر دو عدد اول هستند. در نتیجه ۱۲ را به شکل حاصل ضرب این عوامل نشان خواهیم داد.

$$ \large 12 = 2 \times 6 = 2 \times (2 \times 3) \\ \large = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 $$

رابطه ۲

در رابطه ۲، عدد ۱۲ را به صورت ضرب عوامل اول آن نوشتیم. در ادامه اعداد دیگر که در رابطه ۱ قرار دارند، را به همین شکل به صورت حاصل‌ضرب عوامل اول، می‌نویسیم. برای صرفه‌جویی در نوشتن ضرب یک عدد در خودش، از توان رساندن، استفاده کرده‌ایم. واضح است که پایه توان حتما یک عدد اول بوده ولی نمای به کار رفته، ممکن است از اعداد مرکب یا اول باشد.

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$$ \large 27 = 3 \times 9 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 $$

$$ \large 8= 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 $$

$$ \large 16= 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 $$

در ادامه به روش تجزیه اعداد مرکب براساس ضرب عوامل اول خواهیم پرداخت. سپس اعداد مرکب بزرگ را به صورت ضرب عوامل اول می‌نویسم. برای انجام این کار الگو یا مراحل زیر را طی خواهیم کرد.

مراحل یا گام‌های تجزیه اعداد مرکب به عوامل اول

  • عدد مورد نظر (مثلا a) را به اولین عدد اولی که بر آن بخش‌پذیر باشد، تقسیم کنید.
    • اگر عدد مورد نظر زوج بود، آن را به اولین عدد اول (۲) تقسیم کنید. واضح است که در این گام، عدد ۲، مقسوم علیه نامیده می‌شود.
    • اگر عدد مورد نظر فرد بود، آن را به اولین عدد اول که بر آن بخش پذیر باشد، تقسیم کنید. عدد اول مورد استفاده در این گام،‌ مقسوم علیه نام دارد.
  • خارج قسمت تقسیم قسمت بعد را در نظر بگیرید و مرحله قبل را تکرار کنید.
  • عملیات گفته شده در بالا را تا زمانی که خارج قسمت برابر با عدد یک باشد، ادامه دهید.
  • عدد مورد نظر یعنی a را به صورت ضرب مقسوم علیه‌های به کار رفته، بنویسید.

برای اجرای گام‌های بالا به چند عدد اول (مثلا اعداد اول بین ۱ تا ۱۰۰) نیازمندیم تا بتوانیم آن‌ها را به عنوان مقسوم علیه به کار گیریم.

اعداد اول بین ۱ تا ۱۰۰

در جدول زیر، اعداد اول بین ۱ تا ۱۰۰ را مشاهده می‌کنید. به این ترتیب هنگام اجرای مراحل یا گام‌های تجزیه اعداد مرکب به عوامل اول می‌توان از اعداد این جدول استفاده کرد.

جدول ۱: اعداد اول بین ۱ تا ۱۰۰

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 5 7 11 13 17 19
9 10 11 12 13 14 15 16
23 29 31 37 41 43 47 53
17 18 19 20 21 22 23 24
59 61 67 71 73 79 83 89
25              
97              

همانطور که مشخص است، اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰، شامل ۲۵ عدد است. در ادامه به ذکر چند مثال برای تجزیه اعداد مرکب به عوامل اول می‌پردازیم.

مثال ۱: عدد ۱۲۸ را در نظر بگیرید. از آنجایی که این عدد، زوج است، مقسوم علیه را در گام اول، ۲ محسوب کرده و محاسبات را پی می‌گیریم.

$$ \large 128 \div 2 = 64 , \;\;\; 64 \div 2 = 32 ,\;\;\; \\ \large 32 \div 2 = 16 , \;\;\; 16 \div 2 = 8 , \;\;\; \\ \large 8 \div 2 = 4, \;\;\; 4 \div 2 = 2 , \;\;\; \\ \large 2 \div 2 = 1$$

در سمت چپ تساوی‌ها، عدد بعد از علامت $$\div$$ همان مقسوم علیه است. نتیجه تقسیم هم که در سمت راست هر تساوی قابل مشاهده است، خارج قسمت نام دارد. بنابراین می‌توان ۱۲۸ را به صورت ضرب همه مقسوم علیه‌های آن که به شکل عدد اول هستند، نوشت.

$$ \large 128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^ 7$$

مثال 2: این بار عدد 405 را در نظر می‌گیریم. از آنجایی که این عدد، فرد است، مقسوم علیه را در گام اول، از بین اعداد اول بزرگتر از ۲ جستجو می‌کنیم. می‌دانیم که مجموع ارقام 405 برابر با 4 + 0 + 5 = 9 است بنابراین بر ۳ که دومین عدد اول محسوب می‌شود، بخش پذیر است.

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$$ \large 405 \div 3 = 135, \;\;\; 135 \div 3 = 45 ,\;\;\; \\ \large 45 \div 3 = 15 , \;\;\; 15 \div 3 = 5 , \;\;\; 5 \div 5 = 1 $$

$$ \large 405= 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \\ \large = 3^ 4 \times 5 $$

خوشبختانه برای اجرای عمل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم، فرادرس یک فیلم آموزشی تهیه کرده است که بوسیله آن می‌توانید بسیاری از محاسبات برای اینگونه عملگرها را در ذهنتان انجام دهید. به منظور مشاهده این فیلم آموزشی به لینکی که در ادامه آورده شده، مراجعه کنید.

اعداد مرکب بین ۱ تا ۱۰۰

این بار به جدول اعداد مرکب بین ۱ تا ۱۰۰ اشاره می‌کنیم. واضح است که تمامی اعداد طبیعی که در جدول ۱ دیده نمی‌شوند، اعداد مرکب محسوب خواهند شد.

جدول ۲: اعداد مرکب بین ۱ تا ۱۰۰ (تجزیه به عوامل اول)

ردیف عدد مرکب ردیف عدد مرکب
1  $$ 4 = 2 ^2$$ 39 $$ 55 = 5 \times 11$$
2 $$6=2 \times 3$$ 40 $$ 56= 2^3 \times 7$$
4 $$8 = 2^3$$ 41 $$ 57= 3 \times 19$$
5 $$9 = 3^2$$ 42 $$ 58= 2 \times 29$$
6 $$10 = 2 \times 5$$ 43 $$ 60= 2^2 \times 3 \times 5$$
7 $$12 = 2^2 \times 3$$ 44 $$ 62 = 2 \times 31$$
8 $$ 14 = 2 \times 7$$ 45 $$ 63= 3^2 \times 7$$
9 $$15 = 3 \times 5$$ 46 $$ 64= 2 ^ 6$$
10 $$16 = 2^4$$ 47 $$ 65= 5 \times 13$$
11 $$18 = 2 \times 3^2$$ 48 $$ 66= 2 \times 3 \times 11$$
12 $$ 20 = 2^2 \times 5$$ 49 $$ 68= 2^2 \times 17$$
13 $$21 = 3 \times 7$$ 50 $$ 69= 3 \times 23$$
14 $$22 = 2 \times 11$$ 51 $$ 70= 2 \times 5 \times 7$$
15 $$24= 2^3 \times 3$$ 52 $$ 72= 2^3 \times 3^2$$
16 $$ 25 = 5^2$$ 53 $$ 74= 2 \times 37$$
17 $$ 26 = 2 \times 13$$ 54 $$ 75= 3 \times 5 ^ 2$$
18 $$27 = 3 ^3$$ 55 $$ 76= 2^2 \times 19$$
19 $$ 28 = 2 ^2 \times 7$$ 56 $$ 77= 7 \times 11$$
20 $$30 = 2 \times 3 \times 5$$ 57 $$ 78= 2 \times 3 \times 13$$
21 $$ 32 = 2^5$$ 58 $$ 80= 2^4 \times 5$$
22 $$ 33 = 3 \times 11$$ 59 $$ 81= 3^4$$
23 $$34 = 2 \times 17$$ 60 $$ 82= 2 \times 41$$
24 $$35 = 5 \times 7$$ 61 $$ 84= 2^2 \times3 \times 7$$
25 $$ 36 = 2 ^ 2 \times 3^2$$ 62 $$ 85= 5 \times 17$$
26 $$ 38 = 2 \times 19$$ 63 $$ 86= 2 \times 43$$
27 $$ 39 = 3 \times 13$$ 64 $$ 87= 3 \times 29$$
28 $$40 = 2^3 \times 5$$ 65 $$ 88= 2^3 \times 11$$
29 $$42 = 2 \times 3 \times 7$$ 66 $$ 90= 2 \times 3^2 \times 5$$
30 $$44 = 2^2 \times 11 $$ 67 $$ 91= 7 \times 13$$
31 $$45 = 3^2 \times 5$$ 68 $$ 92 = 2^2 \times 23$$
32 $$46 = 2 \times 23$$ 69 $$ 93= 3 \times 13$$
33 $$ 48= 2^4 \times 3$$ 70 $$ 94= 2 \times 47$$
34 $$ 49 = 7 \times 7$$ 71 $$ 95= 5 \times 19$$
35 $$ 50 = 2 \times 5^2$$ 72 $$ 96= 2^5 \times 3$$
36 $$ 51= 3 \times 17$$ 73 $$ 98= 2 \times 7^2$$
37 $$52 = 2^2 \times 13$$ 74 $$ 99= 3^2 \times 11$$
38 $$ 54= 2 \times 3^3 $$ 75 $$ 100= 2 ^2 \times 5^2$$

بنابراین اعداد مرکب از ۱ تا ۱۰۰ شامل ۷۵ عدد است که به ۲۵ عدد اول در این بازه، تشکیل ۱۰۰ عدد از مجموعه اعداد طبیعی را می‌دهند.

نکته: همه اعداد اولی که در تجزیه اعداد ۱ تا ۱۰۰ به کار رفته‌اند، کمتر از 50 هستند. زیرا اگر فرض کنیم، عدد مورد نظر بزرگتر از ۵۰ باشد، حاصل ضرب آن با ۲ بزرگتر از ۱۰۰ خواهد بود. از این قاعده برای جستجوی اعداد اول و تجزیه یک عدد مرکب به عامل‌های اول استفاده کنید. به این ترتیب همیشه برای تجزیه یک عدد مرکب، از اعداد اولی استفاده کنید که از نصف آن عدد کوچکتر یا برابر باشد. برای مثال اگر بخواهیم عدد 38 را به عامل‌های اول تجزیه کنیم، حتما اعداد اول سازنده آن کوچکتر یا مساوی با ۱۹ هستند. این موضوع به خوبی در جدول ۲ قابل مشاهده است.

بزرگترین اعداد اول

با استفاده از رایانه‌ها و محاسبات تکراری و همچنین به کارگیری ریاضیات پیشرفته، بزرگترین اعداد اول کشف یا محاسبه شده‌اند. در جدول ۳، بیست عدد اول که از بقیه اعداد اول بزرگتر هستند دیده می‌شود.

جدول ۳: بزرگترین اعداد اول شامل بزرگترین عدد اول تا بیستمین رتبه

رتبه عدد تاریخ کشف تعداد ارقام
1 282589933 − 1 12/7/2018 24,862,048
2 277232917 − 1 12/26/2017 23,249,425
3 274207281 − 1 1/7/2016 22,338,618
4 257885161 − 1 1/25/2013 17,425,170
5 243112609 − 1 8/23/2008 12,978,189
6 242643801 − 1 6/4/2009 12,837,064
7 237156667 − 1 9/6/2008 11,185,272
8 232582657 − 1 9/4/2006 9,808,358
9 10223 × 231172165 + 1 10/31/2016 9,383,761
10 230402457 − 1 12/15/2005 9,152,052
11 225964951 − 1 2/18/2005 7,816,230
12 224036583 − 1 5/15/2004 7,235,733
13 220996011 − 1 11/17/2003 6,320,430
14 10590941048576 + 1 10/31/2018 6,317,602
15 9194441048576 + 1 8/29/2017 6,253,210
16 168451 × 219375200 + 1 9/17/2017 5,832,522
17 7 × 218233956 + 1 10/1/2020 5,488,969
18 1234471048576 − 123447524288 + 1 2/23/2017 5,338,805
19 7 × 66772401 + 1 9/9/2019 5,269,954
20 8508301 × 217016603 − 1 3/21/2018 5,122,515

تجزیه جمله های مرکب

بخش مهمی از ریاضیات، براساس پارامترها و متغیرها بنا نهاده شده. البته می‌دانیم که هر یک از این پارامترها و علائم می‌توانند نماینده یک یا چند عدد باشند. برای آشنایی بیشتر با نحوه تغییر اعداد به متغیرها و پارامترها بهتر است مطلب معادله و نامعادله در ریاضی — پیدایش و کاربردها را مطالعه کنید.

عبارت‌ها و جمله‌های ریاضی را نیز گاهی به صورت ضرب و به شکل مرکب می‌نویسند. اغلب این کار به کمک اتحادها در ریاضی صورت می‌گیرد. به رابطه‌های زیر توجه کنید.

$$ \large (a^2 + b^2 +2ab ) = (a+ b)^2 $$

$$ \large (a^2 + b^2 -2ab ) = (a- b)^2 $$

$$ \large (a^2 – b^2 ) = (a- b)(a +b) $$

همانطور که می‌بینید، طرف چپ، جمله‌های ریاضی بوده که در سمت راست به صورت ضرب عبارت‌ها نوشته شده. این کار نیز تجزیه محسوب می‌شود. به این ترتیب جمع جمله‌ها را به صورت ضرب عبارت‌های دیگر درآورده‌ایم.

حال فرض کنید که مقدار $$a = 2$$ و $$b=3$$ باشد که هر دو عدد اول هستند. در این صورت به ترتیب رابطه‌های زیر را خواهیم داشت.

$$ \large 4 + 9 + 12 = (2^2 + 3^2 +2(2 \times 3 ) ) \\ \large = (2+ 3)^2 =25 $$

$$ \large 4 + 9 – 12 = (2^2 + 3^2 -2(2 \times 3) ) \\ \large = (2 – 3)^2 = 1 $$

$$ \large 4 – 9 = (2^2 – 3^2 ) = (2- 3)(2 +3) \\ \large =(-1)(5) = -5 $$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

به این موضوع توجه داشته باشید که اغلب در بحث نظریه اعداد، به مجموعه اعداد طبیعی یا مقادیر صحیح مثبت اکتفا می‌کنیم و روابط بخش‌پذیری یا عاد کردن را مورد بررسی قرار می‌دهیم. برای مقادیر منفی کافی است که آن‌ها را در یک مقدار منفی ضرب کرده و نتیجه را مورد بررسی قرار دهیم. به همین دلیل بیشتر قضیه‌های نظریه اعداد مربوط به مقادیر صحیح مثبت است.

معرفی فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی فرادرس

fast computing tutorial

در این آموزش برای انجام محاسباتی نظیر جمع و ضرب و البته تقسیم، روش‌هایی معرفی می‌شوند که سرعت اجرای عملیات در ذهن را افزایش می‌دهند. با مشاهده این فیلم آموزشی، می‌توانید با اتکا به نفس، برای حل مسئله‌ها، در ذهنتان محاسبات را انجام داده و مطمئن باشید که با دقت این کار را انجام داده‌اید. این آموزش در شش فصل ارائه شده است.

در فصل اول و همچنین دوم این آموزش روش‌های محاسباتی مرتبط با عمل ضرب مورد بحث قرار می‌گیرد. فصل سوم هم به عمل جمع و تفریق به صورت سریع و ذهنی اعداد پرداخته و موضوع محاسبه لگاریتم هم در فصل چهارم مورد بررسی قرار گرفته است. فصل پنجم و ششم به اتفاق، محاسبات توابع مثلثاتی و محاسبه سریع جذر یا ریشه دوم اعداد را معرفی کرده است.

به این ترتیب علاوه بر چهار عمل اصلی با محاسبه لگاریتم و جذرگیری نیز آشنا شده و قادر خواهید بود که این گونه محاسبات را به صورت ذهنی انجام دهید. مدت زمان این فیلم آموزشی ۲ ساعت و ۲۰ دقیقه است که برای دانش آموزان دبیرستان و حتی دانشجویان به منظور کسب سرعت در اجرای عملیات ریاضی، پیشنهاد می‌شود. هر چند زمان آموزش کوتاه به نظر می‌رسد ولی راه‌کارهای معرفی شده بسیار زیاد و به همراه مثال ارائه شده‌اند.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار به این پرسش پاسخ دادیم که اعداد مرکب چیست و چه اعدادی هستند. بحث اعداد اول و تجزیه اعداد مرکب به عوامل اول، موضوعی است که مشخص می‌کند چگونه می‌توان اعداد طبیعی را از طریق اعداد اول ایجاد کرد. بسیاری از اصول و قضیه‌های همنهشتی در نظریه اعداد نیز از همین قسمت آغاز می‌شود. هر چند روش تشخیص عدد اول یا عدد مرکب ساده است ولی محاسبات تقسیم و روال معرفی شده برای تجزیه اعداد مرکب یا تشخیص اعداد اول برای اعداد بسیار بزرگ، زمان زیادی می‌برد. به همین جهت به کمک رایانه‌ها، عمل تجزیه را انجام می‌دهند. تا به امروز (تاریخ انتشار این مطلب) بزرگترین عدد اولی که محاسبه شده است، 1- 282,589,933 بوده که دارای 24,862,048 رقم است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 3 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *