رسم تابع — با مثال های حل شده

در این آموزش، روش و الگوریتم نظام‌مند رسم توابع مختلف را ارائه می‌کنیم. چند مثال مختلف نیز برای درک بهتر رسم تابع ارائه شده است.

رسم تابع

گام‌های کلی رسم نمودار تابع $$ y = f (x ) $$ به صورت زیر است:

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

1. دامنه تابع، نقاط ناپیوستگی و مجانب‌های قائم (در صورت وجود) را تعیین کنید.
2. زوج و فرد یا متناوب بودن تابع را مشخص کنید.
3. مجانب‌های مایل و افقی تابع را به دست آورید.
4. نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات و بازه‌هایی را تعیین کنید که در آن، تابع یک علامت ثابت ($$ f (x)>0 $$ یا $$ f (x ) < 0$$) دارد.
5. مشتق اول ($$ f’\left( x \right) $$)، نقاط اکسترمم و بازه‌های صعودی یا نزولی بودن تابع را محاسبه کنید.
6. مشتق دوم ($$ f ^ {\prime \prime} (x) $$)، نقاط عطف و بازه‌های مقعر یا محدب بودن تابع را تعیین کنید.
7. نمودار تابع را رسم کنید.

مثال‌ها

در ادامه، مثال‌های متنوعی را برای رسم نمودار توابع بررسی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی ۲ – پایه یازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

مثال ۱

نمودار تابع زیر را رسم کنید.

$$ \large y = { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x $$

حل: تابع در همه $$ x \in \mathbb{R} $$ تعریف شده است. در نتیجه، این تابع مجانب قائم ندارد. وجود مجانب مایل را با محاسبه شیب تابع بررسی می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x } } { x } }\\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } \right ) = + \infty . }
\end {align*} $$

در نتیجه، تابع مجانب مایل نیز ندارد. اکنون نقاط برخورد نمودار را با محورهای مختصات تعیین می‌کنیم:

$$ \large y\left( 0 \right) = 0 $$

در ادامه، معادله زیر را حل می‌کنیم:

$$ \large {x^3} – 3{x^2} + 2x = 0 $$

جواب‌های این معادله به صورت زیر هستند:

$$ \large { x \left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \; { x _ 2 } = 1 , \; { x _ 3 } = 2 } $$

بازه‌هایی را که در آن‌ها تابع مثبت یا منفی است، می‌توان با حل نامساوی‌های زیر تعیین کرد (شکل 1 (الف)):

$$ \large { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x > 0 , \; \; } \Rightarrow { x \left ( { x – 1 } \right ) \left ( { x – 2 } \right ) > 0 . } $$

مشتق اول تابع برابر است با:

$$ \large { y ’ \left ( x \right ) = { \left ( { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x } \right ) ^ \prime } } = { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 . } $$

نقاط اکسترمم یا مانای تابع، با صفر قرار دادن مشق اول آن به دست می‌آیند:

$$ \large \begin {align*}
y ’ \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 = 0 , \; \; } \Rightarrow { D = 3 6 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 12 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { 6 \pm \sqrt { 1 2 } } } { 6 } } = { 1 \pm \sqrt 3 \approx 0.42 ; \; 1.58.}
\end {align*} $$

وقتی از نقطه $$ x = 1 – {\large\frac{{\sqrt 3 }}{3}\normalsize} $$ می‌گذریم، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند (شکل 1 (الف)). بنابراین، این نقطه، نقطه ماکزیمم است. به طور مشابه، می‌توان گفت که $$ x = 1 + {\large\frac{{\sqrt 3 }}{3}\normalsize} $$ نقطه مینیمم است. مقدار تقریبی تابع در نقاط ماکزیمم و مینیمم برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
\require {cancel}
y \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) &
= { { \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 3 } }
– { 3 { \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 2 } }
+ { 2 \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) }
\\ & = { 1 – 3 \cdot \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } }
+ { 3 \cdot { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 2 } }
– { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 3 } } \\ &
\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, – { 3 \left [ { 1 – \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }
+ { { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] }
+ { 2 – \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }
\\ & = { \cancel { 1 } – \sqrt 3 + \cancel { 1 } }
– { \frac { { \sqrt 3 } } { 9 } – \cancel { 3 } }
+ { 2 \sqrt 3 – \cancel { 1 } + \cancel { 2 } }
– { \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }
\\ & = { \frac { { 9 \sqrt 3 – \sqrt 3 – 6 \sqrt 3 } } { 9 } }
= { \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } \approx 0.38 ; }
\end {align*} $$

به طریق مشابه، داریم:

$$ \large { y \left ( { 1 + \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) } = -{ \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } \approx -0.38 . } $$

بنابراین، تابع یک ماکزیمم محلی در نقطه زیر دارد:

$$ \large \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } , \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } } \right ) \approx \left ( { 0 .42 ; \; 0.38 } \right ) . $$

به همین ترتیب، نقطه زیر یک مینیمم محلی برای تابع است:

$$ \large \left ( { 1 + \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } , - \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } } \right ) \approx \left ( { 1 .5 8 ; \; - 0. 3 8 } \right) $$

بازه‌های صعودی و نزولی بودن تابع، در شکل ۱ (الف) نشان داده شده‌اند.

اکنون مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:‌

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 } \right ) ^ \prime } = { 6 x – 6 ; } \\
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 6 x – 6 = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = 1 . }
\end {align*} $$

اگر $$ x \le 1 $$، تابع محدب رو به بالا است و اگر $$ x \ge 1 $$، محدب رو به پایین خواهد بود. بنابراین، $$ x = 1 $$ یک نقطه عطف است. در این نقطه داریم:

$$ \large y \left ( 1 \right ) = { 1 ^ 3 } – 3 \cdot { 1 ^ 2 } + 2 \cdot 1 = 0 . $$

جدول زیر، خلاصه اطلاعات مربوط به تابع را نشان می‌دهد.

با اطلاعاتی که به دست آوردیم، می‌توانیم نمودار تابع را رسم کنیم (شکل ۱ (ب)).

مثال ۲

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$ \large y = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x – 1} \right). $$

حل: تابع فوق برای همه $$x$$های حقیقی تعریف شده است. بنابراین، مجانب قائم وجود نخواهد داشت. در نتیجه، وجود مجانب‌ مایل یا افقی را تحقیق می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x – 1 } \right ) } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \left ( { { x ^ 2 } + 4 x + 4 } \right ) \left ( { x – 1 } \right ) } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 3 } + { 3 { x ^ 2 } } – { 4 } } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { { x ^ 2 } + 3 x – \frac { 4 } { x } } \right ) = + \infty . }
\end {align*} $$

از آنجایی که شیب $$k$$ بی‌نهایت است، تابع مجانب مایل نیز ندارد.

نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}
y \left ( 0 \right ) & = { 2 ^ 2 } \cdot \left ( { – 1 } \right ) = – 4 ;\\
y \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { { \left ( { x + 2 } \right ) ^ 2 } \left ( { x – 1 } \right ) = 0 , \; \; } \\ &\Rightarrow { { x _ 1 } = – 2 , \; { x _ 2 } = 1 . }
\end {align*} $$

تابع در $$ x > 1$$ مثبت و در $$ x \in \left( { – \infty , – 2} \right) \cup \left( { – 2,1} \right) $$ منفی است (شکل 2 (الف)).

مشتق اول تابع به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
\require {cancel} y ’ \left ( x \right ) & = { \left [ { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x – 1 } \right ) } \right ] ^ \prime } = { 2 \left ( { x + 2 } \right ) \left ( { x – 1 } \right ) + { \left ( { x + 2 } \right ) ^ 2 } } \\ &= { \left ( { x + 2 } \right ) \left ( { 2 x – \cancel { 2 } + x + \cancel { 2 } } \right ) } = { 3 x \left ( { x + 2 } \right ) . }
\end {align*} $$

نقاط مانا نیز به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$ \large { y ’ \left ( x \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { 3 x \left ( { x + 2 } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \;{ x _ 2 } = – 2 . } $$

تغییر علامت مشتق در شکل 2 (الف) نشان داده شده است. بنابراین، $$ x = - 2 $$ یک نقطه ماکزیمم و $$ x = 0 $$ یک نقطه مینیمم است. مقادیر زیر، نقاط اکسترمم تابع را نشان می‌دهند:

$$ \large { y \left ( { – 2 } \right ) = – 4 , } \; \; \; \kern-0.3pt { y \left ( 0 \right ) = 0 . } $$

اکنون مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left [ {3x\left( {x + 2} \right)} \right]^\prime } } = {3\left( {x + 2} \right) + 3x } = {6x + 6.} $$

بنابراین، تابع در $$ x <-1 $$ اکیداً محدب رو به بالا و برای $$ x \gt -1 $$ اکیداً محدب رو به پایین است. در نتیجه، $$ x = -1 $$ یک نقطه عطف است و داریم:

$$ \large y \left ( { – 1 } \right ) = { \left ( { – 1 + 2 } \right ) ^ 2 } \left ( { – 1 – 1 } \right ) = – 2 . $$

شکل 2 (ب) نمودار تابع مورد نظر را نشان می‌دهد.

مثال ۳

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$ \large y = \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } . $$

حل: تابع برای تمام مقادیر حقیقی $$ x $$ تعریف شده است. بنابراین مجانب قائم ندارد. با توجه به رابطه زیر، تابع در $$ y = 0 $$ یک مجانب افقی دارد:

$$ \large { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } y \left ( x \right ) } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } = 0 } $$

تابع این مثال زوج است. در واقع، داریم:‌

$$ \large { y \left ( { – x } \right ) = \frac { 1 } { { 1 + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } = y \left ( x \right ) . } $$

واضح است که تابع ریشه مثبت ندارد و مقدار آن در $$ x = 0 $$ برابر است با:

$$ \large y \left ( 0 \right ) = \frac { 1 } { { 1 + { 0 ^ 2 } } } = 1 . $$

مشتق اول تابع به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
y ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { 1 } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } \cdot { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } . }
\end {align*} $$

با توجه به رابطه اخیر، $$ x = 0 $$ یک نقطه مانا است. وقتی از این نقطه بگذریم،‌ مشتق از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد (شکل ۳ (الف)). بنابراین، یک ماکزیمم در $$ x = 0 $$ داریم که مقدار آن $$ y (0) = 1 $$ است.

اکنون مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left( { – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { { 2 { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } – 2 x \cdot 2 \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 4 } } } } \\ & = { \frac { { 8 { x ^ 2 } – 2 – 2 { x ^ 2 } } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } } = { \frac { { 6 { x ^ 2 } – 2 } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } . }
\end {align*} $$

مشتق دوم، در نقاط زیر برابر با صفر می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { \frac { { 6 { x ^ 2 } – 2 } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { \frac { { 2 \left ( { x – \sqrt 3 } \right ) \left ( { x + \sqrt 3 } \right ) } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ 1 } = – \sqrt 3 , \; { x _ 2 } = \sqrt 3 . }
\end {align*} $$

هنگام گذر از این نقاط، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند. بنابراین، هر دو نقطه، نقاط عطف تابع هستند. تابع در بازه‌های $$ \left( { – \infty , – \sqrt 3 } \right) $$ و $$ \left( {\sqrt 3 , + \infty } \right) $$ اکیداً محدب رو به پایین و در بازه $$ \left( { – \sqrt 3 ,\sqrt 3 } \right) $$ اکیداً محدب رو به بالا است. از آنجایی که تابع زوج است، مقدار آن در دو نقطه عطف با هم برابر است:

$$ \large { y \left ( { \pm \sqrt 3 } \right ) = \frac { 1 } { { 1 + { { \left ( { \pm \sqrt 3 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 1 } { { 1 + 3 } } = \frac { 1 } { 4 } . } $$

شکل ۳ (ب) نمودار منحنی تابع را نشان می‌دهد.

مثال ۴

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$ \large y = { x ^ 3 } { e ^ x } . $$

فیلم آموزش ریاضی ۳ – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

حل: تابع، در کل محدوده اعداد حقیقی تعریف شده و مشتق‌پذیر است. در این حالت، مجانب قائم وجود ندارد. بنابراین، وجود مجانب‌های مایل را تحقیق می‌کنیم. بدین منظور حدهای زیر را می‌نویسیم:

$$ \large \begin {align*}
\lim \limits _ { x \to + \infty } \left ( { { x ^ 3 } { e ^ x } } \right ) & = + \infty ; \\
{ \lim \limits _ { x \to – \infty } \left ( { { x ^ 3 } { e ^ x } } \right ) }
& = { \lim \limits _ { x \to – \infty } \frac { { \left ( { – { { \left ( { – x } \right ) } ^ 3 } } \right ) } } { { { e ^ { – x } } } } }
= { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } {l} }
{ – x = z , } \\
{ x \to – \infty , } \\
{ z \to + \infty } \\
\end {array} } \right ] } \\ &
= { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { z ^ 3 } } } { { { e ^ z } } } }
= { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { 3 { z ^ 2 } } } { { { e ^ z } } } }
\\ & = { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { 6 z } } { { { e ^ z } } } }
= { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { 6 } { { { e ^ z } } } = 0 . }
\end {align*} $$

برای محاسبه حد دوم، از تغییر متغیر $$ \left( { – x} \right) \to z $$ و قاعده هوپیتال استفاده شده است. مشاهده می‌کنیم که وقتی $$ x \to -\infty $$، تابع به صفر میل می‌کند که نشان دهنده وجود مجانب افقی $$ y = 0 $$ است.

ریشه‌های تابع به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$ \large { y \left ( x \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x ^ 3 } { e ^ x } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x ^ 3 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = 0 . } $$

تابع برای $$ x \gt 0 $$، مثبت و در $$ x \lt 0 $$ منفی است (شکل ۴ (الف)).

اکنون مشتق اول را محاسبه و نقاط اکسترمم و بازه‌های یکنوا بودن تابع را بررسی می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
y ^ \prime \left ( x \right ) & = { \left ( { { x ^ 3 } { e ^ x } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } { e ^ x } + { x ^ 3 } { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 3 { x ^ 2 } { e ^ x } + { x ^ 3 } { e ^ x } } = { { x ^ 2 } { e ^ x } \left ( { 3 + x } \right ) . }
\end {align*} $$

بازه‌های ثابت بودن علامت مشتق اول در شکل ۴ (الف) نشان داده شده است. تابع در بازه $$ \left( { – \infty , – 3} \right) $$ اکیداً نزولی و در بازه‌های $$ \left( { -3,0} \right) $$ و $$ \left( {0, + \infty} \right) $$ اکیداً صعودی است. بنابراین، نقطه $$ x = - 3 $$ یک نقطه مینیمم است. نقطه بحرانی دیگر $$ x = 0 $$، یک اکسترمم محلی نیست، زیرا وقتی نمودار از آن عبور می‌کند، علامت مشتق تغییر نمی‌کند. در نقطه مینیمم داریم:‌

$$ \large { y \left ( { – 3 } \right ) = { \left ( { – 3 } \right ) ^ 3 } { e ^ { – 3 } } } \kern0pt { \approx – 27 \cdot 0.0 4 9 8 \approx – 1 . 3 4 } $$

حال مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left [ { { x ^ 2 } { e ^ x } \left ( { 3 + x } \right ) } \right ] ^ \prime } = { { \left [ { { e ^ x } \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) } \right ] ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) + { e ^ x } { \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } } \\ &= { { e ^ x } \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) + { e ^ x } \left ( { 6 x + 3 { x ^ 2 } } \right ) } \\ & = { { e ^ x } \left ( { { x ^ 3 } + 6 { x ^ 2 } + 6 x } \right ) } = { x { e ^ x } \left ( { { x ^ 2 } + 6 x + 6 } \right ) . }
\end {align*} $$

ریشه‌های مشتق دوم را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { x { e ^ x } \left ( { { x ^ 2 } + 6 x + 6 } \right ) = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x ^ 2 } + 6 x + 6 = 0 , \; \; } \Rightarrow { D = 3 6 – 4 \cdot 6 = 1 2 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 6 \pm \sqrt { 1 2 } } } { 2 } = – 3 \pm \sqrt 3 \; } \kern0pt { \approx – 4.73 ; \; – 1.27 . }
\end {align*} $$

این ریشه‌ها برابرند با:

$$ \large { { x _ 1 } = – 3 – \sqrt 3 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = – 3 + \sqrt 3 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = 0 . } $$

وقتی نمودار تابع از هر یک از این نقاط می‌گذرد، علامت مشتق تغییر می‌کند (شکل ۴ (الف)). بنابراین، این نقاط، نقاط عطف هستند. مقادیر تقریبی مربوط به مختصه $$y$$ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$ \large \begin {align*}
y \left ( { – 3 – \sqrt 3 } \right) & = { { \left ( { – 3 – \sqrt 3 } \right ) ^ 3 } { e ^ { – 3 – \sqrt 3 } } } { \approx – 0.9 3 ; } \\
{ y \left ( { – 3 + \sqrt 3 } \right ) } & = { { \left ( { – 3 + \sqrt 3 } \right ) ^ 3 } { e ^ { – 3 + \sqrt 3 } } } { \approx – 0. 5 7 ; } \\
y \left ( 0 \right ) & = 0 .
\end {align*} $$

با مشخصاتی که از تابع به دست آوردیم، می‌توانیم نمودار آن را به صورت شکل ۴ (ب) رسم کنیم.

مثال ۵

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$ \large y = {x^2}{e^{\large\frac{1}{x}\normalsize}}. $$

حل: تابع در نقطه $$ x =0 $$ تعریف نشده است و در این نقطه ناپیوستگی دارد. حدهای یک‌طرفه این نقطه به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}
{ \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } y \left ( x \right ) } & = { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } \left ( { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) = 0 ; } \\
{ \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } y \left ( x \right ) }
& = { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \left ( { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) }
= { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \frac { { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } } { { { { \left ( { \frac { 1 } { x} } \right ) } ^ 2 } } } }
\\ & = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }
{ \frac { 1 } { x } = z , } \\
{ x \to 0 + , } \\
{ z \to + \infty }
\end {array} } \right ] }
= { \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { e ^ z } } } { { { z ^ 2 } } } }
= { \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { e ^ z } } } { { 2 z } } } \\ &
= { \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { e ^ z } } } { 2 } = + \infty . }
\end {align*} $$

در محاسبه حد دوم، از تغییر متغیر $$ {{\large\frac{1}{x}\normalsize} \to z} $$ و قاعده هوپیتال استفاده شده است.

بنابراین، خط $$ x = 0 $$ (یعنی محور $$ y $$)، یک مجانب قائم تابع است. جز در $$ x=0 $$، تابع همواره مثبت بوده و حد سمت چپ آن $$ y\left( { – 0} \right) = 0 $$ است. مجانب‌های مایل را در $$ x \to \pm \infty $$ نیز باید بررسی کنیم:

$$ \large \begin {align*}
k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x }
= { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } } { x } }
\\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { x { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) }
= { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { {{ e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } } { { \frac { 1 } { x } } } }
\\ & = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }
{ \frac { 1 } { x } = z , } \\
{ x \to \pm \infty , } \\
{ z \to 0 }
\end{array} } \right ] }
= { \lim \limits _ { z \to 0 } \frac { { { e ^ z } } } { z } = \infty .}
\end {align*} $$

در نتیجه، مجانب مایل وجود ندارد.

اکنون مشتق اول و نقاط مانا را تعیین می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
y ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } + { x ^ 2 } { \left ( { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 2 x { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } + { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } \\ & = { 2 x { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } – { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } = { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 x – 1 } \right ) ; } \\
y’\left( x \right) & = 0 , \; \; \Rightarrow { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 x – 1 } \right ) = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { 2 x – 1 = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = \frac { 1 } { 2 } . }
\end {align*} $$

مشتق در سمت چپ $$ x = {\large\frac{1}{2}\normalsize} $$ منفی و در سمت راست آن مثبت است (شکل 5 (الف)). بنابراین، $$ x = {\large\frac{1}{2}\normalsize} $$ یک نقطه مینیمم است. مقدار تابع در این نقطه برابر است با:

$$ \large { y \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } = { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 }{ { \frac { 1 } { 2 } } } \normalsize } } } = { \frac { 1 } { 4 } { e ^ 2 } \approx 1 . 8 5 . } $$

مشتق دوم تابع به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left [ { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 x – 1 } \right ) } \right ] ^ \prime } = { { \left ( { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } \left ( { 2 x – 1 } \right ) + { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } { \left ( { 2 x – 1 } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) \left ( { 2 x – 1 } \right ) + 2 { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \\ &= { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 – \frac { { 2 x – 1 } } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } = { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \frac { { 2 { x ^ 2 } – 2 x + 1 } } { { { x ^ 2 } } } . }
\end {align*} $$

صورت کسر عبارت اخیر ریشه حقیقی ندارد و همیشه مثبت است. با توجه به وجود جمله $$ x ^ 2 $$ مخرج، می‌توانیم بگوییم که مشتق دوم در $$ x \ne 0 $$ مثبت است. بنابراین، تابع در بازه‌های $$ \left( { – \infty ,0} \right) $$ و $$ \left( {0, +\infty} \right) $$ اکیداً محدب رو به پایین است. در نتیجه نقطه عطف وجود ندارد.

نمودار تابع در شکل ۵ (ب) رسم شده است.

مثال ۶

نمودار تابع زیر را رسم کنید.

$$ \large y = \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } . $$

حل: تابع جز در $$ x = 0 $$ برای همه $$ x $$های حقیقی تعریف شده است. حدهای یک‌طرفه این نقطه به صورت زیر هستند:

$$ \large { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } = + \infty , } \; \; \; \kern-0.3pt { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } = – \infty . } $$

بنابراین، خط $$ x =0 $$ (محور $$y$$)، یک مجانب قائم است. حال وجود مجانب‌های مایل و افقی را بررسی می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 4 } } } } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } } { 1 } = 0 ; } \\
b & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { y \left ( x \right ) – k x } \right ] = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { {x ^ 3 } } } – 0 } \right ] } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \frac { 1 } { x } – \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } }} } { 1 } = 0 . }
\end {align*} $$

بنابراین، $$ y = 0$$ یک مجانب افقی برای نمودار تابع است.

تابع فرد است، زیرا:

$$ \large { y \left ( { – x } \right ) } = { \frac { { { { \left ( { – x } \right ) } ^ 2 } – 1 } } { { { { \left ( { – x } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 }} } = – y \left ( x \right ) . } $$

اکنون نقاط تقاطع نمودار تابع را با محور $$x$$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
y \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow
{ \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { {x ^ 3 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }
{ { x ^ 2 } – 1 = 0 } \\
{ { x ^ 4 } \ne 0 }
\end {array} } \right . , \; \; } \Rightarrow
{ { x _ { 1 , 2 } } = \pm 1 . }
\end {align*} $$

مقدار تابع در بازه‌های $$ \left( { – 1,0} \right) $$ و $$ \left( {1, +\infty} \right) $$ مثبت و در بازه‌های $$ \left( {-\infty, -1} \right) $$ و $$ \left( {0,1} \right) $$ منفی است (شکل ۶ (الف)).

مشتق اول تابع، به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
y ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime } = { { \left( { \frac { 1 } { x } – \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { { x ^ { – 1 } } – { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } } = { – { x ^ { – 2 } } + 3 { x ^ { – 4 } } } \\ & = { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } + \frac { 3 } { { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { 3 – { x ^ 2 } } } { { { x ^ 4 } } } . }
\end {align*} $$

نقاط مانا برابرند با:

$$ \large \begin {align*}
y ’ \left ( x \right ) = 0 , \; \; & \Rightarrow
{ \frac { { 3 – { x ^ 2 } } } { { { x ^ 4 } } } = 0 , \; \; } \Rightarrow
{ \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }
{ 3 – { x ^ 2 } = 0 } \\
{ { x ^ 4 } \ne 0 }
\end {array} } \right . , \; \; }\\ & \Rightarrow
{ { x _ { 1 , 2 } } = \pm \sqrt 3 \approx 1.73 . }
\end {align*} $$

نقطه $$ x = – \sqrt 3 $$، یک نقطه مینیمم است که با عبور نمودار از آن، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند (شکل ۶ (الف)). نقطه $$ x = \sqrt 3 $$، یک نقطه ماکزیمم است. مقدار تابع در این دو نقطه برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
{ y \left ( { – \sqrt 3 } \right) } & = { \frac { { { { \left ( { – \sqrt 3 } \right ) } ^ 2 } – 1 } } { { { { \left ( { – \sqrt 3 } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { 2 } { { 3 \sqrt 3 } } \approx – 0 . 3 8 } \\
y \left ( { \sqrt 3 } \right) & = \frac { 2 } { { 3 \sqrt 3 } } \approx 0 . 3 8 .
\end {align*} $$

مشتق دوم تابع نیز برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { { \left ( { – { x ^ { – 2 } } + 3 { x ^ { – 4 } } } \right ) ^ \prime } } = { 2 { x ^ { – 3 } } – 1 2 { x ^ { – 5 } } } \\ & = { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } – \frac { { 1 2 } } { { { x ^ 5 } } } } = { \frac { { 2 { x ^ 2 } – 1 2 } } { { { x ^ 5 } } } } = { \frac { { 2 \left ( { { x ^ 2 } – 6 } \right ) } } { { { x ^ 5 } } } .}
\end {align*} $$

عبارت بالا در نقاط زیر برابر با صفر است:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow
{ \frac { { 2 \left ( { { x ^ 2 } – 6 } \right ) } } { { { x ^ 5 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }
{ { x ^ 2 } – 6 = 0 } \\
{ { x ^ 5 } \ne 0 }
\end{array}} \right . , \; \; } \Rightarrow
{ { x _ { 1 , 2 } } = \pm \sqrt 6 \approx \pm 2 . 4 5 . }
\end {align*} $$

همانطور که در شکل ۶ (الف) می‌بینیم، تابع در بازه‌های $$ \left( { – \infty , – \sqrt 6 } \right) $$ و $$ \left( {0, \sqrt 6 } \right) $$ اکیداً محدب رو به بالا و در بازه‌های $$ \left( {-\sqrt 3, 0 } \right) $$ و $$ \left( {\sqrt 6, +\infty } \right) $$ اکیداً محدب رو به پایین است. وقتی نمودار از نقاط $$ x = – \sqrt ۶ $$ و $$ x = \sqrt ۶ $$ عبور می‌کند، علامت مشتق آن تغییر می‌کند. بنابراین، این نقاط، نقطه عطف هستند. مقادیر تابع در این نقاط برابر است با:‌

$$ \large \begin {align*}
{ y \left ( { – \sqrt 6 } \right ) } & = { \frac { { { { \left ( { – \sqrt 6 } \right ) } ^ 2 } – 1 } } { { { { \left ( { – \sqrt 6 } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { 5 } { { 6 \sqrt 6 } } \approx – 0 . 3 4 } \\
y \left ( { \sqrt 6 } \right) & = \frac { 5 } { { 6 \sqrt 6 } } \approx 0 . 3 4 .
\end {align*} $$

اکنون با اطلاعاتی که از تابع به دست آوردیم می‌توانیم نمودار تابع را مطابق شکل ۶ (ب) رسم کنیم.

مثال ۷

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

حل: تابع در کل بازه اعداد حقیقی تعریف شده است و همانطور که می‌بینیم از نقاط $$ x = 0 $$ و $$ x = -1 $$ می‌گذرد. همچنین، تابع در بازه‌های $$ \left( { – 1,0} \right) $$ و $$ \left( {0, +\infty} \right) $$ مثبت و در بازه $$ \left( {-\infty, -1} \right) $$ منفی است (شکل ۷ (الف)).

از آنجایی که تابع در کل بازه اعداد حقیقی پیوسته است، مجانب قائم ندارد. بنابراین باید وجود مجانب مایل یا افقی را تحقیق کنیم:

در نتیجه، مجانب مایل زیر را داریم:

$$ \large y = x + { \large \frac { 1 } { 3 }\normalsize } . $$

مشتق تابع، برابر است با:

بنابراین، نقاط بحرانی تابع به صورت زیر هستند:

$$ \large { { x _ 1 } = 0 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = – 1 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = – \frac { 2 } { 3 } . } $$

در دو نقطه نخست، مشتق وجود ندارد. البته وقتی تابع از نقطه $$ x = 0 $$ می‌گذرد، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند (شکل ۷ (الف)). بنابراین، یک مینیمم در این نقطه (نقطه بازگشت) وجود دارد. مقدار تابع در $$ x = 0 $$ را قبلاً $$ y (0) = 0 $$ به دست آوردیم. در $$ x = - 1$$ هیچ نقطه اکسترممی وجود ندارد، زیرا وقتی نمودار از این نقطه عبور می‌کند، مشتق تغییر علامت نمی‌دهد. در نقطه $$ x = – {\large\frac{2}{3}\normalsize} $$ مشتق برابر با صفر است و هنگام عبور نمودار از این نقطه، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند. در نتیجه، واضح است که تابع در $$ x = – {\large\frac{2}{3}\normalsize} $$ یک ماکزیمم دارد که مقدار آن برابر است با:‌

اکنون نقاط عطف ممکن و تحدب تابع را بررسی می‌کنیم. ابتدا مشتق دوم تابع را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

بنابراین، مشتق دوم در هیچ نقطه‌ای صفر نمی‌شود. البته نقطه تکین $$ x = - 1 $$، یک نقطه عطف است، زیرا با عبور نمودار از آن، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند (شکل ۷ (الف)). در مقابل، نقطه تکین دیگر $$ x = 0 $$، نقطه عطف نیست. تابع در بازه $$ \left( { – \infty , – 1} \right) $$ محدب رو به پایین و در بازه‌های $$ \left( { – 1,0} \right) $$ و $$\left( {0, +\infty} \right) $$ محدب رو به بالا است.

با توجه به اطلاعاتی که از تابع استخراج کردیم، نمودار آن در شکل ۷ (ب) رسم شده است.

مثال ۸

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$ \large y = { x ^ 2 } \sqrt { x + 1 } . $$

حل: واضح است که تابع در $$ x \ge -1 $$ تعریف شده است و برد آن، نامنفی است. تابع مجانب ندارد.

نقاط تقاطع منحنی و محورهای مختصات، به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}
y \left ( 0 \right ) & = { 0 ^ 2 } \sqrt { 0 + 1 } = 0 ; \\
y \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { { x ^ 2 } \sqrt { x + 1 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \; { x _ 2 } = – 1 . }
\end {align*} $$

در نتیجه، نقاط تقاطع، $$(0,0)$$ و $$(-1,0)$$ خواهند بود.

مشتق تابع، برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { { x ^ 2 } \sqrt { x + 1 } } \right ) ^ \prime } } = { 2 x \cdot \sqrt { x + 1 } + { x ^ 2 } \cdot \frac { 1 } { { 2 \sqrt { x + 1 } } } } \\ & = { 2 x \sqrt { x + 1 } + \frac { { { x ^ 2 } } } { { 2 \sqrt { x + 1 } }} } = { \frac { { 4 x \left ( { x + 1 } \right ) + { x ^ 2 } } }{ { 2 \sqrt { x + 1 } } } } \\ & = { \frac { { 5 { x ^ 2 } + 4 x } } { { 2 \sqrt { x + 1 } } } . }
\end {align*} $$

نقاط بحرانی تابع، به صورت زیر هستند:

$$ \large { { x _ 1 } = – 1 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = 0 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = – \frac { 4 } { 5 } . } $$

تابع در بازه‌های $$ \left( { – 1, – {\large\frac{4}{5}\normalsize}} \right) $$ و $$ \left( {0, + \infty } \right) $$ صعودی، و در بازه $$ \left( {- {\large\frac{4}{5}\normalsize}, 0} \right) $$ نزولی است.

در نقطه $$ x = – {\large\frac{4}{5}\normalsize} $$، ماکزیمم تابع برابر است با:

$$ \large { y \left ( { – \frac { 4 } { 5 } } \right ) } = { { \left ( { – \frac { 4 } { 5 } } \right ) ^ 2 } \sqrt { – \frac { 4 } { 5 } + 1 } } = { \frac { { 1 6 } } { { 2 5 \sqrt 5 } } \approx 0.28.} $$

در نقطه $$ x=0 $$ نیز مینیمم $$ y\left( 0 \right) = 0 $$ وجود دارد.

اکنون مشتق دوم را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { { \left ( { \frac { {5 { x ^ 2 } + 4 x } } { { 2 \sqrt {x + 1 } } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { \left ( { 2 0 x + 8 } \right ) \left ( { x + 1 } \right ) – \left ( { 5 { x ^ 2 } + 4 x } \right ) } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } } \\ & = { \frac { { \color{ blue } { 2 0 { x ^ 2 } } + \color { red } { 8 x } + \color {red} { 2 0 x } + \color {green} { 8 } – \color {blue} { 5 { x ^ 2 } } – \color {red} { 4 x } } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } } = { \frac { { \color {blue} { 1 5 { x ^ 2 } } + \color {red} { 2 4 x } + \color {green} { 8 } } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } .}
\end {align*} $$

عبارت بالا، در نقاط زیر برابر با صفر است:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow
{ \frac { { 1 5 { x ^2 } + 2 4 x + 8 } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }
{ 1 5 { x ^ 2 } + 2 4 x + 8 = 0 } \\
{ x \ne – 1 }
\end {array} } \right. , \; \; } \Rightarrow
{ D = 5 7 6 – 4 \cdot 1 5 \cdot 8 = 9 6 , \; \; } \\ & \Rightarrow
{ { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 2 4 \pm \sqrt { 9 6 } } } { { 3 0 } } }
= { \frac { { – 2 4 \pm 4 \sqrt 6 } } { { 3 0 } } }
\\ & = { \frac { 2 } { { 1 5 } } \left ( { – 6 \pm \sqrt 6 } \right ) } \approx { - 1 . 1 3 ; \; – 0.47. }
\end {align*} $$

یکی از ریشه‌ها برابر است با:

$$ \large x = { \frac { 2 } { { 1 5 } } } \left ( { – 6 – \sqrt 6 } \right ) \approx – 1 . 1 3 $$

همان‌طور که می‌بینیم، این ریشه در دامنه تابع وجود ندارد. ریشه دیگر، به صورت زیر است:

$$ \large x = { \frac { 2 } { { 1 5 } } } \left ( { – 6 + \sqrt 6 } \right ) \approx – 0 . 4 7 $$

وقتی از نقطه بالا عبور می‌کنیم، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند (شکل ۸ (الف)). بنابراین، این نقطه یک نقطه عطف است. مقدار تابع در این نقطه، تقریباً برابر است با:

$$ \large { y \left ( { \frac { 2 } { { 1 5 } } \left ( { – 6 + \sqrt 6 } \right ) } \right ) } \approx { y \left ( { – 0 . 4 7 } \right ) \approx 0 . 1 6 . } $$

منحنی تابع، در سمت چپ این نقطه محدب رو به بالا و در سمت راست آن محدب رو به پایین است.

نمودار تابع، در شکل ۸ (ب) نشان داده شده است.

مثال ۹

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$ \large y = \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } . $$

حل: دامنه تابع، $$x \ne 0$$ است. در نقطه $$x = 0 $$ یک ناپیوستگی وجود دارد. با محاسبه حدهای یک‌طرفه، داریم:

$$ \large \begin {align*}
\lim \limits _ { x \to 0 – 0 } y \left ( x \right ) & = { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } }{ { { x ^ 2 } } } } = { - \infty , } \\
{ \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } y \left ( x \right ) } & = { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } } = { - \infty . }
\end {align*} $$

بنابراین، $$x = 0$$ یک مجانب قائم است.

اکنون وجود مجانب‌های مایل را بررسی می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
\require {cancel} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 3 } } } } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } { \left ( { 1 – \frac { 1 } { x } } \right ) ^ 3 } = 1 ; } \\
b & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { y \left ( x \right ) – k x } \right ] = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } {{ { x ^ 2 }} } – x } \right ] } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \cancel { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 3 x – 1 – \cancel { x ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { – 3 + \frac { 3 } { x } – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) = – 3 . }
\end {align*} $$

در نتیجه، مجانب مایل با رابطه زیر بیان می‌شود:

$$ \large y = x – 3 . $$

تقاطع تابع با محور $$x$$ در نقطه $$x = 1 $$ رخ می‌دهد. تابع برای $$ x > 1$$ مثبت، و در $$x < 1 $$ منفی است (جز نقطه $$ x = 0 $$ که در آن، تعریف نشده است).

مشتق اول با فرمول زیر بیان می‌شود:

$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } \right ) } ^ \prime } { x ^ 2 } – { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } { { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } ^ \prime } } } { { { x ^ 4 } } } } \\ & = { \frac { { 3 { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } { x ^ 2 } – 2 x { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x + 2 } \right ) } } { { { x ^ 3 } } } . }
\end {align*} $$

بنابراین، نقاط بحرانی به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}
{ { x _ 1 } = 1 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = – 2 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = 0 . }
\end {align*} $$

تابع، در بازه $$ \left({- 2,0}\right) $$ اکیداً نزولی و در بازه‌های $$ \left({-\infty, -2}\right) $$، $$ \left({0, 1}\right) $$ و $$ \left({1, +\infty}\right) $$ اکیداً صعودی است.

در نقطه $$ x = - 2$$، تابع ماکزیمم شده و مقدار آن برابر است با:

$$ \large { y \left ( { – 2 } \right ) = \frac { { { { \left ( { – 2 – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { 2 ^ 2 } } } } = { – \frac { { 2 7 } }{ 4 } } = { – 6 . 7 5 .} $$

در نقطه $$ x = 1$$، اکسترمم وجود ندارد، زیرا وقتی از این نقطه عبور می‌کنیم، علامت مشتق تغییری نمی‌کند.

اکنون مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { { \left [ { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x + 2 } \right ) } } {{ { x ^ 3 } } } } \right ] ^ \prime } } = { { \left [ { { { \left ( { 1 – \frac { 1 } { x } } \right ) } ^ 2 } \left ( { 1 + \frac { 1 }{ x } } \right ) } \right ] ^ \prime } } \\ & = { { \left [ { \left ( { 1 – \frac { 2 } { x } + \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) \left ( { 1 + \frac { 1 } { x } } \right ) } \right ] ^ \prime } } = { { \left ( { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } – \frac { 3 } { { { x ^ 2 } } } + 1 } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { 2 { x ^ { – 3 } } – 3 { x ^ { – 2 } } + 1 } \right ) ^ \prime } } = { – 6 { x ^ { – 4 } } + 6 { x ^ { – 3 } } = \frac { 6 } { { { x ^ 3 } } } – \frac { 6 } { { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { 6 \left ( { x – 1 } \right ) } } { { { x ^ 4 } } } . }
\end {align*} $$

با توجه به فرمول بالا، در $$ x = 0 $$ مشتق دوم $$ y^{\prime\prime} = 0 $$ را داریم. در سمت راست این نقطه، $$y^{\prime\prime} \gt 0 $$ و در سمت چپ آن، نامساوی $$ y^{\prime\prime} \lt 0 $$ را خواهیم داشت. بنابراین، تابع در بازه‌های $$ \left( { – \infty ,0} \right) $$ و $$ \left( { 0, 1} \right) $$ محدب رو به بالا و در بازه $$ \left( {1, +\infty} \right) $$ محدب رو به پایین است. نقطه $$ x = 1$$، یک نقطه عطف است و در آن، $$ y\left( 1 \right) = 0 $$.

نمودار تابع در شکل ۹ (ب) رسم شده است.

مثال ۱۰

منحنی تابع زیر را رسم کنید:

حل: تابع برای همه $$x$$های حقیقی تعریف شده است. بنابراین، مجانب قائم نداریم. اگر کمی دقت کنیم، می‌بینیم که تابع فرد است:

با محاسبه حدهای زیر، وجود مجانب مایل یا افقی را بررسی می‌کنیم:

بنابراین، نمودار تابع، مجانبی دارد که معادله آن $$ y = x $$ است. با توجه به اینکه تابع فرد است، مجانب علاوه بر $$ x \to +\infty $$، در  $$ x \to -\infty $$ نیز وجود دارد.

نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات و بازه‌هایی را که در آن، علامت تابع تغییر نمی‌کند نیز به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

نامساوی $$ y\left( x \right) \gt 0 $$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

نامعادله بالا را می‌توان با استفاده از روش بازه‌ها حل کرد (شکل ۱۰ (الف)). می‌بینیم که تابع در بازه‌های $$ \left( { – 1,0} \right) $$ و $$ \left( { 1, +\infty} \right) $$ مثبت و در بازه‌های $$ \left( { -\infty, -1} \right) $$ و $$ \left( {0,1} \right) $$ منفی است.

مشتق تابع، برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { x ^ 3 } – x } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { { \left ( { { x ^ 3 } – x } \right ) } ^ { \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { 3 }{ \left ( { { x ^ 3 } – x } \right ) ^ { – \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } \cdot \left ( { 3 { x ^ 2 } – 1 } \right ) } = { \frac { { 3 { x ^ 2 } – 1 } } { { 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { { \left ( { { x ^ 3 } – x } \right ) } ^ 2 } } } } } . }
\end {align*} $$

مشتق در $$x = 0$$ و $$ x = \pm 1 $$ وجود ندارد و در نقاط زیر، برابر با صفر است:

بنابراین، تابع پنج نقطه بحرانی دارد. تغییر علامت مشتق، هنگام عبور از این نقاط در شکل ۱۰ (الف) نشان داده شده است. نقطه $$ x = – {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize} $$، یک نقطه ماکزیمم و $$ x = {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize} $$ یک مینیمم برای تابع است (با توجه به فرد بودن تابع، تقارن این نقاط قابل انتظار بود). مقادیر ماکزیمم و مینیمم متناظر با این نقاط به صورت زیر هستند:

 $$ \large \begin {align*}
y \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) & = { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { { \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) } ^ 3 } – \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) } } } = { – \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { \frac { 1 }{ { 3 \sqrt 3 } } – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } } } \\ & = { – \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { \frac { { 1 – 3 } } { { 3 \sqrt 3 } } } } } = { – \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { \frac { 2 } { { 3 \sqrt 3 } } } } \approx - 0 . 7 3 ; \; \; } \\ & \Rightarrow { y \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) = 0 . 7 3 .}
\end {align*} $$

مشتق دوم به صورت زیر محاسبه می‌شود:

مشتق دوم در هیچ نقطه‌ای صفر نمی‌شود و (مشابه مشتق اول) در نقاط $$ x = 0 $$ و $$ x = \pm 1 $$ نیز وجود ندارد. وقتی از این نقاط عبور می‌کنیم، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند (شکل ۱۰ (الف)). بنابراین، این نقاط، نقاط عطف هستند. مختصات این نقاط $$ \left( {0,0} \right) $$، $$ \left( {-1,0} \right) $$ و $$ \left( {1,0} \right) $$ است. در نهایت، نمودار تابع به صورت شکل ۱۰ (ب) در خواهد آمد.

مثال ۱۱

منحنی معادلات پارامتری زیر را رسم کنید.

$$ \large { x = { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y = { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t . } $$

حل: نمودارهای دو تابع $$ x (t) $$ و $$ y (t) $$ را در نظر می‌گیریم. هر دو تابع، چندجمله‌ای‌های مرتبه سوم هستند که در $$ x \in \mathbb{R} $$ تعریف شده‌اند. مشتق تابع $$ x (t) $$ به صورت زیر است:

$$ \large { x ’ \left ( t \right ) = { \left ( { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } \right ) ^ \prime } } = { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 . } $$

با حل معادله $$ x’\left( t \right) = 0 $$، نقاط مانای تابع $$ x (t) $$ را تعیین می‌کنیم:

$$ \large \begin{align*} x ’ \left ( t \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 = 0 , \; \; } \\ &\Rightarrow { { t _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 2 \pm \sqrt { 1 6 } } } { 6 } = – 1 ; \; \frac { 1 } { 3 } . } \end {align*} $$

در $$ t = 1 $$، تابع $$ x (t) $$ به مقدار ماکزیمم می‌رسد:

$$ \large { x \left ( { – 1 } \right ) } = { { \left ( { – 1 } \right ) ^ 3 } + { \left ( { – 1 } \right ) ^ 2 } – \left ( { – 1 } \right ) } = { 1 } $$

و در نقطه $$ t = {\large\frac{1}{3}\normalsize} $$ یک مینیمم وجود دارد:‌

$$ \large \begin{align*}
x \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) & = { { \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ 3 } + { \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ 2 } – \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) } \\ &= { \frac { 1 } { { 2 7 } } + \frac { 1 } { 9 } – \frac { 1 } { 3 } = – \frac { 5 } { { 2 7 } } . } \end {align*} $$

اکنون مشتق تابع $$ y (t) $$ را در نظر بگیرید:

$$ \large { y ’ \left ( t \right ) = { \left ( { { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t } \right ) ^ \prime } } = { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 .} $$

به طریق مشابه، نقاط مانای $$y(t)$$ به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*} { y’ \left ( t \right ) = 0 , \; \; } & \Rightarrow { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { t _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 4 \pm \sqrt { 6 4 } } } { 6 } = – 2 ; \; \frac {2 } { 3 } .} \end {align*}$$

تابع $$y(t)$$ در نقطه $$ t = -2$$ به حداکثر مقدار خود می‌رسد:

$$ \large y \left ( { – 2 } \right ) = { \left ( { – 2 } \right ) ^ 3 } + 2 { \left ( { – 2 } \right ) ^ 2 } – 4 \left ( { – 2 } \right ) = 8 $$

همچنین، در نقطه $$ t = {\large\frac{2}{3}\normalsize} $$ تابع مینیمم است:

$$ \large \begin {align*}
y \left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) & = { { \left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ 3 } + 2 { \left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ 2 } – 4 \cdot \frac { 2 } { 3 } } \\ & = { \frac { 8 } { { 2 7 } } + \frac { 8 } { 9 } – \frac { 8 } { 3 } } = { – \frac { { 4 0 } }{ { 2 7 } } . }
\end {align*}$$

نمودار توابع $$x (t)$$ و $$y(t)$$ در شکل زیر نشان داده شده‌اند.

حدود این دو تابع در بی‌نهایت، برابر است با:

$$ \large { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } x \left ( t \right ) = \pm \infty , \; \; \; } \kern-0.3pt { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } y \left ( t \right ) = \pm \infty } $$

بنابراین، نمودار $$ y (x)$$ مجانب قائم و افقی ندارد. با توجه به روابط زیر، مجانب مایل نیز نداریم:

$$ \large \begin {align*}
k & = \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \frac { { y \left ( t \right ) } } { { x \left ( t \right ) } } = { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \frac { { { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t } } { { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } } } = { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \frac { { 1 + \frac { 2 } { t } – \frac { 4 } { { { t ^ 2 } } } } } { { 1 + \frac { 1 } { t } – \frac { 1 } { { { t ^ 2 } } } } } = 1,} \\
b & = \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \left [ { y \left ( t \right ) – k x \left ( t \right ) } \right ] = { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \left ( { { t ^ 2 } – { 3 t } } \right ) } = { + \infty , }
\end {align*}$$

اکنون، نقاط تقاطع منحنی $$ y (x) $$ را با محورهای مختصات به دست می‌آوریم. تقاطع با محور $$ x$$، در نقاط زیر رخ می‌دهد:

$$ \large { y \left ( t \right ) = { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t = 0 , \; \; } \Rightarrow { t \left ( { { t ^ 2 } + 2 t – 4 } \right ) = 0 ; } $$

نقطه تقاطع نخست به صورت زیر است:

$$ \large {t_1} = 0; $$

نقاط تقاطع دیگر نیز برابرند با:

$$ \large \begin {align*}
{ t ^ 2 } + 2 t – 4 = 0,
& \Rightarrow { D = 4 – 4 \cdot \left ( { – 4 } \right ) = 2 0 , } \\ &
\Rightarrow { { t _ { 2 , 3 } } = { \large \frac { { – 2 \pm \sqrt { 2 0 } } } { 2 } \normalsize } } = { – 1 \pm \sqrt 5 .}
\end {align*}$$

مقدار $$x$$ در این سه نقطه به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large x \left ( { { t _ 1 } } \right ) = x \left ( 0 \right ) = 0 ; $$

$$ \large \begin {align*}
x \left ( { { t _ 2 } } \right ) & = x \left ( { – 1 – \sqrt 5 } \right ) = { { \left ( { – 1 – \sqrt 5 } \right ) ^ 3 } + { \left ( { – 1 – \sqrt 5 } \right ) ^ 2 } } - { \left ( { – 1 – \sqrt 5 } \right ) } \\ &= { – \left ( { 1 + 3 \sqrt 5 + 1 5 + 5 \sqrt 5 } \right ) } + { \left ( { 1 + 2 \sqrt 5 + 5 } \right ) + 1 + \sqrt 5 } \\&= { – 1 6 – 8 \sqrt 5 + 6 + 2 \sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 } = { – 9 – 5 \sqrt 5 \approx 2 0 . 1 8 ; }
\end {align*}$$

$$ \large \begin {align*}
x \left ( { { t _ 3 } } \right ) & = x \left ( { – 1 + \sqrt 5 } \right ) = { { \left ( { – 1 + \sqrt 5 } \right ) ^ 3 } + { \left ( { – 1 + \sqrt 5 } \right ) ^ 2 } } - { \left ( { – 1 + \sqrt 5 } \right ) } \\ & = { – \left ( { 1 – 3 \sqrt 5 + 1 5 – 5 \sqrt 5 } \right ) } + { \left ( { 1 – 2 \sqrt 5 + 5 } \right ) + 1 – \sqrt 5 } \\ & = { – 1 6 + 8 \sqrt 5 + 6 – 2 \sqrt 5 + 1 – \sqrt 5 } = { – 9 + 5 \sqrt 5 \approx 2. 1 8 .}
\end {align*}$$

به طریق مشابه، نقاط تقاطع با محور $$y$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large { x \left ( t \right ) = { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t = 0 , \; \; } \Rightarrow { t \left ( { { t ^ 2 } + t – 1 } \right ) = 0 ; } $$

این نقاط به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$ \large { t _ 1 } = 0 ; $$

$$ \large \begin {align*}
{ t ^ 2 } + t – 1 = 0 , & \Rightarrow { D = 1 – 4 \cdot \left ( { – 1 } \right ) = 5 , } \\ &\Rightarrow { { t _ { 2 , 3 } } = { \large \frac { { – 1 \pm \sqrt { 5 } } } { 2 } \normalsize } . }
\end {align*}$$

مقدار $$  y$$ در این نقاط، برابر است با:

$$ \large \begin {align*}
y \left ( { { t _ 1 } } \right ) & = y \left ( 0 \right ) = 0 ; \\
y \left ( { { t _ 2 } } \right ) & = y \left ( { \frac { { – 1 – \sqrt 5 } } { 2 } } \right) = { 3 + 2 \sqrt 5 \approx 7 . 4 7 ; } \\
y \left ( { { t _ 3 } } \right ) & = y \left ( { \frac { { – 1 + \sqrt 5 } } { 2 } } \right ) = { 3 – 2 \sqrt 5 \approx – 1.47.}
\end {align*}$$

پارامتر $$t$$ را به پنج بازه زیر تقسیم می‌کنیم:

$$ \large { \left ( { – \infty , – 2 } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { – 2 , – 1 } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { – 1 , \frac { 1 } { 3 } } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { \frac { 1 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } } \right ) , \; \; } \kern-0.3pt { \left ( { \frac { 2 } { 3 } , + \infty } \right ) . } $$

در بازه $$ \left( { – \infty , – 2} \right) $$، مقادیر $$x$$ و $$y$$ از $$ -\infty $$ تا $$ x\left( { – 2} \right) = – 2 $$ و $$ y\left( { – 2} \right) = 8 $$ افزایش می‌یابند. شکل زیر این موضوع را نشان می‌دهد.

در بازه دوم $$ \left( { – 2, – 1} \right) $$، متغیر $$x$$ از $$ x\left( { – 2} \right) = – 2 $$ به $$ x\left( { – 1} \right) = 1 $$ و متغیر $$y$$ از $$ y\left( { – 2} \right) = 8 $$ به $$ y\left( { – 1} \right) = 5. $$ افزایش می‌یابد.

منحنی $$ y (x)$$ در نقطه $$ \left( {0.3 + 2\sqrt 5 } \right) $$ محور عمودی را قطع می‌کند.

در بازه سوم $$ \left( { – 1,{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \right) $$، هر دو متغیر کاهش می‌یابند. در این بازه، مقدار $$x$$ از $$ x\left( { – 1} \right) = 1 $$ تا $$ x\left( {\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = – {\large\frac{5}{{27}}\normalsize} $$ تغییر می‌کند. منحنی $$y(x)$$ نیز از مبدأ می‌گذرد.

در بازه چهارم $$ \left( {\large\frac{1}{3}\normalsize,\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) $$، متغیر $$x$$ از $$ x\left( {\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = – {\large\frac{5}{{27}}\normalsize} $$ به $$ x\left( {\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = {\large\frac{2}{{27}}\normalsize} $$ افزایش می‌یابد و مقدار متغیر $$y$$ از $$ y\left( {\large\frac{1}{3}\normalsize} \right) = – {\large\frac{29}{{27}}\normalsize} $$ تا $$ y\left( {\large\frac{2}{3}\normalsize} \right) = – {\large\frac{40}{{27}}\normalsize} $$ کم می‌شود. در این بازه، منحنی $$ y (x)$$ محور $$y$$ را در نقطه $$ \left( {0.3 – 2\sqrt 5 } \right) $$ قطع می‌کند.

در بازه آخر $$ \left( {{\large\frac{2}{3}\normalsize}, + \infty } \right) $$ نیز، هر دو تابع $$ x (t)$$ و $$ y (t) $$ صعودی هستند. منحنی $$ y (x)$$ محور $$ x$$ را در نقطه $$ x = – 9 + 5\sqrt 5 \approx 2.18 $$ قطع می‌کند.

برای واضح‌تر شدن منحنی $$ y (x)$$، نقاط ماکزیمم و مینیمم را نیز تعیین می‌کنیم. مشتق $$ y’\left( x \right) $$ به فرم زیر است:‌

$$ \large \begin {align*}
y’ \left ( x \right ) & = { y’ _ x } = { \frac { { { y’ _ t } } }{ { { x ’ _ t } } } } = { \frac { { { { \left ( { { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \left ( { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } \right ) } ^ \prime } } } } = { \frac { { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 } } { { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 } } } \\ &= { \frac { { \cancel { 3 } \left ( { t + 2 } \right ) \left ( { t – \frac { 2 } { 3 } } \right ) } } { { \cancel { 3 } \left ( { t + 1 } \right ) \left ( { t – \frac { 1 } { 3 } } \right ) } } } = { \frac { { \left ( { t + 2 } \right ) \left ( { t – \frac { 2 } { 3 } } \right ) } } { { \left ( { t + 1 } \right ) \left ( { t – \frac { 1 } { 3 } } \right ) } } . }
\end {align*}$$

با توجه به رابطه اخیر، می‌توان نشان داد که منحنی در $$ t = - 2$$ (مرز بازه‌های اول و دوم) یک ماکزیمم دارد. همچنین در $$ t = \large\frac{2}{3}\normalsize $$ یک مینیمم داریم (یعنی در مرز بازه‌های چهارم و پنجم). وقتی از نقطه $$ t = {\large\frac{1}{3}\normalsize} $$ عبور می‌کنیم، مشتق از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد، اما منحنی $$ y (x) $$، در این ناحیه یک تابع تک‌مقداره نیست. بنابراین، این نقطه اکسترمم نیست.

اکنون درباره تقعر/تحدب منحنی بحث می‌کنیم. مشتق دوم $$ y^{\prime\prime}\left( x \right) $$ به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}
y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { y ^ { \prime \prime } _ { x x } } = \frac { { { { \left ( { { y’ _ x } } \right ) }’ _ t } } } { { { x’ _ t } } } = \frac { { { { \left ( { \frac { { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 } } { { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 } } } \right ) } ^ \prime } } } { { { { \left ( { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } \right ) } ^ \prime } } } \\ & = \frac { { – { 6 { t ^ 2 } } + { 1 8 t } + { 4 } } } { { { { \left ( { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 } \right ) } ^ 3 } } } = \frac { { – 6 \left ( { t – \frac { { 9 – \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \left ( { t – \frac { { 9 + \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) } } { { { { \left ( { t + 1 } \right ) } ^ 3 }{ { \left ( { 3 t – 1 } \right ) } ^ 3 } } }
\end {align*}$$

علامت مشتق دوم با عبور از نقاط زیر تغییر می‌کند:

$$ \large \begin {align*}
{ t _ 1 } & = – 1 : \; \; x \left ( { – 1 } \right ) = 1 , \; \; { y \left ( { – 1 } \right ) = 5 ; } \\
{ t _ 2 } & = \frac { { 9 – \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } : \; \; \kern-0.3pt { x \left ( { \frac { { 9 – \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \approx 0 . 2 4 ; \; \; } \kern-0.3pt { y \left ( { \frac { { 9 – \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \approx 0 . 9 1 ; } \\
{ t _ 3 } & = \frac { 1 } { 3 } : \; \; \kern-0.3pt { x \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) = – \frac { 5 } { { 2 7 } } , \; \; } \kern-0.3pt { y \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) = – \frac { { 2 9 } } { { 2 7 } } ; } \\
{ t _ 4 } & = \frac { { 9 + \sqrt { 10 5 } } } { 6 } : \; \; \kern-0.3pt { x \left ( { \frac { { 9 + \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \approx 4 0 . 1 ; \; \; } \kern-0.3pt { y \left ( { \frac { { 9 + \sqrt { 1 0 5 } } } { 6 } } \right ) \approx 4 0 . 8 .}
\end {align*}$$

بنابراین، این نقاط، نقاط عطف منحنی $$ y (x)$$ هستند.

شکل ۱۱ (ب)، منحنی تابع را نشان می‌دهد.