رسم تابع – با مثال های حل شده

در این آموزش، روش و الگوریتم نظام‌مند رسم توابع مختلف را ارائه می‌کنیم. چند مثال مختلف نیز برای درک بهتر رسم تابع ارائه شده است.

رسم تابع

گام‌های کلی رسم نمودار تابع $$y = f (x )$$ به صورت زیر است:

1. دامنه تابع، نقاط ناپیوستگی و مجانب‌های قائم (در صورت وجود) را تعیین کنید.
2. زوج و فرد یا متناوب بودن تابع را مشخص کنید.
3. مجانب‌های مایل و افقی تابع را به دست آورید.
4. نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات و بازه‌هایی را تعیین کنید که در آن، تابع یک علامت ثابت ($$f (x)>0$$ یا $$f (x ) < 0$$) دارد.
5. مشتق اول ($$f’\left( x \right)$$)، نقاط اکسترمم و بازه‌های صعودی یا نزولی بودن تابع را محاسبه کنید.
6. مشتق دوم ($$f ^ {\prime \prime} (x)$$)، نقاط عطف و بازه‌های مقعر یا محدب بودن تابع را تعیین کنید.
7. نمودار تابع را رسم کنید.

مثال‌ها

در ادامه، مثال‌های متنوعی را برای رسم نمودار توابع بررسی می‌کنیم.

مثال ۱

نمودار تابع زیر را رسم کنید.

$$\large y = { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x$$

حل: تابع در همه $$x \in \mathbb{R}$$ تعریف شده است. در نتیجه، این تابع مجانب قائم ندارد. وجود مجانب مایل را با محاسبه شیب تابع بررسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x } } { x } }\\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } \right ) = + \infty . } \end {align*}$$

در نتیجه، تابع مجانب مایل نیز ندارد. اکنون نقاط برخورد نمودار را با محورهای مختصات تعیین می‌کنیم:

$$\large y\left( 0 \right) = 0$$

در ادامه، معادله زیر را حل می‌کنیم:

$$\large {x^3} – 3{x^2} + 2x = 0$$

جواب‌های این معادله به صورت زیر هستند:

$$\large { x \left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 2 } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \; { x _ 2 } = 1 , \; { x _ 3 } = 2 }$$

بازه‌هایی را که در آن‌ها تابع مثبت یا منفی است، می‌توان با حل نامساوی‌های زیر تعیین کرد (شکل 1 (الف)):

$$\large { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x > 0 , \; \; } \Rightarrow { x \left ( { x – 1 } \right ) \left ( { x – 2 } \right ) > 0 . }$$

مشتق اول تابع برابر است با:

$$\large { y ’ \left ( x \right ) = { \left ( { { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 2 x } \right ) ^ \prime } } = { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 . }$$

نقاط اکسترمم یا مانای تابع، با صفر قرار دادن مشق اول آن به دست می‌آیند:

$$\large \begin {align*} y ’ \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 = 0 , \; \; } \Rightarrow { D = 3 6 – 4 \cdot 3 \cdot 2 = 12 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { 6 \pm \sqrt { 1 2 } } } { 6 } } = { 1 \pm \sqrt 3 \approx 0.42 ; \; 1.58.} \end {align*}$$

وقتی از نقطه $$x = 1 – {\large\frac{{\sqrt 3 }}{3}\normalsize}$$ می‌گذریم، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند (شکل 1 (الف)). بنابراین، این نقطه، نقطه ماکزیمم است. به طور مشابه، می‌توان گفت که $$x = 1 + {\large\frac{{\sqrt 3 }}{3}\normalsize}$$ نقطه مینیمم است. مقدار تقریبی تابع در نقاط ماکزیمم و مینیمم برابر است با:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel}<br /> y \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) &<br /> = { { \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 3 } }<br /> – { 3 { \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 2 } }<br /> + { 2 \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) }<br /> \\ & = { 1 – 3 \cdot \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> + { 3 \cdot { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 2 } }<br /> – { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) ^ 3 } } \\ &<br /> \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, – { 3 \left [ { 1 – \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> + { { { \left ( { \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) } ^ 2 } } \right ] }<br /> + { 2 – \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> \\ & = { \cancel { 1 } – \sqrt 3 + \cancel { 1 } }<br /> – { \frac { { \sqrt 3 } } { 9 } – \cancel { 3 } }<br /> + { 2 \sqrt 3 – \cancel { 1 } + \cancel { 2 } }<br /> – { \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 3 } }<br /> \\ & = { \frac { { 9 \sqrt 3 – \sqrt 3 – 6 \sqrt 3 } } { 9 } }<br /> = { \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } \approx 0.38 ; }<br /> \end {align*} $$

به طریق مشابه، داریم:

$$\large { y \left ( { 1 + \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } } \right ) } = -{ \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } \approx -0.38 . }$$

بنابراین، تابع یک ماکزیمم محلی در نقطه زیر دارد:

$$\large \left ( { 1 – \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } , \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } } \right ) \approx \left ( { 0 .42 ; \; 0.38 } \right ) .$$

به همین ترتیب، نقطه زیر یک مینیمم محلی برای تابع است:

$$\large \left ( { 1 + \frac { { \sqrt 3 } } { 3 } , - \frac { { 2 \sqrt 3 } } { 9 } } \right ) \approx \left ( { 1 .5 8 ; \; - 0. 3 8 } \right)$$

بازه‌های صعودی و نزولی بودن تابع، در شکل ۱ (الف) نشان داده شده‌اند.

اکنون مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:‌

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { 3 { x ^ 2 } – 6 x + 2 } \right ) ^ \prime } = { 6 x – 6 ; } \\ y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 6 x – 6 = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = 1 . } \end {align*}$$

اگر $$x \le 1$$، تابع محدب رو به بالا است و اگر $$x \ge 1$$، محدب رو به پایین خواهد بود. بنابراین، $$x = 1$$ یک نقطه عطف است. در این نقطه داریم:

$$\large y \left ( 1 \right ) = { 1 ^ 3 } – 3 \cdot { 1 ^ 2 } + 2 \cdot 1 = 0 .$$

جدول زیر، خلاصه اطلاعات مربوط به تابع را نشان می‌دهد.

با اطلاعاتی که به دست آوردیم، می‌توانیم نمودار تابع را رسم کنیم (شکل ۱ (ب)).

مثال ۲

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x – 1} \right).$$

حل: تابع فوق برای همه $$x$$های حقیقی تعریف شده است. بنابراین، مجانب قائم وجود نخواهد داشت. در نتیجه، وجود مجانب‌ مایل یا افقی را تحقیق می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x – 1 } \right ) } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \left ( { { x ^ 2 } + 4 x + 4 } \right ) \left ( { x – 1 } \right ) } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 3 } + { 3 { x ^ 2 } } – { 4 } } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { { x ^ 2 } + 3 x – \frac { 4 } { x } } \right ) = + \infty . } \end {align*}$$

از آنجایی که شیب $$k$$ بی‌نهایت است، تابع مجانب مایل نیز ندارد.

نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} y \left ( 0 \right ) & = { 2 ^ 2 } \cdot \left ( { – 1 } \right ) = – 4 ;\\ y \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { { \left ( { x + 2 } \right ) ^ 2 } \left ( { x – 1 } \right ) = 0 , \; \; } \\ &\Rightarrow { { x _ 1 } = – 2 , \; { x _ 2 } = 1 . } \end {align*}$$

تابع در $$x > 1$$ مثبت و در $$x \in \left( { – \infty , – 2} \right) \cup \left( { – 2,1} \right)$$ منفی است (شکل 2 (الف)).

مشتق اول تابع به صورت زیر است:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} y ’ \left ( x \right ) & = { \left [ { { { \left ( { x + 2 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x – 1 } \right ) } \right ] ^ \prime } = { 2 \left ( { x + 2 } \right ) \left ( { x – 1 } \right ) + { \left ( { x + 2 } \right ) ^ 2 } } \\ &= { \left ( { x + 2 } \right ) \left ( { 2 x – \cancel { 2 } + x + \cancel { 2 } } \right ) } = { 3 x \left ( { x + 2 } \right ) . }<br /> \end {align*} $$

نقاط مانا نیز به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$\large { y ’ \left ( x \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { 3 x \left ( { x + 2 } \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \;{ x _ 2 } = – 2 . }$$

تغییر علامت مشتق در شکل 2 (الف) نشان داده شده است. بنابراین، $$x = - 2$$ یک نقطه ماکزیمم و $$x = 0$$ یک نقطه مینیمم است. مقادیر زیر، نقاط اکسترمم تابع را نشان می‌دهند:

$$\large { y \left ( { – 2 } \right ) = – 4 , } \; \; \; \kern-0.3pt { y \left ( 0 \right ) = 0 . }$$

اکنون مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$\large { y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = { \left [ {3x\left( {x + 2} \right)} \right]^\prime } } = {3\left( {x + 2} \right) + 3x } = {6x + 6.}$$

بنابراین، تابع در $$x <-1$$ اکیداً محدب رو به بالا و برای $$x \gt -1$$ اکیداً محدب رو به پایین است. در نتیجه، $$x = -1$$ یک نقطه عطف است و داریم:

$$\large y \left ( { – 1 } \right ) = { \left ( { – 1 + 2 } \right ) ^ 2 } \left ( { – 1 – 1 } \right ) = – 2 .$$

شکل 2 (ب) نمودار تابع مورد نظر را نشان می‌دهد.

مثال ۳

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } .$$

حل: تابع برای تمام مقادیر حقیقی $$x$$ تعریف شده است. بنابراین مجانب قائم ندارد. با توجه به رابطه زیر، تابع در $$y = 0$$ یک مجانب افقی دارد:

$$\large { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } y \left ( x \right ) } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } = 0 }$$

تابع این مثال زوج است. در واقع، داریم:‌

$$\large { y \left ( { – x } \right ) = \frac { 1 } { { 1 + { { \left ( { – 1 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } = y \left ( x \right ) . }$$

واضح است که تابع ریشه مثبت ندارد و مقدار آن در $$x = 0$$ برابر است با:

$$\large y \left ( 0 \right ) = \frac { 1 } { { 1 + { 0 ^ 2 } } } = 1 .$$

مشتق اول تابع به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} y ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { 1 } { { 1 + { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { 1 } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } \cdot { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } . } \end {align*}$$

با توجه به رابطه اخیر، $$x = 0$$ یک نقطه مانا است. وقتی از این نقطه بگذریم،‌ مشتق از مثبت به منفی تغییر علامت می‌دهد (شکل ۳ (الف)). بنابراین، یک ماکزیمم در $$x = 0$$ داریم که مقدار آن $$y (0) = 1$$ است.

اکنون مشتق دوم تابع را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left( { – \frac { { 2 x } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { – \frac { { 2 { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 2 } – 2 x \cdot 2 \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 4 } } } } \\ & = { \frac { { 8 { x ^ 2 } – 2 – 2 { x ^ 2 } } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } } = { \frac { { 6 { x ^ 2 } – 2 } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } . } \end {align*}$$

مشتق دوم، در نقاط زیر برابر با صفر می‌شود:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { \frac { { 6 { x ^ 2 } – 2 } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { \frac { { 2 \left ( { x – \sqrt 3 } \right ) \left ( { x + \sqrt 3 } \right ) } } { { { { \left ( { 1 + { x ^ 2 } } \right ) } ^ 3 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ 1 } = – \sqrt 3 , \; { x _ 2 } = \sqrt 3 . } \end {align*}$$

هنگام گذر از این نقاط، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند. بنابراین، هر دو نقطه، نقاط عطف تابع هستند. تابع در بازه‌های $$\left( { – \infty , – \sqrt 3 } \right)$$ و $$\left( {\sqrt 3 , + \infty } \right)$$ اکیداً محدب رو به پایین و در بازه $$\left( { – \sqrt 3 ,\sqrt 3 } \right)$$ اکیداً محدب رو به بالا است. از آنجایی که تابع زوج است، مقدار آن در دو نقطه عطف با هم برابر است:

$$\large { y \left ( { \pm \sqrt 3 } \right ) = \frac { 1 } { { 1 + { { \left ( { \pm \sqrt 3 } \right ) } ^ 2 } } } } = { \frac { 1 } { { 1 + 3 } } = \frac { 1 } { 4 } . }$$

شکل ۳ (ب) نمودار منحنی تابع را نشان می‌دهد.

مثال ۴

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = { x ^ 3 } { e ^ x } .$$

حل: تابع، در کل محدوده اعداد حقیقی تعریف شده و مشتق‌پذیر است. در این حالت، مجانب قائم وجود ندارد. بنابراین، وجود مجانب‌های مایل را تحقیق می‌کنیم. بدین منظور حدهای زیر را می‌نویسیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> \lim \limits _ { x \to + \infty } \left ( { { x ^ 3 } { e ^ x } } \right ) & = + \infty ; \\<br /> { \lim \limits _ { x \to – \infty } \left ( { { x ^ 3 } { e ^ x } } \right ) }<br /> & = { \lim \limits _ { x \to – \infty } \frac { { \left ( { – { { \left ( { – x } \right ) } ^ 3 } } \right ) } } { { { e ^ { – x } } } } }<br /> = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } {l} }<br /> { – x = z , } \\<br /> { x \to – \infty , } \\<br /> { z \to + \infty } \\<br /> \end {array} } \right ] } \\ &<br /> = { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { z ^ 3 } } } { { { e ^ z } } } }<br /> = { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { 3 { z ^ 2 } } } { { { e ^ z } } } }<br /> \\ & = { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { 6 z } } { { { e ^ z } } } }<br /> = { – \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { 6 } { { { e ^ z } } } = 0 . }<br /> \end {align*} $$

برای محاسبه حد دوم، از تغییر متغیر $$\left( { – x} \right) \to z$$ و قاعده هوپیتال استفاده شده است. مشاهده می‌کنیم که وقتی $$x \to -\infty$$، تابع به صفر میل می‌کند که نشان دهنده وجود مجانب افقی $$y = 0$$ است.

ریشه‌های تابع به صورت زیر به دست می‌آیند:

$$\large { y \left ( x \right ) = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x ^ 3 } { e ^ x } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x ^ 3 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = 0 . }$$

تابع برای $$x \gt 0$$، مثبت و در $$x \lt 0$$ منفی است (شکل ۴ (الف)).

اکنون مشتق اول را محاسبه و نقاط اکسترمم و بازه‌های یکنوا بودن تابع را بررسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ^ \prime \left ( x \right ) & = { \left ( { { x ^ 3 } { e ^ x } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } { e ^ x } + { x ^ 3 } { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 3 { x ^ 2 } { e ^ x } + { x ^ 3 } { e ^ x } } = { { x ^ 2 } { e ^ x } \left ( { 3 + x } \right ) . } \end {align*}$$

بازه‌های ثابت بودن علامت مشتق اول در شکل ۴ (الف) نشان داده شده است. تابع در بازه $$\left( { – \infty , – 3} \right)$$ اکیداً نزولی و در بازه‌های $$\left( { -3,0} \right)$$ و $$\left( {0, + \infty} \right)$$ اکیداً صعودی است. بنابراین، نقطه $$x = - 3$$ یک نقطه مینیمم است. نقطه بحرانی دیگر $$x = 0$$، یک اکسترمم محلی نیست، زیرا وقتی نمودار از آن عبور می‌کند، علامت مشتق تغییر نمی‌کند. در نقطه مینیمم داریم:‌

$$\large { y \left ( { – 3 } \right ) = { \left ( { – 3 } \right ) ^ 3 } { e ^ { – 3 } } } \kern0pt { \approx – 27 \cdot 0.0 4 9 8 \approx – 1 . 3 4 }$$

حال مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left [ { { x ^ 2 } { e ^ x } \left ( { 3 + x } \right ) } \right ] ^ \prime } = { { \left [ { { e ^ x } \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) } \right ] ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { { e ^ x } } \right ) ^ \prime } \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) + { e ^ x } { \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) ^ \prime } } \\ &= { { e ^ x } \left ( { 3 { x ^ 2 } + { x ^ 3 } } \right ) + { e ^ x } \left ( { 6 x + 3 { x ^ 2 } } \right ) } \\ & = { { e ^ x } \left ( { { x ^ 3 } + 6 { x ^ 2 } + 6 x } \right ) } = { x { e ^ x } \left ( { { x ^ 2 } + 6 x + 6 } \right ) . } \end {align*}$$

ریشه‌های مشتق دوم را به دست می‌آوریم:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { x { e ^ x } \left ( { { x ^ 2 } + 6 x + 6 } \right ) = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x ^ 2 } + 6 x + 6 = 0 , \; \; } \Rightarrow { D = 3 6 – 4 \cdot 6 = 1 2 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 6 \pm \sqrt { 1 2 } } } { 2 } = – 3 \pm \sqrt 3 \; } \kern0pt { \approx – 4.73 ; \; – 1.27 . } \end {align*}$$

این ریشه‌ها برابرند با:

$$\large { { x _ 1 } = – 3 – \sqrt 3 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = – 3 + \sqrt 3 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = 0 . }$$

وقتی نمودار تابع از هر یک از این نقاط می‌گذرد، علامت مشتق تغییر می‌کند (شکل ۴ (الف)). بنابراین، این نقاط، نقاط عطف هستند. مقادیر تقریبی مربوط به مختصه $$y$$ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$\large \begin {align*} y \left ( { – 3 – \sqrt 3 } \right) & = { { \left ( { – 3 – \sqrt 3 } \right ) ^ 3 } { e ^ { – 3 – \sqrt 3 } } } { \approx – 0.9 3 ; } \\ { y \left ( { – 3 + \sqrt 3 } \right ) } & = { { \left ( { – 3 + \sqrt 3 } \right ) ^ 3 } { e ^ { – 3 + \sqrt 3 } } } { \approx – 0. 5 7 ; } \\ y \left ( 0 \right ) & = 0 . \end {align*}$$

با مشخصاتی که از تابع به دست آوردیم، می‌توانیم نمودار آن را به صورت شکل ۴ (ب) رسم کنیم.

مثال ۵

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = {x^2}{e^{\large\frac{1}{x}\normalsize}}.$$

حل: تابع در نقطه $$x =0$$ تعریف نشده است و در این نقطه ناپیوستگی دارد. حدهای یک‌طرفه این نقطه به صورت زیر هستند:

$$ \large \begin {align*}<br /> { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } y \left ( x \right ) } & = { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } \left ( { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) = 0 ; } \\<br /> { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } y \left ( x \right ) }<br /> & = { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \left ( { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) }<br /> = { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \frac { { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } } { { { { \left ( { \frac { 1 } { x} } \right ) } ^ 2 } } } }<br /> \\ & = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { \frac { 1 } { x } = z , } \\<br /> { x \to 0 + , } \\<br /> { z \to + \infty }<br /> \end {array} } \right ] }<br /> = { \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { e ^ z } } } { { { z ^ 2 } } } }<br /> = { \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { e ^ z } } } { { 2 z } } } \\ &<br /> = { \lim \limits _ { z \to + \infty } \frac { { { e ^ z } } } { 2 } = + \infty . }<br /> \end {align*} $$

در محاسبه حد دوم، از تغییر متغیر $${{\large\frac{1}{x}\normalsize} \to z}$$ و قاعده هوپیتال استفاده شده است.

بنابراین، خط $$x = 0$$ (یعنی محور $$y$$)، یک مجانب قائم تابع است. جز در $$x=0$$، تابع همواره مثبت بوده و حد سمت چپ آن $$y\left( { – 0} \right) = 0$$ است. مجانب‌های مایل را در $$x \to \pm \infty$$ نیز باید بررسی کنیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x }<br /> = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } } { x } }<br /> \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { x { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) }<br /> = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { {{ e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } } { { \frac { 1 } { x } } } }<br /> \\ & = { \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { \frac { 1 } { x } = z , } \\<br /> { x \to \pm \infty , } \\<br /> { z \to 0 }<br /> \end{array} } \right ] }<br /> = { \lim \limits _ { z \to 0 } \frac { { { e ^ z } } } { z } = \infty .}<br /> \end {align*} $$

در نتیجه، مجانب مایل وجود ندارد.

اکنون مشتق اول و نقاط مانا را تعیین می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) ^ \prime } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } + { x ^ 2 } { \left ( { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 2 x { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } + { x ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } \\ & = { 2 x { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } – { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } = { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 x – 1 } \right ) ; } \\ y’\left( x \right) & = 0 , \; \; \Rightarrow { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 x – 1 } \right ) = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { 2 x – 1 = 0 , \; \; } \Rightarrow { x = \frac { 1 } { 2 } . } \end {align*}$$

مشتق در سمت چپ $$x = {\large\frac{1}{2}\normalsize}$$ منفی و در سمت راست آن مثبت است (شکل 5 (الف)). بنابراین، $$x = {\large\frac{1}{2}\normalsize}$$ یک نقطه مینیمم است. مقدار تابع در این نقطه برابر است با:

$$\large { y \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) } = { { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ 2 } { e ^ { \large \frac { 1 }{ { \frac { 1 } { 2 } } } \normalsize } } } = { \frac { 1 } { 4 } { e ^ 2 } \approx 1 . 8 5 . }$$

مشتق دوم تابع به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left [ { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 x – 1 } \right ) } \right ] ^ \prime } = { { \left ( { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } \left ( { 2 x – 1 } \right ) + { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } { \left ( { 2 x – 1 } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \cdot \left ( { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) \left ( { 2 x – 1 } \right ) + 2 { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } } \\ &= { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \left ( { 2 – \frac { { 2 x – 1 } } { { { x ^ 2 } } } } \right ) } = { { e ^ { \large \frac { 1 } { x } \normalsize } } \frac { { 2 { x ^ 2 } – 2 x + 1 } } { { { x ^ 2 } } } . } \end {align*}$$

صورت کسر عبارت اخیر ریشه حقیقی ندارد و همیشه مثبت است. با توجه به وجود جمله $$x ^ 2$$ مخرج، می‌توانیم بگوییم که مشتق دوم در $$x \ne 0$$ مثبت است. بنابراین، تابع در بازه‌های $$\left( { – \infty ,0} \right)$$ و $$\left( {0, +\infty} \right)$$ اکیداً محدب رو به پایین است. در نتیجه نقطه عطف وجود ندارد.

نمودار تابع در شکل ۵ (ب) رسم شده است.

مثال ۶

نمودار تابع زیر را رسم کنید.

$$\large y = \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } .$$

حل: تابع جز در $$x = 0$$ برای همه $$x$$های حقیقی تعریف شده است. حدهای یک‌طرفه این نقطه به صورت زیر هستند:

$$\large { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } = + \infty , } \; \; \; \kern-0.3pt { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } = – \infty . }$$

بنابراین، خط $$x =0$$ (محور $$y$$)، یک مجانب قائم است. حال وجود مجانب‌های مایل و افقی را بررسی می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } } } { x } } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 4 } } } } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – \frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } } { 1 } = 0 ; } \\ b & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { y \left ( x \right ) – k x } \right ] = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { {x ^ 3 } } } – 0 } \right ] } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \frac { 1 } { x } – \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } }} } { 1 } = 0 . } \end {align*}$$

بنابراین، $$y = 0$$ یک مجانب افقی برای نمودار تابع است.

تابع فرد است، زیرا:

$$\large { y \left ( { – x } \right ) } = { \frac { { { { \left ( { – x } \right ) } ^ 2 } – 1 } } { { { { \left ( { – x } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 }} } = – y \left ( x \right ) . }$$

اکنون نقاط تقاطع نمودار تابع را با محور $$x$$ محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> y \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow<br /> { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { {x ^ 3 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { { x ^ 2 } – 1 = 0 } \\<br /> { { x ^ 4 } \ne 0 }<br /> \end {array} } \right . , \; \; } \Rightarrow<br /> { { x _ { 1 , 2 } } = \pm 1 . }<br /> \end {align*} $$

مقدار تابع در بازه‌های $$\left( { – 1,0} \right)$$ و $$\left( {1, +\infty} \right)$$ مثبت و در بازه‌های $$\left( {-\infty, -1} \right)$$ و $$\left( {0,1} \right)$$ منفی است (شکل ۶ (الف)).

مشتق اول تابع، به صورت زیر است:

$$\large \begin {align*} y ’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { { { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime } = { { \left( { \frac { 1 } { x } – \frac { 1 } { { { x ^ 3 } } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { { x ^ { – 1 } } – { x ^ { – 3 } } } \right ) ^ \prime } } = { – { x ^ { – 2 } } + 3 { x ^ { – 4 } } } \\ & = { – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } + \frac { 3 } { { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { 3 – { x ^ 2 } } } { { { x ^ 4 } } } . } \end {align*}$$

نقاط مانا برابرند با:

$$ \large \begin {align*}<br /> y ’ \left ( x \right ) = 0 , \; \; & \Rightarrow<br /> { \frac { { 3 – { x ^ 2 } } } { { { x ^ 4 } } } = 0 , \; \; } \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { 3 – { x ^ 2 } = 0 } \\<br /> { { x ^ 4 } \ne 0 }<br /> \end {array} } \right . , \; \; }\\ & \Rightarrow<br /> { { x _ { 1 , 2 } } = \pm \sqrt 3 \approx 1.73 . }<br /> \end {align*} $$

نقطه $$x = – \sqrt 3$$، یک نقطه مینیمم است که با عبور نمودار از آن، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند (شکل ۶ (الف)). نقطه $$x = \sqrt 3$$، یک نقطه ماکزیمم است. مقدار تابع در این دو نقطه برابر است با:

$$\large \begin {align*} { y \left ( { – \sqrt 3 } \right) } & = { \frac { { { { \left ( { – \sqrt 3 } \right ) } ^ 2 } – 1 } } { { { { \left ( { – \sqrt 3 } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { 2 } { { 3 \sqrt 3 } } \approx – 0 . 3 8 } \\ y \left ( { \sqrt 3 } \right) & = \frac { 2 } { { 3 \sqrt 3 } } \approx 0 . 3 8 . \end {align*}$$

مشتق دوم تابع نیز برابر است با:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { { \left ( { – { x ^ { – 2 } } + 3 { x ^ { – 4 } } } \right ) ^ \prime } } = { 2 { x ^ { – 3 } } – 1 2 { x ^ { – 5 } } } \\ & = { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } – \frac { { 1 2 } } { { { x ^ 5 } } } } = { \frac { { 2 { x ^ 2 } – 1 2 } } { { { x ^ 5 } } } } = { \frac { { 2 \left ( { { x ^ 2 } – 6 } \right ) } } { { { x ^ 5 } } } .} \end {align*}$$

عبارت بالا در نقاط زیر برابر با صفر است:

$$ \large \begin {align*}<br /> y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow<br /> { \frac { { 2 \left ( { { x ^ 2 } – 6 } \right ) } } { { { x ^ 5 } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { { x ^ 2 } – 6 = 0 } \\<br /> { { x ^ 5 } \ne 0 }<br /> \end{array}} \right . , \; \; } \Rightarrow<br /> { { x _ { 1 , 2 } } = \pm \sqrt 6 \approx \pm 2 . 4 5 . }<br /> \end {align*} $$

همانطور که در شکل ۶ (الف) می‌بینیم، تابع در بازه‌های $$\left( { – \infty , – \sqrt 6 } \right)$$ و $$\left( {0, \sqrt 6 } \right)$$ اکیداً محدب رو به بالا و در بازه‌های $$\left( {-\sqrt 3, 0 } \right)$$ و $$\left( {\sqrt 6, +\infty } \right)$$ اکیداً محدب رو به پایین است. وقتی نمودار از نقاط $$x = – \sqrt ۶$$ و $$x = \sqrt ۶$$ عبور می‌کند، علامت مشتق آن تغییر می‌کند. بنابراین، این نقاط، نقطه عطف هستند. مقادیر تابع در این نقاط برابر است با:‌

$$\large \begin {align*} { y \left ( { – \sqrt 6 } \right ) } & = { \frac { { { { \left ( { – \sqrt 6 } \right ) } ^ 2 } – 1 } } { { { { \left ( { – \sqrt 6 } \right ) } ^ 3 } } } } = { – \frac { 5 } { { 6 \sqrt 6 } } \approx – 0 . 3 4 } \\ y \left ( { \sqrt 6 } \right) & = \frac { 5 } { { 6 \sqrt 6 } } \approx 0 . 3 4 . \end {align*}$$

اکنون با اطلاعاتی که از تابع به دست آوردیم می‌توانیم نمودار تابع را مطابق شکل ۶ (ب) رسم کنیم.

مثال ۷

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

حل: تابع در کل بازه اعداد حقیقی تعریف شده است و همانطور که می‌بینیم از نقاط $$x = 0$$ و $$x = -1$$ می‌گذرد. همچنین، تابع در بازه‌های $$\left( { – 1,0} \right)$$ و $$\left( {0, +\infty} \right)$$ مثبت و در بازه $$\left( {-\infty, -1} \right)$$ منفی است (شکل ۷ (الف)).

از آنجایی که تابع در کل بازه اعداد حقیقی پیوسته است، مجانب قائم ندارد. بنابراین باید وجود مجانب مایل یا افقی را تحقیق کنیم:

در نتیجه، مجانب مایل زیر را داریم:

$$\large y = x + { \large \frac { 1 } { 3 }\normalsize } .$$

مشتق تابع، برابر است با:

بنابراین، نقاط بحرانی تابع به صورت زیر هستند:

$$\large { { x _ 1 } = 0 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = – 1 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = – \frac { 2 } { 3 } . }$$

در دو نقطه نخست، مشتق وجود ندارد. البته وقتی تابع از نقطه $$x = 0$$ می‌گذرد، علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند (شکل ۷ (الف)). بنابراین، یک مینیمم در این نقطه (نقطه بازگشت) وجود دارد. مقدار تابع در $$x = 0$$ را قبلاً $$y (0) = 0$$ به دست آوردیم. در $$x = - 1$$ هیچ نقطه اکسترممی وجود ندارد، زیرا وقتی نمودار از این نقطه عبور می‌کند، مشتق تغییر علامت نمی‌دهد. در نقطه $$x = – {\large\frac{2}{3}\normalsize}$$ مشتق برابر با صفر است و هنگام عبور نمودار از این نقطه، علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می‌کند. در نتیجه، واضح است که تابع در $$x = – {\large\frac{2}{3}\normalsize}$$ یک ماکزیمم دارد که مقدار آن برابر است با:‌

اکنون نقاط عطف ممکن و تحدب تابع را بررسی می‌کنیم. ابتدا مشتق دوم تابع را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

بنابراین، مشتق دوم در هیچ نقطه‌ای صفر نمی‌شود. البته نقطه تکین $$x = - 1$$، یک نقطه عطف است، زیرا با عبور نمودار از آن، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند (شکل ۷ (الف)). در مقابل، نقطه تکین دیگر $$x = 0$$، نقطه عطف نیست. تابع در بازه $$\left( { – \infty , – 1} \right)$$ محدب رو به پایین و در بازه‌های $$\left( { – 1,0} \right)$$ و $$\left( {0, +\infty} \right)$$ محدب رو به بالا است.

با توجه به اطلاعاتی که از تابع استخراج کردیم، نمودار آن در شکل ۷ (ب) رسم شده است.

مثال ۸

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = { x ^ 2 } \sqrt { x + 1 } .$$

حل: واضح است که تابع در $$x \ge -1$$ تعریف شده است و برد آن، نامنفی است. تابع مجانب ندارد.

نقاط تقاطع منحنی و محورهای مختصات، به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} y \left ( 0 \right ) & = { 0 ^ 2 } \sqrt { 0 + 1 } = 0 ; \\ y \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { { x ^ 2 } \sqrt { x + 1 } = 0 , \; \; } \Rightarrow { { x _ 1 } = 0 , \; { x _ 2 } = – 1 . } \end {align*}$$

در نتیجه، نقاط تقاطع، $$(0,0)$$ و $$(-1,0)$$ خواهند بود.

مشتق تابع، برابر است با:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { { \left ( { { x ^ 2 } \sqrt { x + 1 } } \right ) ^ \prime } } = { 2 x \cdot \sqrt { x + 1 } + { x ^ 2 } \cdot \frac { 1 } { { 2 \sqrt { x + 1 } } } } \\ & = { 2 x \sqrt { x + 1 } + \frac { { { x ^ 2 } } } { { 2 \sqrt { x + 1 } }} } = { \frac { { 4 x \left ( { x + 1 } \right ) + { x ^ 2 } } }{ { 2 \sqrt { x + 1 } } } } \\ & = { \frac { { 5 { x ^ 2 } + 4 x } } { { 2 \sqrt { x + 1 } } } . } \end {align*}$$

نقاط بحرانی تابع، به صورت زیر هستند:

$$\large { { x _ 1 } = – 1 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = 0 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = – \frac { 4 } { 5 } . }$$

تابع در بازه‌های $$\left( { – 1, – {\large\frac{4}{5}\normalsize}} \right)$$ و $$\left( {0, + \infty } \right)$$ صعودی، و در بازه $$\left( {- {\large\frac{4}{5}\normalsize}, 0} \right)$$ نزولی است.

در نقطه $$x = – {\large\frac{4}{5}\normalsize}$$، ماکزیمم تابع برابر است با:

$$\large { y \left ( { – \frac { 4 } { 5 } } \right ) } = { { \left ( { – \frac { 4 } { 5 } } \right ) ^ 2 } \sqrt { – \frac { 4 } { 5 } + 1 } } = { \frac { { 1 6 } } { { 2 5 \sqrt 5 } } \approx 0.28.}$$

در نقطه $$x=0$$ نیز مینیمم $$y\left( 0 \right) = 0$$ وجود دارد.

اکنون مشتق دوم را به دست می‌آوریم:

$$ \large \begin {align*}<br /> y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { { \left ( { \frac { {5 { x ^ 2 } + 4 x } } { { 2 \sqrt {x + 1 } } } } \right ) ^ \prime } } = { \frac { { \left ( { 2 0 x + 8 } \right ) \left ( { x + 1 } \right ) – \left ( { 5 { x ^ 2 } + 4 x } \right ) } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } } \\ & = { \frac { { \color{ blue } { 2 0 { x ^ 2 } } + \color { red } { 8 x } + \color {red} { 2 0 x } + \color {green} { 8 } – \color {blue} { 5 { x ^ 2 } } – \color {red} { 4 x } } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } } = { \frac { { \color {blue} { 1 5 { x ^ 2 } } + \color {red} { 2 4 x } + \color {green} { 8 } } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } .}<br /> \end {align*} $$

عبارت بالا، در نقاط زیر برابر با صفر است:

$$ \large \begin {align*}<br /> y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow<br /> { \frac { { 1 5 { x ^2 } + 2 4 x + 8 } } { { 4 \sqrt { { { \left ( { x + 1 } \right ) } ^ 3 } } } } = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { \left\{ { \begin {array} { * { 2 0 } { l } }<br /> { 1 5 { x ^ 2 } + 2 4 x + 8 = 0 } \\<br /> { x \ne – 1 }<br /> \end {array} } \right. , \; \; } \Rightarrow<br /> { D = 5 7 6 – 4 \cdot 1 5 \cdot 8 = 9 6 , \; \; } \\ & \Rightarrow<br /> { { x _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 2 4 \pm \sqrt { 9 6 } } } { { 3 0 } } }<br /> = { \frac { { – 2 4 \pm 4 \sqrt 6 } } { { 3 0 } } }<br /> \\ & = { \frac { 2 } { { 1 5 } } \left ( { – 6 \pm \sqrt 6 } \right ) } \approx { - 1 . 1 3 ; \; – 0.47. }<br /> \end {align*} $$

یکی از ریشه‌ها برابر است با:

$$\large x = { \frac { 2 } { { 1 5 } } } \left ( { – 6 – \sqrt 6 } \right ) \approx – 1 . 1 3$$

همان‌طور که می‌بینیم، این ریشه در دامنه تابع وجود ندارد. ریشه دیگر، به صورت زیر است:

$$\large x = { \frac { 2 } { { 1 5 } } } \left ( { – 6 + \sqrt 6 } \right ) \approx – 0 . 4 7$$

وقتی از نقطه بالا عبور می‌کنیم، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند (شکل ۸ (الف)). بنابراین، این نقطه یک نقطه عطف است. مقدار تابع در این نقطه، تقریباً برابر است با:

$$\large { y \left ( { \frac { 2 } { { 1 5 } } \left ( { – 6 + \sqrt 6 } \right ) } \right ) } \approx { y \left ( { – 0 . 4 7 } \right ) \approx 0 . 1 6 . }$$

منحنی تابع، در سمت چپ این نقطه محدب رو به بالا و در سمت راست آن محدب رو به پایین است.

نمودار تابع، در شکل ۸ (ب) نشان داده شده است.

مثال ۹

نمودار تابع زیر را رسم کنید:

$$\large y = \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } .$$

حل: دامنه تابع، $$x \ne 0$$ است. در نقطه $$x = 0$$ یک ناپیوستگی وجود دارد. با محاسبه حدهای یک‌طرفه، داریم:

$$\large \begin {align*} \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } y \left ( x \right ) & = { \lim \limits _ { x \to 0 – 0 } \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } }{ { { x ^ 2 } } } } = { - \infty , } \\ { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } y \left ( x \right ) } & = { \lim \limits _ { x \to 0 + 0 } \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } } = { - \infty . } \end {align*}$$

بنابراین، $$x = 0$$ یک مجانب قائم است.

اکنون وجود مجانب‌های مایل را بررسی می‌کنیم:

$$ \large \begin {align*}<br /> \require {cancel} k & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { y \left ( x \right ) } } { x } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 3 } } } } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } { \left ( { 1 – \frac { 1 } { x } } \right ) ^ 3 } = 1 ; } \\<br /> b & = \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { y \left ( x \right ) – k x } \right ] = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left [ { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } {{ { x ^ 2 }} } – x } \right ] } \\ & = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \frac { { \cancel { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 3 x – 1 – \cancel { x ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } } = { \lim \limits _ { x \to \pm \infty } \left ( { – 3 + \frac { 3 } { x } – \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) = – 3 . }<br /> \end {align*} $$

در نتیجه، مجانب مایل با رابطه زیر بیان می‌شود:

$$\large y = x – 3 .$$

تقاطع تابع با محور $$x$$ در نقطه $$x = 1$$ رخ می‌دهد. تابع برای $$x > 1$$ مثبت، و در $$x < 1$$ منفی است (جز نقطه $$x = 0$$ که در آن، تعریف نشده است).

مشتق اول با فرمول زیر بیان می‌شود:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 2 } } } } \right ) ^ \prime } = { \frac { { { { \left ( { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } \right ) } ^ \prime } { x ^ 2 } – { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } { { \left ( { { x ^ 2 } } \right ) } ^ \prime } } } { { { x ^ 4 } } } } \\ & = { \frac { { 3 { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } { x ^ 2 } – 2 x { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x + 2 } \right ) } } { { { x ^ 3 } } } . } \end {align*}$$

بنابراین، نقاط بحرانی به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} { { x _ 1 } = 1 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 2 } = – 2 , } \; \; \; \kern-0.3pt { { x _ 3 } = 0 . } \end {align*}$$

تابع، در بازه $$\left({- 2,0}\right)$$ اکیداً نزولی و در بازه‌های $$\left({-\infty, -2}\right)$$، $$\left({0, 1}\right)$$ و $$\left({1, +\infty}\right)$$ اکیداً صعودی است.

در نقطه $$x = - 2$$، تابع ماکزیمم شده و مقدار آن برابر است با:

$$\large { y \left ( { – 2 } \right ) = \frac { { { { \left ( { – 2 – 1 } \right ) } ^ 3 } } } { { { 2 ^ 2 } } } } = { – \frac { { 2 7 } }{ 4 } } = { – 6 . 7 5 .}$$

در نقطه $$x = 1$$، اکسترمم وجود ندارد، زیرا وقتی از این نقطه عبور می‌کنیم، علامت مشتق تغییری نمی‌کند.

اکنون مشتق دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$\large \begin {align*} y ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { { \left [ { \frac { { { { \left ( { x – 1 } \right ) } ^ 2 } \left ( { x + 2 } \right ) } } {{ { x ^ 3 } } } } \right ] ^ \prime } } = { { \left [ { { { \left ( { 1 – \frac { 1 } { x } } \right ) } ^ 2 } \left ( { 1 + \frac { 1 }{ x } } \right ) } \right ] ^ \prime } } \\ & = { { \left [ { \left ( { 1 – \frac { 2 } { x } + \frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \right ) \left ( { 1 + \frac { 1 } { x } } \right ) } \right ] ^ \prime } } = { { \left ( { \frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } – \frac { 3 } { { { x ^ 2 } } } + 1 } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { \left ( { 2 { x ^ { – 3 } } – 3 { x ^ { – 2 } } + 1 } \right ) ^ \prime } } = { – 6 { x ^ { – 4 } } + 6 { x ^ { – 3 } } = \frac { 6 } { { { x ^ 3 } } } – \frac { 6 } { { { x ^ 4 } } } } = { \frac { { 6 \left ( { x – 1 } \right ) } } { { { x ^ 4 } } } . } \end {align*}$$

با توجه به فرمول بالا، در $$x = 0$$ مشتق دوم $$y^{\prime\prime} = 0$$ را داریم. در سمت راست این نقطه، $$y^{\prime\prime} \gt 0$$ و در سمت چپ آن، نامساوی $$y^{\prime\prime} \lt 0$$ را خواهیم داشت. بنابراین، تابع در بازه‌های $$\left( { – \infty ,0} \right)$$ و $$\left( { 0, 1} \right)$$ محدب رو به بالا و در بازه $$\left( {1, +\infty} \right)$$ محدب رو به پایین است. نقطه $$x = 1$$، یک نقطه عطف است و در آن، $$y\left( 1 \right) = 0$$.

نمودار تابع در شکل ۹ (ب) رسم شده است.

مثال ۱۰

منحنی تابع زیر را رسم کنید:

حل: تابع برای همه $$x$$های حقیقی تعریف شده است. بنابراین، مجانب قائم نداریم. اگر کمی دقت کنیم، می‌بینیم که تابع فرد است:

با محاسبه حدهای زیر، وجود مجانب مایل یا افقی را بررسی می‌کنیم:

بنابراین، نمودار تابع، مجانبی دارد که معادله آن $$y = x$$ است. با توجه به اینکه تابع فرد است، مجانب علاوه بر $$x \to +\infty$$، در  $$x \to -\infty$$ نیز وجود دارد.

نقاط تقاطع منحنی با محورهای مختصات و بازه‌هایی را که در آن، علامت تابع تغییر نمی‌کند نیز به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

نامساوی $$y\left( x \right) \gt 0$$ را می‌توان به صورت زیر نوشت:

نامعادله بالا را می‌توان با استفاده از روش بازه‌ها حل کرد (شکل ۱۰ (الف)). می‌بینیم که تابع در بازه‌های $$\left( { – 1,0} \right)$$ و $$\left( { 1, +\infty} \right)$$ مثبت و در بازه‌های $$\left( { -\infty, -1} \right)$$ و $$\left( {0,1} \right)$$ منفی است.

مشتق تابع، برابر است با:

$$\large \begin {align*} y’ \left ( x \right ) & = { \left ( { \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { x ^ 3 } – x } } } \right ) ^ \prime } = { { \left ( { { { \left ( { { x ^ 3 } – x } \right ) } ^ { \large \frac { 1 }{ 3 } \normalsize } } } \right ) ^ \prime } } \\ & = { \frac { 1 } { 3 }{ \left ( { { x ^ 3 } – x } \right ) ^ { – \large \frac { 2 }{ 3 } \normalsize } } \cdot \left ( { 3 { x ^ 2 } – 1 } \right ) } = { \frac { { 3 { x ^ 2 } – 1 } } { { 3 \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { { { \left ( { { x ^ 3 } – x } \right ) } ^ 2 } } } } } . } \end {align*}$$

مشتق در $$x = 0$$ و $$x = \pm 1$$ وجود ندارد و در نقاط زیر، برابر با صفر است:

بنابراین، تابع پنج نقطه بحرانی دارد. تغییر علامت مشتق، هنگام عبور از این نقاط در شکل ۱۰ (الف) نشان داده شده است. نقطه $$x = – {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}$$، یک نقطه ماکزیمم و $$x = {\large\frac{1}{{\sqrt 3 }}\normalsize}$$ یک مینیمم برای تابع است (با توجه به فرد بودن تابع، تقارن این نقاط قابل انتظار بود). مقادیر ماکزیمم و مینیمم متناظر با این نقاط به صورت زیر هستند:

 $$\large \begin {align*} y \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) & = { \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { { { \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) } ^ 3 } – \left ( { – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) } } } = { – \sqrt [ \large 3 \normalsize ]{ { \frac { 1 }{ { 3 \sqrt 3 } } – \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } } } \\ & = { – \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { \frac { { 1 – 3 } } { { 3 \sqrt 3 } } } } } = { – \sqrt [ \large 3 \normalsize ] { { \frac { 2 } { { 3 \sqrt 3 } } } } \approx - 0 . 7 3 ; \; \; } \\ & \Rightarrow { y \left ( { \frac { 1 } { { \sqrt 3 } } } \right ) = 0 . 7 3 .} \end {align*}$$

مشتق دوم به صورت زیر محاسبه می‌شود:

مشتق دوم در هیچ نقطه‌ای صفر نمی‌شود و (مشابه مشتق اول) در نقاط $$x = 0$$ و $$x = \pm 1$$ نیز وجود ندارد. وقتی از این نقاط عبور می‌کنیم، علامت مشتق دوم تغییر می‌کند (شکل ۱۰ (الف)). بنابراین، این نقاط، نقاط عطف هستند. مختصات این نقاط $$\left( {0,0} \right)$$، $$\left( {-1,0} \right)$$ و $$\left( {1,0} \right)$$ است. در نهایت، نمودار تابع به صورت شکل ۱۰ (ب) در خواهد آمد.

مثال ۱۱

منحنی معادلات پارامتری زیر را رسم کنید.

$$\large { x = { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t , } \; \; \; \kern-0.3pt { y = { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t . }$$

حل: نمودارهای دو تابع $$x (t)$$ و $$y (t)$$ را در نظر می‌گیریم. هر دو تابع، چندجمله‌ای‌های مرتبه سوم هستند که در $$x \in \mathbb{R}$$ تعریف شده‌اند. مشتق تابع $$x (t)$$ به صورت زیر است:

$$\large { x ’ \left ( t \right ) = { \left ( { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } \right ) ^ \prime } } = { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 . }$$

با حل معادله $$x’\left( t \right) = 0$$، نقاط مانای تابع $$x (t)$$ را تعیین می‌کنیم:

$$\large \begin{align*} x ’ \left ( t \right ) & = 0 , \; \; \Rightarrow { 3 { t ^ 2 } + 2 t – 1 = 0 , \; \; } \\ &\Rightarrow { { t _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 2 \pm \sqrt { 1 6 } } } { 6 } = – 1 ; \; \frac { 1 } { 3 } . } \end {align*}$$

در $$t = 1$$، تابع $$x (t)$$ به مقدار ماکزیمم می‌رسد:

$$\large { x \left ( { – 1 } \right ) } = { { \left ( { – 1 } \right ) ^ 3 } + { \left ( { – 1 } \right ) ^ 2 } – \left ( { – 1 } \right ) } = { 1 }$$

و در نقطه $$t = {\large\frac{1}{3}\normalsize}$$ یک مینیمم وجود دارد:‌

$$\large \begin{align*} x \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) & = { { \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ 3 } + { \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ 2 } – \left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) } \\ &= { \frac { 1 } { { 2 7 } } + \frac { 1 } { 9 } – \frac { 1 } { 3 } = – \frac { 5 } { { 2 7 } } . } \end {align*}$$

اکنون مشتق تابع $$y (t)$$ را در نظر بگیرید:

$$\large { y ’ \left ( t \right ) = { \left ( { { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t } \right ) ^ \prime } } = { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 .}$$

به طریق مشابه، نقاط مانای $$y(t)$$ به صورت زیر هستند:

$$\large \begin {align*} { y’ \left ( t \right ) = 0 , \; \; } & \Rightarrow { 3 { t ^ 2 } + 4 t – 4 = 0 , \; \; } \\ & \Rightarrow { { t _ { 1 , 2 } } = \frac { { – 4 \pm \sqrt { 6 4 } } } { 6 } = – 2 ; \; \frac {2 } { 3 } .} \end {align*}$$

تابع $$y(t)$$ در نقطه $$t = -2$$ به حداکثر مقدار خود می‌رسد:

$$\large y \left ( { – 2 } \right ) = { \left ( { – 2 } \right ) ^ 3 } + 2 { \left ( { – 2 } \right ) ^ 2 } – 4 \left ( { – 2 } \right ) = 8$$

همچنین، در نقطه $$t = {\large\frac{2}{3}\normalsize}$$ تابع مینیمم است:

$$\large \begin {align*} y \left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) & = { { \left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ 3 } + 2 { \left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ 2 } – 4 \cdot \frac { 2 } { 3 } } \\ & = { \frac { 8 } { { 2 7 } } + \frac { 8 } { 9 } – \frac { 8 } { 3 } } = { – \frac { { 4 0 } }{ { 2 7 } } . } \end {align*}$$

نمودار توابع $$x (t)$$ و $$y(t)$$ در شکل زیر نشان داده شده‌اند.

حدود این دو تابع در بی‌نهایت، برابر است با:

$$\large { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } x \left ( t \right ) = \pm \infty , \; \; \; } \kern-0.3pt { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } y \left ( t \right ) = \pm \infty }$$

بنابراین، نمودار $$y (x)$$ مجانب قائم و افقی ندارد. با توجه به روابط زیر، مجانب مایل نیز نداریم:

$$\large \begin {align*} k & = \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \frac { { y \left ( t \right ) } } { { x \left ( t \right ) } } = { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \frac { { { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t } } { { { t ^ 3 } + { t ^ 2 } – t } } } = { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \frac { { 1 + \frac { 2 } { t } – \frac { 4 } { { { t ^ 2 } } } } } { { 1 + \frac { 1 } { t } – \frac { 1 } { { { t ^ 2 } } } } } = 1,} \\ b & = \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \left [ { y \left ( t \right ) – k x \left ( t \right ) } \right ] = { \lim \limits _ { t \to \pm \infty } \left ( { { t ^ 2 } – { 3 t } } \right ) } = { + \infty , } \end {align*}$$

اکنون، نقاط تقاطع منحنی $$y (x)$$ را با محورهای مختصات به دست می‌آوریم. تقاطع با محور $$x$$، در نقاط زیر رخ می‌دهد:

$$\large { y \left ( t \right ) = { t ^ 3 } + 2 { t ^ 2 } – 4 t = 0 , \; \; } \Rightarrow { t \left ( { { t ^ 2 } + 2 t – 4 } \right ) = 0 ; }$$

نقطه تقاطع نخست به صورت زیر است:

$$\large {t_1} = 0;$$

نقاط تقاطع دیگر نیز برابرند با:

$$\large \begin {align*} { t ^ 2 } + 2 t – 4 = 0, & \Rightarrow { D = 4 – 4 \cdot \left ( { – 4 } \right ) = 2 0 , } \\ & \Rightarrow { { t _ { 2 , 3 } } = { \large \frac { { – 2 \pm \sqrt { 2 0 } } } { 2 } \normalsize } } = { – 1 \pm \sqrt 5 .} \end {align*}$$