محاسبه ارتفاع مثلث — تعریف، حل تمرین و مثال + جدول فرمول ها

آخرین به‌روزرسانی: ۳ دی ۱۴۰۱
زمان مطالعه: ۱۱ دقیقه
محاسبه ارتفاع مثلث

ارتفاع، یکی از اجزای مهم مثلث است که به منظور محاسبه مساحت این شکل هندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد. تعیین اندازه ارتفاع، معمولا توسط بازنویسی فرمول‌های مساحت مثلث انجام می‌شود. در این مقاله، به معرفی روش‌های تعیین ارتفاع انواع مثلث با فرمول‌های مختلف و حل مثال‌های متنوع می‌پردازیم. در انتها، جدول فرمول‌های ارتفاع مثلث‌ها را ارائه می‌کنیم.

فهرست مطالب این نوشته

مثلث چیست؟

مثلث، یکی از شکل‌های چند ضلعی دو بعدی است. مثلث‌ها، از شکل‌های پایه‌ای و اصلی در هندسه محسوب می‌شوند. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک مثلث با طول ضلع‌های برابر را نمایش می‌دهد. به این مثلث، مثلث متساوی الاضلاع می‌گویند.

مثلث متساوی الاضلاع
مثلث متساوی الاضلاع

اجزای مثلث چه هستند؟

هر مثلث از سه جز اصلی شامل راس‌ها، ضلع‌ها و زوایای داخلی تشکیل می‌شود. به ضلع‌های مثلث، «یال» یا «قاعده» نیز می‌گویند.

مثلث مختلف الاضلاع
ضلع‌ها، راس‌ها و زوایای داخلی یک مثلث مختلف الاضلاع

اجزای نمایش داده شده در تصویر بالا، عبارت هستند از:

  • راس‌ها: نقاط الف، ب و پ
  • قاعده‌ها: پاره‌خط‌های (الف ب)، (الف پ) و (ب پ)
  • زوایا: کمان‌های نمایش داده شده در داخل مثلث

از دیگر اجزای مهم در مثلث‌ها می‌توان به ارتفاع آن‌ها اشاره کرد. ارتفاع مثلث از اهمیت بالایی در محاسبه مساحت مثلث برخوردار است. در صورت مشخص بودن اندازه ارتفاع و قاعده، از فرمول «قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو» برای محاسبه مساحت مثلث استفاده می‌شود. خط‌چین‌های نمایش داده شده در تصویر زیر، ارتفاع‌های یک مثلث متساوی الاضلاع را نمایش می‌دهند.

ارتفاع ها و قاعده های مثلث
هر رنگ، معرف قاعده و ارتفاع نظیر مثلث است.

ارتفاع مثلث چیست؟

«ارتفاع» (Height یا Altitude)، پاره خطی است که از راس مثلث رسم می‌شود و در محل برخورد با ضلع مقابل خود یا امتداد آن ضلع، زاویه قائمه می‌سازد. هر مثلث دارای سه ارتفاع است.

قاعده و ارتفاع نظیر مثلث مختلف الاضلاع با زاویه باز
قاعده‌ها و ارتفاع‌های نظیر در یک مثلث مختلف الاضلاع با زاویه باز

ارتفاع مثلث چگونه بدست می آید ؟

ارتفاع مثلث، با استفاده از روش‌های مستقیم (رسم با گونیا یا پرگار و اندازه‌گیری با خط کش) یا فرمول‌های مساحت به دست می‌آید. در بخش بعدی، به معرفی پرکاربردترین فرمول‌های محاسبه ارتفاع انواع مثلث‌ها و حل چند مثال می‌پردازیم.

فرمول محاسبه ارتفاع مثلث با مساحت و قاعده

ساده‌ترین و شناخته شده‌ترین فرمول محاسبه مساحت مثلث، عبارت است از:

۲ ÷ (ارتفاع $$\times$$ قاعده) = مساحت مثلث

قاعده و ارتفاع نظیر در مثلث متساوی الاضلاع
قاعده و ارتفاع نظیر مثلث

فرم جبری فرمول مساحت مثلث به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A = (h \times b) ÷ 2
$$

  • A: مساحت
  • b: یکی از قاعده‌های مثلث
  • h: ارتفاع نظیر قاعده b

اگر فرمول بالا را بر حسب ارتفاع h بازنویسی کنیم، به فرمول زیر می‌رسیم:

$$
h =\frac {2A} {b}
$$

در صورت مشخص بودن اندازه مساحت و قاعده مثلث، ارتفاع نظیر قاعده از فرمول بالا به دست می‌آید. این فرمول برای تمام انواع مثلث‌ها قابل استفاده است.

مثال: محاسبه ارتفاع مثلث با قاعده

مثلثی با مساحت 50 سانتی‌متر مربع را در نظر بگیرید. اگر اندازه یکی از ضلع‌های این مثلث برابر 10 سانتی‌متر باشد، ارتفاع نظیر آن ضلع چقدر خواهد بود؟

مطابق با فرمول ارتفاع مثلث بر حسب قاعده، داریم:

$$
h =\frac {2A} {b}
$$

  • h: ارتفاع مثلث
  • A: مساحت مثلث برابر 50 سانتی‌متر مربع
  • b: قاعده مثلث برابر 10 سانتی‌متر

اندازه‌های موجود را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$
h =\frac {2\times50} {10}
$$

$$
h =\frac {100} {10}
$$

$$
h =10
$$

ارتفاع نظیر قاعده برابر 10 سانتی‌متر است.

فرمول محاسبه ارتفاع مثلث با محیط و اندازه سه ضلع

یکی دیگر از روش‌های پرکاربرد برای محاسبه مساحت، استفاده از فرمول هرون است. این فرمول، در صورت مشخص بودن اندازه هر سه ضلع مثلث مورد استفاده قرار می‌گیرد. رابطه جبری فرمول هرون به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

  • A: مساحت
  • s: نصف محیط مثلث
  • a: طول ضلع اول
  • b: طول ضلع دوم
  • c: طول ضلع سوم
فرمول مساحت مثلث با سه ضلع
فرمول مساحت مثلثی با سه ضلع معلوم

اگر فرمول بالا را برابر با فرمول مساحت مثلث بر حسب قاعده قرار دهیم و رابطه به دست آمده را بر حسب ارتفاع h بازنویسی کنیم، فرمول محاسبه ارتفاع مثلث بر حسب محیط و اندازه سه ضلع مثلث، به صورت زیر به دست می‌آید:

$$
\begin{aligned}
&h_{a}=\frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&h_{b}=\frac{2}{b} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&h_{c}=\frac{2}{c} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{aligned}
$$

  • ha: ارتفاع نظیر قاعده a
  • hb: ارتفاع نظیر قاعده b
  • hc: ارتفاع نظیر قاعده c
  • a: طول ضلع اول
  • b: طول ضلع دوم
  • c: طول ضلع سوم
  • s: نصف محیط مثلث

نصف محیط مثلث، توسط رابطه زیر محاسبه می‌شود:

$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$

مثال: محاسبه ارتفاع مثلث با سه ضلع

مثلثی با اندازه ضلع‌های 5، 12 و 13 را در نظر بگیرید. ارتفاع نظیر هر یک از ضلع‌های مثلث چقدر است؟

برای شروع حل مسئله، ابتدا اندازه‌های داده شده را یادداشت می‌کنیم:

  • a: طول ضلع اول برابر 5
  • b: طول ضلع دوم برابر 12
  • c: طول ضلع سوم برابر 13

مطابق با فرمول ارتفاع مثلث بر حسب محیط و طول ضلع‌ها، داریم:

$$
\begin{aligned}
&h_{a}=\frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&h_{b}=\frac{2}{b} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&h_{c}=\frac{2}{c} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{aligned}
$$

پیش از قرار دادن اندازه ضلع‌ها، مقدار s را به دست می‌‌آوریم:

$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$

$$
s=\frac{5+12+13}{2}
$$

$$
s=\frac{30}{2}
$$

$$
s=15
$$

اکنون می‌توانیم مقدار s را به همراه دیگر اندازه‌ها درون فرمول‌ها قرار دهیم. این کار را با فرمول ارتفاع نظیر قاعده a شروع می‌کنیم:

$$
h_{a}=\frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$

$$
h_{a}=\frac{2}{5} \sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}
$$

$$
h_{a}=\frac{2}{5} \sqrt{15(10)(3)(2)}
$$

$$
h_{a}=\frac{2}{5} \sqrt{15(60)}
$$

$$
h_{a}=\frac{2}{5} \sqrt{900}
$$

$$
h_{a}=\frac{2}{5} \times 30
$$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$$
h_{a}=2 \times 6
$$

$$
h_{a}=12
$$

ارتفاع نظیر قاعده a برابر 12 است. عدد حاصل از عبارت رادیکال (30)، برای ارتفاع‌های دیگر نیز تکرار می‌شود. به همین دلیل، برای محاسبه ارتفاع‌های دیگر، از نوشتن محاسبات مربوط به آن خودداری می‌کنیم. به این ترتیب، برای ارتفاع‌های نظیر قاعده‌های b و c، خواهیم داشت:

$$
\begin{aligned}
&h_{b}=\frac{2}{12} \times 30 \\
&h_{c}=\frac{2}{13} \times 30
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&h_{b}=5 \\
&h_{c}=4.61
\end{aligned}
$$

ارتفاع نظیر قاعده b برابر 5 و ارتفاع نظیر قاعده c برابر 4.61 است. به اندازه ارتفاع‌ها و ضلع‌های مثلث دقت کنید، متوجه خواهید شد که ضلع‌های a و b، قاعده و ارتفاع نظیر یکدیگر هستند. این ویژگی، یکی از خواص مثلث قائم الزاویه است.

فرمول محاسبه ارتفاع مثلث با سینوس

از دیگر روش‌های مورد استفاده برای تعیین ارتفاع، می‌توان به استفاده از فرمول مساحت مثلث با سینوس اشاره کرد. در صورت مشخص بودن دو ضلع و زاویه بین آن‌ها، مساحت مثلث از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$
Area=\frac{1}{2} a b \sin C
$$

  • Area: مساحت
  • a: اندازه یکی از ضلع‌ها
  • b: اندازه ضلع دیگر
  • C: زاویه بین دو ضلع a و b
فرمول های مساحت مثلث با سینوس
فرمول های مساحت مثلث با سینوس

اگر فرمول بالا برای دو ضلع و زاویه بین را برابر فرمول مساحت مثلث بر حسب قاعده (در اینجا قاعده b) در نظر بگیریم و رابطه به دست آمده را بر حسب ارتفاع h حل کنیم، به فرمول زیر می‌رسیم:

$$
h_{b} = a \sin {C}
$$

در صورت مشخص بودن اندازه ضلع c و زاویه راس A، فرمول بالا به شکل زیر نوشته می‌شود:

$$
h_{b} = c \sin {A}
$$

برای ارتفاع‌های دیگر مثلث نیز داریم:

$$
h_{a} = b \sin {C}
$$

$$
h_{a} = c \sin {B}
$$

$$
h_{c} = a \sin {B}
$$

$$
h_{c} = b \sin {A}
$$

مثال: محاسبه ارتفاع مثلث با مساحت و اندازه یک زاویه

ارتفاع نظیر قاعده a در مثلث نمایش داده در تصویر زیر چقدر است؟

مثلثی با دو زاویه 35 و 65 درجه و ضلع غیر بین 15
مثلثی با دو زاویه 35 و 65 درجه و ضلع غیر بین 15

برای محاسبه ارتفاع نظیر قاعده a با روابط مثلثاتی، می‌توانیم از فرمول‌های زیر استفاده کنیم:

$$
h_{a} = b \sin {C}
$$

$$
h_{a} = c \sin {B}
$$

اندازه‌های داده شده در تصویر، عبارت هستند از:

  • b=15
  • A=35°
  • B=65°

بر اساس فرمول‌های بالا، برای محاسبه ارتفاع مثلث، به اندازه زاویه C (در فرمول اول) یا اندازه ضلع b (در فرمول دوم) نیاز داریم. با توجه به اصل جمع زوایای داخلی مثلث، داریم:

$$
A + B + C = 180°
$$

$$
35° + 65° + C = 180°
$$

$$
100° + C = 180°
$$

$$
C = 180° – 100°
$$

$$
C = 80°
$$

زاویه راس C برابر 80 درجه است. این زاویه را به همراه اندازه ضلع b درون فرمول اول قرار می‌دهیم:

$$
h_{a} = 15 \sin {80°}
$$

$$
h_{a} = 15 \times 0.98
$$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$$
h_{a} = 14.7
$$

ارتفاع نظیر قاعده a برابر 14.7 است. برای حل این مسئله می‌توانستیم از قانون سینوس‌ها و اصل جمع زوایای داخلی برای تعیین اندازه ضلع c و ارتفاع نظیر قاعده a نیز استفاده کنیم. البته در آن حالت، روند محاسبات کمی طولانی‌تر می‌شد.

ارتفاع مثلث قائم الزاویه چگونه بدست می آید ؟

ارتفاع مثلث قائم الزاویه از ضرب دو ساق تقسیم بر وتر به دست می‌آید. مثلث قائم الزاویه، مثلثی است که یکی از راس‌های آن دارای زاویه 90 درجه است. به ضلع‌های مجاور زاویه قائمه، «ساق» و به ضلع مقابل زاویه قائمه، «وتر» می‌گویند. در مثلث قائم الزاویه، ساق‌ها، ارتفاع و قاعده نظیر یکدیگر هستند. ارتفاع سوم این مثلث، از نوع داخلی است. این ارتفاع بر وتر مثلث عمود می‌شود.

ارتفاع‌های یک مثلث قائم الزاویه
ارتفاع‌های یک مثلث قائم الزاویه

قضیه فیثاغورس در مثلث‌های قائم الزاویه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

  • c: وتر مثلث قائم الزاویه
  • a: یکی از ساق‌های مثلث
  • b: ساق دیگر مثلث

کاربرد اصلی قضیه فیثاغورس، تعیین اندازه ساق‌ها و وتر مثلث است. البته در صورت استفاده از این قضیه و فرمول کلی مساحت مثلث، می‌توان رابطه مستقیم بین ارتفاع سوم مثلث قائم الزاویه (ارتفاع نظیر وتر) را به صورت زیر نوشت:

$$
h_c = \frac {a \times b} {c}
$$

  • hc: ارتفاع نظیر وتر
  • c: وتر
  • a: یکی از ساق‌ها
  • b: ساق دیگر

مثال: محاسبه ارتفاع های مثلث قائم الزاویه

یک مثلث قائم الزاویه با اندازه ساق 3 و وتر 5 سانتی‌متر را در نظر بگیرید. اندازه ارتفاع نظیر قاعده‌های این مثلث چقدر است؟

پیش از شروع انجام محاسبات، اطلاعات قاعده‌های مثلث را یادداشت می‌کنیم:

  • a: یکی از ساق‌های مثلث با اندازه ۳ سانتی‌متر
  • b: ساق دیگر مثلث با اندازه مجهول
  • c: وتر مثلث با اندازه 5 سانتی‌متر

ارتفاع هر یک از قاعده‌های بالا عبارت هستند از:

  • ha: ارتفاع نظیر قاعده a
  • hb: ارتفاع نظیر قاعده b
  • hc: ارتفاع نظیر قاعده c

مطابق با تعریف ارتفاع در مثلث‌های قائم الزاویه، ساق‌های این مثلث، ارتفاع و قاعده نظیر یکدیگر هستند. بنابراین:

  • ha: اندازه ساق b
  • hb: اندازه ساق a برابر ۳ سانتی‌متر

به این ترتیب، ارتفاع قاعده b معلوم است. برای تعیین ارتفاع قاعده a باید اندازه ساق b را به دست بیاوریم. به این منظور، قضیه فیثاغورس را می‌نویسیم:

$$
c^ { 2 } = a^ { 2 } + b^ {2}
$$

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$
5^ { 2 } = 3^ { 2 } + b^ {2}
$$

$$
25 = 9 + b^ {2}
$$

$$
25 – 9 = b^ {2}
$$

$$
16 = b^ {2}
$$

$$
\sqrt {16} = b
$$

$$
4 = b
$$

اندازه ساق دوم مثلث، برابر 4 سانتی‌متر است. بنابراین، ارتفاع قاعده a یا ha نیز برابر با 4 سانتی‌متر خواهد بود. برای محاسبه ارتفاع سوم مثلث قائم الزاویه، فرمول زیر را مورد استفاده قرار می‌دهیم:

$$
h_c = \frac {a \times b} {c}
$$

$$
h_c = \frac {3 \times 4} {5}
$$

$$
h_c = \frac {12} {5}
$$

$$
h_c = 2.4
$$

در نتیجه، ارتفاع تمام قاعده‌های مثلث به دست می‌آیند:

  • ha=4
  • hb=3
  • hc=2.4

برای اطمینان از درست بودن اندازه‌های به دست آمده، می‌توان مساحت مثلث را با استفاده از هر سه قاعده و ارتفاع نظیر محاسبه کرد. نتیجه نهایی مساحت در هر سه حالت، برابر 12 سانتی‌متر مربع خواهد بود.

ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع چگونه بدست می آید ؟

ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع با استفاده فرمول مخصوص مساحت این نوع مثلث به دست می‌آید. مثلث متساوی الاضلاع، مثلثی با اندازه ضلع‌های برابر است. هر سه ارتفاع این نوع مثلث از نوع داخلی و با اندازه‌های برابر هستند. این ارتفاع‌ها، قاعده‌های نظیر خود را نصف می‌کنند. به عبارت دیگر، ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع، عمود منصف ضلع‌های این نوع مثلث است.

ارتفاع های مثلث متساوی الاضلاع
ارتفاع‌های مثلث متساوی الاضلاع

به دلیل برابر بودن اندازه تمام ضلع‌های مثلث متساوی الاضلاع، فرمول مساحت آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
$$

  • A: مساحت مثلث
  • a: اندازه ضلع مثلث

اگر فرمول بالا را برابر فرمول مساحت مثلث بر اساس قاعده و ارتفاع قرار دهیم و رابطه به دست آمده را برحسب ارتفاع بازنویسی کنیم، فرمول زیر برای محاسبه مستقیم ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع به دست می‌آید:

$$
h=\frac{\sqrt{3}}{2} \times a
$$

  • h: اندازه ارتفاع مثلث
  • a: اندازه ضلع مثلث

مطابق با فرمول بالا، به دلیل برابر بودن تمام ضلع‌های مثلث متساوی الاضلاع، هر سه ارتفاع این نوع مثلث نیز با هم برابر هستند.

مثال: محاسبه ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع از روی محیط

ارتفاع یک مثلث متساوی الاضلاع با محیط $$15\sqrt {3}$$ را محاسبه کنید.

محیط مثلث متساوی الاضلاع از فرمول زیر به دست می‌آید:

ضلع مثلث × 3 = محیط مثلث متساوی الاضلاع

$$
P = 3 \times a
$$

اندازه ضلع را در فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$
P = 3 \times a
$$

$$
15\times \sqrt {3} = 3 \times a
$$

$$
\frac {15\times \sqrt {3}} {3} = a
$$

$$
5\times \sqrt {3} = a
$$

اندازه ضلع مثلث برابر $$5 \sqrt {3}$$ است. اکنون می‌توانیم ارتفاع مثلث را از رابطه زیر تعیین کنیم:

$$
h=\frac{\sqrt{3}}{2} \times a
$$

$$
h=\frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 \times \sqrt {3}
$$

$$
h=\frac{5 \times \sqrt {3} \times \sqrt{3}}{2}
$$

$$
h=\frac{5 \times 3}{2}
$$

$$
h=\frac{15}{2}
$$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

$$
h=7.5
$$

ارتفاع مثلث برابر 7.5 است.

ارتفاع مثلث متساوی الساقین چگونه بدست می آید ؟

مثلث متساوی الساقین، مثلثی با دو ضلع و دو زاویه برابر است. نوع ارتفاع مثلث متساوی الساقین (داخلی یا خارجی بودن ارتفاع)، به اندازه زاویه‌های آن بستگی دارد. در هر حالت، ارتفاع رسم شده از راس با زاویه متفاوت (زاویه سوم)، عمود منصف قاعده نظیر و نیمساز آن زاویه است. به طور کلی، ضلع‌های برابر در مثلث متساوی الساقین با عنوان «ساق»، ضلع سوم با عنوان «قاعده» و ارتفاع نظیر قاعده با عنوان «ارتفاع» شناخته می‌شوند. ساق، قاعده و ارتفاع، از اجزای اصلی معرف این نوع مثلث هستند.

ارتفاع‌های مثلث متساوی الساقین
ارتفاع‌های مثلث متساوی الساقین

در مثلث‌های متساوی الساقین، اندازه دو ارتفاع نظیر ساق‌ها، با استفاده از فرمول زیر به دست می‌آید:

$$
h_{a}=\frac{\sqrt{\left(a^{2}-(0.5 \times b)^{2}\right) \times b}}{a}
$$

  • ha: ارتفاع نظیر ساق
  • a: اندازه ساق
  • b: اندازه ضلع سوم (قاعده)

فرمول ارتفاع نظیر قاعده مثلث متساوی الساقین برابر است با:

$$
\mathrm{h}_{\mathrm{b}}=\sqrt{\mathrm{a}^{2}-(0.5 \times \mathrm{b})^{2}}
$$

مثلث‌های متساوی الساقین می‌توانند قائم الزاویه باشند. در این حالت خاص، ارتفاع نظیر قاعده (وتر)، با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
\mathrm{h}_{\mathrm{b}}= \frac {\sqrt {2}} {2} \times a
$$

  • hb: ارتفاع نظیر وتر
  • a: اندازه ساق

مثال: محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین با ارتفاع و قاعده

مساحت یک مثلث متساوی الساقین با ساق 9 سانتی‌متر و قاعده 14 سانتی‌متر را محاسبه کنید.

به منظور محاسبه ارتفاع مساحت مثلث، به قاعده و ارتفاع آن نیاز داریم. در این مثال، فقط اندازه قاعده به همراه اندازه ساق‌های مثلث داده شده است. با استفاده از فرمول زیر می‌توانیم اندازه ارتفاع نظیر قاعده را محاسبه کنیم:

$$
\mathrm{h}_{\mathrm{b}}=\sqrt{\mathrm{a}^{2}-(0.5 \times \mathrm{b})^{2}}
$$

  • hb: ارتفاع نظیر قاعده
  • a: اندازه ساق برابر 9 سانتی‌متر
  • b: اندازه قاعده برابر 14 سانتی‌متر

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$
\mathrm{h}_{\mathrm{b}}=\sqrt{\mathrm{9}^{2}-(0.5 \times \mathrm{14})^{2}}
$$

$$
\mathrm{h}_{\mathrm{b}}=\sqrt{\mathrm{81}-(7)^{2}}
$$

$$
\mathrm{h}_{\mathrm{b}}=\sqrt{\mathrm{81}-49}
$$

$$
\mathrm{h}_{\mathrm{b}}=\sqrt{32}
$$

$$
\mathrm{h}_{\mathrm{b}}=\sqrt{16 \times 2}
$$

$$
\mathrm{h}_{\mathrm{b}}=4\sqrt{ 2}
$$

در نتیجه، ارتفاع نظیر قاعده مثلث برابر $$4\sqrt{ 2}$$ سانتی‌متر است. اکنون، هر دو اندازه مورد نیاز برای محاسبه مساحت را در اختیار داریم. این اندازه‌ها را درون فرمول مساحت مثلث بر اساس قاعده و ارتفاع قرار می‌دهیم:

$$
A = \frac {h \times b } { 2 }
$$

  • A: مساحت مثلث
  • h: ارتفاع
  • b: قاعده

$$
A = \frac {4\sqrt{ 2} \times 14 } { 2 }
$$

$$
A = 2\sqrt{ 2} \times 14
$$

$$
A = 28\sqrt{ 2}
$$

$$
A = 39.5
$$

در نتیجه، مساحت مثلث برابر 39.5 سانتی‌متر مربع است.

جدول فرمول محاسبه ارتفاع انواع مثلث

در این بخش، تمام فرمول‌های معرفی شده در بخش‌های قبلی را در قالب یک جدول و به صورت خلاصه ارائه می‌کنیم.

نوع مثلث اندازه‌های معلوم فرمول محاسبه ارتفاع مثلث
تمام مثلث‌ها مساحت (A) و قاعده نظیر (b) $$
h =\frac {2A} {b}
$$
تمام مثلث‌ها نصف محیط (s) و اندازه هر سه ضلع (b ،a و c) $$
\begin{aligned}
&h_{a}=\frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&h_{b}=\frac{2}{b} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&h_{c}=\frac{2}{c} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{aligned}
$$
تمام مثلث‌ها اندازه دو ضلع (a و b) و زاویه بین آن‌ها (C) $$
h_{b} = a \sin {C}
$$
مثلث قائم الزاویه اندازه ساق‌ها (a و b) و وتر (c) $$
h_c = \frac {a \times b} {c}
$$
مثلث متساوی الاضلاع اندازه ضلع (a) $$
h=\frac{\sqrt{3}}{2} \times a
$$
مثلث متساوی الساقین اندازه ساق (a) و قاعده (b) $$
h_{a}=\frac{\sqrt{\left(a^{2}-(0.5 \times b)^{2}\right) \times b}}{a}
$$$${h}_{b}=\sqrt{a^{2}-(0.5 \times b)^{2}}
$$
مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه اندازه ساق (a) $$\mathrm{h}_{\mathrm{b}}= \frac {\sqrt {2}} {2} \times a$$

سوالات متداول محاسبه ارتفاع مثلث

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در زمینه محاسبه ارتفاع مثلث‌ها پاسخ می‌دهیم.

کاربرد ارتفاع مثلث چیست؟

ارتفاع مثلث، یکی از اجزای فرعی این شکل هندسی است که به منظور محاسبه مساحت (به همراه قاعده)، تعیین اندازه برخی از اجزای اصلی مثلث مانند ضلع‌ها (قضیه فیثاغورس) و حتی رسم مثلث (خواص ارتفاع) مورد استفاده قرار می‌گیرد.

فرمول ارتفاع مثلث چیست و چگونه بدست می‌آید؟

ارتفاع مثلث، فرمول ثابتی ندارد. فرمول‌های ارتفاع معمولا توسط بازنویسی فرمول‌های مساحت مثلث (مانند قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر دو) به دست می‌آید. به عنوان مثال، در صورت نوشتن فرمول مساحت مثلث با سینوس، برابر قرار دادن آن با فرمول کلی مساحت مثلث و حل رابطه به دست آمده بر اساس ارتفاع، می‌توان فرمول ارتفاع مثلث با سینوس را نوشت.

برای محاسبه ارتفاع مثلث به چه اندازه‌هایی نیاز است؟

تعیین ارتفاع مثلث، با استفاده از اندازه‌هایی مانند مساحت و قاعده، اندازه سه ضلع، دو ضلع و زاویه بین، دو زاویه و ضلع بین، دو ضلع و زاویه غیر بین، دو زاویه و ضلع غیر بین، یک ضلع مثلث متساوی الاضلاع، یک ضلع مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه یا دو ضلع مثلث قائم الزاویه انجام می‌گیرد.

مطلبی که در بالا مطالعه کردید بخشی از مجموعه مطالب «محاسبه محیط و مساحت مثلث — انواع مثلث و تمامی فرمول ها» است. در ادامه، می‌توانید فهرست این مطالب را ببینید:

بر اساس رای ۱۸ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس MathematicalWay InchCalculator
One thought on “محاسبه ارتفاع مثلث — تعریف، حل تمرین و مثال + جدول فرمول ها

خیلی مطلب کاربردی بود. خداقوت

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *