دنباله هندسی و جمع آن – به زبان ساده

۸ مرداد ۱۳۹۴ در دسته‌بندی اخبار و تازه ها نوشته مسعود عبدالرحیمی‎ زمان مورد نیاز برای مطالعه : 0 دقیقه

geometric-sequence

دنباله

یک دنباله (تصاعد)، دسته ای از اشیا (معمولا اعداد) مرتب شده هستند.

دنباله هندسی

دنباله هندسی

در یک دنباله هندسی هر جمله به وسیله ضرب یک عدد ثابت در عدد قبلی به دست می آید.

مثال:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …

این دنباله مضربی از 2 بین هر عدد دارد.

هر جمله (به جز جمله اول) بوسیله ضرب عدد قبلی در 2 بدست می آید.

به طور کلی ما یک دنباله هندسی را به این شکل می نویسیم:

{a, ar, ar2, ar3, …}

که:

  • a اولین جمله است، و
  • r مضرب بین جملات (به نام “قدر نسبت”) است

 

مثال:

{ 1, 2, 4, 8, … }

دنباله از 1 شروع می شود و در هر مرحله دو برابر می شود، پس

  • a = 1 (اولین جمله)
  • r = 2 (“قدر نسبت” بین جملات باعث دو برابر شدن جمله بعدی می شود)

و داریم:

{a, ar, ar2, ar3, … }

= {1, 1×2, 1×22, 1×23, … }

= {1, 2, 4, 8, …}

اما مراقب باشید، r نباید ” 0 ” شود:

  • اگر r = 0 دنباله ما به شکل { … ,0 ,0 ,a} می شود که هندسی نیست.

 

ضابطه

می شود هر هر جمله را با ضابطه بدست آوریم:

Xn = ar(n-1)

(ما از n-1 استفاده می کنیم چون ar0 برای جمله اول است)

 

مثال:

10, 30, 90, 270, 810, 2430, …

این دنباله مضرب 3 بین جملات خود دارد.

مقادیر و r برابرند با:

  • a = 10 (اولین جمله)
  • r = 3 (قدر نسبت)

ضابطه برای هر جمله:

xn = 10 × 3(n-1)

پس، جمله چهارم برابر:

x4 = 10 × 3(4-1) = 10 × 33 = 10 × 27 = 270

و جمله دهم برابر:

x10 = 10 × 3(10-1) = 10 × 39 = 10 × 19683 = 196830

یک دنباله هندسی می تواند رفته رفته اندازه هر جمله را کمتر و کمتر کند:

مثال:

4, 2, 1, 0.5, 0.25, …

این دنباله مضربی از 0.5 بین جملات خود دارد.

و ضابطه آن برابر است با:

xn = 4 × (0.5)n-1

دنباله “هندسی” چرا مفید است؟

چون همانند افزایش ابعاد در هندسه است:

دنباله هندسی یک خط “یک بعدی” است و دارای طول r می باشد.

دنباله هندسی در “دو بعد” یک مربع مساحتی برابر با r2 دارد.

دنباله هندسی در “سه بعد” یک مکعب حجمی برابر r3 دارد.

… و غیره (بله ما می توانیم 4 بعد یا بیشتر در ریاضیات داشته باشیم).

نکته: گاها به دنباله های هندسی، “تصاعد” هندسی نیز گفته می شود.
جمع کردن یک سری هندسی

هنگامی که نیاز به جمع کردن یک دنباله هندسی داریم، یک فرمول برای این امر وجود دارد.

برای جمع کردن:

a + ar + ar2 + … + ar(n-1)

هر جمله برابر ark است که k از صفر شروع می شود و تا n1 پیش می رود.

از این فرمول استفاده کنید:

دنباله هندسی

a اولین جمله است

r برابر “قدر نسبت” بین جملات است

n نیز تعداد جملات است

 

این علامت جالب چیست؟ به آن “نماد سیگما” گفته می شود که به معنی “جمع کردن” است.

و در زیر و بالای آن مقدار های آغازی و پایانی مشخص شده اند:

دنباله هندسی

به این معنی که “ها را باهم جمع کنید به طوریکه n از 1 تا 4 است. پاسخ = 10

این فرمول برای استفاده آسان است… فقط مقادیر a،و n را مشخص می کنیم.

مثال: 4 جمله اول این دنباله را جمع کنید.

10, 30, 90, 270, 810, 2430, …

این دنباله مضرب 3 بین جملات خود دارد.

مقادیر a, r و n برابرند با:

  • a = 10 (جمله اول)
  • r = 3 (قدر نسبت)
  • n = 4 (می خواهیم 4 جمله اول را با هم جمع کنیم)

پس:

دنباله هندسی

که داریم:

دنباله هندسی

خودتان می توانید صحت را بررسی نمایید:

10 + 30 + 90 + 270 = 400

و، بله، جمع کردن عادی مقدار جملات در این مثال آسان است، چرا که تنها 4 جمله را جمع کرده ایم. اما فرض کنید به جمع کردن 50 جمله نیاز بود… پس فرمول بسیار آسانتر است.

استفاده از فرمول

مثال: دانه های برنج روی یک صفحه شطرنج

اگر روی یک صفحه شطرنج به ترتیب زیر دانه برنج قرار دهیم:

  • 1 دانه در مربع اول
  • 2 دانه در مربع دوم
  • 4 دانه در مربع سوم

یعنی در هر مربع دو برابر دانه های خانه قبلی دانه قرار دهیم…

… کلا چند دانه برنج روی صفحه داریم؟

 

داریم:

  • a = 1 (جمله اول)
  • r = 2 (در هر مرحله دو برابر می شود)
  • n = 64 (چون 64 مربع روی یک صفحه شطرنج وجود دارد)

پس:

دنباله هندسی

و داریم:

دنباله هندسی

= (1 264) / ( 1) = 264 1

= 18,446,744,073,709,551,615

چه عدد بزرگی!

اما اگر با “روش اعداد دودویی” نیز انجام دهیم، همین اتفاق می افتد.

یک مثال دیگر، اما اینبار قدر نسبت کوچکتر از 1 است:

{ 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …}

مقادیر a, r و n برابرند با:

  • a = 1/2 (جمله اول)
  • a = 1/2 (در هر مرحله جملات نصف می شوند)
  • n = 10 (ده جمله را جمع می کنیم)

پس:

دنباله هندسی

و داریم:

دنباله هندسی

بسیار نزدیک به 1.

سوال: اگر به افزایش تعداد n ادامه دهیم، چه اتفاقی می افتد؟

فرمول چگونه درست کار می کند؟

بیایید ببینیم چرا فرمول درست کار می کند، چرا که ما از یک “فن” جالب استفاده می کنیم که ارزش شناختنش را دارد.

ابتدا، جمع کل را یادداشت می کنیم با نام “S“:

S = a + ar + ar2 + … + ar(n-2)+ ar(n-1)

سپس، S را در r ضرب می کنیم:

S·r = ar + ar2 + ar3 + … + ar(n-1) + arn

دقت کنید که S و S.r شبیه هم هستند

اکنون آنها را از هم کم کنید!

دنباله هندسی

جالب است! تمام جملات میانی کاملا حذف شدند.

(این همان فنی بود که می گفتیم!)

با تفریق S.r از S نتیجه ساده زیر بدست می آید:

S – S.r = a – arn

ترتیب را طوری می کنیم که S را پیدا کنیم:

از S و a فاکتورگیری می کنیم:

S (1 – r) = a (1 – rn)

سپس بر 1 منهای r تقسیم می کنیم:

S = a(1 − rn) / (1 − r)

که همان فرمول ماست…!

دنباله هندسی

سری های هندسی نامتناهی

خب چه اتفاقی می افتد اگر n تا بینهایت پیش برود؟

خب… هنگامیکه r کمتر از 1 باشد، پس rn به سمت صفر می رود و داریم:

دنباله هندسی

نکته: اگر r بزرگتر یا مساوی 1 باشد (یا کمتر از 1- باشد) این فرمول صادق نیست.

r باید بین 1 و 1- باشد و شامل خود این اعداد نباشد.

و r نباید ” 0 ” باشد چون که دنباله ما به شکل زیر خواهد بود که هندسی نیست:

{ a, 0, 0, … }

بیایید مثال قبلی را بررسی کنیم و ببینیم چه می شود:

 

مثال: تمامی عضو های دنباله هندسی که در هر مرحله نصف می شود، با هم جمع کنید:

{ 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … }

داریم:

  • a = 1/2 (جمله اول)
  • r = 1/2 (در هر مرحله نصف می شود)

پس:

دنباله هندسی

= 1/2 × 1 / 1/2 = 1

بله… جمع کردن این اعداد دقیقا برابر با 1 می شود.

باور ندارید؟ به این مربع نگاه کنید:

دنباله هندسی

بوسیله جمع  1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … یک مربع تشکیل می شود!

اعداد اعشاری تکرار شونده

آیا …0.999 برابر با 1 است؟

خب بیایید از فرمول معروفمان استفاده کنیم:

مثال: مقدار …0.999 را حساب کنید

می توانیم چنین اعداد اعشاری تکرار شونده را به شکل زیر نوشت:

دنباله هندسی

و اکنون می توانیم از فرمول استفاده کنیم:

دنباله هندسی

بله! …0.999 با 1 برابر است.

به خوبی دیدیم… دنباله های هندسی (و جمع آنها) انواع کارهای عالی و سخت را انجام می دهند.

حال که دنباله هندسی و جمع آن را شناختید، ممکن است مطالب آموزشهای زیر از فرادرس برای شما مفید باشد:

منبع

نظرات