اعداد توان دار در ریاضیات نقش مهمی دارند و در اکثر محاسبات به کار برده می‌شوند. عمل تقسیم اعداد توان دار درست به مانند عمل ضرب است و فقط کافی است که علامت توان عبارت مربوط به مقسوم علیه را قرینه کنیم و سپس هر دو عبارت را در هم ضرب کنیم. ولی به منظور تاکید بیشتر، در این متن به مثال‌هایی در این زمینه خواهیم پرداخت تا موضوع روشن‌تر شود.
تقسیم اعداد توان دار
در متن‌های مربوط به اعداد تواندار مشخص کردیم که این گونه اعداد به صورت زیر نمایش داده می‌شوند.
$$ \large {\displaystyle a^ b } $$
البته در اینجا فرض بر این است که $$a$$ و $$b$$ هر دو اعداد حقیقی هستند. در رابطه بالا، $$a$$ را پایه و $$b$$ را نما یا توان می‌نامند. در اغلب موارد، توان یا نما را مقداری صحیح در نظر می‌گیرند. در ادامه متن به موضوع تقسیم اعداد توان دار خواهیم پرداخت. البته نحوه تقسیم را برای زمانی که پایه‌ها برابر یا نما‌ها برابر باشند، به طور جداگانه مطرح می‌کنیم. در غیر این صورت (نابرابری توان‌ها و پایه‌ها) برای تقسیم باید ابتدا اعداد را به توان رسانده، سپس حاصل یا نتیجه را بر هم تقسیم کنیم.
تقسیم اعداد توان دار با پایه‌های برابر
فرض کنید که قرار است عدد $$a^b$$ را بر $$a^c$$ تقسیم کنیم. قرار است حاصل این تقسیم که خارج قسمت نامیده می‌شود را به کمک یک دستورالعمل پیدا کنیم. در اینجا $$a^b$$ مقسوم و $$a^c$$ مقسوم علیه نامیده می‌شوند. مشخص است که برای دو عدد $$a^b$$ و $$a^c$$، پایه‌ها برابر هستند. خارج قسمت این تقسیم در رابطه‌ای که در زیر دیده می‌شود، محاسبه و نمایش داده شده.
$$ \large {\displaystyle a^b \div a^c = \dfrac{ a^b}{ a^c} = a^{ b – c} }$$
همانطور که می‌بینید، در تقسیم اعداد توان دار با پایه‌های برابر، کافی است که توان یا نمای مقسوم علیه را از توان یا نمای مقسوم کم کنید. در ادامه رابطه‌هایی را مشاهده می‌کنید که مثال‌هایی برای این مورد محسوب می‌شوند.
$$ \large {\displaystyle 2^3 \div 2^3 = 2^{( 3 – 3 )} = 2^0 = 1 }$$
$$ \large {\displaystyle 3^3 \div 3^{10} = 3^{(3 – 10 )} = 3^{(-7)} }$$
$$ \large {\displaystyle 8 0^2 \div 40^2 = (2 \times 40 )^ 2 \div 40^2 =}$$
$$\large {\displaystyle 2^2 \times 40^2 \div 40^2 = 2^2 \times 40^0 = 4 }$$
نکته: تقسیم اعداد توان دار به طور کامل به ضرب اعداد توان دار مرتبط است. به این معنی که برای تقسیم این گونه اعداد کافی است که توان مقسوم علیه را قرینه و مقدار حاصل را در مقسوم ضرب کنید. به این ترتیب تقسیم‌های بالا به صورت زیر قابل بازنویسی هستند. واضح است که نتیجه باید مقداری یکسان داشته باشد.
$$ \large {\displaystyle 2^3 \div 2^3 = 2^3 \times 2^{(- 3)} = 2^{ (3 – 3 )} = 2^0 = 1 }$$
$$ \large {\displaystyle 3^3 \div 3^{ 10} = 3^3 \times 3^{(- 10)} = 3^{ (3 – 10 )} = 3^{( -7) } }$$
$$ \large 8 0^2 \div 40^2 = (2 \times 40 )^ 2 \div 40^2 = 2^2 \times 40^2 \div 40^2 = $$
$$\large 2^2 \times 40^2 \times 40^{( -2)} = 2^2 \times (4 0)^0 = $$
$$\large 4 \times 1 = 4 $$
به این موضوع نیز توجه داشته باشید که حتما در محاسبات باید هنگامی که توان مخرج را از صورت کم می‌کنید، به علامت آن توجه داشته باشید. از طرفی اگر به جای تقسیم از ضرب معکوس استفاده می‌کنید، همیشه قرینه توان مخرج را به عنوان توان مضرب در نظر بگیرید. به رابطه زیر دقت کنید.
$$ \large {\displaystyle a^{( -b)} \div a^{( -c)} = a ^{[-b – (-c)] } = a^{( -b + c)} }$$
یا
$$ \large {\displaystyle a^{( -b)} \div a^{( -c)} = a^{(-b)} \times a^{-(-c)} = a^{( -b + c)} }$$
به این ترتیب مثال‌های زیر به راحتی قابل حل هستند.
$$ \large {\displaystyle 2^{( -3)} \div 2^3 = 2^{( -3)} \times 2^{( -3)} = 2^{( -3 – 3 )} = 2^{( -6)} }$$
$$ \large {\displaystyle 3^3 \div 3^{ -10} = 3^3 \times 3^{-( -10)} = 3^{( 3 + 10 )} = 3^{( 13) } }$$
$$ \large 8 0^{( -2)} \div 40^{( -2)} = (2 \times 40 )^{( -2)} \div 40^{(-2)} =$$
$$ \large 2^{( -2)} \times 40^{( -2)} \div 40^{( -2)} =$$
$$\large 2^{( -2)} \times 40^{( -2)} \times 40^{2} = 2^{( -2)} \times ( 40)^0 = \dfrac{ 1}{ 4} $$
مسئله‌های ریاضی ممکن است در ظاهر مشکل به نظر برسند ولی با کمی آموزش می‌توانید بر ترس خود غلبه کرده و مشکلات مربوط به درس حساب را به فراموشی بسپارید. به همین منظور فرادرس به انتشار آموزشی با عنوان آموزش ریاضی و آمار (۳) پرداخته است که مربوط به پایه دوازدهم علوم انسانی است؛ این فیلم از طریق لینکی که در ادامه آورده شده در دسترس است.
- برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی و آمار (۳) – پایه دوازدهم علوم انسانی + اینجا کلیک کنید.
تقسیم اعداد توان دار با توان‌های برابر
در این قسمت، نتیجه تقسیم دو عدد توان دار را در حالتی که توان‌ها با هم برابر هستند، مورد بررسی قرار می‌دهیم. از آنجایی که توان‌ها برابر هستند، تقسیم را می‌توان به صورتی نوشت که پایه‌ها بر هم تقسیم شده و خارج قسمت، به توان هر یک از عبارت‌ها برسد. به رابطه زیر که این موضوع را به بیان ریاضی نشان می‌دهد، دقت کنید.
$$ \large {\displaystyle a^b \div c^b = (a \div c) ^b }$$
برای توصیف این عملیات، مثال‌هایی را اجرا کرده‌ایم که در ادامه قابل مشاهده‌اند.
$$ \large {\displaystyle 2^3 \div 5^3 = (2 \div 5 )^3 = 0.4^3 }$$
$$ \large {\displaystyle 3^3 \div 10^3 = (3 \div 1 0 )^3 = 0.33^3 }$$
$$ \large {\displaystyle 160^2 \div 80^2 = (160 \div 80 )^2 = 2^2 }$$
همانطور که گفتیم، ضرب و تقسیم اعداد توان دار با یکدیگر در ارتباط هستند. بنابراین این موضوع را می‌توان به صورت ضرب اعداد توان دار نیز نمایش داد. به این معنی که کافی است مقسوم را در معکوس مقسوم علیه ضرب کرده و توان یکی از اعداد را هم به عنوان توان حاصل ضرب قرار دهیم.
$$ \large {\displaystyle 2^3 \div 5^3 = (2 \times \dfrac{ 1}{ 5} )^3 = 0.4^3 }$$
$$ \large {\displaystyle 3^3 \div 10^3 = (3 \times \dfrac{ 1}{1 0} )^3 = 0.33^3 }$$
$$ \large {\displaystyle 160^2 \div 80^2 = (160 \times \dfrac{ 1}{ 80 })^2 = 2^2 }$$
استفاده از نمایش کسری برای تقسیم اعداد توان دار
در قبل اشاره کردیم، در زمانی که اعداد توان دار با نمای برابر باشند، تقسیم را می‌توان به صورت ضرب مقسوم در معکوس مقسوم علیه نوشت. این امر در حقیقت می‌تواند به صورت نمایش کسری تقسیم اعداد تواندار نیز در نظر گرفته شود. رابطه‌ای که در زیر مشاهده می‌کنید این موضوع را به خوبی مشخص کرده است.
$$\large {\displaystyle a^b \div c^b = \dfrac{ a^b }{ c^b } = \dfrac{ a}{ c }^b } $$
پس کافی است تقسیم را به صورت یک کسر بنویسیم که در آن پایه‌های مقسوم و مقسوم علیه، صورت و مخرج آن را تشکیل می‌دهند و یکی از توان‌ها را هم برای کل کسر در نظر بگیریم. به منظور روشن‌تر شدن موضوع به مثال‌های زیر توجه کنید.
$$ \large {\displaystyle 2^3 \div 5^3 = (\dfrac{ 2}{ 5} )^3 }$$
$$ \large {\displaystyle 3^3 \div 10^3 = (\dfrac{ 3}{ 1 0} )^3 }$$
$$ \large {\displaystyle 160^2 \div 80^2 = (\dfrac{ 160}{80} )^2 = 2^2 }$$
ساده کردن عبارت توان دار با عملگرهای ضرب و تقسیم
این بار می‌خواهیم به مثال‌هایی بپردازیم که در آن‌ها از ترکیب ضرب و تقسیم چندین عبارت توان دار استفاده شده و باید حاصل را به ساده‌ترین شکل ممکن، نمایش دهیم. عبارت محاسباتی زیر را که برحسب چندین عمل ضرب و تقسیم نوشته شده را در نظر بگیرید.
$$ \large {\displaystyle (2^3 \div 5^3) \times (5^ 4 \div 2^2) }$$
از آنجایی که قابلیت شرکت‌پذیری و جابجایی در بین جمع و ضرب برقرار است، می‌توانیم جای پرانتز را عوض کرده و عبارت بالا را به صورت زیر بنویسیم.
$$ \large {\displaystyle (2^3 \div 2^2) \times (5^ 4 \div 5^3) }$$
$$ \large {\displaystyle 2^{(3 – 2)} \times 5^{( 4 – 3)} }$$
که با توجه به قواعد مربوط به ضرب اعداد تواندار، عبارت بالا ساده شده و به شکل زیر درخواهد آمد.
$$ \large {\displaystyle (2^1 \times 5^1 ) = 2 \times 5 = 10 }$$
به یک مثال دیگر در این زمینه توجه کنید. در ادامه، ضرب و تقسیم چندین عبارت تواندار را مشاهده می‌کنید که باید کل محاسبات و عبارت‌ها را ساده کنیم.
$$ \large {\displaystyle (a^b \times c^d \times e^f) \div (a^{( 2b) } \times c^{(d -1)} \times e^{(f)} ) }$$
همانطور که مشاهده می‌کنید، به جای استفاده از اعداد توان دار، از عبارت‌های توان دار استفاده کرده‌ایم. توجه داشته باشید که هر گاه به جای این پارامترها (مثل $$a.,b,c,d,e,f$$) عدد قرار دهیم، نتیجه به شکل عددی درخواهد آمد.
به هر حال هدف، ساده کردن عبارت تواندار است که هم به صورت تقسیم و هم ضرب نوشته شده‌اند. همانطور که به یاد دارید، باید به دنبال عبارت‌هایی بگردیم که یا توان‌های یکسانی دارند یا پایه‌های برابر داشته تا بتوانیم براساس قواعد گفته شده، ضرب و تقسیم را اجرا و نتیجه را ساده کنیم.
در صورت و مخرج کسر بالا، عبارت‌هایی وجود دارند که دارای پایه‌های یکسان هستند. بنابراین از قاعده تقسیم برای اعداد تواندار با پایه‌های یکسان استفاده می‌کنیم و همه محاسبات را برحسب ضرب جملاتی می‌نویسیم که به صورت تقسیم اعداد تواندار هستند.
$$ \large {\displaystyle (\dfrac{ a^b }{ a^{ 2 b}}) \times (\dfrac{ c^d }{ c^{( d -1)}}) \times (\dfrac{ e^f }{ e^f}) }$$
مشخص است که باز هم از خاصیت جابجایی و شرکت‌پذیری ضرب و تقسیم کمک گرفته‌ایم و البته تقسیم را هم به کمک کسر اعداد توان دار نمایش داده‌ایم. با توجه به قاعده تقسیم اعداد تواندار با پایه‌های برابر یا مساوی، رابطه بالا را به صورت ساده‌تر زیر می‌نویسیم.
$$ \large {\displaystyle = a^{(b – 2 b )} \times c^{[d- (d -1)]} \times e^{( f -f)} = }$$
$$ \large {\displaystyle = a^{( -b )} \times c^{ 1)} \times e^{ 0} = a^{( -b)} c }$$
نکته: توجه دارید که هر عدد به توان صفر برابر با ۱ است. به همین علت عبارت e از رابطه بالا حذف شده. از طرفی هر عدد با توان ۱ نیز با خودش برابر است. به این ترتیب حاصل به صورتی که مشاهده کردید، درآمده است.
معرفی فیلم آموزش ریاضی و آمار (۳) – پایه دوازدهم علوم انسانی
در این آموزش سعی شده است که دانش‌آموزان با مفاهیم اولیه ریاضی دبیرستان در رشته‌های علوم انسانی آشنا شده و بتوانند مسئله‌های کتاب را حل کرده و برای کنکور سراسری آمادگی کسب کنند. این آموزش، برای دانش‌آموزان سال دوازدهم و داوطلبین کنکور رشته انسانی در نظر گرفته شده است. به این ترتیب کسانی که کتاب‌های ریاضی و آمار سال دهم و یازدهم را مطالعه کرده‌اند، به راحتی می‌توانند از این آموزش بهره کامل ببرند. در این فرادرس مطالب کتاب درسی به همراه مثال‌های متعدد توضیح داده شده و مسائل به صورت تشریحی بیان کرده شده است. همچنین، تمرین‌ها و فعالیت‌های کتاب درسی در ضمن آموزش مورد توجه قرار گرفته و پاسخ‌های تشریحی آن‌ها ارائه شده. در انتها نیز نمونه سوالات امتحانات نهایی برای دانش‌آموزان مطرح و حل شده تا به راحتی بتوانند به آن‌ها دسترسی داشته باشند.
مباحث مطرح شده در این درس شامل روش‌های شمارش در درس یک و همچنین اصول احتمال و مبانی محاسباتی آن در درس دوم است. از طرفی مدل‌سازی و دنباله‌ها (حسابی و هندسی) و ریشه و توان رساندن اعداد گویا به همراه تابع نمایی مورد توجه قرار گرفته. در انتها نیز جمع‌بندی و حل نمونه سوالات امتحان نهایی در درس نهم اجرا شده است.
زمان این آموزش ۶ ساعت ۵۰ دقیقه است که برای تمامی دانش‌آموزان دوره دبیرستان در رشته‌های علوم انسانی مفید است.
- برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی و آمار (۳) – پایه دوازدهم علوم انسانی + اینجا کلیک کنید.
خلاصه و جمع‌بندی
در این متن خواندید که چگونه تقسیم اعداد توان دار صورت می‌گیرد. با مقایسه تقسیم با ضرب اعداد توان دار متوجه می‌شویم که به راحتی براساس قواعد ضرب، می‌توانیم تقسیم اعداد توان دار را اجرا کنیم. به همین جهت بهتر است به طور کامل به ضرب اعداد توان دار مسلط باشید تا به کمک آن به راحتی عمل تقسیم اعداد توان دار را انجام دهید. در این متن برای حالت‌های مختلف، مثال‌هایی نیز مطرح کردیم و نشان دادیم که تقسیم اعداد توان دار چگونه محاسبه می‌شود.
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
- مجموعه آموزش‌های ریاضیات
- آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
- مجموع آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی
- آموزش فیزیک – پایه یازدهم
- توضیح توان در ریاضیات — به زبان ساده
- ضرب رادیکال ها — به زبان ساده
