ریاضی 7913 بازدید

قضیه فیثاغورس (فیثاغورث نیز نوشته می‌شود) بسیار مشهور است و احتمالاً تاکنون در جاهای مختلفی با آن مواجه شده‌اید. اما اغلب ما تصور می‌کنیم این فرمول تنها در مورد مثلث‌ها و هندسه به کار می‌رود. در این صورت باید در طرز فکر خود تجدید نظر کنید. قضیه فیثاغورس می‌تواند در مورد هر نوع شکلی برای هر فرمولی که در آن مربع یک عدد استفاده می‌شود به کار گرفته شود.

در ادامه این نوشته توضیح داده‌ایم که چگونه این ایده 2500 ساله می‌تواند به درک ما از علوم کامپیوتر، فیزیک و حتی ارزش شبکه‌های اجتماعی وب 2.0 کمک کند.

درکی جدید از مساحت

نکاه کردن به مسائل قدیمی به روشی جدید و کشف ژرفای جدید همواره کاری لذت‌بخش محسوب می‌شود. برای نمونه ممکن است پس از خواندن این مقاله طرز فکر شما در مورد مساحت به کلی تغییر یابد. البته ممکن است فکر کنید همه معادلات مربوط به مساحت را می‌دانید، اما آیا ماهیت واقعی این مفهوم را متوجه شده‌اید؟ این واقعیت می‌تواند شما را شگفت‌زده کند.

مساحت هر شکلی را می‌توان با مربع کردن یک پاره‌خط آن به دست آورد. در یک مربع «پاره‌خط» معمولاً یک ضلع آن مربع محسوب می‌شود و مساحت نیز در واقع مربع آن ضلع (ضلع 5 و مساحت 25) است. در یک دایره آن پاره‌خط غالباً شعاع است و مساحت π r² (شعاع 5، مساحت 25 π) است. در واقع محاسبه بسیار ساده‌ای است.

ما می‌توانیم هر پاره‌خطی را انتخاب کنیم و مساحت را بر اساس آن محاسبه کنیم. در این معادله سراسری، هر پاره‌خط یک «ضریب مساحت» دارد:

2(پاره خط) × عامل = مساحت

شکل پاره خط مساحت عامل مساحت
مربع
Surprising Uses of the Pythagorean Theorem
ضلع [s] s2 1
مربع
Surprising Uses of the Pythagorean Theorem
محیط [p] 1/16 p2 1/16
مربع
Surprising Uses of the Pythagorean Theorem
قطر [d] 1/2 d2 1/2
دایره
Surprising Uses of the Pythagorean Theorem
شعاع [r] π r2 π (3.14159…)

برای نمونه به قطر مربع (d) نگاه کنید. یک ضلع به صورت d/2 است و از این رو مساحت باید d2 1/2 باشد. اگر بخواهیم از قطر به عنوان پاره‌خطی برای محاسبه مساحت استفاده کنیم، ثابت مساحت ما در این جا 1/2 است.

اینک از محیط کلی (p) به عنوان پاره‌خط استفاده می‌کنیم. یک ضلع برابر با p/4 است و از این رو مساحت برابر است با p2/16. اگر بخواهیم از p2 استفاده کنیم، عامل مساحت در این جا 1/16 خواهد بود.

آیا می‌توان هر پاره‌خطی را انتخاب کرد؟

ممکن است فکر کنید همواره نوعی رابطه بین پاره‌خط «معمول» برای محاسبه مساحت (ضلع مربع) و پاره‌خطی که ما انتخاب می‌کنیم (محیط، که 4 برابر ضلع است) وجود دارد. از آنجا که می‌توانیم بین این پاره‌خط جدید و پاره‌خط سنتی تبدیل انجام دهیم مهم نیست که از کدام برای محاسبه مساحت استفاده کنیم و در زمان محاسبه تنها یک عامل متفاوت ظاهر خواهد شد.

آیا می‌توان هر شکلی را انتخاب کرد؟

شاید چنین باشد. یک فرمول مساحت معین برای همه شکل‌های مشابه پاسخگو است و منظور ما از مشابه، نسخه‌های بزرگ‌نمایی شده از شکل‌ها است. برای نمونه:

  • همه مربع‌ها مشابه هم هستند (مساحت همیشه ضلع به توان 2 است).
  • همه دایره‌ها نیز مشابه هستند (مساحت همواره توان 2 شعاع در عدد پی است)
  • مثلث‌ها مشابه نیستند. برخی از آن‌ها عریض و برخی کشیده هستند. هر نوع از مثلث عامل مساحت خاص خود را بر مبنای پاره‌خطی که استفاده می‌کنیم دارد. با تغییر شکل مثلث، معادله نیز تغییر می‌یابد.

در مورد هر مثلثی می‌توان گفت: «مساحت = ½ * قاعده»؛ اما رابطه بین قاعده و ارتفاع به نوع مثلث بستگی دارد. در برخی مثلث‌ها قاعده = دو برابر ارتفاع است و در برخی دیگر قاعده = 3 برابر ارتفاع است. بنابراین حتی در این مورد نیز عامل مساحت متفاوت خواهد بود.

ما چرا برای حفظ معادله مساحت به شکل‌های یکسان نیاز داریم؟ به طور شهودی وقتی روی یک شکل زوم می‌کنید، اندازه مطلق تغییر می‌یابد؛ اما اندازه نسبی بین اجزا تغییر نمی‌یابد. یک مربع صرف‌نظر از این که چه مقدار بزرگنمایی شده باشد، محیطی برابر با 4 برابر طول یک ضلع دارد.

از آنجا که عامل مساحت بر مبنای نسبت‌های درون شکل است، هر شکلی که همان نسبت‌ها را داشته باشد از همین فرمول پیروی می‌کند. مانند این است که بگوییم طول فاصله بین دو بازوی هر فرد، تقریباً برابر با قد اوست. مهم نیست که شما یک بازیکن بسکتبال باشید یا یک کودک خردسال؛ چون در هر صورت این اندازه نسبی صحیح است. البته این استدلال شهودی ممکن است یک ذهن ریاضی را قانع نسازد.

مواردی که در این بخش مطرح شد را به صورت زیر می‌توان جمع‌بندی کرد:

  • مساحت را می‌توان از مربع هر خطی در شکل محاسبه کرد و لازم نیست صرفاً از ضلع یا شعاع استفاده کنیم.
  • هر پاره‌خط «عامل مساحت» متفاوتی دارد.
  • در مورد شکل‌های مشابه می‌توان از معادله مساحت یکسانی استفاده کرد.

نگاهی شهودی به قضیه فیثاغورث

با وجود صدها اثباتی که برای قضیه فیثاغورس ارائه شده است، می‌توان در مورد صحت آن کاملاً مطمئن بود. اما اغلب این اثبات‌ها از یک درک مکانیکی استفاده می‌کنند. کافی است شکل‌هایی را بازآرایی کنید و ناگهان ثابت می‌شود که معادله صحیح است. اما آیا از نظر شهودی نیز این استدلال صحیح است. یعنی آیا می‌توان تصور کرد که همواره a2 + b2 = c2 است و هیچ گاه 2a2 + b2 = c2 نیست؟ در ادامه تلاش می‌کنیم، درکی شهودی ارائه دهیم. در ابتدا یک مفهوم بنیادی وجود دارد که باید بررسی کنیم:

هر مثلث قائم‌الزاویه را می‌توان به دو مثلث قائم‌الزاویه مشابه افراز کرد.

ترسیم یک خط قائم بر قاعده مثلث به طوری که از نوک آن بگذرد باعث می‌شود که دو مثلث قائم‌الزاویه مشابه به دست آوریم. عاشقان هندسه می‌توانند این اثبات را خودشان امتحان کنند. بدین منظور می‌توانید از مشابهت زاویه-زاویه-زاویه استفاده کنید. تصویر فوق یک نکته را نیز کاملاً مشخص می‌سازد:

مساحت (مثلث بزرگ) = مساحت (مثلث متوسط) + مساحت (مثلث کوچک)

مثلث‌های کوچک‌تر از مثلث بزرگ بریده شده‌اند و از این رو مجموع آن‌ها باید با مساحت مثلث بزرگ برابر باشد. از آنجا که مثلث‌ها مشابه هستند، معادله مساحت آن‌ها نیز یکسان است.

فرض کنید ضلع بزرگ‌تر (5) را c بنامیم، همچنین ضلع متوسط (4)، b و ضلع کوچک (3) a نام دارد. معادله مساحت برای این مثلث به صورت زیر خواهد بود:

2وتر × F = مساحت

که F نوعی عامل مساحت است. در این مثال این عامل برابر با 6/25 یا 0.24 است که البته عدد دقیق اهمتی ندارد. اینک کمی این معادله را بررسی می‌کنیم:

مساحت (مثلث بزرگ) = مساحت (مثلث متوسط) + مساحت (مثلث کوچک)

Fc2 = Fb2 + Fa2

اگر معادله فوق را بر F تقسیم کنیم، معادله زیر را به دست می‌آوریم:

c2 = b2 + a2

که همان قضیه مشهور ما است. اینک دانستیم که این قضیه صحیح است؛ اما دلیل آن را در ادامه توضیح می‌دهیم:

  • یک مثلث می‌تواند به دو مثلث کوچک‌تر مشابه افراز شود
  • از آنجا که مساحت‌ها باید با هم جمع شوند، مربع وتر (که مساحت را تعیین می‌کند) نیز باید جمع شود

گرچه نشان دادن این واقعیت اندکی زمان بُرد؛ اما در نهایت کاملاً گویا است. اگر مثلث‌های کوچک به مثلث بزرگ اضافه نشوند چه رخ می‌دهد؟

در واقع مشخص شده است که قضیه فیثاغورس به فرضیات هندسه اقلیدسی وابسته است و بر روی کره مصداق ندارد.

کاربردهای مفید: کاربرد قضیه فیثاغورس در مورد هر شکل

ما از مثلث در نمودار خود به عنوان ساده‌ترین شکل 2 بعدی استفاده کردیم. اما این پاره‌خط می‌تواند به هر شکلی تعلق داشته باشد. برای نمونه دایره را در نظر بگیرید:

اینک وقتی آن‌ها را با هم جمع کنیم چه اتفاقی می‌افتد؟

مسلماً می‌توانید حدس بزنید. مساحت دایره با شعاع 5 برابر با مساحت دایره با شعاع 4 و دایره با شعاع 3 است.

می‌توانیم قضیه فیثاغورس را در عامل مساحت که در این مورد عدد π است ضرب کنیم و برای این کل نیز به رابطه‌ای مشابه دست یابیم. به خاطر داشته باشید که پاره‌خط می‌تواند هر بخشی از شکل باشد. ما می‌توانیم شعاع، قطر یا محیط دایره را نیز انتخاب کنیم. در هر صورت عامل مساحت متفاوت خواهد بود؛ اما رابطه 3-4-5 همواره صحیح است.

بنابراین چه بخواهید پیتزاها را جمع بزنید یا هر چیز دیگری را با هم جمع کنید در هر صورت رابطه فیثاغورس صدق می‌کند و رابطه بین مساحت شکل‌های مشابه را نشان می‌دهد. در ادامه نکته‌ای را به شما خواهیم گفت که در دبستان یا دبیرستان نیاموخته‌اید.

کاربردهای مفید: حفظ مربع‌ها

قضیه فیثاغورس در مورد هر معادله‌ای که یک توان 2 در آن هست صدق می‌کند. افراز مثلثی به معنی این است که هر مقداری (مانند c2) را به دو مقدار کوچک‌تر (a2 + b2) بر اساس اضلاع مثلث افراز کنیم. در واقعیت «طول» یک ضلع می‌تواند مسافت، انرژی، کار، زمان یا حتی افرادی باشد که در یک شبکه اجتماعی حضور دارند:

شبکه‌های اجتماعی

بر اساس قانون مت‌کالیف (Metcalfe) ارزش یک شبکه در حدود n² است که n تعداد روابط است. برحسب ارزش

شبکه 50 میلیونی = شبکه 40 میلیونی + شبکه 30 میلیونی

کاملاً شگفت‌انگیز است! شبکه‌های دوم و سوم مجموعاً 70 میلیون عضو دارند؛ اما هنوز ادغام نشده‌اند. شبکه‌ای با 50 میلیون عضو ارزشی به اندازه دو شبکه دیگر دارد.

علوم رایانه

برخی برنامه‌ها با n ورودی برای اجرا به n² زمان برای اجرا نیاز دارند (برای مثال مرتب‌سازی حبابی چنین است) برحسب زمان مورد نیاز برای پردازش:

50 ورودی = 40 ورودی + 30 ورودی

در این مورد نیز در نهایت شگفتی می‌بینیم که 70 عضو که در میان دو گروه تقسیم شده باشند می‌توانند با سرعتی برابر با 50 عضو در یک گروه مرتب‌سازی شوند. البته ممکن است برخی هزینه‌های سربار مانند زمان آغاز به کار و غیره وجود داشته باشند، ولی ماهیت مفهوم همین است.

با توجه به این رابطه معقول است که عناصر را ابتدا به زیرگروه‌هایی تقسیم کرد و سپس آن‌ها را مرتب‌سازی نمود. در واقع این همان رویکردی است که در روش مرتب‌سازی quicksort استفاده می‌شود و یکی از بهترین روش‌های مرتب‌سازی چندمنظوره است. قضیه فیثاغورس به ما کمک می‌کند دریابیم چرا مرتب‌سازی 50 عنصر به صورت ترکیب با هم می‌توانند به اندازه 30 و 40 عنصر جدا از هم، هزینه داشته باشند.

مساحت سطحی

مساحت سطحی کره برابر با  4π r² است. بنابراین برحسب مساحت سطحی کره:

مساحت شعاع 50 = مساحت شعاع 40 + مساحت شعاع 30

شاید فکر کنید که در زندگی روزمره چندان از کره استفاده نمی‌کنیم تا در این مورد مثالی بزنیم. اما قایق‌ها هم شاید شکلی شبیه نوعی کره داشته باشند. با فرض این که قایق‌ها کاملاً شبیه هم باشند، برای نقاشی بدنه قایقی که 50 متر طول دارد، می‌توانید از مقدار رنگی که برای رنگ‌آمیزی قایق‌های 30 و 40 متری کافی است استفاده کنید!

فیزیک

اگر از کلاس‌های فیزیک خود به خاطر داشته باشید، انرژی جنبشی یک شیء با جرم m و سرعت v برابر با  mv2 1/2 خواهد بود. برحسب انرژی:

انرژی در سرعت 500 کیلومتر بر ساعت = انرژی در سرعت 400 کیلومتر بر ساعت + انرژی در 300 کیلومتر بر ساعت

در واقع با انرژی مورد نیاز برای شتاب گیری یک گلوله تا 500 کیلومتر بر ساعت می‌توانیم دو گلوله را به ترتیب به سرعت‌های 400 و 300 کیلومتر بر ساعت برسانیم.

به عنوان یک مثال دیگر می‌توان گفت که اگر یک پیتزای بزرگ (40 سانتی‌متری) بزرگ‌تر از دو عدد پیتزای متوسط (30 سانتی‌متری) باشد، در این صورت می‌توان بر اساس رابطه فیثاغورس می‌بینیم که پیتزای بزرگ‌تر می‌تواند برابر با دو پیتزا به قطر یکی 30 و دیگری 26.24 باشد. بنابراین در عمل دو پیتزای متوسط از یک پیتزای بزرگ، بزرگ‌تر هستند.

سخن پایانی

همه ما در تمام طول دوران تحصیل فکر می‌کردیم که قضیه فیثاغورس به مثلث‌ها و هندسه مربوط است؛ اما دیدیم که چنین نیست.

زمانی که یک مثلث قائم‌الزاویه را می‌بینید، درمی یابید که اضلاع می‌توانند طول هر بخش از یک شکل را نشان دهند. همچنین ضلع‌ها می‌توانند متغیرهایی که در هر معادله‌ای که توان 2 دارد را توصیف کنند. این واقعت کاملاً شگفت‌انگیز است.

اگر به این نوشته علاقه‌مند بودید، موارد زیر نیز احتمالاً برای شما مفید خواهند بود:

==

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *