نقطه عطف تابع — به زبان ساده

۱۴۳۵۸ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۲۸ آبان ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۸ دقیقه
نقطه عطف تابع — به زبان ساده

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس مفاهیم مربوط به تابع توضیح داده شد. هم‌چنین در مطلبی جداگانه، نحوه بدست آوردن ماکزیمم و مینیمم تابع را توضیح دادیم. همان‌طور که در این مطالب نیز توضیح داده شد، ماکزیمم یا مینیمم تابع در محلی رخ می‌دهد که مشتق اول آن برابر با صفر باشد. شاید این سوال در ذهن شما شکل گرفته باشد، که مشتق دوم یک تابع نشان دهنده چه مفهومی است؟ با استفاده از مشتق دوم می‌توان نقطه عطف تابع را یافت. در این مطلب قصد داریم تا این مفهوم را شرح دهیم.

997696

مفهوم نقطه عطف تابع

تابعی همچون y=f(x) \large y = f \left ( x \right ) را به صورتی در نظر بگیرید که در نقطه x0 \large x _ 0 پیوسته است.

این تابع می‌تواند دارای مشتقِ f(x0) \large f ^ \prime ( x _ 0 ) بینهایت یا محدودی در نقطه x0 \large x _ 0 نیز باشد. اگر با گذشت تابع از نقطه x0 \large x _ 0 جهت تقعر تابع عوض شود، در این صورت نقطه مذکور، نقطه عطف نامیده می‌شود. در شکل زیر نمونه‌ای از تغییر خمیدگی در یک تابع فرضی نشان داده شده است.

inflection-point

نکته جالب در مورد نقطه عطف این است که خطوط عمود و مماس بر منحنی تابع در این نقطه به یکدیگر عمود هستند. در شکل زیر این دو خط برای یک تابع فرضی ترسیم شده است.

inflection-point

شرط لازم برای یک نقطه عطف

اگر x0 x _ 0 نقطه عطف تابع f(x) f ( x ) باشد و این تابع در نقطه x0 x _ 0 مشتق‌پذیر باشد، در این صورت مشتق دوم تابع در این نقطه برابر با صفر خواهد بود. بنابراین می‌توان گفت در نقطه عطف، رابطه زیر برقرار است.

f(x0)=0 \large f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = 0

به منظور اثبات گزاره فوق، فرض کنید مشتق تابع f f در نقطه x0 x _ 0 غیر صفر باشد (f(x0)0 \large f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \ne 0 ). در این صورت بازه‌ای همچون δ \large δ اطراف x0 \large x _ 0 وجود دارد که در آن تابع f(x) \large f ( x ) علامتش را حفظ می‌کند. بنابراین در قالب ریاضیات، گزاره‌ زیر را می‌توان بیان کرد:

f(x0)<0    or      f(x0)<0    x(x0δ,x0+δ) \large { f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \lt 0 \; \; \text{or}\;\;\;}\kern-0.3pt { f^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \lt 0 \;\forall \;x \in \left ( { { x _ 0 } – \delta , { x _ 0 } + \delta } \right) }

عبارت فوق نشان می‌دهد که در بازه (x0δ,x0+δ) ( x _ 0 − δ , x _0 + δ ) تقعر تابع مطلقا پایین (f(x)<0 f ^ {\prime\prime} (x) < 0 ) یا به سمت بالا (f(x)>0 f ^ {\prime\prime} (x) > 0 ) است. بنابراین نقطه مذکور، نقطه عطف نخواهد بود. بنابراین فرض غیر صفر بودن مشتق دوم اشتباه است.

تصویر تزئینی مطلب نقطه عطف تابع

شرط کافی اول برای نقطه عطف

اگر تابع f(x) \large f ( x ) در نقطه x0 \large x _ 0 دارای مشتق بوده و مشتق دوم تابع در بازه δ \large \delta اطراف نقطه x0 \large x _ 0 تغییر علامت بدهد، در این صورت نقطه x0 \large x _ 0 ، نقطه عطف محسوب می‌شود.

شرط کافی دوم برای نقطه عطف

فرض کنید مشتق دوم یک تابع در نقطه‌ای برابر با صفر باشد (f(x0)=0 \large f ^ { \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = 0 ). در این صورت اگر مشتق سوم f(x0)0 \large f ^ { \prime \prime \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) \ne 0 غیر صفر باشد، x0 \large x _ 0 ، نقطه عطف خواهد بود.

مثال ۱

نقاط عطف تابع زیر را بیابید.

f(x) = x412x3+48x2+12x+1 \large { f \left ( x \right ) \text { = }}\kern0pt { { x ^ 4 } – 12 { x ^ 3 } + 48 { x ^ 2 } + 12 x + 1 }

در ابتدا مشتق اول و دوم تابع را به صورت زیر بدست می‌آوریم.

f(x)=(x412x3+48x2+12x+1)=4x336x2+96x+12=4(x39x2+24x+3) \large \begin {align*} { f ^ { \prime } \left ( x \right ) } & = { { \left( { { x ^ 4 } – 12 { x ^ 3 } + 48 { x ^ 2 } + 12 x + 1 } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 4 { x ^ 3 } – 36 { x ^ 2 } + 96 x + 12 } \\ & = { 4 \left ( { { x ^ 3 } – 9 { x ^ 2 } + 24 x + 3 } \right ) } \end {align*}

f(x)=(4(x39x2+24x+3))=4(3x218x+24)=12(x26x+8) \large \begin {align*} { f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) } & = { { \left ( { 4 \left ( { { x ^ 3 } – 9 { x ^ 2 } + 24 x + 3 } \right ) } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 4 \left ( { 3 { x ^ 2 } – 18 x + 24 } \right ) } \\ & = { 12 \left ( { { x ^ 2 } – 6 x + 8 } \right ) } \end {align*}

بنابراین ریشه‌های مشتق دوم برابرند با:

f(x)=0    12(x26x+8)=0    x26x+8=0    x1=2,  x2=4 \large \begin {align*} { f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) = 0 \;\;} & \Rightarrow { 12 \left ( { { x ^ 2 } – 6 x + 8 } \right ) = 0 \; \; } \\ & \Rightarrow { { x ^ 2 } – 6x + 8 = 0 \;\;} \\ & \Rightarrow {{x_1} = 2,\; { x _ 2 } = 4 } \end {align*}

حال می‌توان از شرط کافی دوم به صورت زیر استفاده کرد. بدین منظور مشتق سوم را محاسبه می‌کنیم.

f(x)=(12(x26x+8))=12(2x6)=24(x3) \large \begin {align*} { f ^ { \prime \prime \prime } \left ( x \right ) } & = { { \left ( { 12 \left ( { { x ^ 2 } – 6 x + 8 } \right ) } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 12 \left ( { 2 x – 6 } \right ) = 24 \left ( { x – 3 } \right ) } \end {align*}

با قرار دادن نقاط x1=2 \large \begin {align*} { x _ 1 } = 2 \end {align*} و x1=۴ \large \begin {align*} { x _ 1 } = ۴ \end {align*} در رابطه بالا می‌بینید که مشتق سوم در این نقاط غیر صفر است. بنابراین هر دوی این نقاط، نقطه عطف هستند.

مثال 2

نقاط عطف تابع f(x)=x2lnx \large \begin {align*} f \left ( x \right ) = { x ^ 2 } \ln x \end {align*} را بیابید.

مشتقات اول و دوم تابع برابرند با:

f(x)=(x2lnx)=(x2)lnx+x2(lnx)=2xlnx+x21x=2xlnx+x=x(2lnx+1) \large \begin {align*} f ^ { \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { { x ^ 2 } \ln x } \right ) ^ \prime } \\ & = { { \left( {{x^2}} \right)^\prime }\ln x + { x ^ 2 } { \left ( { \ln x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { 2 x \ln x + { x ^ 2 } \cdot \frac { 1 } { x } } \\ & = { 2 x \ln x + x = x \left ( { 2 \ln x + 1 } \right ) } \end {align*}

f(x)=[x(2lnx+1)]=x(2lnx+1)+x(2lnx+1)=2lnx+1+x2x=2lnx+3 \large \begin {align*} f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = { \left[ { x \left ( { 2 \ln x + 1 } \right ) } \right ] ^ \prime } \\ & = { x ^ { \prime } \left( {2\ln x + 1} \right) + x { \left ( { 2 \ln x + 1 } \right)^\prime } } \\ & = { 2 \ln x + 1 + x \cdot \frac { 2 } { x } = 2 \ln x + 3 } \end {align*}

بنابراین ریشه‌های مشتق دوم برابرند با:

2lnx+3    lnx=32    x=e32=1e3 \large \begin {align*} { \Rightarrow 2 \ln x + 3 \;\;} \Rightarrow { \ln x = – \frac { 3 } { 2 } \; \; } \Rightarrow { x = { e ^ { – \large \frac { 3 } { 2 } \normalsize} } = \frac { 1 } { { \sqrt { { e ^ 3 } } } } } \end {align*}

تصویر تزئینی مطلب نقطه عطف تابع

مثال ۳

نقاط عطف تابع f(x)=esinx \large \begin {align*} f \left ( x \right ) = { e ^ { \sin x } } \end {align*} را بیابید.

مشتق اول و دوم برابرند با:

f(x)=(esinx)=esinx(sinx)=esinxcosx \large \begin {align*} f ^ { \prime } \left ( x \right ) & = { \left ( { { e ^ { \sin x } } } \right ) ^ \prime } \\ & = { { e ^ { \sin x } } { \left ( { \sin x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { e ^ { \sin x } } \cos x } \end {align*}

f(x)=(esinxcosx)=(esinx)cosx+esinx(cosx)=esinxcos2xesinxsinx=esinx(cos2xsinx) \large \begin {align*} f ^ { \prime \prime } \left ( x \right ) & = {\left( {{e^{\sin x}}\cos x} \right ) ^ \prime } \\ & = { { \left ( { { e ^ { \sin x } } } \right ) ^ \prime } \cos x + { e ^ { \sin x } } { \left ( { \cos x } \right ) ^ \prime } } \\ & = { { e ^ { \sin x } } { \cos ^ 2 } x – { e ^ { \sin x } } \sin x } \\ & = { { e ^ { \sin x } } \left ( { { { \cos } ^ 2 } x – \sin x } \right) } \end {align*}

به منظور پیدا ریشه‌های مشتق دوم از تغییر متغیر t=sin(x) \large \begin {align*} t = \sin ( x ) \end {align*} استفاده می‌کنیم. با استفاده از این تغییر متغیر، معادله فوق به صورت زیر قابل حل خواهد بود.

t=1+52=512    sinx=t=512    xn=(1)narcsin512    ,nZ \large \begin {align*} t = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 } } { 2 } & = \frac { { \sqrt 5 – 1 } } { 2 } \; \; \\ & \Rightarrow { \sin x = t = \frac { { \sqrt 5 – 1 } } { 2 } \; \; } \\ & \Rightarrow { { x _ n } = { \left ( { – 1} \right ) ^ n } \arcsin \frac { { \sqrt 5 – 1 } } { 2 } \; \; } , & \kern-0.3pt{n \in Z } \end {align*}

بنابراین بینهایت نقطه می‌توان یافت که مشتق آن‌ها برابر با صفر است. اما در بازه [0,2π] \large \begin {align*} \left[ { 0,2 \pi } \right] \end {align*} تنها دو نقطه زیر هستند که مشتق دوم به ازای آن‌ها برابر با صفر است.

x1=arcsin5120,66   ,       x2=πarcsin5122,48 \large \begin {align*} { x _ 1 } = \arcsin \frac { { \sqrt 5 – 1 } } { 2 } \approx 0,66 \ \ \ , \ \;\;\; \kern-0.3pt & { { x _ 2 } = \pi – \arcsin \frac { { \sqrt 5 – 1}}{2} }\approx {2,48 } \end {align*}

نمودار شکل زیر نقاط بدست آمده و تابع f \large \begin {align*} f \end {align*} را نشان می‌دهند. همان‌طور که در بالا نیز بدست آمد، مشتق دوم تابع به صورت زیر است.

inflection-point

f(x)=esinx(cos2xsinx)=esinx(sin2xsinx+1) \large \begin {align*} {f^{\prime\prime}\left( x \right) } = {{e^{\sin x}}\left( {{{\cos }^2}x – \sin x} \right) } = {{e^{\sin x}}\left( { – {\sin^2}x – \sin x + 1} \right)} \end {align*}

تابع فوق به ازای عبور از دو ریشه x1,x2 \large \begin {align*} x _ 1 , x _ 2 \end {align*} تغییر علامت می‌دهند. بنابراین هر دوی آن‌ها را می‌توان به عنوان نقاط عطف در نظر گرفت.

بر اساس رای ۵۲ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Math24
۶ دیدگاه برای «نقطه عطف تابع — به زبان ساده»

سلام ممنون از توضیحات خوبتون. چیزی به اسم نقطه عطف مایل داریم؟ میشه توضیح بفرمایید؟

این جایی که نوشته:
در این صورت اگر مشتق چهارم f′′′(x0)≠0 غیر صفر باشد، x0، نقطه عطف خواهد بود.
مشتق سوم نیست؟

با سلام،
متن اصلاح شدُ
با تشکر از همزاهی شما با مجله فرادرس

زمانیکه مماس چپ وراست درامتدادهم نباشن عطف نیست

سلام
ببخشید یه سوال داشتم،چه زمانی تقعر تابع در یک نقطه عوض میشه ولی اون نقطه نقطه عطف نیست؟

توی توضیح درس جواب سوال شما داده شده.تابع باید در نقطه مورد نظر مشتق پدیر باشد یا پیوسته باشد.اگر در نقطه ای که تقعر عوض میشود پیوستگی نداشته باشیم و تابع در اون نقطه مشتق پذیر نباشد.اون نقطه نقطه عطف محسوب نمی شود. مثل تابع کتانژانت هایپر بولیک در نقطه ایکس بابر صفر

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *