ریاضی، علوم پایه 312814 بازدید

در مجموعه آموزش‌های ریاضی و هندسه مجله فرادرس، برخی از شکل‌های هندسی از قبیل دایره، مثلث، مربع، مستطیل، لوزی، بیضی و ذوزنقه را معرفی کردیم. در این آموزش، می‌خواهیم با یکی دیگر از اشکال هندسی به نام متوازی الاضلاع آشنا شویم.

فیلم آموزشی متوازی‌الاضلاع در هندسه

دانلود ویدیو

متوازی الاضلاع چیست ؟

«متوازی‌ الاضلاع» (Parallelogram)، همان‌گونه که از نامش نیز پیداست، یک چهارضلعی است که اضلاع روبه‌روی آن با هم موازی هستند. اندازه اضلاع و زوایای روبه‌رو در متوازی‌الاضلاع با هم برابر است. شکل زیر یک متوازی الاضلاع را نشان می‌دهد که پیکان‌های روی اضلاع موازی بودن ضلع‌های مقابلِ هم را مشخص کرده‌اند.

متوازی الاضلاع

  • ضلع متوازی‌الاضلاع: در شکل بالا، $$AB$$، $$BC$$، $$CD$$ و $$DA$$ ضلع‌های متوازی الاضلاع هستند.
  • رأس متوازی‌الاضلاع: در شکل بالا $$A$$، $$B$$، $$C$$ و $$D$$ رأس نامیده می‌شوند که محل برخورد دو ضلع هستند.

متوازی الاضلاع شکل زیر را در نظر بگیرید. با توجه به این شکل، چند مورد از اصطلاحات مربوط به این شکل هندسی را بیان می‌کنیم.

متوازی الاضلاع

  • قاعده متوازی‌الاضلاع: در متوازی الاضلاع شکل بالا fhgh، $$b$$ قاعده است که معمولاً (نه همیشه) در قسمت پایین و کف شکل در نظر گرفته می‌شود.
  • ارتفاع متوازی‌الاضلاع: $$h$$ ارتفاع است که در واقع، خطی است که از قاعده بالا بر قاعده پایین عمود می‌شود.
  • قطر متوازی‌الاضلاع: $$d$$ یکی از دو قطر متوازی‌الاضلاع است که دو رأس مقابل را به هم وصل می‌کند.

نکته: مستطیل، لوزی و مربع همه نوعی متوازی الاضلاع هستند، زیرا با توجه به تعریفی که گفتیم، هم چهار ضلع دارند و هم اضلاع آن‌ها دو به دو موازی هستند. مربع و مستطیل متوازی‌الاضلاع‌هایی هستند که چهار زاویه قائمه دارند.

متوازی الاضلاع

برای آشنایی بیشتر با مباحت هندسه و ریاضیات، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

ویژگی های متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع $$\text{ABDC}$$ شکل زیر را در نظر بگیرید. با توجه به این شکل، ویژگی‌های مختلف متوازی الاضلاع را بیان می‌کنیم.

متوازی الاضلاع

  • اضلاع روبه‌رو (مقابل) یک متوازی الاضلاع موازی هم هستند:

$$ \large A B\|D C \text{ , } \;\;\; AD\| B C $$

  • اندازه اضلاع روبه‌رو (مقابل) یک متوازی الاضلاع با هم برابر است:

$$ \large A B= D C \text{ , } \;\;\; AD= B C $$

  • زاویه‌های مقابل یک متوازی الاضلاع با هم برابرند:

$$ \large \angle A = \angle C \text{ , }\;\;\;\angle B = \angle D $$

  • قطرهای متوازی الاضلاع یکدیگر را نصف می‌کنند:

$$ \large D E = E B \text{ , } \;\;\;AE = EC $$

$$ \large \begin {align*} \angle ADC + \angle DCB & =180 ^\circ
\\ \angle DCB + \angle CBA & = 180 ^\circ \\
\angle CBA + \angle BAD & = 180 ^\circ \\
\angle BAD + \angle ADC & = 180 ^\circ
\end {align*} $$

  • هر قطر متوازی الاضلاع، آن را به دو مثلث هم‌نهشت تبدیل می‌کند:

$$ \Delta \text{DAB} $$ هم‌نهشت $$ \Delta \text{BCD} $$ است.

$$\Delta \text{DAC}$$ هم‌نهشت $$\Delta \text{BCA}$$ است.

قضیه های متوازی الاضلاع

در این بخش، چند قضیه مربوط به متوازی‌الاضلاع را بیان می‌کنیم.

قضیه اول متوازی الاضلاع

در یک متوازی‌الاضلاع، اضلاع مقابل برابرند. برعکس این قضیه نیز برقرار است؛ اگر در یک چهارضلعی اضلاع مقابل دو به دو برابر باشند، آن شکل متوازی‌الاضلاع است.

اثبات: شکل زیر را در نظر بگیرید.

قضیه متوازی الاضلاع

در مثلث‌های $$\Delta ABC$$ و $$\Delta CDA$$، داریم:

$$ \large \begin{align}
AC&=AC \\
\angle 1&=\angle 4
\\ \angle 2&=\angle 3
\end {align} $$

با توجه به برابر بودن دو زاویه و ضلع بین آن‌ها، دو مثلث با معیار دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز) همنهشت هستند و این یعنی اضلاع باید برابر باشند:

$$ \large \begin{align}{AB=DC\;\text{,}\;\;\;AD=BC} \end{align} $$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

این یعنی اضلاع مقابل برابرند.

قضیه دوم متوازی الاضلاع

در یک متوازی‌الاضلاع، زاویه‌های مقابل با هم برابرند. برعکس این قضیه نیز برقرار است؛ اگر در یک چهارضلعی زاویه‌های مقابل دو به دو برابر باشند، آن شکل متوازی‌الاضلاع است.

اثبات: شکل زیر را در نظر بگیرید.

متوازی الاضلاع

در مثلث‌های $$\Delta ABC$$ و $$\Delta CDA$$، داریم:

$$ \large \begin{align}
AC&=AC \\
\angle 1&=\angle 4
\\ \angle 2&=\angle 3
\end {align} $$

با توجه به برابر بودن دو زاویه و ضلع بین آن‌ها، دو مثلث با معیار دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز) همنهشت هستند و این یعنی زاویه‌ها باید برابر باشند:

$$ \large \begin{align}{ \angle B =\angle D } \end {align} $$

به طور مشابه، داریم:

$$ \large \begin{align}{ \angle A =\angle C } \end {align} $$

این یعنی زاویه‌های مقابل برابرند.

قضیه سوم متوازی الاضلاع

در یک متوازی‌الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند. برعکس این قضیه نیز برقرار است؛ اگر در یک چهارضلعی قطرها یکدیگر را نصف کنند، آن شکل متوازی‌الاضلاع است.

اثبات: شکل زیر را در نظر بگیرید.

متوازی الاضلاع

در مثلث‌های $$\Delta AEB$$ و $$\Delta DEC$$، داریم:

$$ \large \begin{align}
AB&=CD \\
\angle 1&=\angle 3
\\ \angle 2&=\angle 4
\end {align} $$

با توجه به برابر بودن دو زاویه و ضلع بین آن‌ها، دو مثلث با معیار دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز) همنهشت هستند و این یعنی داریم:

$$ \large \begin{align}{AE=EC\;\text{,}\;\;\;BE=ED} \end{align} $$

بنابراین، دو قطر یکدیگر را نصف می‌کنند.

قضیه چهارم متوازی الاضلاع

در یک چهارضلعی، اگر یکی از جفت ضلع مقابل برابر و موازی باشند، آنگاه آن شکل یک متوازی الاضلاع است.

اثبات: شکل زیر را در نظر بگیرید.متوازی الاضلاع

در مثلث‌های $$\Delta AEB$$ و $$\Delta DEC$$، داریم:

$$ \large \begin{align}
AB&=CD \\
\angle 1&=\angle 3
\\ \angle 2&=\angle 4
\end {align} $$

با توجه به برابر بودن دو زاویه و ضلع بین آن‌ها، دو مثلث با معیار دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز) همنهشت هستند و این یعنی داریم:

$$ \large \begin{align}{AE=EC\;\text{,}\;\;\;BE=ED} \end{align} $$

بنابراین، قطرهای $$AC$$ و $$BD$$ یکدیگر را نصف می‌کنند و این یعنی $$ABCD$$ یک متوازی‌الاضلاع است.

مساحت متوازی الاضلاع

به زبان ساده، مساحت متوازی‌الاضلاع برابر است با حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع. برای درک بهتر، به تصویر زیر دقت کنید. اگر ارتفاع را رسم کنید، یک مثلث در شکل ایجاد خواهد شد که با انتقال مثلث به سمت دیگر، متوازی الاضلاع به مستطیل تغییر شکل خواهد داد. می‌دانیم که مساحت مستطیل از حاصل‌ضرب طول در عرض به دست می‌آید که در اینجا عرض، همان ارتفاع رسم شده است. بنابراین چنانچه $$A$$ مساحت، $$b$$ اندازه قاعده و $$h$$ ارتفاع متوازی‌الاضلاع باشد، خواهیم داشت:

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی‌الاضلاع

$$ \large A = b \times h $$

برای آشنایی بیشتر با روش‌ها و مثال‌های محاسبه مساحت متوازی‌‌الاضلاع، به آموزش «مساحت متوازی الاضلاع و محاسبه آن | به زبان ساده» در این لینک مراجعه کنید.

محیط متوازی الاضلاع

برای محاسبه محیط متوازی الاضلاع باید اندازه چهار ضلع را با هم جمع کنیم. از آنجا که اضلاع مقابل برابر هستند، برای متوازی‌الاضلاعی با اضلاع $$a $$ و $$b$$، محیطِ $$P$$ برابر است با:

(مجموع دو ضلع مجاور) × ۲ = محیط متوازی‌الاضلاع

$$ \large \boxed {P = a + a + b + b = 2 a + 2 b = 2 (a+b)} $$

محیط متوازی الاضلاع

برای آشنایی بیشتر با محیط متوازی‌‌الاضلاع، به آموزش «محیط متوازی الاضلاع و محاسبه آن | به زبان ساده» در این لینک مراجعه کنید.

مثال های متوازی الاضلاع

در این بخش، چند مثال را از متوازی الاضلاع بررسی می‌کنیم.

مثال اول متوازی الاضلاع

محیط متوازی‌الاضلاع زیر برابر با ۱۶ سانتی‌متر است. اگر اندازه ضلع $$b$$ آن برابر با ۵ سانتی‌متر باشد، اندازه ضلع $$a$$ را به دست آورید.

فیلم‌های آموزشی مرتبط

محیط متوازی الاضلاع

حل: از فرمول محیط متوازی الاضلاع استفاده می‌کنیم و اندازه ضلع $$ a $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ \large P = 2 a + 2 b \Rightarrow 16 = 2a + 2 (5)\Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \, \text{cm} $$

مثال دوم متوازی الاضلاع

مساحت متوازی الاضلاع شکل زیر را به دست آورید.

مساحت متوازی الاضلاح

حل: با توجه به اینکه طول یک ضلع (۷ سانتی‌متر) و ارتفاع عمود بر آن (۳ سانتی‌متر) را داریم، به راحتی، می‌توانیم مساحت متوازی الاضلاع را محاسبه کنیم:

$$\large A={7~\text {cm}}\times{3~ \text{cm}}={21~\text {cm}}^{2} $$

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

برای آشنایی بیشتر با مباحث اشکال هندسی، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این آموزش ویدیویی که مدت زمان آن ۴ ساعت و ۳ دقیقه است، شامل چهار درس می‌شود.

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

در درس اول این آموزش، موضوعات ترسیم‌های هندسی و استدلال بیان شده‌اند. مباحث درس دوم، به قضیه تالس و تشابه مثلث‌ها و کاربردهای آن‌ها اختصاص یافته است. در درس سوم، مباحث مربوط به چندضلعی‌ها و ویژگی‌هایی از آن‌ها و همچنین، مساحت و کاربردهای آن مورد بیان شده است. در نهایت، موضوع درس چهارم، تجسم فضایی است که خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر تجسمی را شامل می‌شود.

برای یادگیری اشکال مختلف هندسی و محاسبه محیط، مساحت و حجم آن‌ها، توصیه می‌کنیم آموزش‌های مجله فرادرس را که در این زمینه تهیه شده‌اند، مطالعه کنید:

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای 467 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

5 نظر در “متوازی الاضلاع چیست ؟ — تعریف و مفاهیم به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)

  • با سلام خدمت شما دست اندر کاران سایت مجله فرادرس
    من از شما یه سوالی دارم اونم این که ایا نسخه چاپی تمام مقاله های ریاضی سایتتون وجود داره؟
    منظورم اینه که ایا کتابی دارید که تمام اموزش های ریاضی شما در ان باشه؟
    اخه خواندن این حجم از مقاله ان هم به ضورت الکترونیکی برایم میسر نیست به همین خاطر دنبال نسخه چاپی اموزش های شما می گردم
    منتظر پاسخ و راهنمایی شما هستم
    با سپاس فرائان

    1. سلام، وقت شما بخیر؛

      خیر، مقالات مجله فرادرس فقط به صورت الکترونیکی منتشر می‌شوند. اما در صورتیکه تمایل دارید آن‌ها را به صورت آفلاین و چاپ شده در اختیار داشته باشید، فهرست کاملی از مطالب ریاضی مجله فرادرس در این لینک در دسترس هستند و می‌توانید هر کدام از آن‌ها را که بخواهید پرینت بفرمائید.

      از اینکه با مجله فرادرس همراه هستید از شما سپاسگزاریم.

  • لطفا اثباتشم بزارید خیلی کمک کرد ممنون ( مثلا اثبات اینکه چطوری قطر های متوازی الاضلاع همون نصف میکنن اثباتش رو به صورت فرمول و اگر ممکنه با جدول فرض و حکم بزارید

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *