ریاضی, علوم پایه 49538 بازدید

در مطالب گذشته فرادرس مبحث مشتق را معرفی کردیم. یکی از کاربردهای این ابزار یافتن بیشترین و کم‌ترین مقدار توابع است. بنابراین این سوال را می‌توان مطرح کرد که بیشترین (ماکزیمم) و کم‌ترین (مینیمم) مقدار یک تابع در بازه‌ای مشخص چقدر است؟

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

چگونه ماکزیمم و مینیمم نسبی یک تابع را بیابیم؟

ماکزیمم نسبی یک تابع در حقیقت مختصاتی است که در آن، تابع نسبت به نقاط اطراف خود به بیشترین مقدارش رسیده. هم‌چنین مینیمم نسبی تابع، نقطه‌ای است که در آن تابع دارای کمترین مقدار، نسبت به نقاط نزدیک خود باشد. در شکل زیر این نقاط نشان داده شده‌اند. در حالت کلی به نقطه‌ای که ماکزیمم یا مینیمم باشد، اکسترمم نیز گفته می‌شود.

ماکزیمم و مینیمم

در تابعی که به صورتی یکنواخت تغییر می‌کند، مقادیر ماکزیمم و مینیمم آن، نقاطی هستند که شیب تابع مفروض در آن‌ها برابر با صفر باشد. از آنجایی که شیب یک تابع، برابر با مشتق آن است، بنابراین می‌توان گفت:

ماکزیمم و مینیمم نسبی یک تابع، نقطه‌ای است که مشتق تابع در آن نقطه برابر با صفر باشد. جهت درک بهتر به مثال زیر توجه کنید.

مثال ۱

مطابق با شکل زیر یک توپ با زاویه‌ای نسبت به افق به سمت بالا پرتاب می‌شود. با توجه به ابزار فیزیکی موجود، ارتفاع توپ در هر لحظه را می‌توان مطابق با رابطه زیر بدست آورد.

رابطه ۱

با این فرضیات، به نظر شما توپ تا چه ارتفاعی بالا می‌رود؟

max-min

 

بیشترین ارتفاع در این مسئله برابر با ماکزیمم مقدار تابع h است. جهت بدست آوردن ماکزیمم تابع، در ابتدا مشتق h نسبت به t را می‌گیریم. این مشتق نسبت به زمان برابر است با:

Maximum-minimum-

با صفر قرار دادن آن و بدست آوردن t، زمانی که در آن ارتفاع به بیشترین مقدار خود رسیده، بدست می‌آید. با صفر قرار دادن مشتق h نسبت به زمان داریم:

Maximum-minimum

در نتیجه شیب تابع h در لحظه t=1.4 ثانیه برابر با صفر است. ارتفاع متناظر با این زمان نیز با جایگذاری ۱.۴ در رابطه ۱ بدست می‌آید. در نتیجه (h(1.4 برابر است با:

Maximum-minimum

بنابراین بیشترین ارتفاع توپ برابر با ۱۲.۸ متر است که در زمان t=۱.۴ ثانیه رخ می‌دهد.

ماکزیمم یا مینیمم؟

در مثال ۱ از روی نمودار متوجه شدیم که نقطه بدست آمده، ماکزیمم است؛ اما بایستی توجه داشته باشید که شیب نمودار در نقطه مینیمم نیز برابر با صفر است. جهت مشخص کردن این‌که یک نقطه ماکزیمم یا مینیمم است:

  • مشتق دوم تابع را در نقطه مفروض بدست آورید.
  • اگر مشتق دوم بدست آمده مثبت بود، نقطه مفروض، مینیمم تابع است.
  • اگر مشتق دوم منفی بود، نقطه بدست آمده ماکزیمم است.

برای نمونه مشتق دوم تابع h در مثال ۱ برابر است با:

h” = -10

در نتیجه مشتق دوم تابع h همواره منفی است. در نتیجه این مقدار در زمان t=1.4 نیز کمتر از صفر است؛ بنابراین نقطه مفروض ماکزیمم h محسوب می‌شود.

مثال ۲

ماکزیمم و مینیمم تابع زیر را بیابید.

Maximum-minimum

مشتق (یا همان شیب) تابع y برابر است با:

Maximum-minimum

رابطه بالا از مرتبه دوم است بنابراین دارای ۲ ریشه خواهد بود. در نتیجه با حل آن، ریشه‌های x برابر هستند با:

Maximum-minimum

به نظر شما آیا این دو نقطه ماکزیمم، مینیمم و یا هردو هستند؟ برای پاسخ به این سوال در ابتدا مشتق دوم تابع y را مطابق با رابطه زیر می‌یابیم.

Maximum-minimum

مقدار این تابع در دو نقطه بدست آمده برابر است با:

Maximum-minimum

Maximum-minimum

شکل زیر تابع y را نشان می‌دهد. همان‌طور که در آن می‌بینید در $$x= \large \frac{1}{3}$$ مقدار تابع مینیمم و در  نقطه $$x= \large – \frac{3}{5}$$، مقدار تابع ماکزیمم است.

max

توجه داشته باشید که این روش تنها در حالتی استفاده می‌شود که تابع در نقطه مورد بررسی، مشتق پذیر باشد. برای نمونه تابع |y=|x را در نظر بگیرید. همان‌طور که در شکل زیر نیز نشان داده شده، این تابع در x=0 مشتق‌پذیر نیست، در نتیجه نمی‌توان با استفاده از روش بیان شده در این مطلب ماکزیمم و یا مینیمم بودن نقطه x=0 را بررسی کرد.

function-absolute

در این آموزش مثال‌های بسیاری در مورد ماکزیمم و مینیمم تابع، به صورت ویدئویی ارائه شده که جهت تسلط بیشتر شما به این موضوع، می‌تواند کمک کننده باشد. در مطالب آینده در مورد ارتباط بین نقطه عطف و مشتق دوم تابع صحبت خواهیم کرد. هم‌چنین در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در مورد ریاضیات، آموزش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شود:

^^

فیلم‌ های آموزش ماکزیمم و مینیمم تابع — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی تعیین ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی ماکزیمم یا مینیمم بودن یک نقطه

دانلود ویدیو

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 65 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

7 نظر در “ماکزیمم و مینیمم تابع — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

  • سلام . ممنون از مطالب زیبا تون
    میشه لطف کنید و علامت مینیمم و ماکزیمم رو به انگلیسی و مخففشون رو هم بگید؟چون من فقط ماکزیمم را میدانم که با نشان Max نشان داده می شود ولی مینیمم را نمی دانم که آیا mini بنویسم یا min؟لطفا سریعا رسیدگی شود چون بسیار نیاز دارم

    1. سلام. مینیمم به انگلیسی Minimum است و در فرمول‌های ریاضیاتی معمولاً به صورت min نشان داده می‌شود. ماکزیمم نیز معادل انگلیسی Maximum است و آن را به صورت Max نمایش می‌دهیم.

    1. سلام.
      توابع خطی و براکت اگر در بازه محدودی تعریف شده باشد، تحت شرایطی دارای اکسترمم خواهند بود.
      تابع گویا نیز بسته به چندجمله‌ای‌های صورت و مخرج و دامنه‌اش، می‌تواند دارای اکسترمم باشد.
      از همراهی شما با مجله فرادرس خوشحالیم.

  • خدا خیرتون بده…واقعا واقعا ممنونم…اگر فقط همین یک مطلب رو از فرادرس یاد گرفته باشم باز تا اخر عمر ممنونم..

  • سلام و وقت بخیر
    اگر اشتباه نکرده باشم در این قسمت «ماکزیمم نسبی یک تابع در حقیقت مختصاتی است که در آن، تابع نسبت به نقاط اطراف خود به کمترین مقدارش رسیده.» باید بعد از ویرگول این طور بیان شود -تابع نسبت به نقاط اطراف خود به بیشترین مقدارش رسیده.- یعنی کمترین به بیشترین تبدیل شود.
    ممنون از مطالب بی نظیرتان

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *