نمونه سوال ریاضی دهم با جواب – به زبان ساده

کتاب ریاضی دهم یا ریاضی ۱ شامل هفت فصل است و مباحث متنوعی از درس ریاضی مانند مجموعه‌ها، دنباله‌ها، مثلثات، توان و عبارت‌های جبری، معادله و نامعادله، تابع، جایگشت و ترکیب و آمار و احتمال را پوشش می‌دهد. در این مطلب از مجله فرادرس پس از مرور تعریف‌ها، فرمول‌ها و نکات مهم هر فصل، به حل نمونه سوال ریاضی دهم با جواب خواهیم پرداخت.

سرفصل های ریاضی دهم

ابتدا مروری داریم بر مهم‌ترین مباحثی که در کتاب ریاضی یک مطرح شده است:

• فصل ۱: مجموعه، الگو و دنباله
• فصل ۲: مثلثات
• فصل ۳: توان‌های گویا و عبارت‌های جبری
• فصل ۴: معادله‌ها و نامعادله‌ها
• فصل ۵: تابع
• فصل ۶: شمارش، بدون شمردن
• فصل ۷: آمار و احتمال

در ادامه ابتدا به معرفی نکات مهم هر فصل می‌پردازیم و سپس چندین نمونه سوال ریاضی دهم را برای هر فصل حل خواهیم کرد.

فلش کارت ریاضی دهم

پیش از اینکه به بررسی توضیحات و نمونه سوال ریاضی دهم برای هر فصل بپردازیم، در این بخش با استفاده از فلش‌کارت‌های زیر می‌توانید مروری داشته باشید بر مهم‌ترین نکات و فرمول‌های این کتاب. با کلیک دوم روی هر فلش‌کارت، محتوای پشت آن قابل‌مشاهده است:

مجموعه، الگو و دنباله

به گروهی از اشیا، اجزا یا اعداد مشخص و غیرتکراری، مجموعه گفته می‌شود. هر کدام از این اشیا، اجزا یا اعداد یک عضو مجموعه نام دارند. دقت کنید، روزهای هفته هم می‌توانند یک مجموعه بسازند. بنابراین لازم نیست اعضای مجموعه حتما اعداد باشند. برای نشان دادن یک مجموعه از آکولادهای باز و بسته به‌صورت $$\left\{\right\}$$ استفاده می‌شود و تمام اعضای مجموعه داخل این دو آکولاد قرار می‌گیرند.

هر مجموعه دارای یک اسم است که عموما با یک حرف انگلیسی بزرگ نشان داده می‌شود. برای مثال داریم:

$$\mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,...\right\}$$ = مجموعه اعداد طبیعی

$$\mathbb{Z}=\left\{ ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\right\}$$ = مجموعه اعداد صحیح

مهم‌ترین مجموعه‌های اعداد در ریاضیات به شکل زیر طبقه‌بندی می‌شوند (تمام این مجموعه‌ها نامتناهی هستند):

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

بخشی از مهم‌ترین تعریف‌های این بخش را در ادامه مشاهده می‌کنید:

• ترتیب اعضا در یک مجموعه مهم نیست. پس با جابجایی اعضا، مجموعه جدیدی ساخته نمی‌شود.
• تکرار اعضای یک مجموعه باعث ایجاد مجموعه جدیدی نمی‌شود.
• $$a\in A$$ به این معنا است که $$a$$ عضوی از مجموعه $$A$$ است.
• اگر در مجموعه‌ای هیچ عضوی وجود نداشته باشد، آن مجموعه تهی یا $$\phi$$ است.
• برای نشان دادن تعداد اعضای مجموعه $$A$$ از $$n(A)$$ استفاده می‌کنیم.
• $$[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$$ یک بازه بسته است.
• $$(a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$$ یک بازه باز است.
• $$[a, b)$$ و $$(a, b]$$ بازه‌های نیم‌باز هستند.
• $$(a, +\infty)$$ و $$(-\infty, b]$$ و $$(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$$ بازه‌های نامتناهی هستند.

تفاوت مجموعه متناهی و نامتناهی نیز به‌صورت زیر است:

• مجموعه متناهی:‌ تعداد اعضای آن یک عدد کامل و مشخص است، مانند مجموعه $$A = \{1, 2, 3, \dots, 100\}$$ یا مجموعه تعداد درختان روی زمین.
• مجموعه نامتناهی: تعداد اعضای آن بی‌پایان است، مانند بازه $$(0, 1)$$ در اعداد حقیقی یا مجموعه اعداد طبیعی $$\mathbb{N}$$.

در بخش بعدی این فصل، با مفهوم مجموعه مرجع و متمم آشنا می‌شوید:

• مجموعه مرجع ($$U$$) مجموعه‌ای است که تمام مجموعه‌های موردبحث در یک مسئله، زیرمجموعه آن هستند.
• اگر $$A$$ زیرمجموعه‌ای از $$U$$ باشد ($$A \subseteq U$$)، مجموعه اعضایی از $$U$$ که در $$A$$ نیستند را متمم $$A$$ می‌گوییم.

ویژگی‌های مهم مجموعه متمم عبارت‌اند از:

$$(A')' = A$$

$$A \cap A' = \emptyset$$

$$A \cup A' = U$$

$$U' = \emptyset$$

$$\emptyset' = U$$

$$A - B = A \cap B'$$

همچنین در مورد تعداد اعضای مجموعه‌ها روابط زیر برقرار است:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

$$n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)$$

نکته: به هر دو مجموعه‌ای که فاقد عضو مشترک باشند، دو مجموعه مجزا یا جدا از هم می‌گوییم.

بخش بعدی فصل اول ریاضی دهم به مبحث دنباله‌ها اختصاص دارد. آرایشی از اعداد کنار هم به صورت $$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$$ را یک دنباله می‌نامیم. دنباله‌ها دو نوع هستند، دنباله حسابی و دنباله هندسی. به نکات زیر در مورد دنباله‌ حسابی توجه کنید:

• در دنباله حسابی هر جمله (از جمله دوم به بعد) با اضافه شدن یک عدد ثابت $$d$$ (قدرنسبت) به جمله قبل ساخته می‌شود.
• جمله عمومی دنباله حسابی برابر است با $$a_n = a_1 + (n-1)d$$
• اگر $$a$$ و $$b$$ و $$c$$ جملات متوالی یک دنباله حسابی باشند، آنگاه داریم: $$b = \frac{a + c}{2}$$

به نکات زیر در مورد دنباله‌ هندسی توجه کنید:

• هر جمله (از جمله دوم به بعد) با ضرب شدن یک عدد ثابت $$r \neq 0$$ (قدرنسبت هندسی) در جمله قبل ساخته می‌شود.
• جمله عمومی دنباله هندسی برابر است با $$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$
• اگر $$a$$ و $$b$$ و $$c$$ سه جمله متوالی مثبت از یک دنباله هندسی باشند، آنگاه داریم: $$b^2 = a \cdot c \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{a \cdot c}$$

نکته: اگر اختلاف جملات ثابت باشد، دنباله درجه اول یا حسابی است ($$t_n = an + b$$)، اما اگر اختلاف اختلاف‌ها ثابت باشد، دنباله درجه دوم است ($$t_n = an^2 + bn + c$$).

حل نمونه سوال ریاضی دهم فصل اول

در این بخش به حل و بررسی چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل اول خواهیم پرداخت. پیش از شروع، می‌توانید به کمک جدول زیر کلیه فرمول‌ها و روابط مهم این فصل را مرور کنید:

مثال ۱

مشخص کنید کدام‌یک از مجموعه‌های زیر متناهی و کدام‌یک نامتناهی هستند؟

1. مجموعه اعداد طبیعی زوج $$E = \{2, 4, 6, \dots\}$$
2. مجموعه سلول‌های عصبی مغز یک انسان
3. بازه $$[1, 2]$$ در اعداد حقیقی $$\mathbb{R}$$
4. مجموعه اعداد اول کمتر از $$100$$

پاسخ

در ادامه بررسی هر کدام از مجموعه‌ها به ترتیب انجام شده است:

1. نامتناهی است، زیرا تعداد اعداد طبیعی زوج بی‌شمار است.
2. متناهی است، چون با اینکه عدد بسیار بزرگی است، اما عددی معین و قابل‌شمارش است.
3. نامتناهی است، زیرا بین هر دو عدد حقیقی، بی‌شمار عدد حقیقی دیگر وجود دارد.
4. متناهی است، چون تعداد اعداد اول زیر $$100$$ محدود و معین است ($$25$$ عضو دارد).

مثال ۲

اگر $$A = (-2, 3]$$ و $$B = [1, 5)$$ دو بازه روی محور اعداد حقیقی باشند، مجموعه‌های $$A \cap B$$ و $$A \cup B$$ را به صورت بازه بنویسید:

پاسخ

روی محور اعداد بازه $$A$$ شامل اعداد از بزرگتر از $$-2$$ تا $$3$$ است. بازه $$B$$ نیز شامل اعداد از $$1$$ تا کوچکتر از $$5$$ است. پس بخش مشترک هر دو بازه به شکل زیر می‌شود:

$$\Leftarrow A \cap B = [1, 3]$$

همچنین اجتماع نیز از کوچک‌ترین مقدار در $$A$$ تا بزرگ‌ترین مقدار در $$B$$ را شامل می‌شود:

$$\Leftarrow A \cup B = (-2, 5)$$

مثال ۳

فرض کنید $$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$$ یک مجموعه مرجع باشد و $$A = \{2, 3, 5, 7\}$$ و $$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$$ باشند. مجموعه $$(A \cup B)'$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا $$A \cup B$$ را تشکیل می‌دهیم:

$$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}$$

سپس متمم آن را از $$U$$ کم می‌کنیم:

مثال ۴

در یک همایش $$50$$ نفره، $$30$$ نفر به زبان انگلیسی و $$25$$ نفر به زبان فرانسوی تسلط دارند. اگر $$10$$ نفر به هر دو زبان تسلط داشته باشند:

1. چند نفر حداقل به یکی از این دو زبان تسلط دارند؟
2. چند نفر به هیچ‌یک از این دو زبان تسلط ندارند؟

پاسخ

با استفاده از فرمول تعداد اعضای اجتماع، برای سوال اول داریم:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

$$n(A \cup B) = 30 + 25 - 10 = 45$$

افراد بدون تسلط برابر با متمم اجتماع ($$n((A \cup B)')$$) هستند:

$$n((A \cup B)') = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 45 = 5$$

مثال ۵

در یک دنباله حسابی، جمله سوم برابر با $$11$$ و جمله هفتم برابر با $$27$$ است. جمله عمومی ($$a_n$$) این دنباله را بنویسید:

پاسخ

با استفاده از رابطه تفاضل دو جمله در دنباله حسابی ($$a_m - a_n = (m-n)d$$) داریم:

$$a_7 - a_3 = (7 - 3)d \quad \Rightarrow \quad 27 - 11 = 4d$$

$$\quad \Rightarrow \quad 16 = 4d \quad \Rightarrow \quad d = 4$$

برای به دست آوردن جمله اول یعنی $$a_1$$ نیز به شکل زیر عمل می‌کنیم:

$$a_3 = a_1 + 2d \quad \Rightarrow \quad 11 = a_1 + 2(4) \quad$$

$$\Rightarrow \quad 11 = a_1 + 8 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 3$$

پس فرمول جمله عمومی به شکل زیر است:

$$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$$

مثال ۶

در یک دنباله هندسی با جملات مثبت، جمله دوم برابر با $$6$$ و جمله چهارم برابر با $$24$$ است. قدرنسبت ($$r$$) و جمله عمومی دنباله را تعیین کنید:

پاسخ

از رابطه تقسیم دو جمله در دنباله هندسی ($$\frac{a_m}{a_n} = r^{m-n}$$) داریم:

$$\frac{a_4}{a_2} = r^{4-2} \quad \Rightarrow \quad \frac{24}{6} = r^2 \quad$$

$$\Rightarrow \quad r^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad r = 2$$

چون جملات مثبت هستند، پس محاسبه جمله اول به شکل زیر انجام می‌شود:

$$a_2 = a_1 \cdot r \quad \Rightarrow \quad 6 = a_1 \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 3$$

و جمله عمومی برابر می‌شود با:

$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$$

یادگیری ریاضی دهم با فرادرس

در بخش قبل به قسمتی از نمونه سوال ریاضی دهم پرداختیم. در این بخش قصد داریم چند فیلم آموزشی از مجموعه فرادرس را به شما معرفی کنیم که با هدف تسلط کامل بر کلیه مباحث ریاضی دهم و به تفکیک برای رشته‌های مختلف تنظیم شده است:

• فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی + گواهینامه فرادرس
• فیلم آموزش هندسه پایه دهم – هندسه ۱ فرادرس
• فیلم آموزش ریاضی و آمار ۱ – پایه دهم علوم انسانی فرادرس
• فیلم آموزش ریاضی و آمار ۱ – پایه دهم به همراه حل سوالات کنکور + جزوه و نمونه سوالات فرادرس

مثلثات

در یک مثلث قائم‌الزاویه، نسبت اضلاع به یکدیگر بر اساس اندازه زاویه‌ها نامگذاری می‌شود:

• سینوس: نسبت ضلع مقابل به وتر
• کسینوس: نسبت ضلع مجاور به وتر
• تانژانت: نسبت ضلع مقابل به مجاور
• کتانژانت: نسبت ضلع مجاور به مقابل

به این نسبت‌ها، نسبت‌های مثلثاتی می‌گوییم. همچنین دایره‌ای به شعاع $$r = 1$$ که مرکز آن روی مبدا مختصات قرار دارد، دایره مثلثاتی نامیده می‌شود. محور افقی این دایره همان محور کسینوس‌ها و محور عمودی آن همان محور سینوس‌ها است. مختصات هر نقطه روی دایره مثلثاتی به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$$P(\cos\theta, \sin\theta)$$

علامت نسبت‌های مثلثاتی در نواحی چهارگانه یا ربع‌ها به شکل زیر است:

• ناحیه اول ($$0^\circ$$ تا $$90^\circ$$): همه نسبت‌ها مثبت هستند.
• ناحیه دوم ($$90^\circ$$ تا $$180^\circ$$): فقط سینوس مثبت است.
• ناحیه سوم ($$180^\circ$$ تا $$270^\circ$$): تانژانت و کتانژانت مثبت هستند.
• ناحیه چهارم ($$270^\circ$$ تا $$360^\circ$$): فقط کسینوس مثبت است.

به این ترتیب اگر خطی با جهت مثبت محور $$x$$ها زاویه $$\theta$$ بسازد، شیب آن خط برابر با تانژانت آن زاویه است ($$m = \tan\theta$$). نسبت‌های مثلثاتی برخی از زاویه‌های خاص در جدول زیر نشان داده شده است:

نکته: برای هر زاویه دلخواه $$\theta$$، همواره مقادیر سینوس و کسینوس در نامساوی زیر قرار می‌گیرند:

$$-1 \le \sin\theta \le 1$$

$$-1 \le \cos\theta \le 1$$

پیشنهاد می‌کنیم برای تسلط بیشتر به فرمول‌‌های مثلثات، مطلب «روابط بین سینوس و کسینوس – تمام فرمول ها + مثال و تمرین» از مجله فرادرس را نیز مطالعه کنید. همچنین اگر می‌خواهید با نحوه رسم نمودارهای توابع مثلثاتی بهتر آشنا شوید، مطالب زیر راهنمای مناسبی هستند:

• رسم نمودار سینوس و کسینوس – به زبان ساده با مثال و تمرین
• نمودار تانژانت و کتانژانت – به زبان ساده با مثال و تمرین

حل نمونه سوال ریاضی دهم فصل دوم

در این بخش به حل و بررسی چند نمونه سوال ریاضی دهم با تمرکز بر بخش مثلثات خواهیم پرداخت. جدول اتحادها و روابط اصلی مثلثات در ادامه برای شما قرار داده شده است:

مثال ۱

در یک مثلث قائم‌الزاویه طول وتر برابر با $$12 \text{ cm}$$ است و یکی از زوایای حاده آن نیز $$60^\circ$$ اندازه‌گیری شده است. طول اضلاع قائم این مثلث را به‌دست آورید:

پاسخ

فرض می‌کنیم وتر $$c = 12$$ و زاویه $$\theta = 60^\circ$$ باشد، در این صورت داریم:

مثال ۲

اگر $$\cos\alpha = -\frac{5}{13}$$ و زاویه $$\alpha$$ در ناحیه سوم دایره مثلثاتی قرار داشته باشد، مقادیر $$\sin\alpha$$ و $$\tan\alpha$$ را محاسبه کنید:

پاسخ

علامت حاصل عبارت زیر را تعیین کنید:

پاسخ

برای حل این سوال داریم:

• زاویه $$110^\circ$$ در ناحیه دوم است: $$\sin(110^\circ) > 0$$
• زاویه $$220^\circ$$ در ناحیه سوم است: $$\cos(220^\circ) < 0$$
• زاویه $$310^\circ$$ در ناحیه چهارم است: $$\tan(310^\circ) < 0$$

حالا با ضرب علائم در یکدیگر خواهیم داشت:

مثال ۴

معادله خطی را بنویسید که از نقطه $$A(2, -1)$$ می‌گذرد و با جهت مثبت محور $$x$$ها زاویه $$135^\circ$$ می‌سازد:

پاسخ

برای محاسبه شیب خط یا $$m$$ به شکل زیر عمل می‌کنیم:

می‌دانیم نوشتن معادله خط با داشتن یک نقطه و شیب با استفاده از فرمول $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ انجام می‌شود. پس داریم:

مثال ۵

اگر $$\tan\theta = \frac{3}{4}$$ باشد و زاویه $$\theta$$ در ناحیه اول قرار داشته باشد، مقدار $$\cos\theta$$ و $$\sin\theta$$ را بیابید:

پاسخ

مثال ۶

درستی اتحاد زیر را ثابت کنید:

پاسخ

ابتدا سمت چپ عبارت را در نظر گرفته و مخرج‌مشترک می‌گیریم:

حالا صورت کسر را باز می‌کنیم:

با توجه به اینکه داریم $$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$، پس حاصل خواهد شد:

حالا عبارت را مجددا در کسر جایگذاری می‌کنیم:

توان‌ های گویا و عبارت‌ های جبری

در سومین فصل ریاضی یک به بررسی ویژگی‌های توان‌ و عبارت‌های جبری می‌پردازیم. فرض کنید $$a$$ و $$b$$ دو عدد حقیقی باشند و $$n$$ یک عدد طبیعی بزرگتر از $$1$$ باشد، طوری که $$b^n = a$$. در این صورت $$b$$ را ریشه $$n$$ام عدد $$a$$ می‌نامیم. قوانین ریشه‌گیری بر اساس فرد یا زوج بودن $$n$$ به شکل زیر است:

• $$n$$ فرد:
  • هر عدد حقیقی $$a$$ (مثبت، منفی یا صفر) دقیقا یک ریشه $$n$$ام حقیقی دارد که آن را با $$\sqrt[n]{a}$$ نشان می‌دهیم.
  • در این حالت علامت ریشه با علامت خود عدد $$a$$ یکسان است، برای مثال $$\sqrt[3]{27} = 3$$ و $$\sqrt[3]{-27} = -3$$.
• $$n$$ زوج:
  • اگر $$a > 0$$: عدد $$a$$ دارای دو ریشه $$n$$ام قرینه هم است ($$\sqrt[n]{a}$$ و $$-\sqrt[n]{a}$$).
  • اگر $$a = 0$$: ریشه $$n$$ام برابر با $$0$$ است.
  • اگر $$a < 0$$: عدد منفی در اعداد حقیقی هیچ ریشه $$n$$امی با فرجه زوج ندارد.

حالا به تعریف توان گویا می‌پردازیم. اگر $$a > 0$$ یک عدد حقیقی و $$m$$ یک عدد صحیح و $$n$$ یک عدد طبیعی ($$n \ge 2$$) باشند، توان گویا به‌صورت زیر به رادیکال تبدیل می‌شود:

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$$

ویژگی‌ها و قوانین توان‌های گویا برای اعداد حقیقی و مثبت $$a$$ و $$b$$ و اعداد گویای $$r$$ و $$s$$ به‌صورت زیر است:

در ادامه این فصل، مهم‌ترین فرمول‌های اتحادها معرفی شده‌اند:

همچنین روش‌های تجزیه عبارت‌های جبری به‌صورت خلاصه عبارت‌اند از:

• فاکتورگیری (بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک): خارج کردن عوامل مشترک.
• استفاده از اتحادها: تبدیل عبارت چندجمله‌ای به ضرب دو یا چند عبارت.
• دسته‌بندی جملات: گروه‌بندی جملات برای ایجاد عامل مشترک جدید.

در نهایت برای گویا کردن مخرج کسرها می‌توانید به شکل زیر عمل کنید:

• برای حالت تک‌جمله‌ای ($$\sqrt[n]{a^m}$$ در مخرج)، صورت و مخرج را در $$\sqrt[n]{a^{n-m}}$$ ضرب می‌کنیم:

$$\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \times \frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{n-m}}} = \frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}$$

• برای حالت دو جمله‌ای شامل ریشه دوم (استفاده از اتحاد مزدوج)، اگر مخرج $$\sqrt{a} + \sqrt{b}$$ باشد، ضرب در $$\sqrt{a} - \sqrt{b}$$ و اگر مخرج $$\sqrt{a} - \sqrt{b}$$ باشد، ضرب در $$\sqrt{a} + \sqrt{b}$$ می‌کنیم.

حل نمونه سوال ریاضی دهم فصل سوم

در این بخش به حل و بررسی چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل سوم خواهیم پرداخت. پیشنهاد می‌کنیم پیش از شروع مطلب «ساده کردن رادیکال ها – به زبان ساده با مثال و تمرین» از مجله فرادرس را در این زمینه مطالعه کنید.

مثال ۱

حاصل عبارت زیر را ساده کنید:

$$A = \sqrt[4]{(1 - \sqrt{3})^4} + \sqrt[3]{(1 - \sqrt{3})^3}$$

پاسخ

برای رادیکال با فرجه زوج ($$n = 4$$) داریم:

$$\sqrt[4]{(1 - \sqrt{3})^4} = \vert{}1 - \sqrt{3}\vert{}$$

چون $$\sqrt{3} \approx 1.73$$ است، پس $$1 - \sqrt{3} < 0$$ می‌شود. در نتیجه داریم:

$$\vert{}1 - \sqrt{3}\vert{} = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$$

برای رادیکال با فرجه فرد ($$n = 3$$) نیز داریم:

$$\sqrt[3]{(1 - \sqrt{3})^3} = 1 - \sqrt{3}$$

پس مجموع دو عبارت خواهد شد:

$$A = (\sqrt{3} - 1) + (1 - \sqrt{3}) = 0$$

مثال ۲

حاصل عبارت زیر را به‌صورت یک توان گویا بنویسید:

$$B = \frac{8^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{32}}{2^{-\frac{1}{2}}}$$

پاسخ

ابتدا همه اعداد را به پایه $$2$$ تبدیل می‌کنیم:

$$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2$$

$$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{\frac{5}{2}}$$

$$2^{-\frac{1}{2}}$$

حالا با جایگذاری در عبارت اصلی داریم:

$$B = \frac{2^2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{2^{-\frac{1}{2}}}$$

$$2^{2 + \frac{5}{2} - (-\frac{1}{2})} = 2^{2 + \frac{5}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{2 + \frac{6}{2}} = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$$

مثال ۳

عبارت زیر را تا حد امکان ساده کنید:

$$C = \sqrt{50x^3} - x\sqrt{18x} + \sqrt{2x^3} \quad (x \ge 0)$$

پاسخ

ابتدا عوامل مربع کامل را از زیر رادیکال خارج می‌کنیم:

$$\sqrt{50x^3} = \sqrt{25x^2 \cdot 2x} = 5x\sqrt{2x}$$

$$x\sqrt{18x} = x\sqrt{9 \cdot 2x} = x \cdot 3\sqrt{2x} = 3x\sqrt{2x}$$

$$\sqrt{2x^3} = \sqrt{x^2 \cdot 2x} = x\sqrt{2x}$$

حالا با جایگذاری در عبارت اصلی خواهیم داشت:

$$C = 5x\sqrt{2x} - 3x\sqrt{2x} + x\sqrt{2x} = (5 - 3 + 1)x\sqrt{2x} = 3x\sqrt{2x}$$

مثال ۴

عبارت $$x^6 - 64$$ را به‌صورت حاصل‌ضرب چندجمله‌ای‌ها تجزیه کنید:

پاسخ

از اتحاد مزدوج شروع می‌کنیم:

$$x^6 - 64 = (x^3)^2 - (8)^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8)$$

حالا برای هر دو پرانتز از اتحاد چاق و لاغر استفاده می‌کنیم:

$$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$

$$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$$

نتیجه نهایی تجزیه به شکل زیر است:

$$x^6 - 64 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$$

مثال ۵

اگر $$x + \frac{1}{x} = 4$$ باشد، مقدار $$x^3 + \frac{1}{x^3}$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا دو طرف رابطه را به توان $$3$$ می‌رسانیم:

$$\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = 4^3$$

حالا با استفاده از بسط اتحاد مکعب یا $$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$ داریم:

$$x^3 + \left(\frac{1}{x}\right)^3 + 3(x)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x + \frac{1}{x}\right) = 64$$

$$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(1)(4) = 64$$

$$x^3 + \frac{1}{x^3} + 12 = 64 \implies x^3 + \frac{1}{x^3} = 64 - 12 = 52$$

مثال ۶

مخرج کسر زیر را گویا کنید:

$$D = \frac{6}{\sqrt{7} - \sqrt{1}} = \frac{6}{\sqrt{7} - 1}$$

پاسخ

کافی است صورت و مخرج را در مزدوج مخرج، یعنی $$\sqrt{7} + 1$$ ضرب کنیم:

$$D = \frac{6}{\sqrt{7} - 1} \times \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 1} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7})^2 - (1)^2}$$

$$D = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{7 - 1} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{6} = \sqrt{7} + 1$$

معادله ها و نامعادله ها

معادله‌ای به فرم کلی زیر که در آن $$a \ne 0$$ و $$a, b, c \in \mathbb{R}$$ باشد، یک معادله درجه دوم نامیده می‌شود:

• روش تجزیه (با استفاده از اتحادها و فاکتورگیری)
• روش ریشه‌گیری
• روش مربع کامل کردن
• استفاده از فرمول دلتا

در مورد اولین روش، اگر بتوان عبارت $$ax^2 + bx + c$$ را به حاصل‌ضرب دو عامل خطی تجزیه کرد ($$A \cdot B = 0$$)، آن‌گاه داریم:

• اگر $$k > 0$$ باشد: دو ریشه $$x = \sqrt{k}$$ و $$x = -\sqrt{k}$$ داریم.
• اگر $$k = 0$$باشد: یک ریشه $$x = 0$$ داریم.
• اگر $$k < 0$$ باشد: معادله ما در اعداد حقیقی ریشه ندارد.

همچنین روش مربع کامل کردن مراحل زیر را دارد:

1. ابتدا عدد ثابت $$c$$ را به سمت راست منتقل می‌کنیم.
2. سپس طرفین را بر ضریب $$a$$ تقسیم می‌کنیم تا ضریب $$x^2$$ برابر با $$1$$ شود.
3. مربع نصف ضریب $$x$$ یعنی $$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$ را به طرفین اضافه می‌کنیم تا سمت چپ به صورت یک اتحاد مربع دو جمله‌ای درآید.
4. حالا با ریشه‌گیری، ریشه‌ها را به‌دست می‌آوریم.

و در نهایت در روش دلتا، ابتدا از فرمول زیر استفاده می‌کنیم تا دلتا تعیین شود:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

• اگر $$\Delta > 0$$: معادله دارای دو ریشه حقیقی و متمایز $$x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$ است.
• اگر $$\Delta = 0$$: معادله دارای یک ریشه مضاعف (مکرر) $$x = \frac{-b}{2a}$$ است.
• اگر $$\Delta < 0$$: معادله در مجموعه اعداد حقیقی هیچ ریشه‌ای ندارد.

در بخش دیگر این فصل به بررسی ویژگی‌های سهمی می‌پردازیم. در حالت کلی نمودار هر تابع درجه دومی به فرم $$y = ax^2 + bx + c$$ یک منحنی به نام سهمی است:

• اگر $$a > 0$$ باشد: سهمی رو به بالا و دارای مینیمم یا کمترین مقدار است.
• اگر $$a < 0$$ باشد: سهمی رو به پایین و دارای ماکزیمم یا بیشترین مقدار است.

مختصات راس سهمی به‌صورت زیر است:

$$S = \left( -\frac{b}{2a} \,,\, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) = \left( -\frac{b}{2a} \,,\, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)$$

و خط عمودی به معادله $$x = -\frac{b}{2a}$$، خطی است که سهمی نسبت به آن متقارن است. در ادامه چهارمین فصل ریاضی ۱، تعیین علامت عبارت‌های خطی و درجه دوم را داریم. برای تعیین علامت یک عبارت جبری خطی مانند $$ax + b$$ ابتدا ریشه را به‌دست می‌آوریم:

$$x = -\frac{b}{a}$$

سپس یک جدول تعیین علامت تشکیل می‌دهیم:

• برای مقادیر قبل از ریشه ($$x < -\frac{b}{a}$$): مخالف علامت $$a$$
• برای مقادیر بعد از ریشه ($$x > -\frac{b}{a}$$): موافق علامت $$a$$

در مورد تعیین علامت عبارت‌های درجه دوم ($$ax^2 + bx + c$$) نیز چند حالت داریم:

• اگر $$\Delta > 0$$ باشد، دارای دو ریشه $$x_1 < x_2$$ است:
  • بین دو ریشه: مخالف علامت $$a$$
  • خارج از دو ریشه: موافق علامت $$a$$
• اگر $$\Delta = 0$$ باشد، دارای یک ریشه مضاعف $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$ است:
  • در ریشه برابر $$0$$ و در همه نقاط دیگر، همواره موافق علامت $$a$$
• اگر $$\Delta < 0$$ باشد، ریشه حقیقی ندارد:
  • همواره موافق علامت $$a$$

در آخرین بخش این فصل، به روش حل نامعادلات قدر مطلقی می‌پردازیم. طبق تعریف قدر مطلق، می‌دانیم برای هر $$k > 0$$ داریم:

$$\vert{}x\vert{} \le k \iff -k \le x \le k$$

$$\vert{}x\vert{} \ge k \iff x \ge k \quad \text{یا} \quad x \le -k$$

حل نمونه سوال ریاضی دهم فصل چهارم

در این بخش به حل و بررسی چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل چهارم خواهیم پرداخت.

مثال ۱

معادله $$x^2 - 6x + 2 = 0$$ را به روش مربع کامل حل کنید:

پاسخ

ابتدا عدد ثابت را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

$$x^2 - 6x = -2$$

نصف ضریب $$x$$ برابر با $$\frac{-6}{2} = -3$$ و مربع آن برابر با $$(-3)^2 = 9$$ است. حالا عدد $$9$$ را به طرفین اضافه می‌کنیم:

$$x^2 - 6x + 9 = -2 + 9$$

و سمت چپ را به صورت اتحاد مربع می‌نویسیم:

$$(x - 3)^2 = 7$$

سپس با ریشه‌گیری از طرفین داریم:

$$x - 3 = \pm\sqrt{7} \implies x = 3 \pm \sqrt{7}$$

مثال ۲

ریشه‌های معادله $$3x^2 - 5x - 2 = 0$$ را به روش دلتا به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا ضرایب معادله را مشخص می‌کنیم:

$$a = 3$$

$$b = -5$$

$$c = -2$$

حالا محاسبه دلتا را انجام می‌دهیم:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49$$

چون $$\Delta > 0$$ است، دو ریشه داریم:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{49}}{2(3)} = \frac{5 \pm 7}{6}$$

$$x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

مثال ۳

به ازای چه مقادیری از $$m$$، معادله $$x^2 - 2mx + (m + 2) = 0$$ دارای یک ریشه مضاعف است؟

پاسخ

شرط داشتن ریشه مضاعف این است که $$\Delta = 0$$ باشد. ابتدا ضرایب این معادله را می‌نویسیم:

$$a = 1$$

$$b = -2m$$

$$c = m + 2$$

سپس دلتا را محاسبه می‌کنیم:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(1)(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8$$

از صفر قرار دادن عبارت بالا نتیجه می‌گیریم:

$$4m^2 - 4m - 8 = 0 \xrightarrow{\div 4} m^2 - m - 2 = 0$$

و با تجزیه جمله‌مشترک داریم:

$$(m - 2)(m + 1) = 0 \implies m = 2 \quad \text{یا} \quad m = -1$$

مثال ۴

مختصات راس و خط محور تقارن سهمی $$y = -x^2 + 4x - 3$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

می‌دانیم ضرایب معادله درجه ۲ داده شده به شکل زیر است:

$$a = -1$$

$$b = 4$$

$$c = -3$$

طبق فرمول، طول راس سهمی برابر می‌شود با:

$$x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$$

معادله خط محور تقارن نیز برابر است با:

$$x = 2$$

و در نهایت عرض راس سهمی نیز می‌شود:

$$y_S = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$$

پس راس سهمی نقطه $$S(2, 1)$$ است. همچنین برخورد با محور $$y$$ها ($$x = 0$$) در نقطه $$(0, -3)$$ و برخورد با محور$$x$$ها ($$y = 0$$) در نقاط زیر رخ می‌دهد:

$$-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$$

$$\implies (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1, x = 3$$

پس نقاط برخورد با محور $$x$$ها عبارت‌اند از $$(1,0)$$ و $$(3,0)$$ و چون $$a = -1 < 0$$ است، دهانه سهمی به سمت پایین است.

مثال ۵

عبارت $$P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 3}$$ را تعیین علامت کنید:

پاسخ

ریشه‌های صورت برابر‌اند با:

$$x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2$$

ریشه مخرج نیز می‌شود:

$$x + 3 = 0 \implies x = -3$$

حالا جدول تعیین علامت را رسم می‌کنیم:

پس عبارت در بازه‌های $$(-\infty, -3)$$ و $$(-2, 2)$$ منفی است.

مثال ۶

مجموعه جواب نامعادله $$x^2 - 3x - 10 \le 0$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا به تعیین ریشه‌های عبارت درجه دوم می‌پردازیم:

$$x^2 - 3x - 10 = 0 \implies (x - 5)(x + 2) = 0$$

$$\implies x_1 = -2 , x_2 = 5$$

چون ضریب $$x^2$$ مثبت است ($$a = 1 > 0$$)، پس عبارت داده شده بین دو ریشه منفی و خارج از دو ریشه مثبت است. همچنین چون نامعادله به صورت $$\le 0$$ خواسته شده، پس جواب بین دو ریشه و شامل خود ریشه‌هاست:

$$-2 \le x \le 5 \quad \text{یا} \quad x \in [-2, 5]$$

مثال ۷

مجموعه جواب نامعادله $$\frac{x + 1}{x - 2} \ge 2$$ را بیابید:

پاسخ

ابتدا باید تمام جملات را به یک طرف منتقل کنیم (نباید طرفین وسطین کنیم):

$$\frac{x + 1}{x - 2} - 2 \ge 0$$

حالا مخرج مشترک می‌گیریم:

$$\frac{(x + 1) - 2(x - 2)}{x - 2} \ge 0$$

$$\implies \frac{x + 1 - 2x + 4}{x - 2} \ge 0 \implies \frac{-x + 5}{x - 2} \ge 0$$

ریشه صورت برابر می‌شود با:

$$-x + 5 = 0 \implies x = 5$$

ریشه مخرج نیز می‌شود:

$$x - 2 = 0 \implies x = 2$$

بین $$2$$ و $$5$$، صورت و مخرج علائم هم‌جهت دارند و کسر مثبت است. در $$x = 5$$ مقدار کسر صفر است (قابل قبول). در $$x = 2$$ مخرج صفر می‌شود (غیرقابل قبول). پس مجموعه جواب نهایی برابر است با:

$$x \in (2, 5]$$

تابع

تابع مفهومی است که برای بیان رابطه بین دو مجموعه بکار می‌رود. در تابع دو مجموعه داریم که یکی به‌عنوان مجموعه ورودی‌های تابع یا دامنه و دیگری مجموعه خروجی تابع یا برد نامیده می‌شوند. زمانی می‌توانیم ارتباط دو مجموعه را تابع در نظر بگیریم که هر عضو از مجموعه دامنه فقط و فقط با یک عضو از مجموعه برد متناظر شود.

روش‌های تشخیص تابع در نمایش‌های مختلف به‌صورت زیر است:

• نمایش به‌صورت زوج‌های مرتب: مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب $$(x, y)$$ زمانی تابع است که هیچ دو زوج مرتب متفاوتی مولفه اول برابر نداشته باشند.
• نمایش نمودار پیکانی: یک نمودار پیکانی زمانی تابع است که از هر عضو مجموعه مبدا (دامنه) دقیقا یک پیکان خارج شده باشد و هیچ عضوی در مبدا بدون پیکان نماند.
• نمایش نمودار مختصاتی (آزمون خط عمودی): یک نمودار در صفحه مختصات زمانی نشان‌دهنده یک تابع است که هر خط عمودی (موازی محور $$y$$ها) نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
• نمایش ضابطه‌ای: در یک ضابطه $$y = f(x)$$، اگر به ازای دادن یک مقدار برای $$x$$، دقیقا یک مقدار مشخص برای $$y$$ به‌دست آید، آن ضابطه تابع است.

در مورد اولین روش، اگر دو زوج مرتب مولفه اول برابر داشتند، باید مولفه دوم آن‌ها نیز کاملا برابر باشد، یعنی یک زوج مرتب تکراری داشته باشیم. در مورد سومین روش نیز اگر یک خط عمودی بتوان پیدا کرد که نمودار را در دو یا چند نقطه قطع کند، آن نمودار تابع نیست. معمولا توان‌های زوج $$y$$ مانند $$y^2 = x$$ یا $$y^4 = x$$، معمولا تابع نیستند ($$y = \pm\sqrt{x}$$). همچنین قدر مطلق $$y$$، مانند $$\vert{}y\vert{} = x$$ تابع نیست، چون داریم $$y = \pm x$$.

در ریاضیات با انواع مختلفی از توابع مانند توابع درجه دو، توابع لگاریتمی، تابع قدر مطلق، تابع جزء صحیح، توابع مثلثاتی و ... سروکار داریم. مطلب «انواع تابع در ریاضی – به زبان ساده + حل مثال» به‌طور مفصل توابع مختلف را برای شما توضیح داده است.

قوانین محاسبه دامنه توابع از روی ضابطه نیز به‌صورت زیر است:

• توابع چندجمله‌ای: دامنه تمام توابع چندجمله‌ای مجموعه اعداد حقیقی است ($$D_f = \mathbb{R}$$).
• توابع کسری: دامنه توابع کسری برابر است با مجموعه اعداد حقیقی به جز ریشه‌های مخرج (نقاطی که مخرج را صفر می‌کنند).
• توابع رادیکالی با فرجه زوج ($$\sqrt[n]{P(x)}$$ که $$n$$ زوج است): عبارت زیر رادیکال با فرجه زوج باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد ($$D_f = \{ x \in \mathbb{R} \mid P(x) \ge 0 \}$$).
• توابع رادیکالی با فرجه فرد ($$\sqrt[n]{P(x)}$$ که $$n$$ فرد است): فرجه فرد محدودیتی ایجاد نمی‌کند و دامنه عبارت زیر رادیکال $$P(x)$$ است.

حل نمونه سوال ریاضی دهم فصل پنجم

در این بخش به حل و بررسی چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل پنجم خواهیم پرداخت.

مثال ۱

به ازای چه مقادیر از $$a$$ و $$b$$، رابطه زیر نشان‌دهنده یک تابع است؟

$$f = \{(2, 5), (3, a + b), (2, a - b), (3, 7)\}$$

پاسخ

برای اینکه این رابطه تابع باشد، زوج‌هایی که مولفه اول یکسان دارند، باید مولفه دوم یکسان نیز داشته باشند:

• مقایسه زوج‌های $$(2, 5)$$ و $$(2, a - b)$$: $$a - b = 5$$
• مقایسه زوج‌های $$(3, a + b)$$ و $$(3, 7)$$: $$a + b = 7$$

حل دستگاه دو معادله و دو مجهول بالا به شکل زیر انجام می‌شود:

$$\begin{cases} a + b = 7 \\ a - b = 5 \end{cases}$$

$$\implies 2a = 12 \implies a = 6$$

$$6 + b = 7 \implies b = 1$$

مثال ۲

کدامیک از روابط زیر $$y$$ را به عنوان تابعی از $$x$$ تعریف می‌کند؟ با دلیل توضیح دهید:

• $$x^2 + y^2 = 9$$
• $$y^3 - x = 1$$

پاسخ

در اولین مورد، با بردن $$y$$ به یک سمت داریم:

$$y^2 = 9 - x^2 \implies y = \pm\sqrt{9 - x^2}$$

ملاحظه می‌کنیم که به ازای یک مقدار مانند $$x = 0$$، دو مقدار $$y = 3$$ و $$y = -3$$ به‌دست می‌آید. بنابراین این ضابطه تابع نیست. در مورد ضابطه بعدی داریم:

$$y^3 = x + 1 \implies y = \sqrt[3]{x + 1}$$

چون فرجه فرد است، به ازای هر $$x$$ دقیقا یک مقدار مشخص برای $$y$$ به‌دست می‌آید. پس این ضابطه تابع است.

مثال ۳

تابع چندضابطه‌ای زیر داده شده است:

$$f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & x > 1 \\ 4 & x = 1 \\ x^2 + 3 & x < 1 \end{cases}$$

حاصل عبارت $$A = \frac{f(3) + f(1)}{f(-2)}$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

برای محاسبه $$f(3)$$، چون $$3 > 1$$ است از ضابطه اول استفاده می‌کنیم:

$$f(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$$

برای محاسبه $$f(1)$$، چون $$x = 1$$ است، از ضابطه دوم استفاده می‌کنیم:

$$f(1) = 4$$

برای محاسبه $$f(-2)$$، چون $$-2 < 1$$ است، از ضابطه سوم استفاده می‌کنیم:

$$f(-2) = (-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$$

حالا با جایگذاری در عبارت اصلی خواهیم داشت:

$$A = \frac{5 + 4}{7} = \frac{9}{7}$$

مثال ۴

دامنه توابع زیر را به دست آورید:

• $$f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 4x}$$
• $$g(x) = \sqrt{2x - 6}$$

پاسخ

در مورد اولین تابع، ریشه‌های مخرج را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

$$x^2 - 4x = 0 \implies x(x - 4) = 0 \implies x = 0 \quad \text{یا} \quad x = 4$$

$$D_f = \mathbb{R} - \{0, 4\}$$

در مورد دومین تابع نیز عبارت زیر رادیکال با فرجه زوج باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد:

$$2x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$$

$$D_g = [3, +\infty)$$

مثال ۵

تابعی مطابق با مشخصات زیر داده شده است:

خطی که از نقطه $$A(-3, -2)$$ شروع شده و تا نقطه $$B(4, 5)$$ ادامه دارد (نقطه $$A$$ توپر و نقطه $$B$$ توخالی است).

دامنه و برد این تابع را به صورت بازه بنویسید:

پاسخ

دامنه یا $$D_f$$ این تابع برابر است با تغییرات متغیر $$x$$ روی محور افقی. چون $$x$$ از $$x = -3$$ (توپر) تا $$x = 4$$ (توخالی) ادامه دارد، پس داریم:

$$D_f = [-3, 4)$$

برد یا $$R_f$$ نیز برابر است با تغییرات متغیر $$y$$ روی محور عمودی. چون $$y$$ از $$y = -2$$ (توپر) تا $$y = 5$$ (توخالی) ادامه دارد، پس داریم:

$$R_f = [-2, 5)$$

شمارش بدون شمردن

در فصل ششم ریاضی دهم به مبحث شمارش و معرفی مفاهیمی مانند فاکتوریل، جایگشت و ترکیب می‌پردازیم. ابتدا باید ببینیم اصل ضرب و جمع چیست. اگر عملی شامل دو مرحله باشد، طوری که مرحله اول به $$m$$ روش و برای هر یک از این روش‌ها، مرحله دوم به $$n$$ روش انجام‌پذیر باشد، کل این عمل به $$m \times n$$ روش انجام می‌شود. این قاعده را اصل ضرب می‌نامیم. کلمه کلیدی استفاده از اصل ضرب برای حل مسائل، استفاده از حرف «و» به معنای انجام تمام مراحل با هم است.

در مقابل اصل ضرب، اصل جمع را هم داریم. اگر بتوان کاری را از $$m$$ روش انجام داد و کار دیگری را از $$n$$ روش متفاوت و این دو کار همزمان قابل‌انجام نباشند، انتخاب یکی از این دو کار به $$m + n$$ روش انجام می‌شود. کلمه کلیدی اصل جمع در مسائل استفاده از حرف «یا» به معنای انجام یکی از حالت‌های مجزا است.

برای هر عدد طبیعی $$n$$، حاصل‌ضرب اعداد طبیعی از $$1$$ تا $$n$$ را $$n$$ فاکتوریل می‌نامیم و با $$n!$$ نشان می‌دهیم:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$$

برای مثال $$5!$$ برابر می‌شود با $$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$. یک سری قراردادها در مورد فاکتوریل وجود دارد:

• $$0! = 1$$
• $$1! = 1$$

همچنین چیدن $$n$$ شیء متمایز در یک ردیف متوالی را جایگشت آن‌ها می‌نامند. جایگشت را با $$P$$ نشان می‌دهیم. تعداد کل جایگشت‌های $$n$$ شیء متمایز برابر است با:

$$P(n, n) = n!$$

تعداد انتخاب و مرتب‌سازی $$r$$ شیء از بین $$n$$ شیء متمایز نیز برابر است با (ترتیب اهمیت دارد):

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \quad (0 \le r \le n)$$

اما انتخاب $$r$$ شیء از بین $$n$$ شیء متمایز بدون توجه به ترتیب قرارگیری آن‌ها را ترکیب می‌نامیم که با $$\binom{n}{r}$$ نشان داده می‌شود و برابر است با:

$$\binom{n}{r} = C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!}$$

جدول زیر مروری است بر مهم‌‌ترین فرمول‌های این فصل که بهتر است پیش از حل نمونه سوال ریاضی دهم به آن‌ها توجه کنید:

حل نمونه سوال ریاضی دهم فصل ششم

در این بخش به حل و بررسی چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل ششم خواهیم پرداخت.

مثال ۱

از شهر $$A$$ به شهر $$B$$ سه جاده و از شهر $$B$$ به شهر $$C$$ چهار جاده وجود دارد.

• به چند طریق می‌توان با عبور از $$B$$، از $$A$$ به $$C$$ رفت؟
• به چند طریق می‌توان رفت و برگشت، به‌ طوری که در مسیر برگشت از جاده‌های رفت استفاده نشود؟

پاسخ

در مورد اولین سوال، طبق اصل ضرب داریم:

$$3 \times 4 = 12$$

در مورد سوال دوم نیز می‌دانیم طبق بخش قبل مسیر رفت $$12$$ حالت دارد. برای برگشت از $$C$$ به $$B$$ سه جاده و از $$B$$ به $$A$$ دو جاده باقیمانده است. پس داریم:

$$(3 \times 4) \times (3 \times 2) = 12 \times 6 = 72$$

مثال ۲

معادله فاکتوریلی زیر را حل کنید:

$$\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!} = 30$$

پاسخ

ابتدا صورت کسر را بر حسب مخرج باز می‌کنیم:

$$\frac{(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!}{(n - 1)!} = 30$$

$$(n + 1) \cdot n = 30$$

چون حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی متوالی برابر با $$30$$ شده است ($$6 \times 5 = 30$$)، پس داریم:

$$n + 1 = 6 \implies n = 5$$

مثال ۳

$$5$$ کتاب ریاضی متمایز و $$3$$ کتاب فیزیک متمایز را به چند طریق می‌توان در یک قفسه کنار هم قرار داد، به شرطی که کتاب‌های فیزیک حتما کنار هم باشند؟

پاسخ

ابتدا کتاب‌های فیزیک را یک بسته واحد در نظر می‌گیریم. پس پنج کتاب ریاضی و یک بسته کتاب فیزیک داریم که روی هم می‌شوند شش شیء. جایگشت این شش شیء برابر با $$6!$$ است. اما کتاب‌های فیزیک درون خود بسته نیز به $$3!$$ حالت جابجا می‌شوند. پس در نهایت طبق اصل ضرب داریم:

$$6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$$

مثال ۴

مقدار $$n$$ را در رابطه $$P(n, 2) = 56$$ بیابید:

پاسخ

طبق فرمول جایگشت، $$P(n, 2) = n(n - 1)$$ است:

$$n(n - 1) = 56$$

پس ضرب دو عدد طبیعی متوالی برابر با $$56$$ شده است ($$8 \times 7 = 56$$):

$$n = 8$$

مثال ۵

از بین $$6$$ مرد و $$5$$ زن، به چند طریق می‌توان یک کمیته $$4$$ نفره تشکیل داد، به طوری که شامل دقیقا $$2$$ زن و $$2$$ مرد باشد؟

پاسخ

در این سوال باید از بین $$5$$ زن، $$2$$ نفر و از بین $$6$$ مرد، $$2$$ نفر انتخاب کنیم:

$$\binom{5}{2} \times \binom{6}{2}$$

حالا به محاسبه تک‌تک ترکیب‌ها می‌پردازیم:

$$\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

$$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

و طبق اصل ضرب داریم:

$$10 \times 15 = 150$$

یادگیری ریاضیات متوسطه با فرادرس

در این بخش این مطلب از مجله فرادرس مروری داریم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی فرادرس در زمینه یادگیری و تسلط بیشتر بر ریاضیات متوسطه دوم:

• • فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین

فیلم آموزش حسابان ۲ (دوازدهم) + حل سوالات امتحان نهایی

آمار و احتمال

در ابتدای آخرین فصل از کتاب ریاضی یک، با مفهوم آزمایش تصادفی آشنا می‌شوید. آزمایشی که نتیجه آن قبل از انجام به‌طور دقیق قابل‌ پیش‌بینی نیست، اما تمام نتایج ممکن آن را از قبل می‌دانیم مانند پرتاب تاس یا سکه، یک آزمایش تصادفی نامیده می‌شود. همچنین به مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی، فضای نمونه‌ای یا $$S$$ گفته می‌شود و تعداد اعضای آن را با $$n(S)$$ نشان می‌دهیم.

برای مثال در مورد آزمایش تصادفی پرتاب یک سکه داریم:

$$S = \{R, P\} \implies n(S) = 2$$

منظور از $$R, P$$ پشت و روی سکه است. همچنین در مورد پرتاب یک تاس نیز داریم:

$$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n(S) = 6$$

به هر زیرمجموعه از فضای نمونه‌ای $$S$$، یک پیشامد تصادفی می‌گوییم (برای مثال، $$A \subseteq S$$). همچنین پیشامد حتمی، پیشامدی است که برابر با خود فضای نمونه‌ای $$S$$ است و پیشامد غیرممکن نیز برابر با مجموعه تهی $$\emptyset$$ است. اگر تمام پیامدهای فضای نمونه‌ای $$S$$ شانس برابری برای رخ دادن داشته باشند، احتمال وقوع پیشامد $$A$$ برابر است با:

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$$

که در آن همواره $$0 \le P(A) \le 1$$ است. در ادامه این فصل کمی به مباحث آماری پرداخته شده است. مجموعه تمام افراد یا اشیایی که درباره یک یا چند ویژگی آن‌ها تحقیق می‌شود، جامعه آماری نامیده می‌شوند. زیرمجموعه‌ای از جامعه آماری که برای مطالعه انتخاب می‌شود را نیز نمونه آماری می‌نامیم. همچنین ویژگی یا صفت موردمطالعه در افراد جامعه، متغیر آماری است. انواع متغیرهای آماری عبارت‌اند از:

• متغیرهای کیفی (غیرعددی):
  • متغیر کیفی اسمی: ترتیب و اولویت خاصی بین حالات وجود ندارد، مانند گروه خونی، رنگ چشم، جنسیت.
  • متغیر کیفی ترتیبی: حالات دارای ترتیب طبیعی و منطقی هستند، مانند کیفیت کالاها (ضعیف، متوسط، خوب) یا مدرک تحصیلی.
• متغیرهای کمی (عددی):
  • متغیر کمی گسسته: مقادیر آن با شمارش به‌دست می‌آیند و معمولا اعداد صحیح هستند، مانند تعداد فرزندان، تعداد گل‌های زده‌ شده.
  • متغیر کمی پیوسته: مقادیر آن با اندازه‌گیری به‌دست می‌آیند و روی یک بازه قرار می‌گیرند، مانند قد، وزن، دمای هوا.

برای اینکه بتوانیم محاسبات آماری خود را با دقت بیشتری بررسی و تحلیل کنیم، نیازمند تعریف یک سری معیارهای مرکزگرا هستیم. در ادامه این پارامترهای مهم آماری معرفی شده‌اند:

• میانگین: حاصل‌جمع داده‌ها تقسیم بر تعداد آن‌ها است ($$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$$)
• میانه: عددی که نصف داده‌ها از آن کوچک‌تر و نصف دیگر از آن بزرگ‌تر هستند (پس از مرتب‌سازی داده‌ها از کوچک به بزرگ).
• نما (مد): داده‌ای که بیشترین فراوانی را در میان داده‌ها دارد.

در مورد میانه، اگر تعداد داده‌ها یا $$n$$ فرد باشد، داده وسطی میانه است و اگر تعداد داده‌ها زوج باشد، میانگین دو داده وسطی برابر با میانه می‌شود. در کنار این معیارها، بخش دیگری از پارامترهای مهم آماری، معیارهای پراکندگی هستند. برای مثال، دامنه تغییرات یا $$R$$ که برابر است با اختلاف بزرگ‌ترین داده ($$x_{\max}$$) و کوچک‌ترین داده ($$x_{\min}$$):

$$R = x_{\max} - x_{\min}$$

حل نمونه سوال ریاضی دهم فصل هفتم

در این بخش به حل و بررسی چند نمونه سوال ریاضی دهم با تمرکز بر مباحث آمار و احتمال خواهیم پرداخت. جدول زیر مروری است بر مهم‌ترین فرمول‌های این فصل:

مثال ۱

فضای نمونه‌ای آزمایش تصادفی «پرتاب یک سکه و یک تاس با هم» را تشکیل دهید و تعداد اعضای آن را بنویسید:

پاسخ

می‌دانیم سکه دارای $$2$$ حالت $$(R, P)$$ و تاس دارای $$6$$ حالت $$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ است. پس داریم:

$$n(S) = 2 \times 6 = 12$$

$$S = \{(R,1), (R,2), (R,3), (R,4), (R,5), (R,6), (P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6)\}$$

مثال ۲

در پرتاب دو تاس متمایز، چقدر احتمال دارد:

1. مجموع دو تاس برابر با $$8$$ شود؟
2. هر دو تاس عدد زوج بیاورند؟

پاسخ

می‌دانیم تعداد اعضای فضای نمونه پرتاب دو تاس عبارت‌اند از:

$$n(S) = 6^2 = 36$$

پس پیشامد $$A$$ یعنی پیشامدی که در آن مجموع برابر $$8$$ شود، خواهد شد:

$$A = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\} \implies n(A) = 5$$

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{36}$$

و پیشامد $$B$$ که در آن هر دو زوج باشند نیز به این صورت تعیین می‌شود که تاس اول $$3$$ حالت زوج $$\{2, 4, 6\}$$ و تاس دوم نیز $$3$$ حالت زوج دارد:

$$n(B) = 3 \times 3 = 9$$

$$P(B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$$

مثال ۳

در جعبه‌ای $$4$$ مهره سفید و $$6$$ مهره مهره سیاه وجود دارد. اگر $$3$$ مهره به تصادف از جعبه خارج کنیم، چقدر احتمال دارد حداقل یک مهره سفید باشد؟

پاسخ

تعداد کل مهره‌ها $$10$$ است. تعداد انتخاب $$3$$ مهره از $$10$$ مهره به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$n(S) = \binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

حالا با استفاده از اصل متمم و اینکه پیشامد $$A'$$ یعنی هیچ مهره‌ای سفید نباشد، یعنی هر $$3$$ مهره سیاه باشند، داریم:

$$n(A') = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$$

$$P(A') = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$$

در نهایت، محاسبه احتمال حداقل یک سفید نیز به این صورت انجام می‌شود:

$$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

مثال ۴

اگر برای دو پیشامد $$A$$ و $$B$$ داشته باشیم:

$$P(A) = 0.6$$

$$P(B) = 0.5$$

$$P(A \cap B) = 0.3$$

حاصل $$P(A \cup B)$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

طبق فرمول احتمال اجتماع داریم:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

$$P(A \cup B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8$$

مثال ۵

نوع هر یک از متغیرهای زیر را به طور دقیق مشخص کنید:

1. گروه خونی دانش‌آموزان
2. تعداد گل‌های زده‌ شده در یک مسابقه فوتبال
3. دمای هوای شهر تهران
4. رتبه‌بندی رضایت مشتریان (ضعیف، متوسط، عالی)

پاسخ

1. گروه خونی: کیفی اسمی
2. تعداد گل‌ها: کمی گسسته
3. دمای هوا: کمی پیوسته
4. رتبه‌بندی رضایت: کیفی ترتیبی

مثال ۶

برای داده‌های آماری زیر، معیارهای میانگین، میانه و نما (مد) را محاسبه کنید:

$$12, 15, 10, 18, 15, 20, 15$$

پاسخ

اولین قدم، مرتب‌سازی داده‌ها از کوچک به بزرگ است:

$$10, 12, 15, 15, 15, 18, 20$$

تعداد داده‌ها $$n = 7$$ فرد است. میانگین می‌شود:

$$\bar{x} = \frac{10 + 12 + 15 + 15 + 15 + 18 + 20}{7} = \frac{105}{7} = 15$$

در مورد میانه، چون $$n = 7$$ فرد است، پس داده چهارم یا وسطی برابر با میانه است، یعنی $$15$$. همچنین عدد $$15$$ با $$3$$ بار تکرار بیشترین فراوانی را دارد. پس نما یا مد هم می‌شود $$15$$.

آزمون سنجش یادگیری ریاضی دهم

در انتها با پاسخ‌دهی به سوالات چهار گزینه‌ای آزمون زیر می‌توانید میزان تسلط خود به مباحث کتاب ریاضی یک را بسنجید. برای دیدن نمره نهایی خود، کافی است روی بخش «دریافت نتیجه آزمون» کلیک کنید. پیشنهاد می‌کنیم پیش از شروع، به کمک مطلب «فرمول های ریاضی دهم تجربی در یک نگاه با مثال و تمرین» از مجله فرادرس یک مرور دوباره روی تمام فرمول‌ها داشته باشید تا بهتر بتوانید به این مجموعه نمونه سوال ریاضی دهم پاسخ دهید.