جمع و تفریق از عملگرهای پایه در ریاضی و حساب محسوب می‌شوند. برای اعداد حقیقی جمع و تفریق تعریف شده و به کار برده می‌شود. ولی زمانی که برای ساده کردن عبارت یا اعداد توان دار بخواهیم از جمع و تفریق استفاده کنیم، باید اطلاع داشته باشیم که برعکس ضرب و تقسیم، فقط اعداد توان دار یکسان و مشابه را می‌توان با هم جمع یا از هم تفریق کرد. در این متن به بررسی نحوه اجرای عملیات جمع و تفریق اعداد توان دار پرداخته و با ذکر چند مثال، نحوه کار را شرح خواهیم داد.

در دو مطلب دیگر از مجله فرادرس با عنوان اعداد توان دار — به زبان ساده و توضیح توان در ریاضیات — به زبان ساده چنین اعداد و عملیات قابل اجرا روی آن ها را به اختصار معرفی کردیم. البته توجه داشته باشید که مطالب نماد علمی چیست؟ — به زبان ساده و جذر چیست ؟ — محاسبه رادیکال به زبان ساده نیز مرتبط با اعداد تواندار هستند که به صورت خاصی نمایش داده می‌شوند.

جمع و تفریق اعداد توان دار

به یاد دارید که اعداد توان دار را به صورت یک عدد ترکیبی نمایش می‌دهیم که در آن، یک عدد در پایه و یک عدد در نما مشخص می‌شود. برای مثال $$2^3$$ یک عدد توان دار است که در آن عدد ۳ پایه و عدد ۲ توان یا نما نامیده می‌شود. در این متن می‌خواهیم با اصول و نحوه اجرای عملگرهای جمع و تفریق روی چنین اعدادی بحث کنیم. البته در نوشتارهای دیگر، قواعد مربوط به ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار را مورد اشاره قرار داده‌ایم که در اینجا هم برای ساده کردن بعضی از عبارت‌ها، از این قواعد نیز کمک خواهیم گرفت.

قاعده جمع و تفریق دو عدد توان دار

فرض کنید بخواهیم دو عدد توان دار را به شکل زیر با یکدیگر جمع کنیم.

$$ \large {\displaystyle x a^b , \;\; y a^b }$$

در عدد اول، $$x$$ ضریب، $$a$$ پایه و $$b$$ توان یا نما است. به همین ترتیب، در عدد دوم نیز $$y$$، مضرب و $$a$$ و $$b$$ به ترتیب پایه و توان هستند. واضح است که در اینجا $$a$$ در هر دو عدد برابر هستند. همین وضعیت را برای $$b$$ نیز در نظر می‌گیریم. در چنین حالتی، هر دو عدد را مشابه می‌گویند.

از آنجایی که توان و نمای چنین اعدادی، یکسان هستند و تفاوت فقط در ضرایب آن‌ها است، امکان اجرای عمل جمع و تفریق وجود دارد. بنابراین می‌توان گفت که فقط اعداد توان دار مشابه را می‌توان با هم جمع یا از هم تفریق کرد.

نکته: اگر ضرایب را کنار بگذاریم، هر دو عدد توان‌دار باید برابر بوده تا قابلیت جمع و تفریق را داشته باشند.

قاعده جمع و تفریق برای چنین اعدادی به صورت زیر نوشته خواهد شد.

$$ \large {\displaystyle x a^b  \; + \; y a^b = (x + y ) a^b }$$

$$ \large {\displaystyle x a^b  \; – \; y a^b = (x – y ) a^b }$$

و یا به طور کلی رابطه زیر را برای جمع و تفریق اعداد توان دار نوشت.

$$ \large {\displaystyle x a^b  \; \pm \; y a^b = (x \pm y ) a^b }$$

به مثال‌های زیر دقت کنید تا هم با اعداد توان دار مشابه آشنا شده و هم جمع و تفریق آن‌ها را بیاموزید.

$$ \large {\displaystyle 2 \times 3^4  \; + \; 5 \times  3^4 = ( 2 + 5  ) \times  3^4 = 7 \times 3^4 }$$

$$ \large {\displaystyle 2 \times 3^4  \; – \; 5 \times  3^4 = ( 2 – 5  ) \times  3^4 = -3 \times 3^4 }$$

$$ \large {\displaystyle 12 \times 5^{( -2)}  \; + \; 8 \times  5^{( -2)} = ( 12  + 8 ) \times  5^{( -2)} = 20 \times 5^{( -2)} }$$

$$ \large {\displaystyle 12 \times 5^{( -2)} \; – \; 8 \times  5^{( -2)} = ( 12  – 8 ) \times  5^{( -2)} = 4 \times 5^{( -2)} }$$

$$ \large {\displaystyle -2 \times 15^{( -4)}  \; + \; (-6) \times  15^{( -4)} = [ -2  + ( -6) ] \times  15^{( -4)} = -8 \times 15^{( -4)} }$$

$$ \large {\displaystyle -2 \times 15^{( -4)}  \; – \; (-6) \times  15^{( -4)} = [ -2  – ( -6) ] \times  15^{( -4)} = 4 \times 15^{( -4)} }$$

$$ \large {\displaystyle 3^4  +  3^4  + 3^4  + 3^4  + 3^4 = (5 ) \times  3^4 = 5 \times 81 = 405 }$$

مشخص است که در تساوی آخر، همه مضرب‌ها، برابر با ۱ بوده و چون ۵ بار، عمل جمع صورت گرفته، عدد توان دار در ۵ ضرب شده است.

جمع و تفریق اعداد توان دار

محاسبه و برنامه‌نویسی با رایانه‌ها و زبان‌های برنامه‌نویسی، یک سرگرمی شیرین و جذاب برای دانش‌آموزان و کسانی است که به برنامه‌نویسی علاقمند هستند. در آموزش زبان برنامه نویسی اسکرچ ۳، با یک محیط برنامه نویسی آشنا می‌شوید که هم جذاب بوده و هم مبانی اصلی برنامه‌نویسی در آن گنجانده شده. لینک دسترسی به این فیلم آموزشی در ادامه قرار گرفته است.

نکته: اگر دو عدد توان‌دار، مشابه نباشند، یعنی با پایه و نمای نابرابر نوشته شوند، ابتدا باید آن‌ها را به صورت عددی که توان آن محاسبه شده، تعیین کرد، سپس جمع و تفریق را انجام داد.

مثال‌هایی که در ادامه مشاهده می‌کنید، براساس اعداد توانداری نوشته شده که پایه و نمای یکسانی ندارند و مجبور هستیم که ابتدا عمل توان‌رساندن را اجرا کرده، سپس جمع یا تفریق را انجام دهیم.

$$ \large 2 \times 3^2  \; + \; 5 \times  3^4 =   2 \times 9 + 5 \times 81 =$$

$$\large 18 + 405  = 423 $$

$$ \large 2 \times 3^2  \; – \; 5 \times  3^4 =  2 \times 9 – 5 \times 81 = $$

$$\large 18 – 405 = 387 $$

$$ \large 12 \times 5^{( -2)}  \; + \; 8 \times  5^{( -3)} = 12 \times \dfrac{ 1}{ 25} + 8 \times \dfrac{ 1}{ 125} =$$

$$\large \dfrac{ 60}{ 125} + \dfrac{ 8}{ 125} = \dfrac{ 68}{ 125} $$

$$ \large 12 \times 3^{( -2)}  \; – \; 8 \times  2^{( -2)} = 12 \times \dfrac{ 1}{ 9} – 8 \times \dfrac{ 1}{ 4} = $$

$$\large \dfrac{ 4}{ 3} –  2 = \dfrac{ 4 – 6 }{ 3} = \dfrac{ -2}{ 3}  $$

$$ \large -2 \times 3^{ 4} \; + \; ( -5) \times  5^{( -4)} = -2 \times 81 + ( -5) \times \dfrac{ 1}{ 625} = $$

$$\large -162 – \dfrac{ 5}{ 625} = -162 – \dfrac{ 1}{ 125} = \dfrac{ -20250- 1 }{ 125} = \dfrac{ -20251 }{ 125}$$

بنابراین مشخص شد که فقط در زمانی جمع و تفریق اعداد توان دار امکان پذیر است که جملات توان‌دار کاملا مشابه بوده و فقط ضرایب این جمله‌ها متفاوت باشند. به این ترتیب جمع جبری ضرایب را نوشته و در یکی از عبارت‌های مشابه (عدد با توان و پایه برابر) ضرب می‌کنیم.

استفاده از فاکتورگیری در جمع و تفریق اعداد توان دار

در ادامه به موضوع فاکتورگیری می‌پردازیم که برای محاسبه و بدست آوردن حاصل جمع و تفریق اعداد توان دار مفید است. سعی داریم دسته‌ای از محاسبات جمع و تفریق برای اعداد توان دار را اجرا کنیم. واضح است که فاکتورگیری باعث سادگی محاسبات خواهد شد. البته مشخص است که عبارتی که از آن فاکتور گرفته‌ایم، همان عبارت‌های تواندار مشابه است.

$$ \large 12 \times 5^{( -2)} \; – \; 8 \times  5^{( -2)} \;  + 20 \times  5^{( -2)}   – 16 \times  5^{( -2)}  = $$

$$ \large ( 12  – 8 + 20 – 16) \times  5^{( -2)} = 8 \times 5^{ (-2)} $$

$$ \large -2 \times 15^{(-4)}  \; – \; ( -6) \times  15^{( -4)} + \; (2) \times  15^{( -4)} – \; (-8) \times  15^{( -4)}  = $$

$$\large [ -2  – (-6) + 2 – (- 8)  ] \times  15^{( -4)} = 14 \times 15^{( -4)} $$

معرفی فیلم آموزش زبان برنامه نویسی اسکرچ ۳ 

آموزش زبان برنامه نویسی اسکرچ فرادرس

آسان‌ترین روش شروع برنامه‌نویسی را می‌توان اسکرچ (Scratch) دانست، چرا که کدهای این زبان به صورت قطعه پازل‌های از پیش آماده‌ای طراحی شده‌اند که نیاز به حفظ کردن ندارد و با ایجاد تغییرات جزئی و چیدمان آن‌ها در جای درست، می‌توان کارهای بزرگی کرد. مفاهیم به کار رفته در این زبان برنامه‌نویسی در تمام زبان‌های قدرتمند برنامه‌نویسی دیگر مثل: پایتون (Python)، جاوا (Java) و… مشترک است. اسکرچ، زبان جدیدی است که توسط دانشگاه MIT برای یادگیری برنامه نویسی توسط کودکان و حتی بزرگسالانی که قصد شروع برنامه‌نویسی را دارند، طراحی شده است. با فراگیری اسکرچ، یادگیری دیگر زبان‌های برنامه‌نویسی بسیار آسان‌تر می‌شود و لازم به ذکر است که برای یادگیری این زبان، شما نیاز به هیچ پیش‌زمینه‌ای ندارید. هدف ما از این فرادرس، شروعی برای برداشتن گام‌های بزرگ در برنامه‌نویسی و یا علاقه‌مند کردن کودکان به دنیای کامپیوتر و ارتباط برقرار کردن با کامپیوتر است. در این فرادرس قصد داریم آخرین نسخه اسکرچ که به نسخه ۳ مشهور است را آموزش داده و پروژه‌های متنوعی ایجاد کنیم.

این آموزش شامل ده درس مختلف و متنوع است. درس یکم به آشنایی با اسکرچ و مزایای آن می‌پردازد. درس دوم به نحوه کار با Sprite و Backdrop پرداخته و شیوه ویرایش آن‌ها و متحرک سازی را معرفی می‌کند. درس سوم هم فراگیران را با انواع صوت و بخش Sounds در این زبان برنامه‌نویسی آشنا می‌سازد. همچنین در درس چهارم و  پنجم، ساختارهای برنامه‌نویسی مانند حلقه‌های تکرار و دستورات شرطی مورد توجه قرار می‌گیرد. درس ششم، کاربرد کدهای بخش Sensing و استفاده از آن‌ها را برای مولفه‌های زبان اسکرچ بازگو می‌کند. درس هفتم، اختصاص به تعریف متغیرها و کاربرد ساختارهای ذخیره‌سازی اطلاعات دارد. توابع و محاسبات ریاضی نیز در درس هشتم معرفی و به کار گرفته شده و درس نهم نیز نحوه ایجاد دو بازی مختلف و انیمیشن (بیسبال و تایکون) را آموزش می‌دهد. در درس دهم، آشنایی با بخش My Blocks صورت گرفته و توضیحات تکمیلی در زمینه برنامه نویسی اسکرچ ارائه می‌شود.

این آموزش برای همگی فراگیران، بخصوص دانش‌آموزان علاقمند به برنامه‌نویسی و حتی کسانی که به تازگی قصد فراگیری یک زبان برنامه‌نویسی را دارند، مفید است. زمان ارائه این آموزش، ۲ ساعت و ۵۷ دقیقه است.

خلاصه و جمع‌بندی

در نوشتارهای دیگر از مجله فرادرس به موضوع ضرب و تقسیم اعداد توان دار پرداخته‌ایم. در آنجا توضیح داده شد که چگونه جمله‌ها یا عبارت‌های با توان یا پایه‌های برابر را می‌توان در هم ضرب یا بر هم تقسیم کرد. ولی در این متن مشخص کردیم که جمع و تفریق اعداد توان دار فقط در حالتی که اعداد یکسان و مشابه بوده، یعنی توان‌ها و پایه‌های یکسان و برابر داشته باشند، امکان‌پذیر است و می‌توان به کمک فاکتورگیری هم عمل جمع و تفریق اعداد توان دار را اجرا کرد. در بخشی از مطلب نیز با ذکر مثال‌هایی، نحوه محاسبه جمع و تفریق اعداد توان دار را مورد بررسی قرار داده و نتایج را محاسبه و بدست آوردیم.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 1 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *