ریاضی , علوم پایه 37530 بازدید

در آموزش‌های قبلی از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، درباره تجزیه اعداد به عوامل اول بحث کردیم. بزرگترین مقسوم علیه مشترک یا ب م م و کوچکترین مضرب مشترک، از مباحث مهم و کاربردی برای تجزیه اعداد و ساده‌سازی کسرها هستند. در این آموزش، مفهوم «کوچکترین مضرب مشترک» (Least Common Multiple) یا ک م م یا LCM و نحوه محاسبه آن را بررسی می‌کنیم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

مضرب چیست؟

اگر عددی را در یک عدد غیرصفر دیگر مانند 1، 2، 3، 4، 5 و… ضرب کنیم، مضرب آن به دست می‌آید. برای مثال، مضارب اعداد ۴ و ۵ به‌صورت زیر هستند:

مضارب اعداد ۴ و ۵

مضرب مشترک چیست؟

مضرب مشترک دو یا چند عدد، مضاربی هستند که بین آن اعداد مشترک باشند. در قسمت قبل، مضارب اعداد ۴ و ۵ را نوشتیم. مضارب مشترک این دو عدد، در زیر مشخص شده‌اند:

مضارب مشترک اعداد ۴ و ۵

همان‌طور که می‌بینیم، اعداد ۲0، 40، 60 و… مضارب مشترک این دو عدد هستند.

کوچکترین مضرب مشترک چیست؟

ساده‌ترین راه برای محاسبه کوچکترین مضرب مشترک، نوشتن مضارب مشترک و انتخاب کوچکترین آن‌ها است. ک م م – همان‌گونه که از نامش پیداست – کوچکترین مضربی است که بین اعداد مورد نظر مشترک باشد. مثلاً برای اعداد ۴ و ۵ که در بالا به آن اشاره شد، اگر بخواهیم کوچکترین مضرب مشترک را از بین مضارب مشترک ۲0، 40، 60 و… تعیین کنیم، عدد 20 را در نظر می‌گیریم که از همه مضارب مشترک کوچکتر است.

روش اول یافتن ک م م

در روش اول برای یافتن کوچکترین مضرب مشترک چند عدد مختلف، ابتدا مضارب آن‌ها را از کوچک به بزرگ می‌نویسیم و اولین مضربی را که برای همه اعداد مشترک است، به‌ عنوان کوچکترین مضرب مشترک مشخص می‌کنیم.

مثال ۱

ابتدا با مثال ساده یافتن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد ۳ و ۵ شروع می‌کنیم. برای یافتن ک م م، مضارب هریک از این اعداد را می‌نویسیم:

  • مضارب عدد ۳، اعداد ۳، ۶، ۹، 12، 15، 18 و… هستند.
  • مضارب عدد 5، اعداد ۵، 10، 15، 20، 25 و… هستند.

از بین مضارب بالا، مضارب مشترک و کوچکترین آن‌ها را انتخاب می‌کنیم.

کوچکترین مضرب مشترک ۳ و ۵

بنابراین، عدد ۱۵ کوچکترین مضرب مشترک اعداد ۳ و ۵ است.

مثال ۲

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد ۴ و ۱۰ را به‌دست آورید.

مضارب هر دو عدد را به صورت زیر می‌نویسیم:

  • مضرب‌های ۴: ۴، 8، 12، 16، 20 و…
  • مضرب‌های 10: 10، 20، 30، 40 و…

همان‌طور که می‌بینیم، 20 اولین مضربی از دو عدد است که مشترک است.

کوچکترین مضرب مشترک ۴ و۱۰

بنابراین، کوچکترین مضرب مشترک اعداد 4 و 10، عدد 20 است.

مثال ۳

می‌خواهیم کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 6 و 15 را به دست آوریم. ابتدا مضارب هر دو عدد را به صورت زیر می‌نویسیم:

  • مضارب ۶: 6، 12، 18، 24، 30 و…
  • مضارب 15: 15، 30، 45، 60 و…

همان‌طور که می‌بینیم، اولین یا به عبارت بهتر، کوچکترین عددی که مضارب دو عدد در آن مشترک و برابر هستند، 30 است. بنابراین، ک م م دو عدد 6 و 15، عدد 30 است.

مثال ۴

در این مثال، به جای تعیین ک م م  دو عدد، می‌خواهیم ک م م سه عدد ۴، ۶ و ۸ را محاسبه کنیم. برای انجام این کار، دقیقاً مشابه حالتی عمل می‌کنیم که دو عدد داریم. مانند مثال‌های قبل، ابتدا مضارب سه عدد را می‌نویسیم:

  • مضارب عدد 4: ۴، 8، 12، 16، 20، 24، 28، 32، 36 و…
  • مضارب عدد 6: ۶، 12، 18، 24، 30، 36 و…
  • مضارب عدد 8: 8، 16، 24، 32، 40 و…

همان‌طور که می‌بینیم، عدد ۲۴، کوچکترین مضرب مشترک بین سه عدد است.

روش دوم یافتن ک م م

یک راه دیگر برای یافتن ک م م بین چند عدد، استفاده از عوامل اول آن‌ها است. در آموزش‌های قبلی، درباره تجزیه اعداد به عوامل اول بحث کردیم. برای درک بهتر روش دوم، آن را با یک مثال بیان می‌کنیم.

فرض کنید می‌خواهیم ک م م دو عدد ۱۲ و ۱۸ را به دست آوریم. در گام اول، دو عدد را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم:

۳ × 2 × 2 = 12

و

۳ × ۳ × 2 = ۱۸

عوامل اول را به گونه‌ای می‌چینیم تا آن‌هایی که برابر هستند به صورت عمودی با هم منطبق شوند:

        ۳ × 2 × 2 = 12

  ۳ × ۳      × 2 = ۱۸

اکنون عوامل اول هر ستون را می‌نویسیم و در یکدیگر ضرب می‌کنیم. توجه کنید که اگر عاملی در یک ستون چند بار تکرار شده باشد، آن را یک بار می‌نویسیم. بنابراین، داریم:

ک م م

برای بیش از دو عدد نیز به همین صورت عمل کرده و به سادگی، کوچکترین مضرب مشترک را محاسبه می‌کنیم.

مثال ۵

می‌خواهیم با استفاده از تجزیه به عوامل اول، ک م م دو عدد ۱۵ و ۱۸ را محاسبه کنیم.

با توجه به روشی که گفته شد، عوامل اول دو عدد را به صورت زیر نوشته و ک م م را به دست می‌آوریم:

ک م م

بنابرین، کوچکترین مضرب مشترک دو عدد ۱۵ و ۱۸، عدد ۹۰ است.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است و علاقه‌مند به یادگیری مباحث مشابه هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

مفهوم مضرب و مضرب مشترک

دانلود ویدیو

روش اول یافتن ک م م

دانلود ویدیو

روش دوم یافتن ک م م

دانلود ویدیو

telegram
twitter

سید سراج حمیدی

«سید سراج حمیدی» دانش‌آموخته مهندسی برق است. فعالیت‌های کاری و پژوهشی او در زمینه سیستم‌های فتوولتائیک و کاربردهای کنترل در قدرت بوده و، در حال حاضر، آموزش‌های مهندسی برق و ریاضیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 3 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

6 نظر در “ک م م یا کوچکترین مضرب مشترک چیست؟ — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *