ریاضی، علوم پایه ۱۳۱۴۰۱ بازدید

پیش‌تر در وبلاگ فرادرس نحوه حل معادلات درجه دوم را بیان کردیم. در این مطلب قصد داریم تا یک قدم به جلو‌تر رفته و روش حل معادله درجه ۳ را شرح دهیم.

فیلم آموزشی حل معادله درجه ۳

دانلود ویدیو

مقدمه

در مطلب معادلات درجه دوم، شکل عمومی یک معادله درجه ۲ و پاسخ مرتبط با آن را به‌صورت زیر بیان کردیم:

معادله درجه ۳

عبارت $$b^2-4ac$$ را دلتا ($$\Delta$$) نامیده و پاسخ‌های معادله متناسب با شرایط دلتا به‌صورت زیر پیدا شدند:

  1. اگر $$\Delta>0$$ باشد، معادله درجه ۲ دارای دو پاسخ حقیقی است.
  2. اگر $$\Delta=0$$ باشد، معادله دارای دو پاسخ مشابه (یا اصطلاحا ریشه مضاعف) است.
  3. اگر $$\Delta<0$$ باشد، معادله در اعداد حقیقی پاسخی نخواهد داشت.

مشابه با معادله درجه ۲،‌ به منظور حل معادله درجه ۳ نیز می‌توان پاسخی به‌صورت عمومی اما پیچیده‌تر بدست آورد. جالب است بدانید برای معادلات درجه ۴ و بالاتر نیز می‌توان روابط کلی ارائه داد، اما روابط مذکور بسیار پیچیده خواهند بود.

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

  • برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

معادله درجه ۳

جهت حل معادله درجه ۳ در ابتدا بایستی با قالب کلی این نوع از معادلات آشنا باشید. شکل عمومی یک معادله درجه ۳ به‌صورت زیر است.

معادله درجه ۳
رابطه ۱

در برخی از موارد ممکن است شکل اولیه‌ای از معادله درجه ۳ که با آن رو‌برو هستید، به‌صورت بالا نباشد. در این شرایط می‌توانید با ضرب و تقسیم کردن ضرایب، معادله را به‌شکل عمومی در آورید. برای نمونه معادله زیر را در نظر بگیرید.

$$\large 2x^3+4x^2+6x+5=0$$

همان‌طور که می‌بینید در معادله‌ی بالا ضریب x3 برابر با ۱ نیست؛ بنابراین شکل معادله برای حل، استاندارد نبوده و بایستی آن را به‌صورت استاندارد بیان کرد. در نتیجه تمامی ضرایب را به ضریب x3 تقسیم کرده و رابطه بالا را به‌صورت زیر می‌نویسیم.

$$\large x^3+2x^2+3x+2.5=0$$

با مقایسه معادله فوق با رابطه ۱ می‌بینیم که شکل معادله به‌صورت استاندارد در آمده است. در نتیجه ضرایب a,b,c برابرند با:

$$\large a=2 \enspace , b=3 \enspace , c=2.5$$

حال با یادگیری شکل استاندارد یک معادله، زمان آن فرا رسیده تا مراحل حل معادله درجه ۳ را توضیح دهیم.

قدم اول

با توجه به ثابت‌های a,b,c، ضرایبی تحت عنوان p و q را به‌صورت زیر بدست آورید.

معادله درجه ۳

پس از محاسبه‌ی p و q مقدار مشخصه (همان دلتای معادله درجه ۳) را با استفاده از فرمول زیر بدست آورید.

قدم دوم

پس از محاسبه‌ی Δ، سه حالت‌ برای آن وجود خواهد داشت. در هریک از این حالات پاسخ x به شکلی متفاوت خواهد بود که در زیر بیان شده است.

حالت اول: $$\Delta>0$$

اگر $$\Delta>0$$ باشد، تنها یک پاسخ حقیقی برای معادله وجود خواهد داشت که مقدار آن برابر است با:

Cube-equation

حالت دوم: $$\Delta=0$$

در این حالت معادله دارای سه ریشه خواهد بود. اما دو ریشه با هم برابر هستند (به عبارت دیگر یک ریشه مضاعف در این حالت وجود دارد). مقدار این سه‌ ریشه برابر است با:

معادله درجه ۳

حالت سوم: $$\Delta<0$$

در این حالت، معادله‌ی درجه ۳ دارای سه پاسخ متفاوت خواهد بود که در ادامه ذکر شده است.

Cube-equation

نهایتا با استفاده از دو قدم بیان شده در بالا به یکی از حالات دلتا رسیده و می‌توانید پاسخ معادله را بیابید. در ادامه جهت تسلط به روش مذکور، مثال‌هایی ارائه شده است.

مثال ۱

تمامی پاسخ‌های حقیقی معادله زیر را بیابید.

Cube-equation

پاسخ: با توجه به معادله‌ی فوق، مقادیر a,b,c برابرند با:

$$\large a=-\sqrt{3},b=-2,c=2\sqrt{3}$$

با مشخص کردن ضرایب a,b,c مقادیر p و q برابرند با:

Cube-equation

بنابراین دلتا (Δ) برابر است با:

معادله درجه ۳

مقدار دلتای بدست آمده منفی است؛‌ در نتیجه معادله دارای سه پاسخ متفاوت خواهد بود. این پاسخ‌ها برابرند با:

حل معادله درجه ۳

که به ترتیب، همان $$\sqrt{2}$$، $$-\sqrt{2}$$ و $$\sqrt{3}$$ هستند. ظاهر روابط بالا پیچیده به‌نظر می‌رسد، اما این روابط تنها محاسبه سینوس و کسینوس یک زاویه هستند!

مثال ۲

تمامی پاسخ‌های حقیقی معادله‌ی زیر را بیابید.

Cube-equation

پاسخ: با توجه به معادله‌ی فوق a=-4,b=5,c=-2 هستند. در نتیجه مقادیر p و q برابرند با:

Cube-equation

در نتیجه مقدار Δ نیز برابر است با:

Cube-equation

مقدار Δ=۰ است؛ بنابراین یکی از پاسخ‌های معادله تکرار خواهد شد. این پاسخ‌ها برابرند با:

Cube-equation

پاسخ‌های مختلف x نشان می‌دهد که برخلاف معادله درجه ۲،‌ معادله درجه ۳ همواره دارای حداقل یک پاسخ حقیقی است. همان‌طور که پیش‌تر نیز بیان شد، ریشه‌های یک معادله در حقیقت محل برخورد نمودار با محور‌ x هستند. در مواردی که یک نمودار به محور x مماس شود، ریشه تکرار می‌شود. در شکل زیر سه حالت متفاوتی که در آن معادله‌ای درجه ۳ محور xها را قطع کرده، نشان داده شده است.

cubic-equation

نمودار سمت راست متناسب با مثال ۱ است؛ چراکه نمودارِ نشان داده شده در سه نقطه متفاوت محور x را قطع می‌کند. در نتیجه نمودار سمت راست نشان دهنده‌ی معادله‌ای است که دارای سه پاسخ متفاوت است. نمودار وسط نیز مشابه با مثال ۲ است؛ چرا که محور xها را در دو نقطه قطع کرده و در یکی از نقاط نیز به نمودار مماس شده است. بنابراین نمودار وسط معادله‌ای را نشان می‌دهد که دارای دو ریشه مشابه و یک ریشه متفاوت است.

معرفی فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی

آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی

یکی از آموزش‌های ویدیویی دوره دبیرستان فرادرس، «آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی» است که به طور ویژه مربوط به دانش‌آموزان رشته علوم انسانی است. این آموزش ویدیویی در قالب چهار درس و در زمان ۶ ساعت و ۱۹ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم، معادله درجه دوم مورد بحث قرار گرفته که شامل مطالب اصلی درس، نکات مهم و مثال‌های حل شده است. در درس دوم، موضوع مهم تابع ارائه شده و در آن، به موارد مهمی از قبیل تعریف ضابطه و تابع، رسم آن، دامنه و برد تابع و… پرداخته شده است. کار با داده‌های آماری موضوع درس سوم است. در نهایت، در درس چهارم به طور کامل، مطالب کتاب درسی درباره نمایش داده‌ها ارائه شده است.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزش‌هایی که برای آشنایی بیشتر با مبحث اتحاد و تجزیه می‌توانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفته‌اند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شده‌اند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شده‌اند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفته‌اند.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه‌ی ریاضیات، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۱۰۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

11 نظر در “حل معادله درجه ۳ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

مشاهده بیشتر