اعداد در ریاضیات می‌توانند الگوهای جالبی داشته باشند. این الگوها، شامل دنباله‌های حسابی، هندسی، فیبوناچی و اعداد مثلثی هستند. در این مطلب ما الگوها و دنباله‌های متداول عددی و نحوه تشکیل آنها را مورد بررسی قرار می‌دهیم. حاصل جمع یک دنباله یک سری را تشکیل می‌دهد که می‌تواند همگرا یا واگرا باشد.

فیلم آموزش الگوها و دنباله های متداول عددی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

دانلود ویدیو

دنباله‌های متداول عددی

دنباله‌های حسابی

یک «دنباله (تصاعد) حسابی (عددی)» (Arithmetic Sequence) از جمع عددی ثابت در هر مرحله به‌دست می‌آید. این عدد ثابت می‌تواند از مجموعه اعداد حقیقی انتخاب شود.

مثال ۱

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, …

در این دنباله، اختلاف هر دو عدد متوالی برابر با ۳ است. در واقع هر عدد این دنباله به اندازه ۳ واحد از عدد قبلی خود بیشتر و به اندازه ۳ واحد از عدد بعدی خود کمتر است.

این الگو با اضافه کردن 3، هر بار به آخرین عدد دنباله ادامه می‌یابد. این موضوع در شکل زیر به تصویر کشیده شده است.

دنباله‌های متداول

مثال 2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, …

در این دنباله، اعداد نسبت به هم 5 عدد اختلاف دارند.

این الگو با اضافه کردن عدد 5، هر بار به آخرین عدد دنباله ادامه می‌یابد. این الگو در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.

دنباله‌های متداول

مقدار اضافه شده در هر مرحله را «قدر نسبت« (Common Difference) می‌نامند. این مقدار، قدر نسبت حسابی نیز نامیده می‌شود.

برای مثال، قدر نسبت در مجموعه اعداد زیر چند است؟

19, 27, 35, 43, …

این بار پاسخ را شما بگویید!

توجه کنید که قدر نسبت می‌تواند منفی باشد. مثال زیر به بیان این موضوع پرداخته است.

مثال 3

25, 23, 21, 19, 17, 15, …

همانطور که مشاهده می‌شود، در این مثال قدر نسبت برابر با 2- است.

این الگو همچنان با تفریق 2 در هر مرحله از آخرین عدد دنباله ادامه می‌یابد، مانند:

دنباله‌های متداول

برای تمرین، دنباله حسابی بنویسید که از 1 شروع شود و قدر نسبت آن برابر با قدر مطلق قدر نسبت مثال 3 باشد (توجه شود که قدر مطلق عدد 2- برابر 2 است). مشاهده می‌شود که دنباله حسابی شما، دقیقا معکوس مثال ۳ است.

دنباله‌های هندسی

یکی دیگر از دنباله‌های متداول عددی، دنباله هندسی است که آن را تصاعد هندسی نیز می‌نامند. یک دنباله هندسی با ضرب یک عدد در هر مرحله تشکیل می‌شود. این موضوع در مثال زیر به صورت کامل بررسی شده است.

مثال 1

1, 3, 9, 27, 81, 243, …

با دقت به دنباله بالا متوجه می‌شویم که این دنباله، یک ضریب 3 بین هر دو عدد متوالی خود دارد. در واقع اگر هر عدد این دنباله را در ۳ ضرب کنیم، عدد بعدی به‌دست می‌آید. این موضوع در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.

دنباله‌های متداول

عددی که در هر مرحله ضرب می‌کنیم، قدر نسبت یا قدر نسبت هندسی نامیده می‌شود.

در مثال قبلی، قدر نسبت هندسی برابر با 3 بود.

توجه شود که برای نوشتن یک تصاعد هندسی، می‌توانیم با هر عدد دلخواهی، دنباله را شروع کنیم:

مثال 2

تصاعد هندسی بنویسید که قدر نسبت آن 3 است و با عدد ۲ شروع می‌شود.

2, 6, 18, 54, 162, 486, …

قدر نسبت این دنباله، مانند مثال قبل، مقداری برابر با 3 دارد، اما این بار، این دنباله با 2 شروع شده است.

دنباله‌های متداول

مثال 3

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …

این دنباله با عدد 1 شروع می‌شود و دارای قدر نسبت 2 است. هر مرحله از این دنباله، با ضرب مرحله قبل در عدد ۲ به‌دست می‌آید. این موضوع در شکل زیر نشان داده شده است.

دنباله‌های متداول

توجه شود که قدر نسبت می‌تواند کمتر از 1 نیز باشد. مثال زیر به بررسی این موضوع می‌پردازد.

مثال 4

10, 5, 2.5, 1.25, 0.625, 0.3125, …

این دنباله با 10 شروع شده و قدر نسبت آن برابر با 0.5 است.

این الگو با ضرب اعداد در 0.5 در هر مرحله ادامه می‌یابد. در واقع هر عدد در این الگو، با ضرب عدد قبلی در 0.5 به‌دست می‌آید.

نکته بسیار مهمی که باید به آن توجه کرد این است که قدر نسبت نمی‌تواند برابر با صفر باشد. در صورت صفر بودن قدر نسبت هندسی، دنباله‌ای مانند دنباله زیر خواهیم داشت!

1, 0, 0, 0, 0, 0, …

دنباله‌های ویژه

علاوه بر دنباله‌های هندسی و حسابی که در قسمت‌های قبل بیان شدند، دنباله‌های متداول عددی جذاب و کاربردی دیگری نیز در ریاضیات موجود هستند. این بخش به بررسی این دنباله‌ها می‌پردازد.

دنباله اعداد مثلثی

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …

دنباله مثلثی اعداد، با استفاده از الگوی نقاطی تشکیل می‌شود که یک مثلث را تشکیل می‌دهند. در هر مرحله از این دنباله، یک ردیف به نقاط مثلث اضافه می‌شود و با شمارش تعداد نقاط مثلث جدید، می‌توانیم عدد بعدی دنباله را به‌دست بیاوریم. شکل زیر به بررسی شیوه محاسبه این دنباله می‌پردازد.

دنباله‌های متداول

اعداد مربع

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, …

اعداد دنباله بالا، مربع اعداد صحیح را نمایش می‌دهند و به آن الگوی مربعی می‌گویند. روابط زیر به بررسی شیوه محاسبه دنباله بالا می‌پردازند.

0 -> ( = 0 × 0 )

1 -> ( = 1 × 1 )

4 -> ( = 2 × 2 )

9 -> ( = 3 × 3 )

16 -> ( = 4 × 4 )

و …

اعداد مکعب

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, …

این دنباله اعداد، مکعب تمامی اعداد طبیعی را نشان می‌دهد (توجه شود که اعداد طبیعی از یک شروع می‌شوند).

1 -> ( = 1 × 1 × 1)

8 -> ( = 2 × 2 × 2)

27 -> ( = 3 × 3 × 3)

64 -> ( = 4 × 4 × 4)

و …

اعداد فیبوناچی

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

دنباله فیبوناچی با جمع دو عدد پیشین در هر مرحله به‌دست می‌آید. برای مثال، عدد 2 با جمع دو عدد پیشین خود محاسبه شده (1 + 1 = 2) و عدد 21 این دنباله با جمع دو عدد پیشین خود به‌دست آمده است (13 + 8 = 21).

عدد بعدی این دنباله یعنی عدد بعد از 34 برابر با 55 خواهد بود (34 + 21 = 55).

می توانید اعداد بعدی را نیز حساب کنید؟

سایر دنباله‌ها

توجه کنید که در ریاضیات، دنباله‌های بسیار زیادی وجود دارند و شما حتی می‌توانید برای خود یک دنباله درست کنید! البته در آینده در مورد سری‌های بینهایت نیز صحبت خواهد شد.

در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای 471 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

50 نظر در “الگوها و دنباله های متداول عددی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

برچسب‌ها