مقایسه کسرها — آموزش ریاضی به زبان ساده + مثال و تمرین

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با کسرها و جمع و ضرب و تقسیم آن‌ها آشنا شدیم. در این آموزش، با روش مقایسه کسرها آشنا می‌شویم و مثال‌های متنوعی را حل خواهیم کرد.

مقایسه کسرها به معنای تعیین کسر بزرگ‌تر و کوچک‌تر بین دو یا چند کسر است. از آنجا که کسرها از دو بخش صورت و مخرج تشکیل شده‌اند، می‌توان آن‌ها را با استفاده از مجموعه‌ای از قوانین مقایسه کرد. در ادامه، درباره این مو درباره مقایسه کسرها بیشتر بیاموزیم.

کسر چیست؟

قبل از بررسی مفهوم مقایسه کسرها، بهتر است مفاهیم مربوط به کسرها و ویژگی‌های آن‌ها را مرور کنیم. کسر یک نسبت و جزئی از یک کل است و از دو قسمت صورت و مخرج تشکیل شده است. در واقع، کسرها اعدادی هستند که با تقسیم تعریف می‌شوند و برای نشان دادن هر تعداد از قسمت‌های مساوی یک چیز به‌کار می‌روند. آن‌ها اعدادی حقیقی به‌فرم $$\frac p  q $$ هستند که در آن‌ها $$ p $$ و $$ q $$ اعدادی صحیح‌اند. عدد $$p$$ صورت کسر و عدد $$ q$$  مخرج کسر نامیده می‌شود. بنابراین، در کسر $$ \frac 23$$ عدد ۲ صورت و عدد ۳ مخرج کسر است و آن را «دو سوم» می‌خوانیم.

در گام‌های زیر می‌توان برای کسر $$ \frac 23 $$ یک شکل رسم کرد.

۱. ابتدا کل شکل که ۱ واحد است را رسم می‌کنیم.

۲. این یک واحد را طبق مخرج (عدد ۳) به سه قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم (یعنی $$\frac 13 $$).

۳. به‌اندازه عدد صورت، یعنی ۲، را رنگ می‌زنیم و به کسر $$ \frac 23 $$ می‌رسیم.

کسرها را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد:

• کسرهای سره که در آن‌ها صورت از مخرج کوچک‌تر است، مثل $$ \frac 45 $$
• کسرهای ناسره که در آن‌ها صورت کسر از مخرج آن بزرگ‌تر است، مانند $$ \frac 7 4 $$.
• عدد مخلوط که بخشی از آن یک عدد صحیح و بخشی از آن یک کسر است. بخش کسری این عدد همواره یک کسر سره است.

برای آشنایی با اعداد مخلوط، می‌توانید به آموزش «عدد مخلوط چیست و به چه اعدادی می گویند؟ — به زبان ساده» از مجله فرادرس مراجعه کنید.

فیلم آموزش خلاقیت و هوش مالی کودکان و نوجوانان در فرادرس

کلیک کنید

مقایسه کسر چیست؟

منظور از مقایسه کسرها، در واقع، این موضوع است که تعیین کنیم که از بین دو یا چند کسر کدم‌یک بزرگ‌تر و کدام‌یک کوچک‌تر است و کدام کسرها با هم برابر هستند. مقایسه کسرها شامل مجموعه‌ای از قوانین مربوط به صورت و مخرج است. همان‌طور که گفتیم، هنگامی که دو کسر با هم مقایسه می‌شوند، درواقع، کسر بزرگ‌تر و کوچک‌تر را تعیین می‌کنیم. البته ممکن است دو کسر مساوی باشند. در زندگی روزمره بسیار پیش می‌آید که کسرها را مقایسه کنیم. به عنوان مثال، زمانی که نیاز به مقایسه نسبت مواد در حین دستور غذایی یا مقایسه نمرات امتحانات و غیره داریم، باید کسرها را با هم مقایسه کنیم.

در ادامه، روش‌های مختلف مقایسه کسرها را مرور می‌کنیم. برای مقایسه کسرها راه‌های متفاوتی وجود دارد که در همه آن‌ها صورت‌ها و مخرج‌های دو کسر دخیل هستند. روش‌های مقایسه کسرها معمولاً به دسته‌هایی تقسیم می‌شوند که در ادامه هریک را توضیح خواهیم داد.

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

• برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

مقایسه کسرها با مخرج مساوی

در مقایسه کسرها با مخرج یکسان، تعیین کسر بزرگ‌تر یا کوچک‌تر یا مساوی آسان‌تر است. پس از بررسی یکسان بودن مخرج‌ها، می‌توانیم به‌سادگی صورت‌های آن‌ها را مقایسه کنیم. کسری با صورت بزرگ‌تر، بزرگ‌تر است. همچنین، وقتی مخرج‌های دو کسر برابر باشند، اگر صورت یکی کوچک‌تر از دیگری باشد، آن کسر کوچک‌تر است. اگر هم صورت و مخرج دو کسر مساوی باشند، کسرها نیز برابر هستند. به عنوان مثال، دو کسر $$\frac 6 {17}$$ و $$\frac {16}{17}$$ را با هم مقایسه می‌کنیم.

• گام ۱: مخرج کسرهای داده‌شده را مشاهده می‌کنیم. می‌بینیم که مخرج هر دو کسر برابر با ۱۷ است. بنابراین، مخرج‌ها مساوی هستند و برای مقایسه باید سراغ صورت‌ها برویم.
• گام ۲: اکنون، صورت‌ها را با هم مقایسه می‌کنیم. می‌بینیم که ببینیم که $$16$$ از $$6$$ بزرگ‌تر است. یعنی $$16>6$$.
• گام ۳: کسری با صورت بزرگ‌تر کسر بزرگ‌تر است. بنابراین، $$\frac {16}{17}>\frac 6 {17}$$.

مقایسه کسرها با مخرج متفاوت

برای مقایسه کسرها با مخرج‌های غیرمشابه، باید آن‌ها را به کسرهایی با مخرج‌ مساوی تبدیل کنیم. برای این کار، باید مخرج مشترک بگیریم. برای گرفتن مخرج مشترک نیز باید کوچک‌ترین مضرب مشترک یا ک.م.م. دو مخرج را پیدا کنیم. وقتی مخرج‌ها را برابر کردیم، می‌توانیم کسرها را به‌راحتی با هم مقایسه کنیم.

در این آموزش، روش برابر کردن دو مخرج را بیان می‌کنیم. اگر می‌خواهید با مخرج مشترک گرفتن و نحوه به‌دست آوردن ک.م.م. بیشتر آشنا شوید، به آموزش‌های «مخرج مشترک چیست، چگونه مخرج مشترک بگیریم؟ — به زبان ساده» و «ک م م یا کوچکترین مضرب مشترک چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» از مجله فرادرس مراجعه کنید.

به‌عنوان مثال، دو کسر $$\frac 12 $$ و $$ \frac 25 $$ را با هم مقایسه می‌کنیم. بدین منظور، گام‌های زیر را طی می‌کنیم.

گام ۱: ابتدا مخرج کسرهای داده‌شده را مشاهده می‌کنیم. می‌بینیم که این دو مخرج اعداد $$2$$ و $$5$$ هستند و برابر نیز نیستند و متفاوت‌اند. بنابراین، باید دو کسر را به‌گونه‌ای بازنویسی کنیم که مخرج آن‌ها برابر شود. بدین منظور، باید ک.م.م. دو عدد را پیدا کنیم.

گام ۲: اکنون ک.م.م. را پیدا می‌کنیم. ک. م. م. دو عدد $$10$$ است که کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد است. حال باید صورت و مخرج کسر را در عددهای مناسبی ضرب کنیم تا مخرج‌ها برابر با ک.م.م. و یکسان شوند.

ابتدا، صورت و مخرج کسر نخست را در عدد ۵ ضرب می‌کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ \frac 12 = \frac {1 \times 5 }{2 \times 5} = \frac {5 }{10}$$

اکنون، صورت و مخرج کسر دوم را در ۲ ضرب می‌کنیم:

$$ \frac 25 = \frac { 2 \times 2 }{5 \times 2} = \frac {4 }{10}$$

گام ۳: اکنون دو کسر $$\frac 5 {10} $$ و $$\frac 4 {10} $$ داریم که مخرج‌های آن‌ها برابر است. از آنجا که مخرج‌ها یکسان هستند، صورت‌ها را با هم مقایسه می‌کنیم و می‌بینیم که $$5$$ بزرگ‌تر از $$4$$ است.

گام ۴: کسری با صورت بزرگ‌تر، کسر بزرگ‌تر است، یعنی $$\frac 5 { 10} $$ بزرگ‌تر از $$ \frac 4 {10} $$ است. بنابراین، می‌توان چنین نتیجه گرفت که $$ \frac 12 $$ بزرگ‌تر از $$ \frac 25 $$ است و این‌‌گونه نوشت:

$$ \frac 12 > \frac 25 $$

مقایسه کسرها با صورت مساوی

لازم به ذکر است که اگر مخرج‌ها متفاوت باشند و صورت‌ها یکسان باشند، به‌راحتی می‌توان با مشاهده مخرج‌ها کسرها را با هم مقایسه کرد. در اینجا با چیزی عکس حالت برابر بودن مخرج‌‌ها مواجه هستیم. بدین شکل که کسری بزرگ‌تر است که مخرج آن کوچک‌تر باشد. همچنین، کسری کوچک‌تر است که مخرج آن بزرگ‌تر باشد. برای مثال، $$ \frac 23 $$ بزرگ‌تر از $$ \frac 26 $$ است.

فیلم آموزش نقاشی – ویژه کودکان در فرادرس

کلیک کنید

مقایسه کسرها با شکل

برای تجسم کسرهای بزرگ‌تر و کوچک‌تر می‌توانیم از روش‌ها و مدل‌های گرافیکی مختلف استفاده کنیم. به تصویر زیر توجه کنید که شکل‌های الف و ب را نشان می‌دهد که دو کسر را نمایش داده‌اند. به‌راحتی می‌توانیم بگوییم که $$\frac 4 8 < \frac 4 6 $$ است، زیرا $$\frac 46 $$ ناحیه رنگ شده بزرگ‌تری نسبت به $$ \frac 48 $$ دارد. توجه داشته باشید که کسر کوچک‌تر مساحت کمتری از همان شکل را اشغال می‌کند. نکته‌ای که در اینجا باید مورد توجه قرار گیرد این است که اندازه شکل‌های الف و ب باید دقیقاً یکسان باشد تا مقایسه قسمت‌های رنگ شده معتبر باشد.

اگر به دو کسر دقت کنیم، صورت آن‌ها برابر است. بنابراین، مطابق آنچه در بخش مقایسه کسرها با صورت مساوی گفتیم، چون مخرج کسر $$ \frac 48 $$ بزرگ‌تر است، بنابراین این کسر کوچک‌تر است.

مقایسه دو کسر منفی

مقایسه کسرهای منفی کار آسانی است. کافی است بدانیم که چگونه دو کسر مثبت با هم مقایسه می‌شوند. همان‌طور که می‌دانیم، عدد $$-2$$ بزرگ‌تر از $$-5$$ است. بنابراین، اگر دو عدد منفی را مقایسه کنیم، آن عددی بزرگ‌تر است که قدرمطلق آن کوچک‌تر باشد. اعداد کسری نیز از این قاعده مستثنا نیستند.

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم دو کسر منفی $$ -\frac 12 $$ و $$ -\frac 1 5 $$ را با هم مقایسه کنیم. در گا‌م‌های زیر این موضوع را شرح می‌دهیم.

گام ۱: ابتدا قدرمطلق دو کسر را می‌نویسیم. قدرمطلق دو عدد $$ \frac 12 $$ و $$ \frac 15 $$ است.

گام ۲: اکنون قدرمطلق دو کسر را با هم مقایسه می‌کنیم. با توجه به اینکه دو صورت برابر هستند، باید مخرج‌ها را مقایسه کنیم. با توجه به اینکه $$ 5$$ بزرگ‌تر از $$2$$ است، پس نتیجه می‌گیریم که $$ \frac 15 $$ کوچک‌تر از $$ \frac 12 $$ است یا $$ \frac 15 < \frac 12 $$.

گام ۳: رابطه‌ای که برای قدرمطلق دو عدد به‌ آن رسیدیم، برای خود آن دو عدد منفی برعکس است. یعنی اگر $$ \frac 15 $$ کوچک‌تر از $$\frac 12 $$ باشد، آنگاه $$ - \frac 15 $$ بزرگ‌تر از $$ -\frac 12 $$ است.

گام ۴: بنابراین، نتیجه مقایسه $$ - \frac 12 < - \frac 15 $$.

مقایسه دو کسر با محور

برای مقایسه کسرها روی محور، کافی است آن‌ها را روی محور اعداد رسم کنیم، سپس ببینیم وضعیت آن‌ها نسبت به هم چگونه است. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم دو عدد کسری $$ \frac 45 $$ و $$ \frac 4 {10} $$ را با هم مقایسه کنیم. برای این منظور، کافی است دو عدد را روی محور مشخص کنیم و ببینیم از نظر ظاهری کدام‌یک بزرگ‌تر است. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینیم، $$\frac 45 $$ بزرگ‌تر است و اگر آن‌ها را روی یک محور رسم کنیم، این نقطه در سمت راست قرار می‌گیرد که نشان‌دهنده بزرگ‌تر بودن آن است.

روش اعشاری مقایسه کسرها

در این روش مقادیر اعشاری کسرها را با هم مقایسه می‌کنیم. برای این کار، صورت بر مخرج تقسیم می‌شود و عدد کسری به عدد اعشاری تبدیل می‌شود. سپس، مقادیر اعشاری با هم مقایسه می‌شوند. به عنوان مثال، فرض کنید می‌خواهیم دو عدد $$\frac 45 $$ و $$\frac 68 $$ را با هم مقایسه کنیم. بدین منظور، گام‌های زیر را طی می‌کنیم.

گام ۱: ابتدا دو کسر را به اعشار تبدیل می‌کنیم. برای آشنایی بیشتر با تبدیل کسر به اعشار، به آموزش «تبدیل کسر به اعشار — به زبان ساده + حل تمرین و مثال» از مجله فرادرس مراجعه کنید. کسر $$ \frac 45$$ معادل عدد اعشاری $$0.8$$ است. همچنین، کسر $$ \frac 68 $$ معادل عدد اعشاری $$0.75$$ است.

گام ۲: اعداد اعشاری را مقایسه می‌کنیم. می‌بینیم که $$ 0.8 > 0.75 $$ است.

گام ۳: کسری که عدد اعشاری معادلش از عدد اعشاری معادل کسر دیگر بزرگ‌تر باشد، بزرگ‌تر است. بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت که $$ \frac 45 > \frac 68 $$.

مقایسه کسرها با ضرب متقاطع

برای مقایسه کسرها با استفاده از ضرب متقاطع، صورت یک کسر را در مخرج کسر دیگر ضرب می‌کنیم. این روش را با کمک یک مثال توضیح می‌دهیم. فرض کنید می‌خواهیم دو کسر $$\frac 12 $$ و $$ \frac 34 $$ را مقایسه کنیم. به شکل زیر توجه کنید که این موضوع را بهتر توضیح می دهد.

گام ۱: وقتی کسرهای داده‌شده را به‌صورت متقاطع ضرب می‌کنیم تا آن‌ها را با هم مقایسه کنیم، باید در نظر داشته باشیم که اگر صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب می‌کنیم، باید حاصلضرب را در کنار کسر اول بنویسیم. در اینجا $$1\times 4 = 4 $$، و ما $$4$$ را در کنار کسر اول می‌نویسیم

گام ۲: به همین ترتیب، هنگامی که صورت کسر دوم را در مخرج کسر اول ضرب می‌کنیم، باید حاصل‌ضرب را در کنار کسر دوم بنویسیم. در اینجا $$3\times 2 = 6 $$، و $$6$$ را نزدیک کسر دوم می‌نویسیم.

گام ۳: اکنون، دو حاصل‌ضرب $$4$$ و $$6$$ را با هم مقایسه می‌کنیم. از آنجا که $$4<6$$، کسرهای مربوطه را می‌توان به‌راحتی مقایسه کرد، یعنی $$\frac 12 < \frac 3 4 $$. بنابراین، $$\frac 12 < \frac 3 4 $$.

مثال‌های مقایسه کسرها

در این بخش، مثال‌هایی را از مقایسه کسرها بررسی می‌کنیم.

مثال اول

دو کسر $$ \frac 7 8 $$ و $$\frac 88 $$ را مقایسه کنید.

جواب: می‌بینیم که مخرج دو کسر با هم برابر است. بنابراین، برای مقایسه دو کسر کافی است صورت‌ها را با هم مقایسه کنیم. چون $$ 7 $$ کوچک‌تر از $$8$$ است، بنابراین، کسر $$ \frac 78 $$ کوچک‌تر از $$ \frac 88 $$ است و می‌توان نوشت:

$$ \frac 7 8 < \frac 88 $$

مثال دوم

دو عدد $$ 5 \frac 23 $$ و $$ \frac {17} 4 $$ را مقایسه کنید.

جواب: ابتدا دو عدد مخلوط را به کسر تبدیل می‌کنیم:

$$5 \frac 23 = \frac { (5 \times 3 )+2}{3}=\frac {15+2}{3} = \frac { 17 } 3 $$

اکنون دو کسر $$ \frac {17} 3 $$ و $$ \frac {17} 4 $$ را باید مقایسه کنیم. می‌بینیم که دو کسر صورت یکسانی دارند. بنابراین، باید مخرج‌های آن‌ها را مقایسه کنیم. چون مخرج کسر $$ \frac { 1 7 } 4 $$ بزرگ‌تر است، پس این کسر کوچک‌تر از کسر $$ \frac {17} 3 $$ خواهد بود، یعنی $$ \frac {17} 4 < \frac {17} 3 $$. در نتیجه، می‌توان نوشت:

$$ \frac { 17 } 4 < 5 \frac 23 $$

مثال سوم

دو کسر $$ - \frac 3 {20} $$ و $$ \frac 4 {20} $$ را مقایسه کنید.

جواب: عدد منفی همواره از عدد مثبت کوچک‌تر است و نیازی به کار اضافه‌ای نیست. بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ - \frac 3 { 20 } < \frac 4 { 20} $$

مثال چهارم

دو کسر $$\frac 3 4 $$ و $$ \frac 45 $$‌ را مقایسه کنید.

جواب: همان‌طور که می‌بینیم، نه مخرج‌ها و نه صورت‌ها با هم مساوی هستند. بنابراین، باید کاری کنیم که مخرج دو کسر برابر شود تا مقایسه را به‌آسانی انجام دهیم. بدین منظور، بین دو کسر مخرج مشترک می‌گیریم. ب.م.م. دو عدد $$ 4 $$ و $$ 5$$، عدد $$20$$ است. بنابراین، به‌شکل زیر دو کسر را بازنویسی می‌کنیم:

$$ \begin {align} \frac 45 & = \frac {4 \times 4 }{5 \times 4 } = \frac {16}{20} \\
\frac 34 & = \frac {3 \times 5 }{4 \times 5 } = \frac {15 }{16}
\end {align} $$

بنابراین، دو کسر $$ \frac {15}{20} $$ و $$ \frac { 16}{20} $$ را داریم که مخرج آن‌ها برابر است. اکنون کافی است صورت کسرها را با هم مقایسه کنیم. می‌بینیم $$ 15 $$ کوچک‌تر از $$ 16 $$ است. پس می‌توان نوشت: $$ \frac { 15}{20} < \frac {16} {20} $$. در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ \frac 34 < \frac 45 $$

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

آزمون سنجش یادگیری مقایسه کسرها

در این بخش از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث مقایسه کسرها را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.