ریاضی، علوم پایه ۹۲۳۹ بازدید

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با اعداد اعشاری، کسر متعارفی و تبدیل کسر به اعشار آشنا شدیم. در این آموزش، با عدد مخلوط آشنا می‌شویم و مثال‌هایی از آن را بررسی خواهیم کرد.

عدد مخلوط چیست ؟

واژه «مخلوط» به‌معنی در لغت به‌معنی «آمیخته‌شده» و «درهم‌شده» است و نشان می‌دهد که حداقل دو چیز در کنار هم قرار دارند. عدد مخلوط نیز عددی است که از دو نوع عدد تشکیل شده است: یک عدد صحیح و یک عدد کسری که این کسر سره است (قدر مطلق صورت آن از قدر مطلق مخرجش کوچک‌تر است).

عدد مخلوط از عبارت انگلیسی “Mixed Number” گرفته شده که البته، فرهنگستان زبان و ادب فارسی، برابرنهاد «عدد آمیخته» را برای آن پیشنهاد کرده است. بنابراین، هرجا عبارت عدد آمیخته را دیدید، منظور همان عدد مخلوط است.

تصویر زیر را درنظر بگیرید که یک کسر بزرگ‌تر از ۱ را نشان می‌دهد. این کسر کوچک‌تر از ۲ است. بنابراین، با یک عدد مخلوط‌ مواجه هستیم، زیرا یک و خرده‌ای است. این یک نشان‌دهنده عدد صحیح و خرده‌ای همان عدد کسری است.

عدد مخلوط

چند عدد مخلوط‌ دیگر در شکل زیر نشان داده شده‌اند:

چند عدد مخلوط

اجزای یک عدد مخلوط

همان‌طور که در بالا دیدم، یک عدد مخلوط‌ از دو بخش اصلی تشکیل می‌شود: یک عدد صحیح یا کامل و یک عدد کسری. به یک تعبیر دیگر، عدد مخلوط‌ از سه عدد دیگر تشکل می‌شود: یکی عدد صحیح، یکی صورت کسر و یکی مخرج کسر.

شکل زیر این سه عدد را نشان می‌دهد.

اجزای یک عدد مخلوط

عدد بالا را این‌گونه می‌خوانیم: دو و یک‌پنجم.

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

  • برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

ویژگی‌های یک عدد مخلوط

ویژگی‌های عدد مخلوط‌ را می‌توان دو مورد زیر دانست که البته پیش‌تر در تعریف به آن اشاره کردیم:

  • بخشی از آن یک عدد صحیح است.
  • بخشی از آن یک کسر است.

نمایش عدد مخلوط روی محور اعداد

همان‌طور که دیدیم، کسرهای مخلوط دو قسمت دارند، یک عدد کامل و یک کسر کوچک‌تر از واحد. برای نشان دادن اعداد مخلوط روی محور اعداد، ابتدا باید دو عدد کامل را روی محور مشخص کنیم که عدد مخلوط‌ بین آن دو قرار دارد. برای مثال، عدد مخلوط‌ $$ 2 \frac 35 $$ بین $$2$$ و $$3$$ قرار دارد. بنابراین، نقاط $$2$$ و $$3$$ را روی محور اعداد علامت‌گذاری می‌کنیم. مرحله بعدی این است که بخش بین $$2$$ و $$3$$ را به $$5$$ قسمت مساوی تقسیم کنیم، زیرا مخرج کسری داده شده $$5$$ است. در نهایت، باید $$3$$ خانه از $$5$$ خانه را با شروع از $$2$$ بشماریم. این نقطه همان نمایش عدد مخلوط‌ روی محور اعداد خواهد بود.

محور اعداد

چگونه کسر را به عدد مخلوط تبدیل کنیم؟

کسر ناسره کسری است که قدر مطلق صورتش از قدر مطلق مخرجش بزرگ‌تر است. بنابراین، این کسر بزرگ‌تر از واحد است و این یعنی اینکه می‌توان آن را به‌صورت یک عدد مخلوط بیان کرد. برای تبدیل کسر به عدد مخلوط می‌توان از روش‌های مختلفی استفاده کرد که در ادامه آن‌ها را معرفی می‌کنیم.

روش اول: تقسیم صورت بر مخرج

گام‌های تبدیل کسر ناسره به عدد مخلوط‌ با این روش، به‌شرح زیر است:

  1. صورت را بر مخرج کسر تقسیم کنید.
  2. بعد از تقسیم، یک عدد به‌عنوان خارج قسمت خواهید داشت که همان عدد صحیح کسر مخلوط است.
  3. باقیمانده تقسیم صورت کسر عدد مخلوط‌ است.
  4. مخرج کسر نیز همان مخرج عدد اصلی است.

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم طبق گام‌های بالا، کسر $$ \frac 7 3 $$ را به یک عدد مخلوط‌ تبدیل کنیم. گام به گام مراحل را طی می‌کنیم:

  1. عدد $$7$$ را بر $$3 $$ تقسیم می‌کنیم.
  2. خارج قسمت را به‌عنوان عدد صحیح می‌نویسیم.
  3. باقیمانده را در صورت کسر و مقسوم‌علیه را در مخرج کسر می‌نویسیم.

شکل زیر، گام‌های بالا را به‌خوبی نشان می‌دهد.

تقسیم صورت بر مخرج

روش دوم: شکستن صورت کسر

در این روش، صورت کسر را به اندازه عدد مخرج می‌شکنیم. برای مثال، اگر عدد مخلوط $$ \frac {16}{5}$$ را داشته باشیم، این‌گونه عمل می‌کنیم:

$$ \large \frac {16}{5} = \frac {5+5+5+1}{5} = \frac 55 + \frac 55 +\frac 55 + \frac 15 =1+1+1+\frac 15=3\frac 15$$

روش سوم: استفاده از مضرب مخرج

در این روش، بزرگ‌ترین مضرب مخرج را که کوچک‌تر از صورت باشد، پیدا می‌کنیم و آن را با عددی جمع می‌کنیم که حاصل این جمع برابر با مخرج شود. با یک مثال، این روش را شرح می‌دهیم.

فرض کنید می‌خواهیم کسر $$ \frac {19}{4}$$ را به یک عدد مخلوط تبدیل کنیم. برای این کار، بزرگ‌ترین مضرب عدد $$4$$ را پیدا می‌کنیم که کوچک‌تر از $$19$$ باشد. این عدد $$16$$ است. پس می‌توانیم صورت را به‌شکل $$ 16+3$$‌بنویسیم. در این‌ صورت، کسر به‌شکل زیر درمی‌آید:

$$\large \frac {19}{4} = \frac {16+3}{4}=\frac {16}{4}+\frac 34= 4+\frac 34 = 4\frac 34$$

چگونه عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنیم؟

برای تبدیل عدد مخلوط به کسر، یک مخرج مشترک می‌گیریم و عدد کامل را به‌صورت یک کسر می‌نویسیم که مخرج آن با مخرج کسر عدد مخلوط یکی است. سپس آن را با کسر عدد مخلوط جمع می‌کنیم. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم عدد مخلوط $$3\frac 5 7 $$ را به کسر تبدیل کنیم. ابتدا می‌توانیم عدد را به‌شکل زیر بنویسیم:

$$\large 3\frac 5 7 =3+\frac57$$

اکنون با در نظر گرفتن مخرج $$ 7$$، عدد $$3$$ را به یک کسر تبدیل می‌کنیم:

$$\large 3 = \frac {3\times 7}{7} = \frac {21}{7}$$

بنابراین، عدد مخلوط به‌شکل کسر زیر درمی‌آید:

$$\large 3\frac 5 7 =3+\frac57= \frac {3\times 7}{7}+\frac 57 =\frac {21}{7}+\frac 57=\frac {21+5}{7}=\frac {26}{7}$$

جمع و تفریق اعداد مخلوط

جمع اعداد مخلوط را می‌توان به سادگی و با انجام گام‌های زیر محقق کرد (مراحل را با یک مثال عددی بیان می‌کنیم). می‌خواهیم دو عدد $$5\frac 13 $$ و $$7 \frac 13$$ را با هم جمع کنیم:

  1.  ابتدا دو عدد مخلوط را به دو کسر ناسره تبدیل می‌کنیم که روش آن را در بخش قبل گفتیم: $$5\frac 13 = \frac {16}{3}$$ و $$7\frac13=\frac{22}{3}$$.
  2. سپس دو عدد کسری را با هم جمع می‌کنیم: $$ \frac {16}{3}+\frac {22}{3}=\frac {38}{3}$$
  3. عدد کسری را به عدد مخلوط تبدیل می‌کنیم: $$ \frac {38}{3}=\frac {36+2}{3}=\frac {36}{3}+\frac23=12+\frac 23=12\frac 23$$

برای تفریق اعداد مخلوط نیز کار مشابهی را انجام می‌دهیم.

چگونه عدد مخلوط را به عدد اعشاری تبدیل کنیم؟

برای تبدیل عددی مخ لوط به عدد کسری، عدد کامل را می‌نویسیم، سپس یک ممیز یا اعشار قرار می‌دهیم. سپس مخرج و صورت کسر را در عددی ضرب می‌کنیم که مخرج کسر یکی از مضرب‌های عدد $$10$$ شود. با یک مثال این فرایند را توضیح می‌دهیم.

فرض کنید می‌خواهیم عدد $$7\frac 12 $$ را به یک عدد اعشاری تبدیل کنیم. ابتدا عدد $$7$$ را می‌نویسیم و در سمت راست آن یک اعشار قرار می‌دهیم. حال باید کسر $$\frac 12 $$ را به‌گونه‌ای تغییر دهیم که مخرجش مضربی از $$10$$ باشد. برای این کار، صورت و مخرج را در عدد $$ 5$$ ضرب می‌کنیم: $$ \frac 12 = \frac {1\times 5 }{2 \times 5} = \frac {5}{10} $$. می‌بینیم که مخرج کسر مضرب $$10$$ است و به $$\frac {5}{10}$$ یا همان $$0.5$$ تبدیل شده است. بنابراین، در نهایت عدد اعشاری $$ 7.5$$ را خواهیم داشت.

برای آشنایی بیشتر با مبحث تبدیل کسر به اعشار، به آموزش «تبدیل کسر به اعشار — به زبان ساده + حل تمرین و مثال» مراجعه کنید.

مثال‌های عدد مخلوط

در این بخش، چند مثال را از اعداد مخلوط بیان می‌کنیم.

مثال اول عدد مخلوط

برای شکل زیر یک عدد مخلوط و یک عدد کسری بنویسید.

مثال عدد مخلوط

حل: همان‌طور که می‌بینیم، دایره‌هایی داریم که هر کدام به سه بخش مساوی تقسیم شده‌اند. ابتدا می‌خواهیم عدد مخلوط مربوط به شکل را بنویسیم. اول اینکه سه دایره کامل داریم. این یعنی اینکه عدد کاملمان ۲ است. پس، عدد مخلوط باید به‌صورت زیر باشد:

$$ \large 2\frac {\square}{\square}$$

حال باید کسر را بنویسیم. دو تا دایره کامل را کنار می‌گذاریم. یک داره ناقص داریم که یکی از سه قسمتش رنگ شده است. این یعنی اینکه یک‌سومش یا $$ \frac 13 $$ آن رنگ شده است. پس کل این شکل نمایانگر ۲ دایره کامل و $$\frac 13 $$ یک دایره است. در نتیجه، می‌توانیم عدد مخلوط‌ را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$ \large 2 \frac 13 $$

بنابراین، عدد مخلوط مربوط به این شکل دو و یک‌سوم است.

اکنون باید کسر مربوط به شکل را بنویسیم. دو کار می‌توانیم انجام دهیم: یکی نوشتن از روی شکل و دیگری تبدیل عدد مخلوط‌ به یک عدد کسری. هر دو روش را بررسی می‌کنیم.

بار دیگر به شکل بالا نگاه کنید. کوچک‌ترین بخش دایره‌های یک‌سوم‌ها هستند. اینجا باید از خود بپرسیم که چند یک‌سوم رنگی داریم؟ سه تا از دایره اول، سه تا دایره دوم و یکی از دایره آخری که مجموعشان می‌شود $$7$$ تا. بنابراین، $$7$$ تا $$\frac13$$ داریم که می‌شود $$ 7 \times \frac 13=\frac 7 3 $$. این یعنی اینکه کسر مربوط به شکل $$ \frac 73$$ است.

روش دوم تبدیل عدد مخلود به عدد کسری بود. این کار را به‌شکل زیر انجام می‌دهیم:

$$ \large 2 \frac 13 =2+\frac 13 = \frac {2\times 3} {3} + \frac 13 = \frac {6+1}{3}=\frac 73 $$

مثال دوم عدد مخلوط‌

عدد مخلوط مربوط به شکل زیر را بنویسید.

مثال عدد مخلوط

حل: می‌بینیم که یک هندوانه دایره‌ای کامل داریم و یک بخش کوچک‌تر از یک. بنابراین، عدد باید بین $$1$$ و $$2$$ باشد. می‌بینیم آن تکه ناقص به $$4$$ قسمت تقسیم شده که $$3$$ بخش آن موجود است. بنابراین، عدد مخلوط $$ 1 \frac 34 $$ است.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم

برای آشنایی بیشتر با مباحث درس ریاضی پایه هفتم، پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس را مشاهده کنید که در ۱۳ ساعت و ۳ دقیقه تدوین شده و همه مباحث 14 درس کتاب درسی را به‌طور کامل پوشش می‌دهد. در فصل یکم این آموزش، راهبردهای حل مسئله معرفی می‌شود. فصل دوم درباره عددهای صحیح است. فصل سوم درباره جبر و معادله است. در فصل چهارم به هندسه و استدلال پرداخته شده است. موضوع فصل ششم سطح و حجم است. در فصل هفتم به توان و جذر پرداخته شده است. فصل هشتم به بردار و مختصات اختصاص یافته است و در نهایت، آمار و احتمال در فصل نهم معرفی می‌شود.

مثال دیگری از عدد مخلوط

حاصل جمع دو عدد $$\frac 14 $$ و $$ 2\frac 13 $$ را به‌دست آورید.

حل: همان‌طور که می‌بینیم، یک عدد کسری و یک عدد مخلوط داریم. ابتدا عدد مخلوط را به عدد کسری تبدیل می‌کنیم:

$$\large 2\frac 13 = 2+\frac 13=\frac 63+\frac 13=\frac 73$$

بنابراین، باید دو کسر $$\frac 73 $$ و $$\frac 14 $$ را با هم جمع کنیم. می‌بینیم که این دو کسر مخرج‌های متفاوتی دارند. ابتدا مخرج مشترک آن‌ها را می‌گیریم و سپس آن‌ها را جمع می‌کنیم:

$$ \large \frac 73 + \frac 14 = \frac {7\times 4}{12}+\frac{1\times 3}{12}=\frac {28}{12}+\frac {3}{12}= \frac {31}{12} $$

اگر بخواهیم نتیجه را به‌شکل عدد مخلوط بنویسیم، داریم:

$$ \large \frac {31}{12}=\frac {24+7}{12}=\frac {24}{12}+\frac{7}{12}=2+\frac {7}{12} = 2\frac {7}{12}$$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۱۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.