اخبار 7807 بازدید

اغلب با مجموعه اعداد صحیح و طبیعی آشنایی دارید. انجام محاسبات برای این گونه اعداد به وسیله محور اعداد به راحتی میسر است. ولی اگر به مجموعه اعداد صحیح، اعداد رادیکالی را نیز اضافه کنیم، مجموعه اعداد ما ارتقاء یافته است و باید شیوه انجام محاسبات ریاضی را برای این اعداد نیز فراگیریم.

در این نوشتار ابتدا اعداد رادیکالی را معرفی، سپس محاسبات ریاضی مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد رادیکالی را یادآوری می‌کنیم. یکی از انواع اعداد رادیکالی، ریشه دوم یا جذر یک عدد است. به منظور آشنایی بیشتر با مفهوم ریشه دوم و نمایش آن روی محور اعداد بهتر است مطلب جذر یا محاسبه ریشه دوم عدد — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن نوشتار معادله رادیکالی — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

اعداد رادیکالی و محاسبات مربوط به آن‌ها

به توان رساندن را به نوعی، ضرب کردن برای اعداد صحیح در نظر می‌گیریم. به این معنی که اگر a و b دو عدد صحیح و مثبت باشند، a به توان b را به صورت ضرب a به تعداد b بار در خودش در نظر می‌گیریم. این رابطه در زیر نوشته شده است.

$$\large a^b = \underbrace{a\times a \times a \cdots\times a}_{b} =c$$

حال اگر این عمل را عکس کنیم چه اتفاقی می‌افتد. به این معنی که به دنبال عددی مثل a می‌گردیم که اگر آن را b با در خودش ضرب کنیم برابر با c شود. پیدا کردن این عدد بوسیله محاسبه رادیکال برمبنای b از عدد c حاصل می‌شود. رادیکال را در ریاضیات با علامت $$\sqrt{\;\;}$$ نشان می‌دهند. در این حالت می‌نویسیم.

$$\large \sqrt[b]{c}=a\rightarrow a^b =c$$

عبارت سمت چپ را به صورت «ریشه bام عدد c برابر است با a» می‌خوانند.

برای مثال اگر a=5 و b=3 باشد مقدار c نیز برابر با 12۵ خواهد بود. در این حالت داریم:

$$\large \sqrt[3]{125}=5 \rightarrow 5^3 =125$$

عبارت سمت چپ به صورت «ریشه سوم 12۵ برابر است با ۵» خوانده می‌شود.

نکته: اگر مقدار b برابر با 2 باشد، a را ریشه دوم عدد c می‌گویند و می‌نویسند:

$$\large \sqrt{c} =a \rightarrow a^2 =c$$

در این حالت عبارت سمت چپ را به صورت «ریشه (یا رادیکال) c برابر است با a» می‌خوانند. همانطور که دیده می‌شود، برای ریشه دوم، دیگر از عدد 2 در بالای رادیکال استفاده نمی‌کنند. پس متوجه می‌شویم هرگاه بالای رادیکال عددی دیده نشود، منظور ریشه دوم است. ریشه دوم را برای راحتی گاهی رادیکال نیز می‌خوانند.

square and square root

با توجه به اعداد و ارقامی که در جدول بالا دیده می‌شود، مشخص است که ریشه دوم یا رادیکال برای اعداد مثبت تعریف شده است. زیرا نمی‌توان یک عدد صحیح را در خودش ضرب کرد و حاصل مقدار منفی بدست آید. بنابراین قادر به محاسبه $$\sqrt{(-4)}$$ یا $$\sqrt{-(25)}$$ نیستیم.

نکته: برای اعداد منفی، ریشه‌های زوج موجود نیست. ولی ریشه‌های فرد اعداد منفی وجود دارد. برای مثال:

$$\large \sqrt[\;3]{-125}=-5$$

زیرا:

$$(-5)\times (-5)\times (-5)=-125$$.

از آنجایی که توان 2 یا مربع و رادیکال عکس یکدیگر هستند، بهتر است که به شکل تابع $$y=x^2$$ نیز نگاهی بکنیم.

parabola curve

اگر ریشه دوم را به صورت عکس تابع توان 2 یا مربع در نظر بگیریم، شکل تابع رادیکال یا ریشه دوم با جابجا کردن محور افقی و عمودی یا چرخش ۹۰ درجه‌ای نمودار قبلی بدست می‌آید.

function-square-root

از آنجایی که ریشه دوم در بحث ما فقط برای اعداد نامنفی تعریف شده، این منحنی در نقطه 0 بریده شده است و دیگر ادامه نخواهد داشت.

نمایش اعداد رادیکالی به صورت توان

با توجه به رابطه عکسی که بین رادیکال و توان وجود دارد، به نظر می‌رسد که اگر $$a=\sqrt{c}$$ باید بتوان نتیجه زیر را نوشت:

$$\large \sqrt{c} = a \rightarrow a^2= a \times a = \sqrt{c} \times \sqrt{c}=c$$

به این ترتیب مشخص است که اگر رادیکال یک عدد را دوبار در خودش ضرب کنیم، با خود عدد برابر خواهد شد. این رابطه را می‌توان به صورت توان نیز نوشت:

$$\large c^? \times c^? =c^1$$

از آنجایی که علامت ?ها یکسان هستند، هنگام ضرب دو عدد، توان‌ها با هم جمع می‌شوند. بنابراین باید رابطه زیر برقرار باشد.

$$\large  c^? \times c^? =c^{?+?} =c^1 \rightarrow 2\times ?=1 \rightarrow ?=\frac{1}{2}$$

در نتیجه می‌توان ریشه دوم را به صورت توان $$\frac{1}{2}$$ نیز نشان داد. بنابراین خواهیم داشت:

$$\large \sqrt{c}=c^{\tfrac{1}{2}}$$

همین عمل را برای ریشه‌های سوم، چهارم و … نیز می‌توان انجام داد. در نتیجه تساوی زیر همیشه برقرار است.

$$\large \sqrt[3]{c} = c^{\tfrac{1}{3}}, \;\; \sqrt[4]{c}=c^{\tfrac{1}{4}},\;\; \sqrt[5]{c}=c^{\tfrac{1}{5}}, \cdots $$

نکته: اگر ارتباط بین a, b, c و d به صورت $$a^b = c^d$$ باشد، می‌توان نوشت:

$$\large a= \sqrt[^b\;]{c^d} = c^{\tfrac{d}{b}}$$

برای مثال اگر a=4 , b= 2 ,c=2, d= 4 باشد داریم:

$$\large \sqrt[^2\;]{{2^4}} = 2^{\tfrac{4}{2}}=2^2=4$$

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد رادیکالی

با توجه به شیوه توانی اعداد رادیکالی، براساس قواعد مربوط به اعداد توان‌دار می‌توان عمل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را انجام داد. همانطور که می‌دانید هنگام جمع یا تفریق، اعداد با توان‌های یکسان با یکدیگر به کار می‌روند.

در اینجا قواعد محاسباتی برای جملات توان‌دار را به اختصار معرفی می‌کنیم.

قاعده جمع و تفریق: هنگام جمع یا تفریق جملات توان‌دار، فقط ضرایب جملات با پایه و توان‌های یکسان با یکدیگر جمع یا تفریق می‌شوند.

$$\large 2a^2+3b^3-5a^2-2b^3=-3a^2+b^3$$

قاعده ضرب و تقسیم: در ضرب جملات توان‌دار، توان‌های جملاتی که دارای پایه‌های یکسان هستند با یکدیگر جمع می‌شوند. در تقسیم جملات توان‌دار نیز توان‌های جملات با پایه‌های یکسان، از یکدیگر تفریق خواهند شد.

$$\large \dfrac{(3a^2 \times 4a^3 \times 5b^4)}{6b^4}= 10a^5b^2$$

مثال 1

برای انجام محاسبات زیر می‌توان از قواعد توان استفاده کرد. یعنی جملات با ریشه‌های یکسان با یکدیگر جمع یا تفریق می‌شوند.

$$\large \sqrt{2} + 5\sqrt[3]{8} – 3\sqrt{2} – 2\sqrt[3]{8}=-2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{8}=-2\sqrt{2}+3\times 2 = 6-2\sqrt{2}$$

مثال 2

رابطه‌های زیر را براساس قواعد ضرب برای جمله‌های توان‌دار، ساده می‌کنیم.

$$\large \sqrt{2 \times 3} = (2\times 3)^{\tfrac{1}{2}}=2^{\tfrac{1}{2}}\times 3^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{2} \times \sqrt{3} $$

$$\large \sqrt{2}\times \sqrt[3]{2} = 2^{\tfrac{1}{2}} \times 2^{\tfrac{1}{3}} = 2^{(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3})}= 2^{(\tfrac{5}{6})}=\sqrt[^6\;]{2^5}$$

مثال 3

براساس تبدیل رادیکال به توان، عبارت‌های زیر را ساده‌تر می‌نویسیم.

$$\large \sqrt[^3\;]{2^4}=2^{\tfrac{4}{3}}=2^{(1+\tfrac{1}{3})}=2\times 2^{\tfrac{1}{3}}=2\sqrt[3]{2}$$

$$\large \dfrac{\sqrt[^3\;]{2}}{\sqrt[^3\;]{3}}=\sqrt[^3\;]{\tfrac{2}{3}}$$

مثال 4

براساس تبدیل رادیکال به توان عبارت زیر را ساده می‌کنیم.

$$\large \dfrac{\sqrt[^3\;]{2^4}\times \sqrt[^2\;\;]{4^3}}{\sqrt[^3\;]{8^4}}=\dfrac{2^{\tfrac{4}{3}}\times 4^{\tfrac{3}{2}}}{8^{\tfrac{4}{3}}}=\\ \large (\dfrac{2}{8})^{\tfrac{4}{3}}\times 4^{\tfrac{3}{2}}=(\dfrac{1}{4})^{\tfrac{4}{3}}\times (2^2)^{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{4^{(\tfrac{4}{3})}}2^{(\tfrac{6}{2})}= \\ \large \dfrac{2^3}{4\times 4^{(\tfrac{1}{3})}}=\dfrac{2^3}{4\times \sqrt[3]{4}}=\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}}$$

مثال 5

رابطه زیر را براساس قواعد ضرب و تقسیم برای جمله‌های توان‌دار، ساده می‌کنیم.

$$\large \dfrac{2\sqrt{2}\times 3\sqrt[5]{3}\times 5 \sqrt[3]{4}}{5\times \sqrt[3]{8}\times 10 \times \sqrt[5]{5}}=\dfrac{6}{10}\dfrac{2^{\tfrac{1}{2}}\times 3^{\tfrac{1}{5}}\times 4^{\tfrac{1}{3}}}{8^{\tfrac{1}{3}}\times 5^{\tfrac{1}{5}}}=\dfrac{3}{5}(2)^{\tfrac{1}{2}}\times (\dfrac{3}{5})^{\tfrac{1}{5}}\times (\dfrac{4}{8})^{\tfrac{1}{3}}=\\ \large
\dfrac{3}{5}(2)^{\tfrac{1}{2}}\times (\dfrac{3}{5})^{\tfrac{1}{5}}\times (\dfrac{1}{2^{\tfrac{1}{3}}})=\dfrac{3}{5}(\dfrac{3}{5})^{\tfrac{1}{5}}\times \dfrac{2^{\tfrac{1}{2}}}{2^{\tfrac{1}{3}}}=(\dfrac{3}{5})^{(1+\frac{1}{5})}\times 2^{ (\frac{1}{2}-\frac{1}{3})}=\\ \large  (\dfrac{3}{5})^{(\frac{6}{5})}\times 2^{ (\frac{1}{6})}= \sqrt[^5\;]{(\tfrac{3}{5}})^6 \times \sqrt[6]{2}= \dfrac{3}{5}\sqrt[^5\;]{(\tfrac{3}{5}}) \times \sqrt[6]{2}$$

ریشه زوج اعداد

فرض کنید رابطه $$a^2=c$$ برقرار است. در نتیجه می‌توان با گرفتن ریشه دوم از دو طرف این معادله را برحسب c حل کرد. بنابراین خواهیم داشت:

$$\large  a^2=c \rightarrow a=\pm \sqrt{c}$$

زیرا با ضرب $$-\sqrt{c}$$ در خودش به a خواهیم رسید. همچنین $$\sqrt{c}\times \sqrt{c}= a $$.

اگر این نوشته برای شما مفید بوده و علاقه‌مند به یادگیری بیشتر در این رابطه هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *