ریاضی 153856 بازدید

اغلب با مجموعه اعداد صحیح و طبیعی آشنایی دارید. انجام محاسبات برای این گونه اعداد به وسیله محور اعداد به راحتی میسر است. ولی اگر به مجموعه اعداد صحیح، اعداد رادیکالی را نیز اضافه کنیم، مجموعه اعداد ما ارتقاء یافته است و باید شیوه انجام محاسبات ریاضی را برای این اعداد نیز فراگیریم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

در این نوشتار ابتدا اعداد رادیکالی را معرفی، سپس محاسبات ریاضی مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد رادیکالی را یادآوری می‌کنیم. یکی از انواع اعداد رادیکالی، ریشه دوم یا جذر یک عدد است. به منظور آشنایی بیشتر با مفهوم ریشه دوم و نمایش آن روی محور اعداد بهتر است مطلب جذر یا محاسبه ریشه دوم عدد — به زبان ساده را مطالعه کنید. همچنین خواندن نوشتار معادله رادیکالی — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

اعداد رادیکالی و محاسبات مربوط به آن‌ها

به توان رساندن را به نوعی، ضرب کردن برای اعداد صحیح در نظر می‌گیریم. به این معنی که اگر a و b دو عدد صحیح و مثبت باشند، a به توان b را به صورت ضرب a به تعداد b بار در خودش در نظر می‌گیریم. این رابطه در زیر نوشته شده است.

$$\large a^b = \underbrace{a\times a \times a \cdots\times a}_{b} =c$$

حال اگر این عمل را عکس کنیم چه اتفاقی می‌افتد. به این معنی که به دنبال عددی مثل a می‌گردیم که اگر آن را b با در خودش ضرب کنیم برابر با c شود. پیدا کردن این عدد بوسیله محاسبه رادیکال برمبنای b از عدد c حاصل می‌شود. رادیکال را در ریاضیات با علامت $$\sqrt{\;\;}$$ نشان می‌دهند. در این حالت می‌نویسیم.

$$\large \sqrt[b]{c}=a\rightarrow a^b =c$$

عبارت سمت چپ را به صورت «ریشه bام عدد c برابر است با a» می‌خوانند.

برای مثال اگر a=5 و b=3 باشد مقدار c نیز برابر با ۱۲۵ خواهد بود. در این حالت داریم:

$$\large \sqrt[3]{125}=5 \rightarrow 5^3 =125$$

عبارت سمت چپ به صورت «ریشه سوم ۱۲۵ برابر است با ۵» خوانده می‌شود.

نکته: اگر مقدار b برابر با ۲ باشد، a را ریشه دوم عدد c می‌گویند و می‌نویسند:

$$\large \sqrt{c} =a \rightarrow a^2 =c$$

در این حالت عبارت سمت چپ را به صورت «ریشه (یا رادیکال) c برابر است با a» می‌خوانند. همانطور که دیده می‌شود، برای ریشه دوم، دیگر از عدد ۲ در بالای رادیکال استفاده نمی‌کنند. پس متوجه می‌شویم هرگاه بالای رادیکال عددی دیده نشود، منظور ریشه دوم است. ریشه دوم را برای راحتی گاهی رادیکال نیز می‌خوانند.

square and square root

با توجه به اعداد و ارقامی که در جدول بالا دیده می‌شود، مشخص است که ریشه دوم یا رادیکال برای اعداد مثبت تعریف شده است. زیرا نمی‌توان یک عدد صحیح را در خودش ضرب کرد و حاصل مقدار منفی بدست آید. بنابراین قادر به محاسبه $$\sqrt{(-4)}$$ یا $$\sqrt{-(25)}$$ نیستیم.

نکته: برای اعداد منفی، ریشه‌های زوج موجود نیست. ولی ریشه‌های فرد اعداد منفی وجود دارد. برای مثال:

$$\large \sqrt[\;3]{-125}=-5$$

زیرا:

$$(-5)\times (-5)\times (-5)=-125$$.

از آنجایی که توان ۲ یا مربع و رادیکال عکس یکدیگر هستند، بهتر است که به شکل تابع $$y=x^2$$ نیز نگاهی بکنیم.

parabola curve

اگر ریشه دوم را به صورت عکس تابع توان ۲ یا مربع در نظر بگیریم، شکل تابع رادیکال یا ریشه دوم با جابجا کردن محور افقی و عمودی یا چرخش ۹۰ درجه‌ای نمودار قبلی بدست می‌آید.

function-square-root

از آنجایی که ریشه دوم در بحث ما فقط برای اعداد نامنفی تعریف شده، این منحنی در نقطه 0 بریده شده است و دیگر ادامه نخواهد داشت.

نمایش اعداد رادیکالی به صورت توان

با توجه به رابطه عکسی که بین رادیکال و توان وجود دارد، به نظر می‌رسد که اگر $$a=\sqrt{c}$$ باید بتوان نتیجه زیر را نوشت:

$$\large \sqrt{c} = a \rightarrow a^2= a \times a = \sqrt{c} \times \sqrt{c}=c$$

به این ترتیب مشخص است که اگر رادیکال یک عدد را دوبار در خودش ضرب کنیم، با خود عدد برابر خواهد شد. این رابطه را می‌توان به صورت توان نیز نوشت:

$$\large c^? \times c^? =c^1$$

از آنجایی که علامت ?ها یکسان هستند، هنگام ضرب دو عدد، توان‌ها با هم جمع می‌شوند. بنابراین باید رابطه زیر برقرار باشد.

$$\large  c^? \times c^? =c^{?+?} =c^1 \rightarrow 2\times ?=1 \rightarrow ?=\frac{1}{2}$$

در نتیجه می‌توان ریشه دوم را به صورت توان $$\frac{1}{2}$$ نیز نشان داد. بنابراین خواهیم داشت:

$$\large \sqrt{c}=c^{\tfrac{1}{2}}$$

همین عمل را برای ریشه‌های سوم، چهارم و … نیز می‌توان انجام داد. در نتیجه تساوی زیر همیشه برقرار است.

$$\large \sqrt[3]{c} = c^{\tfrac{1}{3}}, \;\; \sqrt[4]{c}=c^{\tfrac{1}{4}},\;\; \sqrt[5]{c}=c^{\tfrac{1}{5}}, \cdots $$

نکته: اگر ارتباط بین a, b, c و d به صورت $$a^b = c^d$$ باشد، می‌توان نوشت:

$$\large a= \sqrt[^b\;]{c^d} = c^{\tfrac{d}{b}}$$

برای مثال اگر a=4 , b= 2 ,c=2, d= 4 باشد داریم:

$$\large \sqrt[^2\;]{{2^4}} = 2^{\tfrac{4}{2}}=2^2=4$$

جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد رادیکالی

با توجه به شیوه نمایش توانی اعداد رادیکالی، براساس قواعد مربوط به اعداد توان‌دار می‌توان عمل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را انجام داد. همانطور که می‌دانید هنگام جمع یا تفریق، اعداد با توان‌های یکسان با یکدیگر به کار می‌روند.

در اینجا قواعد محاسباتی برای جملات توان‌دار را به اختصار معرفی می‌کنیم.

قاعده جمع و تفریق: هنگام جمع یا تفریق جملات توان‌دار، فقط ضرایب جملات با پایه و توان‌های یکسان با یکدیگر جمع یا تفریق می‌شوند.

$$\large 2a^2+3b^3-5a^2-2b^3=-3a^2+b^3$$

قاعده ضرب و تقسیم: در ضرب جملات توان‌دار، توان‌های جملاتی که دارای پایه‌های یکسان هستند با یکدیگر جمع می‌شوند. در تقسیم جملات توان‌دار نیز توان‌های جملات با پایه‌های یکسان، از یکدیگر تفریق خواهند شد.

$$\large \dfrac{(3a^2 \times 4a^3 \times 5b^6)}{6b^4}= 10a^5b^2$$

مثال ۱

برای انجام محاسبات زیر می‌توان از قواعد توان استفاده کرد. یعنی جملات با ریشه‌های یکسان با یکدیگر جمع یا تفریق می‌شوند.

$$\large \sqrt{2} + 5\sqrt[3]{8} – 3\sqrt{2} – 2\sqrt[3]{8}=-2\sqrt{2}+3\sqrt[3]{8}=-2\sqrt{2}+3\times 2 = 6-2\sqrt{2}$$

مثال ۲

رابطه‌های زیر را براساس قواعد ضرب برای جمله‌های توان‌دار، ساده می‌کنیم.

$$\large \sqrt{2 \times 3} = (2\times 3)^{\tfrac{1}{2}}=2^{\tfrac{1}{2}}\times 3^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{2} \times \sqrt{3}. $$

$$\large \sqrt{2}\times \sqrt[3]{2} = 2^{\tfrac{1}{2}} \times 2^{\tfrac{1}{3}} = 2^{(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3})}= 2^{(\tfrac{5}{6})}=\sqrt[^6\;]{2^5}.$$

مثال 3

براساس تبدیل رادیکال به توان، عبارت‌های زیر را ساده‌تر می‌نویسیم.

$$\large \sqrt[^3\;]{2^4}=2^{\tfrac{4}{3}}=2^{(1+\tfrac{1}{3})}=2\times 2^{\tfrac{1}{3}}=2\sqrt[3]{2}.$$

$$\large \dfrac{\sqrt[^3\;]{2}}{\sqrt[^3\;]{3}}=\sqrt[^3\;]{\tfrac{2}{3}}.$$

مثال 4

براساس تبدیل رادیکال به توان عبارت زیر را ساده می‌کنیم.

$$\large \dfrac{\sqrt[^3\;]{2^4}\times \sqrt[^2\;\;]{4^3}}{\sqrt[^3\;]{8^4}}=\dfrac{2^{\tfrac{4}{3}}\times 4^{\tfrac{3}{2}}}{8^{\tfrac{4}{3}}}=\\ \large (\dfrac{2}{8})^{\tfrac{4}{3}}\times 4^{\tfrac{3}{2}}=(\dfrac{1}{4})^{\tfrac{4}{3}}\times (2^2)^{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{4^{(\tfrac{4}{3})}}2^{(\tfrac{6}{2})}= \\ \large \dfrac{2^3}{4\times 4^{(\tfrac{1}{3})}}=\dfrac{2^3}{4\times \sqrt[3]{4}}=\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}}=\\ \large 2\times 4^({-\tfrac{1}{3}})=2\times 2^{(-\frac{2}{3})}=2^{(1-\tfrac{2}{3})}=2^{\tfrac{1}{3}}$$

از آنجایی که تمایل داریم که مخرج کسرها به صورت گویا نوشته شوند، خط آخر را در ادامه محاسباتمان اضافه کرده‌ایم.

مثال 5

رابطه زیر را براساس قواعد ضرب و تقسیم برای جمله‌های توان‌دار، ساده می‌کنیم.

$$\large \dfrac{2\sqrt{2}\times 3\sqrt[5]{3}\times 5 \sqrt[3]{4}}{5\times \sqrt[3]{8}\times 10 \times \sqrt[5]{5}}=\dfrac{6}{10}\dfrac{2^{\tfrac{1}{2}}\times 3^{\tfrac{1}{5}}\times 4^{\tfrac{1}{3}}}{8^{\tfrac{1}{3}}\times 5^{\tfrac{1}{5}}}=\dfrac{3}{5}(2)^{\tfrac{1}{2}}\times (\dfrac{3}{5})^{\tfrac{1}{5}}\times (\dfrac{4}{8})^{\tfrac{1}{3}}=\\ \large
\dfrac{3}{5}(2)^{\tfrac{1}{2}}\times (\dfrac{3}{5})^{\tfrac{1}{5}}\times (\dfrac{1}{2^{\tfrac{1}{3}}})=\dfrac{3}{5}(\dfrac{3}{5})^{\tfrac{1}{5}}\times \dfrac{2^{\tfrac{1}{2}}}{2^{\tfrac{1}{3}}}=(\dfrac{3}{5})^{(1+\frac{1}{5})}\times 2^{ (\frac{1}{2}-\frac{1}{3})}=\\ \large  (\dfrac{3}{5})^{(\frac{6}{5})}\times 2^{ (\frac{1}{6})}= \sqrt[^5\;]{(\tfrac{3}{5}})^6 \times \sqrt[6]{2}= \dfrac{3}{5}\sqrt[^5\;]{(\tfrac{3}{5}}) \times \sqrt[6]{2}=\\ \large \dfrac{3}{5}\sqrt[^5\;]\frac{3\times 5^4}{5\times 5^4}\times \sqrt[6]{2}=\dfrac{3}{25}\sqrt[^5\;]{3\times 5^4}\times\sqrt[6]{2}$$

از آنجایی که تمایل داریم که مخرج کسرها به صورت گویا نوشته شوند، خط آخر را در ادامه محاسباتمان اضافه کرده‌ایم.

ریشه زوج اعداد

فرض کنید رابطه $$a^2=c$$ برقرار است. در نتیجه می‌توان با گرفتن ریشه دوم از دو طرف این معادله را برحسب c حل کرد. بنابراین خواهیم داشت:

$$\large  a^2=c \rightarrow a=\pm \sqrt{c},$$

زیرا با ضرب $$-\sqrt{c}$$ در خودش به a خواهیم رسید. همچنین $$\sqrt{c}\times \sqrt{c}= a $$.

اگر این نوشته برای شما مفید بوده و علاقه‌مند به یادگیری بیشتر در این رابطه هستید، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

فیلم‌ های آموزش اعداد رادیکالی و محاسبات مربوط به آن ها — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی مفاهیم اعداد رادیکالی

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی محاسبات اعداد رادیکالی

دانلود ویدیو

آرمان ری بد (+)

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 100 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

22 نظر در “اعداد رادیکالی و محاسبات مربوط به آن ها — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

  1. خدا خیرتون بده
    چندین ساله داریم تو مدرسه برا خودمون درجا میزنیم
    ور میداریم برا یه عبارت ساده پنجاه جور باز و بسته کردن و ساده کردن انجام میدیم…
    یکی هم بهمون نمیگفت ساده تر هم میشه انجامش داد
    مجموعه فرادرس کلا بی همتاست… اجرتان با ابا عبدالله

  2. آیا ۰/۵ می تواند فرجه باشد ؟

  3. سلام
    عددی مثل نیم (۰.۵) رو در نظر بگیرید.
    جذر این عدد چجوری بدست میاد؟
    بطور کلی جذر اعداد بین ۰تا ۱ رو چجوری
    روی کاغذ حساب کنیم؟

    1. سلام.
      برای آشنایی با روش محاسبه جذر یک عدد، پیشنهاد می‌کنیم مطلب «جذر یا محاسبه ریشه دوم عدد — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» را مطالعه کنید. برای جذر اعداد اعشاری، یک راه ساده از بین بردن اعشار آن‌ها است. بدین صورت که مثلاً برای عدد ۰٫۵ آن را در ۱۰۰ ضرب کرده و جذر آن را محاسبه کنید. در نهایت، برای خنثی کردن تغییرات (ضرب ۰٫۵ در ۱۰۰)، جواب نهایی را بر ۱۰ تقسیم کنید (چون ۱۰۰ زیر رادیکال برابر با ۱۰ است).

  4. سلام میشه بگین اولین عدد صحیح بزگتر از ۱۴√ + ۷ چه عددی هست

  5. با عرض سلام و خسته نباشید به همه عزیزان .یه نفر میتونه به من بگه چطور جواب ۲به توان رادیکال ۲اگه زیر رادیکال بره میشه ۲به توان رادیکال۲/۲ ام

    1. سلام و وقت بخیر به همراه گرامی مجله فرادرس
      همانطور که در در متن اعداد رادیکالی دیده می‌شود، می‌توان ریشه دوم را به صورت توان معکوس نوشت، یعنی
      $$\sqrt{2}=2^{1/2}$$. حال در نظر بگیرید که این عدد دوباره ریشه دوم بگیریم. با توجه به قانون ضرب توان‌ها خواهیم داشت:
      $$\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=(2^{\sqrt{2}})^{1/2}=2^{(\sqrt{2}/2)}$$

      از اینکه همراه مجله فرادرس هستید و مطالب آن را پی‌گیری می‌کنیم، بی‌نهایت سپاسگزاریم.
      موفق، سلامت و شاد باشید.

  6. توضیحاتتون عالییییی بود و خیلییی به درد من خورد.
    ازتون متشکرم و یک دنیا دعای خیر و آرزوهای خوب براتون میکنم.

  7. سلام لطفا چگونگی محاسبه جذر اعداد با فرجه بیشتر از دو را بیشتر و واضح تر توضیح بدین به فرض مثال چگونگی محاسبه جذر ۴ با فرجه ۴ یا محاسبه دو رادیکال در رادیکال ۴ با فرجه ۲

  8. سلام.باتشکر از نویسنده.آیا میشه که فورجه رادیکال منفی یا کسری هم باشه؟؟؟؟؟

  9. با سلام و خسته نباشید به دوستان عزیز به خصوص نویسنده محترم. مطلب بسیار آموزنده ای بود.
    در مورد مثال ۴ امکان ساده تر شدن پاسخ به عبارت زیر وجود داره:
    ریشه سوم ۲ (۲ به توان یک سوم)
    ممنون

    1. سلام و سپاس از همراهی شما با فرادرس.
      همانطور که تذکر داده‌اید، بهتر است کسرهای رادیکالی دارای مخرج گویا باشند. بنابراین متن مطابق با همین موضوع اصلاح شده است.
      از اینکه خواننده مطالب فرادرس هستید متشکریم؛ منتظر پیام‌ها و راهنمایی‌های بیشتر شما هستیم.

  10. با سلام خدمت دوستان من یک سوال داشتم در مورد اعداد گنگ (اصم) اونم این هست
    عدد ۳-√۱۰ بین کدوم دو عدد صحیح قرار دارد ؟ یا
    (۳منفی رادیکال ۱۰ = بین دو کدام عدد صحیح است روش فهمیدن ان )
    جوابش شده بین ۰ و ۱ چجوری این عدد بین ۰ و ۱ قرار دارد

    1. با سلام و تشکر از اینکه همراه فرادرس هستید…
      واضح است که ریشه دوم ۱۰ بین دو عدد ۳ و ۴ قرار دارد. زیرا مربع ۳ برابر با ۹ و مربع ۴ نیز ۱۶ است در نتیجه بازه یا فاصله بین ۳ و ۴ مقدار ریشه دوم ۱۰ را در بر می‌گیرند. پس یک نامساوی به صورت زیر داریم:
      $$۳<\sqrt{10}<4 \rightarrow 3-3<3-\sqrt{10}<4-3\rightarrow 0<3-\sqrt{10}<1$$ از اینکه همراه فرادرس هستید سپاسگزاریم.

  11. سلام ببخشید چرا جواب رادیکال۲+۳ و رادیکال۲_۳ میشه رادیکال۲+۱؟ چجوری جساب کرده؟

  12. سلام
    نکته خوب مقاله اینه که با زبان ساده توضیح داده شده .فهمش آسونتره.مرسی

  13. سلام
    در قاعده ضرب وتقسیم جواب مثال اشتباه است

  14. واقعا فاجعه بود ، چند تا مثال با اعداد ساده میزاشتین ادم متوجه بشه از یه جایی به بعد گنگش کردین

  15. سلام
    یه سوال داشتم
    که آیا ممکنه یک عدد به توان دو برسه و جواب اون منفی یک بشه
    ممنون

    1. با سلام و درود خدمت شما خواننده گرامی
      از اینکه همراه فرادرس هستید بسیار خرسندیم… در مورد سوال شما باید گفت که هیچ عدد حقیقی وجود ندارد که به توان ۲ رسیده و منفی شود. ولی اگر محیط و فضای اعداد را به اعداد مختلط گسترش دهیم، می‌توان گفت که i=$$\sqrt{-1}$$ عددی است که توان ۲ آن برابر است با ۱-. بنابراین پاسخ شما در مجموعه اعداد مختلط وجود دارد.
      باز هم از اینکه به نوشتارهای وبلاگ فرادرس توجه دارید سپاسگزاریم.

    2. نه نمیشه چون یه عدد ضرب در خودش میشه یا مثبت ضربدر مثبته یا منفی ضربدر منفی و مثبت ضربدر مثب میشه مثبت و منفی هم ضربدر منفی میشه مثبت پس عدیی وجود نداره که به توان ۲ برسه و منفی بشه حالا هر عدد منفی ای باشه

    3. نه هیچوقت

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *