نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول – به زبان ساده + با جواب

اولین فصل از کتاب ریاضی پایه نهم در مورد مجموعه‌ها و احتمال است. در این فصل یاد می‌گیرید مجموعه چیست، چگونه نمایش داده می‌شود و اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها چه ویژگی‌هایی دارند. همچنین با احتمال و فرمول‌های آن نیز آشنا می‌شوید. این مطلب از مجله فرادرس به حل و بررسی چندین نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول اختصاص داده شده است تا به این مباحث کاملا مسلط شوید.

ریاضی نهم فصل اول

فصل اول ریاضی نهم شامل چهار درس است که در ادامه فهرست شده‌اند:

• درس اول: معرفی مجموعه
• درس دوم: مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها
• درس سوم: اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها
• درس چهارم: مجموعه‌ها و احتمال

فلش کارت ریاضی نهم فصل اول

پیش از اینکه به بررسی توضیحات و حل انواع نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول بپردازیم، در این بخش با استفاده از فلش‌کارت‌های زیر می‌توانید مروری داشته باشید بر مهم‌ترین نکات و فرمول‌های این فصل. با کلیک دوم روی هر فلش‌کارت، محتوای پشت آن قابل‌مشاهده است:

معرفی مجموعه

به دسته‌ای از اشیاء، اعداد یا موجودات مشخص و کاملا متمایز که قابل‌شمارش یا تشخیص باشند، مجموعه می‌گوییم. دو شرط اصلی برای مجموعه بودن به این صورت است که:

1. اعضا کاملا مشخص و بدون ابهام باشند.
2. اعضا تکراری نباشند.

منظور از شرط اول این است که عضویت هر عضو در آن مجموعه مشخص باشد و سلایق شخصی در آن دخیل نباشد. برای نمونه، «اعداد طبیعی یک‌رقمی» یا «پایتخت‌های کشورهای آسیا» مجموعه‌هایی هستند که در آن‌ها اعضا کاملا مشخص و بدون ابهام‌اند. اما «شاعر بزرگ ایران» یا «چند عدد زوج» مجموعه محسوب نمی‌شوند، چون کلماتی مانند بزرگ، خوب یا چند مبهم و سلیقه‌ای هستند. در مورد دومین شرط نیز اگر عضوی در یک مجموعه چند بار نوشته شود، فقط یک‌ بار حساب می‌شود. برای مثال، مجموعه حروف کلمه «دانا» برابر است با:

{د, ا, ن}

نمایش ریاضی و نمادهای عضویت

مجموعه‌ها را معمولا با حروف بزرگ انگلیسی مانند $$A, B, C$$ نمایش می‌دهند. همچنین اعضای مجموعه داخل دو آکولاد { } قرار می‌گیرند و با کاما یا ویرگول از هم جدا می‌شوند. برای مثال، مجموعه اعداد اول یک رقمی را اگر $$A$$ بنامیم، به شکل زیر نمایش داده می‌شود:

$$A = \{2, 3,5, 7\}$$

همچنین اگر $$x$$ عضوی از مجموعه $$A$$ باشد، می‌نویسیم $$x \in A$$ که خوانده می‌شود:

$$x$$ عضو $$A$$ است.

اما اگر $$x$$ عضوی از مجموعه $$A$$ نباشد، می‌نویسیم $$x \notin A$$  که خوانده می‌شود:

$$x$$ عضو $$A$$ نیست.

ترتیب نوشتن اعضا داخل آکولاد هیچ تاثیری در ماهیت مجموعه ندارد. یعنی داریم:

$$\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}$$

مجموعه تهی

مجموعه‌ای که هیچ عضوی نداشته باشد را مجموعه تهی می‌نامیم. این مجموعه معمولا با نماد $$\emptyset$$ یا $$\{\}$$ نشان داده می‌شود. دقت کنید مجموعه‌هایی مانند $$\{\emptyset\}$$ یا $$\{0\}$$ مجموعه تهی نیستند، بلکه مجموعه‌هایی تک‌عضوی هستند که اولی دارای یک عضو به نام نماد تهی و دومی دارای عضوی به نام عدد صفر است.

نمودار ون

نمایش تصویری مجموعه‌ها به کمک یک منحنی بسته‌ (دایره یا بیضی) را نمودار ون می‌گوییم. برای رسم نمودار ون کافی است اسم مجموعه را در کنار منحنی بنویسیم و هر عضو را با یک نقطه داخل منحنی مشخص کنیم. در حالت کلی یک مجموعه مانند مجموعه اعداد طبیعی فرد کمتر از $$6$$ را می‌توان به سه روش اصلی نشان داد:

• توصیف کلامی: مجموعه اعداد طبیعی فرد کمتر از $$6$$
• نمایش اعضا داخل آکولاد: $$\{1, 3, 5\}$$
• نمودار ون: رسم یک شکل بسته و قرار دادن اعداد $$1$$ و $$3$$ و $$5$$ داخل آن

حل نمونه سوال از معرفی مجموعه

در این بخش به بررسی چند نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول با تمرکز بر ویژگی‌های مجموعه خواهیم پرداخت.

مثال ۱

کدامیک از گزینه‌های زیر حتما یک مجموعه را مشخص می‌کند؟

1. سه عدد صحیح و زوج متوالی
2. اعداد طبیعی بین $$2$$ و $$3$$
3. چند عدد اول کوچکتر از $$20$$
4. شاعرهای معروف ایران

پاسخ

فقط دومین مورد یعنی اعداد طبیعی بین $$2$$ و $$3$$، یک مجموعه است. مورد اول عبارت یعنی سه عدد صحیح و زوج متوالی مشخص نیست و ابهام دارد، چون بی‌نهایت دسته سه‌تایی از اعداد زوج متوالی وجود دارد مانند دو مورد زیر:

$$\{2, 4, 6\}$$

$$\{10, 12, 14\}$$

بنابراین مشخص نبودن دقیق اعضا باعث می‌شود مورد اول مجموعه نباشد. در دومین مورد، عددی بین $$2$$ و $$3$$ وجود ندارد که عدد طبیعی باشد. بنابراین اعضای این مجموعه هیچ است. مجموعه تهی ($$\emptyset$$) یک مجموعه کاملا مشخص و معتبر در درس ریاضی است. در سومین مورد عبارت چند عدد اول کوچکتر از $$20$$، سلیقه‌ای و مبهم است، چون تعداد و مشخصات اعداد تعیین نشده است. در نهایت در آخرین مورد کلمه معروف یک صفت کیفی و سلیقه‌ای است و از نظر افراد مختلف معیارهای متفاوتی دارد. پس نمی‌توان این عبارت را یک مجموعه دانست.

مثال ۲

مجموعه $$A = \{x \mid x^2 = 9 , x \in \mathbb{W}\}$$ چند عضو دارد؟

پاسخ

برای تعیین اعضای مجموعه $$A = \{x \mid x^2 = 9 , x \in \mathbb{W}\}$$، ابتدا معادله درجه دوم زیر را حل می‌کنیم:

$$x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9}$$

$$\implies x = 3 \text{ یا } x = -3$$

شرط دوم سوال این است که $$x \in \mathbb{W}$$ باشد. می‌دانیم $$\mathbb{W}$$ مجموعه اعداد حسابی یعنی $$\{0, 1, 2, 3, \dots\}$$ است. پس $$3 \in \mathbb{W}$$ است، اما در مورد ریشه دیگر داریم $$-3 \notin \mathbb{W}$$. بنابراین این مجموعه تنها دارای یک عضو است، یعنی $$A = \{3\}$$ و تعداد اعضای آن برابر با $$1$$ است یا $$n(A) = 1$$.

مثال ۳

اگر مجموعه‌ای به شکل $$B = \{a, \{b\}, \emptyset\}$$ باشد، کدامیک از عبارت‌های زیر نادرست است؟

1. $$\emptyset \in B$$
2. $$\{b\} \in B$$
3. $$b \in B$$
4. $$a \in B$$

پاسخ

اعضای مجموعه $$B = \{a, \{b\}, \emptyset\}$$ دقیقا شامل سه عنصر زیر هستند:

• عنصر اول: حرف $$a$$
• عنصر دوم: مجموعه تک‌عضوی $$\{b\}$$
• عنصر سوم: نماد تهی $$\emptyset$$

حالا به بررسی درستی یا نادرستی گزینه‌های داده شده می‌پردازیم:

1. $$\emptyset \in B$$ درست است، چون $$\emptyset$$ به عنوان عضو داخل $$B$$ نوشته شده است.
2. $$\{b\} \in B$$ درست است، چون عبارت $$\{b\}$$ دقیقا یکی از اعضای $$B$$ است.
3. $$b \in B$$ نادرست است، چون حرف $$b$$ به تنهایی عضو $$B$$ نیست، بلکه مجموعه شامل آن یعنی $$\{b\}$$ عضو $$B$$ است.
4. $$a \in B$$ درست است.

مثال ۴

تعداد اعضای مجموعه $$C = \{x \in \mathbb{N} \mid -2 < x \le 3\}$$ چقدر است؟

پاسخ

ابتدا شرط مجموعه را بررسی می‌کنیم. مجموعه $$C = \{x \in \mathbb{N} \mid -2 < x \le 3\}$$ شامل اعدادی است که دو شرط را همزمان داشته باشند:

1. $$x \in \mathbb{N}$$ باشد، که $$\mathbb{N}$$ مجموعه اعداد طبیعی یا $$\{1, 2, 3, 4, \dots\}$$ است.
2. در نامعادله $$-2 < x \le 3$$ صدق کنند.

اعداد صحیحی که در بازه نامعادله بالا (شرط دوم) قرار دارند عبارت‌اند از:

$$\{-1, 0, 1, 2, 3\}$$

از بین این اعداد، فقط اعداد مثبت طبیعی هستند:

$$\{1, 2, 3\}$$

پس مجموعه $$C = \{1, 2, 3\}$$ دارای سه عضو است.

مثال ۵

کدامیک از مجموعه‌های زیر تهی است؟

1. $$\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 1 = 0\}$$
2. $$\{0\}$$
3. $$\{\emptyset\}$$
4. $$\{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = 4\}$$

پاسخ

برای هر کدام از چهار گزینه بالا داریم:

1. معادله $$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$$ در مجموعه اعداد حقیقی ($$\mathbb{R}$$) هیچ جوابی ندارد، چون مجذور هیچ عدد حقیقی منفی نمی‌شود. بنابراین این مجموعه تهی ($$\emptyset$$) است.
2. مجموعه $$\{0\}$$ دارای یک عضو به نام عدد صفر است ($$n = 1$$).
3. مجموعه $$\{\emptyset\}$$ دارای یک عضو به نام نماد تهی است ($$n = 1$$).
4. معادله $$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ در اعداد صحیح دارای دو جواب است، پس این مجموعه دو عضو دارد: $$\{2, -2\}$$.

مثال ۶

مجموعه‌ای دارای چهار عضو متمایز است. اگر دو عضو جدید که تکراری هستند به آن اضافه کنیم، تعداد اعضای مجموعه جدید چقدر می‌شود؟

پاسخ

در بخش‌های قبل توضیح دادیم که عضو تکراری در مجموعه نوشته نمی‌شود و اگر نوشته شود، فقط یکبار شمرده خواهد شد. تعداد اعضای اولیه مجموعه چهار عضو است که با اضافه کردن دو عضو جدید که خودشان تکراری هستند (یعنی قبلا در مجموعه وجود داشته‌اند یا با هم برابرند)، هیچ عضو جدید و متمایزی به مجموعه اضافه نمی‌شود. بنابراین تعداد اعضای مجموعه پس از این تغییر، بدون تغییر باقی می‌ماند و برابر با چهار خواهد بود.

مثال ۷

در نمودار ون یک مجموعه، اگر پنج نقطه درون منحنی بسته رسم شده باشد و یکی از نقاط نشان‌دهنده کلمه تهی باشد، این مجموعه چند عضو دارد؟

پاسخ

در نمودار ون، هر نقطه داخل منحنی بسته نشان‌ دهنده یک عضو مجزا در مجموعه است. وجود پنج نقطه درون منحنی یعنی مجموعه دارای پنج عضو مستقل است. نوشته شدن کلمه تهی کنار یکی از نقاط به این معنی است که آن عضو خاص، مفهوم تهی دارد، نه اینکه مجموعه خالی باشد. بنابراین تعداد اعضا برابر با پنج است.

مثال ۸

عبارت زیر مشخص‌ کننده چند عضو است؟

$$E = \{(-1)^n \mid n \in \mathbb{N}\}$$

پاسخ

فرم کلی اعضای مجموعه $$E = \{(-1)^n \mid n \in \mathbb{N}\}$$ به صورت $$(-1)^n$$ است که $$n$$ یک عدد طبیعی است ($$n \in \{1, 2, 3, 4, \dots\}$$):

• به ازای $$n = 1 \implies (-1)^1 = -1$$
• به ازای $$n = 2 \implies (-1)^2 = 1$$
• به ازای $$n = 3 \implies (-1)^3 = -1$$
• به ازای $$n = 4 \implies (-1)^4 = 1$$

با حذف اعضای تکراری، مقادیر خروجی به‌صورت متناوب فقط دو عدد $$-1$$ و $$1$$ هستند. پس مجموعه نهایی برابر است با: $$E = \{-1, 1\}$$ و این مجموعه دارای دو عضو است.

یادگیری دروس پایه نهم با فرادرس

پیش از اینکه به سراغ انواع دیگر نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول برویم، در این بخش قصد داریم مروری داشته باشیم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس با تمرکز بر کتاب‌های پایه نهم:

• فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم + گواهینامه فرادرس
• فیلم آموزش ریاضی نهم – نکته و تست آزمون نمونه دولتی و تیزهوشان فرادرس
• فیلم آموزش علوم تجربی پایه نهم – بخش فیزیک فرادرس
• فیلم آموزش علوم تجربی پایه نهم – بخش شیمی فرادرس

مجموعه‌ های برابر و نمایش مجموعه‌ ها

دومین درس برای حل نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول اختصاص دارد به توضیح برابری و نمایش مجموعه‌ها. دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ را برابر می‌گوییم، هرگاه هر عضو $$A$$ عضوی از $$B$$ باشد و هر عضو $$B$$ نیز عضوی از $$A$$ باشد. به زبان ریاضی برابری دو مجموعه را به شکل زیر می‌نویسیم:

$$A = B$$

در مورد برابر بودن مجموعه‌ها نکات زیر حتما توجه کنید:

• تکرار اعضا در یک مجموعه، اعضای جدیدی ایجاد نمی‌کند: $$\{1, 2, 2, 3\} = \{1, 2, 3\}$$
• ترتیب نوشتن اعضای یک مجموعه اهمیتی ندارد: $$\{a, b, c\} = \{c, a, b\}$$

زیرمجموعه چیست؟

مجموعه $$A$$ را زیرمجموعه $$B$$ می‌نامیم، هرگاه هر عضو $$A$$، عضوی از $$B$$ نیز باشد. زیر مجموعه را در ریاضیات به شکل $$A \subseteq B$$ نشان می‌دهیم و خوانده می‌شود:

$$A$$ زیرمجموعه $$B$$ است.

اگر حداقل یک عضو در $$A$$ باشد که در $$B$$ نباشد، می‌نویسیم $$A \nsubseteq B$$ و می‌خوانیم:

$$A$$ زیرمجموعه $$B$$ نیست.

ویژگی‌های مهم زیرمجموعه عبارت‌اند از:

• مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است: $$\emptyset \subseteq A$$.
• هر مجموعه زیرمجموعه خودش است: $$A \subseteq A$$.
• دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ برابراند اگر و تنها اگر هم $$A \subseteq B$$ باشد و هم $$B \subseteq A$$.
• اگر یک مجموعه دارای $$n$$ عضو باشد، تعداد کل زیرمجموعه‌های آن از فرمول $$2^n$$ به‌دست می‌آید.

نمایش ریاضی مجموعه‌ ها

برای نمایش مجموعه‌های نامتناهی یا مجموعه اعدادی مانند $$\mathbb{N}$$ و $$\mathbb{Z}$$ و $$\mathbb{R}$$، از نمادهای ریاضی به صورت زیر استفاده می‌شود:

$$A = \{x \in D \mid P(x)\}$$

که در آن $$x$$، متغیر عضوها، $$D$$ مجموعه مرجع مانند $$\mathbb{N}$$ یا $$\mathbb{Z}$$ و $$P(x)$$ شرط یا ویژگی اعضا است. برای مثال‌، دو مجموعه کاربردی زیر را ببینید:

• مجموعه اعداد زوج طبیعی: $$E = \{2x \mid x \in \mathbb{N}\} = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$$
• مجموعه اعداد فرد طبیعی: $$O = \{2x - 1 \mid x \in \mathbb{N}\} = \{1, 3, 5, 7, \dots\}$$

مجموعه‌های مهم اعداد و رابطه زیرمجموعه‌ای آن‌ها نیز به شکل زیر است:

$$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{W} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$$

• $$\mathbb{N}$$: مجموعه اعداد طبیعی به شکل $$\{1, 2, 3, \dots\}$$
• $$\mathbb{W}$$: مجموعه اعداد حسابی به شکل $$\{0, 1, 2, 3, \dots\}$$
• $$\mathbb{Z}$$: مجموعه اعداد صحیح به شکل $$\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$$
• $$\mathbb{Q}$$: مجموعه اعداد گویا به شکل $$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \;\middle\vert{}\; a, b \in \mathbb{Z} \text{ و } b \neq 0 \right\}$$
• $$\mathbb{R}$$: مجموعه اعداد حقیقی به شکل $$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'$$ که $$\mathbb{Q}'$$ مجموعه اعداد گنگ است.

همچنین پیشنهاد می‌کنیم برای آمادگی و جمع‌بندی بهتر، مطلب «نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب – از صفر تا صد» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

حل نمونه سوال از برابری و نمایش مجموعه

در این بخش به بررسی چند نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول با تمرکز بر درس دوم خواهیم پرداخت.

مثال ۱

مجموعه $$A = \{3x - 1 \mid x \in \mathbb{W} , x < 4\}$$ را با نوشتن اعضا مشخص کنید و تعداد اعضای آن را به‌دست آورید:

پاسخ 

طبق شرط داخل مجموعه، مقادیر $$x$$ باید متعلق به مجموعه اعداد حسابی ($$\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$$) و کوچکتر از $$4$$ باشند. پس داریم:

$$x \in \{0, 1, 2, 3\}$$

در مرحله دوم باید جایگذاری در فرمول $$3x - 1$$ را انجام دهیم:

$$x = 0 \implies 3(0) - 1 = -1$$

$$x = 1 \implies 3(1) - 1 =$$2

$$x = 2 \implies 3(2) - 1 = 5$$

$$x = 3 \implies 3(3) - 1 = 8$$

بنابراین $$A = \{-1, 2, 5, 8\}$$ و تعداد اعضای آن برابر با چهار است ($$n(A) = 4$$).

مثال ۲

مجموعه $$B = \{5, 10, 15, 20, \dots\}$$ را با نمادهای ریاضی (نمایش نمادین) بنویسید:

پاسخ

اعضای مجموعه $$B$$ مضارب مثبت عدد $$5$$ هستند. پس الگوی اعضا به صورت $$5k$$ است که در آن $$k$$ یک عدد طبیعی است:

$$B = \{5k \mid k \in \mathbb{N}\}$$

مثال ۳

اگر مجموعه $$C$$ دارای $$64$$ زیرمجموعه باشد، این مجموعه چند عضو دارد؟ اگر دو عضو جدید به این مجموعه اضافه شود، تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه جدید چقدر خواهد بود؟

پاسخ

می‌دانیم فرمول تعداد زیرمجموعه‌ها $$2^n$$ است که در آن $$n$$ تعداد اعضاست. پس داریم:

$$2^n = 64 \implies 2^n = 2^6 \implies n = 6$$

بنابراین مجموعه اولیه دارای $$6$$ عضو است. در مرحله بعدی با اضافه شدن دو عضو جدید، تعداد اعضا برابر با $$6 + 2 = 8$$ می‌شود. بنابراین تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه جدید عبارت است از:

$$2^8 = 256$$

مثال ۴

با توجه به مجموعه‌های $$A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 \le x < 2\}$$ و $$B = \{x \in \mathbb{W} \mid x \le 3\}$$، مشخص کنید رابطه $$A \subseteq B$$ درست است یا نه؟ چرا؟

پاسخ

ابتدا به تعیین اعضای $$A$$ می‌پردازیم. اعداد صحیح در بازه $$[-3, 2)$$ عبارت‌اند از:

$$A = \{-3, -2, -1, 0, 1\}$$

سپس تعیین اعضای $$B$$ را داریم. تمام اعداد حسابی کوچکتر یا مساوی $$3$$ عبارت‌اند از:

$$B = \{0, 1, 2, 3\}$$

برای اینکه $$A \subseteq B$$ باشد، باید تمام اعضای $$A$$ در $$B$$ حضور داشته باشند. اما اعضایی مانند $$-3 \in A$$ وجود دارند که در $$B$$ نیستند، چون $$-3 \notin \mathbb{W}$$. پس رابطه $$A \subseteq B$$ نادرست است.

مثال ۵

اگر $$A = \{2, \{3\}, \emptyset\}$$ باشد، درست یا نادرست بودن گزاره‌های زیر را مشخص کنید:

1. $$\{3\} \in A$$
2. $$\{3\} \subseteq A$$
3. $$\emptyset \subseteq A$$
4. $$\emptyset \in A$$

پاسخ

به ترتیب به بررسی چهار گزاره بالا می‌پردازیم:

1. درست است، عبارت $$\{3\}$$ دقیقا یکی از اعضای داخل آکولاد $$A$$ است.
2. نادرست است، برای اینکه $$\{3\}$$ زیرمجموعه $$A$$ باشد، باید عضو داخل آن یعنی $$3$$ عضوی از $$A$$ باشد، اما خود عدد $$3$$ به تنهایی عضو $$A$$ نیست. زیرمجموعه درست آن $$\{\{3\}\} \subseteq A$$ است.
3. درست است، مجموعه تهی ($$\emptyset$$) زیرمجموعه هر مجموعه‌ای است.
4. درست است، نماد $$\emptyset$$ مستقیما به عنوان یکی از اعضای $$A$$ نوشته شده است.

اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها

سومین درس از فصل اول ریاضی نهم در مورد اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌‌ها است. در این بخش ابتدا مروری داریم بر تعریف و نکات مهم در مورد این مباحث و سپس به ادامه حل نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول خواهیم پرداخت. اشتراک دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ مجموعه‌ای است شامل تمام اعضایی که هم در $$A$$ و هم در $$B$$ وجود دارند (اعضای مشترک). نماد $$A \cap B$$ که خوانده می‌شود $$A$$ اشتراک $$B$$ برای نشان دادن اشتراک دو مجموعه استفاده می‌شود:

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ و } x \in B\}$$

دقت کنید در نمودار ون، اشتراک دو مجموعه برابر است با بخش هم‌پوشانی یا اشتراک دو دایره. اما اجتماع دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ مجموعه‌ای است شامل تمام اعضایی که حداقل در یکی از دو مجموعه حضور دارند (همه اعضا بدون تکرار). نماد این اجتماع به شکل $$A \cup B$$ است که خوانده می‌شود $$A$$ اجتماع $$B$$:

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ یا } x \in B\}$$

در نمودار ون نیز اجتماع یعنی کل فضای داخل هر دو دایره با هم. تفاضل مجموعه $$A$$ از $$B$$ یعنی $$A - B$$ نیز مجموعه‌ای است شامل اعضایی که در $$A$$ هستند ولی در $$B$$ نیستند. نماد ریاضیاتی تفاضل دو مجموعه به‌صورت $$A - B$$ است که خوانده می‌شود $$A$$ منهای $$B$$:

$$A - B = \{x \mid x \in A \text{ و } x \notin B\}$$

نکته مهم این است که تفاضل خاصیت جابجایی ندارد، یعنی $$A - B \neq B - A$$ است. در ادامه مهم‌ترین فرمول‌های مربوط به این بخش را ملاحظه می‌کنید:

$$A - B = A - (A \cap B)$$

اگر $$A \subseteq B$$ باشد، رابطه زیر برقرار است:

$$A \cap B = A \quad \text{و} \quad A \cup B = B$$

همچنین در این حالت داریم:

$$A - B = \emptyset$$

فرمول تعداد اعضای اجتماع نیز به شکل زیر است:

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

حل نمونه سوال از اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها

در این بخش به بررسی چند نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول با تمرکز بر سومین مبحث خواهیم پرداخت.

مثال ۱

اگر مجموعه‌های $$A$$ و $$B$$ و $$C$$ به‌صورت زیر تعریف شده باشند:

$$A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -2 \le x < 3\}$$

$$B = \{x \in \mathbb{W} \mid x \le 4\}$$

$$C = \{2x \mid x \in \mathbb{N} , x \le 3\}$$

مجموعه‌های زیر را با نوشتن اعضا مشخص کنید:

1. $$(A \cap B) - C$$
2. $$(A \cup C) - B$$

پاسخ

اعضای $$A$$ همان اعداد صحیح از $$-2$$ تا قبل از $$3$$ هستند. پس داریم:

$$A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$$

اعضای $$B$$ نیز اعداد حسابی کوچکتر یا مساوی $$4$$ هستند:

$$B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$$

اعضای $$C$$ عبارت‌اند از زوج‌های حاصل از ضرب اعداد طبیعی $$1$$ تا $$3$$ در $$2$$:

$$x = 1 \implies 2(1) = 2$$

$$x = 2 \implies 2(2) = 4$$

$$x = 3 \implies 2(3) = 6$$

$$C = \{2, 4, 6\}$$

حالا ابتدا اشتراک $$A$$ و $$B$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$A \cap B = \{0, 1, 2\}$$

سپس تفاضل آن از $$C$$ را به‌دست می‌آوریم. دقت کنید اعضایی که در $$A \cap B$$ هستند ولی در $$C$$ نیستند، این مجموعه را تشکیل می‌دهند:

$$(A \cap B) - C = \{0, 1, 2\} - \{2, 4, 6\} = \{0, 1\}$$

در دومین مورد، ابتدا اجتماع $$A$$ و $$C$$ را به‌دست می‌آوریم:

$$A \cup C = \{-2, -1, 0, 1, 2, 4, 6\}$$

سپس تفاضل آن را از $$B$$ حساب می‌کنیم. پس اعضایی از $$A \cup C$$ که در $$B$$ حضور ندارند، عبارت‌اند از:

$$(A \cup C) - B = \{-2, -1, 0, 1, 2, 4, 6\} - \{0, 1, 2, 3, 4\} = \{-2, -1, 6\}$$

مثال ۲

اگر در یک کلاس $$30$$ نفره، تعداد $$18$$ نفر در گروه فوتبال، $$15$$ نفر در گروه والیبال و $$5$$ نفر در هیچ‌کدام از گروه‌ها عضو نباشند، چند نفر فقط در گروه فوتبال عضو هستند؟

پاسخ

اگر $$F$$ مجموعه فوتبالیست‌ها، $$V$$ مجموعه والیبالیست‌ها و $$U$$ کل دانش‌آموزان باشند، طبق صورت سوال $$n(U) = 30$$ است. چون $$5$$ نفر در هیچ‌کدام از دو گروه ورزشی نیستند، پس تعداد کسانی که حداقل در یک رشته حضور دارند برابر می‌شود با:

$$n(F \cup V) = 30 - 5 = 25$$

حالا طبق فرمول $$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$، داریم:

$$n(F \cup V) = n(F) + n(V) - n(F \cap V)$$

$$25 = 18 + 15 - n(F \cap V)$$

$$\implies 25 = 33 - n(F \cap V) \implies n(F \cap V) = 33 - 25 = 8$$

بنابراین $$8$$ نفر در هر دو رشته عضو هستند. حالا برای محاسبه کسانی که فقط فوتبال بازی می‌کنند، به این شکل عمل می‌کنیم:

$$n(F - V) = n(F) - n(F \cap V) = 18 - 8 = 10$$

مثال ۳

اگر داشته باشیم $$A \subseteq B$$، حاصل عبارت زیر را پیدا کنید:

$$[(A \cup B) - (A \cap B)] \cap A$$

پاسخ

دقت کنید وقتی که $$A \subseteq B$$ باشد، اجتماع دو مجموعه برابر با مجموعه بزرگتر است:

$$A \cup B = B$$

همچنین اشتراک دو مجموعه نیز برابر با مجموعه کوچکتر است:

$$A \cap B = A$$

دو نتیجه بالا را در عبارت صورت سوال جایگذاری می‌کنیم:

$$(A \cup B) - (A \cap B) = B - A$$

حالا باید اشتراک $$(B - A)$$ و $$A$$ را بگیریم:

$$(B - A) \cap A$$

طبق تعریف تفاضل، مجموعه $$B - A$$ هیچ عضو مشترکی با مجموعه $$A$$ ندارد، چون شامل اعضایی است که در $$A$$ نیستند. پس اشتراک آن‌ها با $$A$$ تهی است:

مثال ۴

اگر $$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$$ و $$B = \{3, 4, 6, 7\}$$ باشند، نشان دهید که رابطه زیر همواره برقرار است:

$$(A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)$$

پاسخ

ابتدا سمت چپ یعنی تفاضل‌های قرینه را محاسبه می‌کنیم:

$$A - B = \{1, 2, 3, 4, 5\} - \{3, 4, 6, 7\} = \{1, 2, 5\}$$

$$B - A = \{3, 4, 6, 7\} - \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{6, 7\}$$

اجتماع آن‌ها برابر است با:

$$(A - B) \cup (B - A) = \{1, 2, 5\} \cup \{6, 7\} = \{1, 2, 5, 6, 7\}$$

محاسبه سمت راست نیز به شکل زیر است:

$$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$$

$$A \cap B = \{3, 4\}$$

تفاضل آن‌ها برابر می‌شود با:

$$(A \cup B) - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} - \{3, 4\} = \{1, 2, 5, 6, 7\}$$

پس مقادیر هر دو طرف با هم برابر و رابطه اثبات شد.

مثال ۵

اگر مجموعه $$A$$ دارای $$5$$ عضو، مجموعه $$B$$ دارای $$7$$ عضو و اشتراک آن‌ها $$A \cap B$$ دارای $$2$$ عضو باشد، تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه $$B - A$$ چقدر است

پاسخ

ابتدا تعداد اعضای $$B - A$$ را حساب می‌کنیم. طبق فرمول تعداد اعضای تفاضل داریم:

$$n(B - A) = n(B) - n(A \cap B)$$

$$n(B - A) = 7 - 2 = 5$$

می‌دانیم تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه $$k$$ عضوی برابر با $$2^k$$ است. پس داریم:

$$2^{n(B - A)} = 2^5 = 32$$

مجموعه ها و احتمال

در آخرین درس فصل اول ریاضی نهم به بررسی مفهوم احتمال می‌پردازیم. اولین قدم در یادگیری احتمال آشنایی با چند پارامتر مهم آن است. برای مثال به آزمایشی که قبل از انجام آن، حالت‌های ممکن را می‌شناسیم، اما نمی‌توانیم با قطعیت بگوییم کدام‌ رخ خواهد داد، آزمایش تصادفی می‌گوییم. پرتاب تاس یا سکه دو نمونه از معروف‌ترین آزمایش‌های تصادفی در دنیای احتمال هستند.

همچنین مجموعه تمام حالت‌های ممکن در یک آزمایش تصادفی، فضای نمونه‌ای یا $$S$$ نامیده می‌شود و هر زیرمجموعه از این فضا را یک پیشامد تصادفی یا $$A$$ می‌نامند. پس داریم $$A \subseteq S$$. برای حل سریع‌تر انواع نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول در مورد مبحث احتمال، فرمول‌هایی وجود دارد که برای به‌دست آوردن اعضای فضای نمونه‌ای یا $$n(S)$$ به شما کمک می‌کند. در ادامه این روابط را توضیح می‌دهیم:

• پرتاب تاس و سکه: اگر $$k$$ سکه و $$m$$ تاس را همزمان پرتاب کنیم، $$n(S)$$ برابر است با:

$$n(S) = 2^k \times 6^m$$

• انتخاب مهره یا کارت بدون جایگذاری: برای انتخاب $$k$$ مهره از $$n$$ مهره، جایگذاری انجام نمی‌شود و ترتیب مهم نیست.
• خانواده $$n$$ فرزندی: تعداد کل حالات جنسیت فرزندان برابر است با:

$$n(S) = 2^n$$

همچنین پیشامدهای مهم و فرمول‌های تکمیلی این بخش به شکل زیر است:

• پیشامد متمم ($$A'$$): پیشامدی که شامل آن اعضایی از فضای نمونه‌ای $$S$$ است که در $$A$$ حضور ندارند. یعنی داریم:

$$A' = S - A$$

$$P(A') = 1 - P(A)$$

• پیشامد $$A \cup B$$: رخ دادن حداقل یکی از دو پیشامد $$A$$ یا $$B$$.
• پیشامد $$A \cap B$$: رخ دادن همزمان هر دو پیشامد $$A$$ و $$B$$.
• احتمال رخ دادن اجتماع دو پیشامد:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

• پیشامدهای ناسازگار: دو پیشامد $$A$$ و $$B$$ را ناسازگار می‌گوییم، اگر همزمان رخ ندهند، یعنی هیچ عضو مشترکی نداشته باشند و $$A \cap B = \emptyset$$. در این حالت داریم:

$$P(A \cap B) = 0 \implies P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

حل نمونه سوال از مجموعه ها و احتمال

در این بخش به بررسی چند نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول با تمرکز بر مبحث احتمال خواهیم پرداخت.

مثال ۱

سکه و تاسی را با هم می‌اندازیم. احتمال اینکه سکه «رو» و شماره تاس «عدد اول» باشد چقدر است؟

پاسخ

ابتدا به محاسبه فضای نمونه‌ای می‌پردازیم. سکه دو حالت و تاس شش حالت دارد:

$$n(S) = 2 \times 6 = 12$$

حالا اعضای پیشامد $$A$$ را حساب می‌کنیم. اعداد اول روی تاس شامل $$\{2, 3, 5\}$$ هستند. پس حالات مطلوب عبارت‌اند از:

$$A = \{(\text{رو}, 2), (\text{رو}, 3), (\text{رو}, 5)\} \implies n(A) = 3$$

و در نهایت محاسبه احتمال را داریم:

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

مثال ۲

در یک خانواده با سه فرزند، چقدر احتمال دارد که حداقل یک فرزند دختر باشد؟

پاسخ

محاسبه فضای نمونه‌ای به‌صورت زیر انجام می‌شود:

$$n(S) = 2^3 = 8$$

می‌دانیم متمم پیشامد «حداقل یک دختر»، پیشامد $$A'$$ یعنی «هیچ دختری نباشد (هر سه پسر باشند)» است. پس داریم:

$$A' = \{(\text{پسر}, \text{پسر}, \text{پسر})\} \implies n(A') = 1$$

$$P(A') = \frac{1}{8}$$

پس محاسبه احتمال پیشامد اصلی به شکل زیر است:

$$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

مثال ۳

دو تاس سالم را با هم می‌اندازیم:

• احتمال اینکه مجموع دو تاس برابر $$8$$ شود، چقدر است؟
• احتمال اینکه اعداد رو شده مساوی باشند چقدر است؟

پاسخ

فضای نمونه‌ای در این سوال به صورت زیر است:

$$n(S) = 6 \times 6 = 36$$

در بخش اول باید مجموع برابر با $$8$$ باشد:

$$A = \{(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)\} \implies n(A) = 5$$

$$P(A) = \frac{5}{36}$$

در بخش بعدی، لازم است اعداد دو تاس مساوی باشند:

$$B = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\} \implies n(B) = 6$$

$$P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

مثال ۴

در کیسه‌ای $$4$$ مهره قرمز، $$5$$ مهره آبی و $$3$$ مهره سبز وجود دارد. یک مهره به تصادف خارج می‌کنیم. احتمال اینکه مهره خارج شده قرمز یا سبز باشد چقدر است؟

پاسخ

فضای نمونه‌ای برای این سوال به شکل زیر است:

$$n(S) = 4 + 5 + 3 = 12$$

در نهایت تحلیل پیشامد به این صورت انجام می‌شود که چون یک مهره نمی‌تواند همزمان هم قرمز و هم سبز باشد، پس دو پیشامد $$R$$ (قرمز) و $$G$$ (سبز) ناسازگار هستند. تعداد اعضای مطلوب برابر است با:

$$n(R \cup G) = 4 + 3 = 7$$

و احتمال می‌شود:

$$P(R \cup G) = \frac{7}{12}$$

مثال ۵

مجموعه $$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$$ داده شده است. یکی از زیرمجموعه‌های $$A$$ را به تصادف انتخاب می‌کنیم. احتمال اینکه زیرمجموعه انتخاب‌شده حداقل دارای سه عضو باشد، چقدر است؟

پاسخ

ابتدا تعداد کل حالت‌های ممکن یعنی $$n(S)$$ را محاسبه می‌کنیم. تعداد کل حالت‌های انتخاب یک زیرمجموعه برابر است با تعداد کل زیرمجموعه‌های مجموعه $$A$$:

$$n(S) = 2^n = 2^5 = 32$$

سپس تعداد حالت‌های مطلوب یعنی $$n(E)$$ را پیدا می‌کنیم. در سوال گفته شده که زیرمجموعه‌های مطلوب باید حداقل سه عضو داشته باشند. پس باید زیرمجموعه‌های سه عضوی، چهار عضوی یا پنج عضوی را بشماریم:

• تعداد زیرمجموعه‌های پنج عضوی می‌شود: $$1$$ حالت (خود مجموعه $$A$$)
• تعداد زیرمجموعه‌های چهار عضوی می‌شود: $$5$$ حالت (حذف یکی از پنج عضو $$\binom{5}{4} = 5$$)
• تعداد زیرمجموعه‌های سه عضوی می‌شود: $$10$$ حالت (انتخاب سه از پنج $$\binom{5}{3} = 10$$)

پس مجموع حالات مطلوب برابر‌اند با:

$$n(E) = 10 + 5 + 1 = 16$$

در گام بعدی احتمال به دست می‌آید:

$$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$$

مثال ۶

دو تاس را با هم می‌اندازیم. احتمال اینکه حاصل‌ضرب اعداد رو شده عددی زوج باشد به شرطی که مجموع آن‌ها اول نباشد، کدام است؟

پاسخ

می‌دانیم پرتاب دو تاس $$n(S) = 36$$ حالت دارد. ابتدا حالاتی که مجموع دو تاس عدد اول می‌شود را حذف می‌کنیم. مجموع دو تاس عددی بین $$2$$ تا $$12$$ است. اعداد اول در این بازه عبارت‌اند از:

$$\{2, 3, 5, 7, 11\}$$

• برای مجموع $$2$$ یک حالت داریم: $$(1,1)$$
• برای مجموع $$3$$ دو حالت داریم: $$(2,1)$$ و $$(1,2)$$
• برای مجموع $$5$$ چهار حالت داریم: $$(3,2)$$ و $$(2,3)$$ و ...
• برای مجموع $$7$$ شش حالت داریم: $$(4,3)$$ و $$(3,4)$$ و ...
• برای مجموع $$11$$ دو حالت داریم: $$(6,5)$$ و $$(5,6)$$

بنابراین تعداد کل حالت‌هایی که مجموع آن‌ها اول است می‌شود $$= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$$ حالت. پس تعداد حالت‌هایی که مجموع دو تاس اول نیست، برابر است با:

$$n(S_{\text{جدید}}) = 36 - 15 = 21$$

همچنین می‌دانیم حاصل‌ضرب دو عدد زمانی فرد است که هر دو عدد فرد باشند. حالت‌هایی که هر دو فرد باشند، به شکل زیر است:

$$3 \times 3 = 9$$

پس حالت‌های زوج بودن می‌شود:

$$36 - 9 = 27$$

حالا از این بیست و هفت حالت، حالت‌هایی را که مجموع‌شان اول بود کم می‌کنیم. زوج بودن ضرب و اول بودن مجموع را در نظر می‌گیریم و داریم:

$$(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (1,6), (6,1), (5,6), (6,5)$$

که می‌شود $$8$$ حالت. پس حالت‌های مطلوب جدید $$27 - 8 = 19$$ است. در آخرین گام، احتمال را حساب می‌کنیم:

$$P(E) = \frac{19}{21}$$

یادگیری ریاضیات متوسطه با فرادرس

در این بخش مروری داریم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی فرادرس در زمینه یادگیری و تسلط بیشتر بر ریاضیات متوسطه دوم:

• فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین
• فیلم آموزش آمار و احتمال – پایه یازدهم

آزمون و نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس آزمون جامعی برای شما تنظیم شده است تا با پاسخ‌دهی به این مجموعه از نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول، بتوانید میزان یادگیری خود را بسنجید. برای مشاهده نمره خود، کافی است در انتها روی بخش «مشاهده نتیجه آزمون» کلیک کنید.

همچنین جدول زیر تمامی فرمول‌ها، نمادها و روابط کلیدی فصل اول کتاب ریاضی نهم را به شکل خلاصه نشان می‌دهد: