حجم چیست؟ | تعریف، فرمول های حجم و نحوه محاسبه – به زبان ساده و با مثال

حجم چیست؟

«حجم» (Volume) اندازه‌گیری گنجایش یا ظرفیتی است که یک جسم می‌تواند در خود نگه دارد. به عنوان مثال، اگر یک فنجان بتواند 100 میلی‌لیتر آب را تا حد لبه خود نگه دارد، گفته می شود که حجم آن 100 میلی‌لیتر است. حجم را می‌توان به عنوان مقدار فضای اشغال شده توسط یک جسم سه‌بعدی یا شکل جامد نیز تعریف کرد.

حجم‌ جامد مانند مکعب یا مکعب مستطیل با شمارش تعداد واحد مکعب موجود در آن اندازه‌گیری می‌شود. بهترین راه برای تجسم حجم، فکر کردن بر اساس فضای محصور/اشغال‌شده توسط هر جسم سه‌بعدی یا شکل جامد است. این موضوع را می‌توان با یک تمرین ساده در خانه مشاهده کرد:

• یک برگه مستطیل شکل به طول مثلاً ۲۰ سانتی‌متر و عرض ۱۰ سانتی‌متر بردارید.
• بدون اینکه ورق را تا بزنید، اضلاع مقابل برگه را به هم بچسبانید.
• اکنون یک جسم سه‌بعدی ساخته‌اید که فضای داخل آن را یک صفحه دوبعدی محصور کرده است.

آشنایی با حجم های هندسی

در این بخش، چند حجم‌ هندسی مهم و رایج را معرفی می‌کنیم.

فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

مکعب مستطیل چیست؟

«مکعب مستطیل» یک شکل هندسی سه‌بعدی است که شش رویه یا وجه مستطیل شکل دارد. همه زوایای مکعب مستطیل قائمه هستند. مکعب مربع یا همان مکعب، حالت خاصی از مکعب مستطیل است. شکل زیر یک مکعب مستطیل را همراه با طول، عرض و ارتفاع آن نشان می‌دهد.

مخروط چیست؟

شکل زیر رأس، ارتفاع، یال، قاعده و شعاع قاعده مخروط‌ را نشان می‌دهد.

منشور چیست؟

کره چیست؟

«کره» (Sphere) یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه‌بعدی است. این حجم هندسی را می‌توان با مجموعه‌ای از تمام نقاط واقع در فاصله برابر (شعاع) از یک نقطه (مرکز) مشخص کرد. کره کاملاً متقارن است و لبه و رأس ندارد. شکل زیر یک کره با شعاع r را نشان می‌دهد.

استوانه چیست؟

«استوانه» یک حجم است که دو دایره موازی و هم‌اندازه در بالا و پایین دارد. این دایره‌ها را «قاعده» می‌نامیم. فاصله بین دو قاعده را نیز «ارتفاع» می‌گوییم. اگر قاعده‌های بالا و پایین استوانه در یک راستا باشند، استوانه را قائم و اگر بر هم منطبق نباشند، استوانه را مایل می‌نامیم. شکل زیر استوانه مایل و قائم را نشان می‌دهد.

فرمول حجم اشکال هندسی

هر جسمی در محیط اطراف ما ماهیت اشغال فضا را دارد. این اجسامِ زندگی واقعی را می‌توان به راحتی با اشکال سه‌بعدی در هندسه مقایسه کرد. مهم‌ترین اشکال هندسی سه‌بعدی که ممکن است با آن‌ها سر و کار داشته باشیم مکعب، مکعب مستطیل، استوانه، هرم، مخروط و کره هستند. در ادامه، با جزئیات بیشتری به حجم‌ هریک از این شکل‌ها نگاهی می‌اندازیم.

حجم مکعب مستطیل

مکعب مستطیل شکل زیر را در نظر بگیرید.

حجم‌ این مکعب مستطیلی به ارتفاع‌ $$h$$، طول $$l$$ و عرض $$w$$ به صورت زیر است:

$$\large \boxed {V = h \times w \times l }$$

حجم مکعب

حجم‌ این مکعب به اضلاع $$a$$، برابر خواهد بود با:

$$\large \boxed {V = a^ 3 }$$

حجم استوانه

حجم این استوانه با ارتفاع $$h$$ و شعاع قاعده $$r$$ برابر است با:

$$\large \boxed { V = \pi r ^ 2 h }$$

حجم هرم

حجم‌ این هرم با ارتفاع $$h$$ و اضلاع قاعده $$w$$ و $$l$$ با فرمول زیر محاسبه می‌شود:‌

$$\large \boxed { V = \frac 13 l w h}$$

حجم مخروط

مخروط زیر را در نظر بگیرید.

حجم‌ مخروطی به شعاع قاعده $$r$$ و ارتفاع $$h$$، برابر است با:

$$\large \boxed { V = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h }$$

حجم مخروط ناقص

یک مخروط ناقص در شکل زیر نشان داده شده است.

برای محاسبه حجم‌ یک مخروط ناقص با ارتفاع $$h$$، شعاع قاعده بالای $$r_ 2$$ و شعاع قاعده پایین $$r _ 1$$ از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\large \boxed { V = \frac 13 \pi h (r_1^2 + r _ 1 r_ 2 + r _ 2 ^ 2 )}$$

حجم منشور

منشور زیر داده شده است.

حجم‌ منشوری به طول $$l$$ و قاعده قاعده $$b$$ و ارتفاع قاعده $$h$$ برابر است با:

$$\large \boxed { V = \frac 13 l w h }$$

حجم کره

کره زیر داده شده است.

حجم کره‌ای با شعاع $$r$$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:‌

$$\large \boxed { V = \dfrac { 4 } { 3 } \pi r ^ 3 }$$

واحد حجم

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

همان‌طور که اشاره کردیم، حجم‌ بخشی از فضای سه‌بعدی است توسط یک جسم را اشغال شده است. به عنوان نمونه، حجم‌ مکعب مستطیل شکل زیر با ضلع‌های 4 و 5 و 10 به شکل زیر به دست می‌آید:

[^۳واحد] ۲۰۰ = [واحد] ۱0 × [واحد] ۴ × [واحد] ۵

سانتی‌متر مکعب (cm³) نیز واحد معروف دیگری برای حجم است. سانتی‌متر مکعب یا سی‌سی (cc) واحدی برای حجم مکعبی به ضلع یک سانتی‌متر است. سی‌سی به صورت ccm نیز نمایش داده می‌شود.

شاید بتوان گفت رایج‌ترین واحدهای اندازه‌گیری حجم که در زندگی روزمره با آن‌ها سر و کار داریم، «لیتر» و «میلی‌لیتر» هستند. هر لیتر برابر است با یک‌هزارم متر مکعب. به عبارت دیگر، یک لیتر حجمی برابر با 10cm×10cm×10cm را اشغال می‌کند.

برای تبدیل واحدهای رایج و استاندارد حجم، می‌توانید از جدول زیر استفاده کنید.

مثال های محاسبه و تبدیل واحد حجم

در این بخش، چند مثال را از محاسبه حجم و تبدیل واحد آن بررسی می‌کنیم.

مثال اول حجم

استوانه زیر را در نظر بگیرید که ارتفاع و شعاع قاعده آن داده شده است. حجم این استوانه را محاسبه کنید.

حل: همان‌گونه که در شکل نیز می‌بینیم، ارتفاع و شعاع قاعده استوانه داده شده‌اند. بنابراین به راحتی حجم استوانه به دست می‌آید:

$$\large V = \pi r ^ 2 h = \pi \times (8^2)\times 15 = 3.14\times 64\times 15 = 3016\; \text{cm}^3$$

مثال دوم حجم

مخروط ناقص شکل زیر داده شده است. اندازه ارتفاع و شعاع دو قاعده این مخروط $$R=5$$، $$r=4$$ و $$h = 10$$ هستند.

حجم این مخروط ناقص را محاسبه کنید.

حل: در اینجا از فرمول محاسبه حجم مخروط ناقص استفاده می‌کنیم و به آسانی حجم‌ را محاسبه می‌کنیم:‌

$$\large \begin {align*} V & = \frac 13 \pi h (R^2 +Rr+r^2)\\ & = \frac 13 \pi 10(5^2+5\times4+4^2) \\& = \frac 13 \pi (10)(61) \approx 638.79 \end {align*}$$

مثال سوم حجم

کره شکل زیر با قطر $$42\, \text{cm}$$ داده شده است. حجم‌ این کره را محاسبه کنید (مقدار $$\pi$$ را برابر با $$3.14$$ در نظر بگیرید).

حل: همان طور که گفته شد، قطر کره برابر با $$42\, \text{cm}$$ است. بنابراین، شعاع آن $$r = 21\, \text{cm}$$ خواهد بود. اکنون به راحتی می‌توانیم حجم‌ کره را محاسبه کنیم:‌

$$\large V = \frac 43 \pi r ^ 3 = \frac 43 \times 3.14 \times 21^ 3 =\frac 43 \times 3.14 \times 9261 =38,772.7\; \text{cm}^3$$

مثال چهارم حجم

احتمالاً مشاهده کرده‌اید که افراد در هنگام بیان مشخصات یخچال‌ها عددی را بیان می‌کنند که برحسب فوت است. مثلاً می‌گویند فلان یخچال ۱۸ فوت است. منظور از این عدد همان ظرفیت یا حجم یخچال است و واحد صحیح آن فوت مکعب است که به اشتباه فوت گفته می‌شود. اکنون می‌خواهیم ببینیم ۱۸ فوت مکعب معادل چند لیتر است؟

حل: با استفاده از جدول تبدیل واحد بالا، می‌توان نوشت:

۱۸ ft³ = ۱۸ × 28٫3 = ۴۹۱ L

مثال پنجم حجم

۹ لیتر، چند سی‌سی است؟

حل: با توجه به جدول تبدیل واحد بالا، یک سی‌سی برابر با 0٫001 لیتر است. در نتیجه، هر لیتر برابر با ۱۰۰۰ سی‌سی است و بنابراین، ۹ لیتر برابر خواهد بود با:

۹۰۰۰ سی‌سی = ۱۰۰۰ × ۹ = ۹ لیتر