ریاضی , علوم پایه 8193 بازدید

اعداد و شمارش،‌ از ابتکارات بسیار ارزشمند بشر محسوب می‌شود. تمامی پیشرفت علم در دهه‌ها و صده‌های گذشته، وابسته به اعداد است. عددها، ابزاری برای بیان کمیت‌ها و حتی کیفیت‌ها هستند و از این نظر بسیار مهم تلقی می‌شوند. در نوشتارهای دیگر مجله فرادرس با مجموعه اعداد طبیعی، صحیح، گنگ (اصم)، اعداد حقیقی و مختلط آشنا شدیم. نوع خاصی از اعداد طبیعی که به عدد مرکب (Composite Number) معروف است، در نظریه اعداد (Number Theory) به کار می‌رود. مجموعه اعداد مرکب را می‌توان مکمل مجموعه اعداد اول (Prime Numbers) نسبت به مجموعه اعداد طبیعی در نظر گرفت.

عدد مرکب و خواص آن

مجموعه اعداد طبیعی ($$N$$) را می‌توان به دو دسته یا مجموعه جدا از هم تقسیم کرد:

  • مجموعه اعداد مرکب (Composite Numbers Set) که در اینجا آن را با CN نشان می‌دهیم.
  • مجموعه اعداد اول (Prime Numbers Set) که در اینجا آن را با حرف P نام‌گذاری کرده‌ایم.

به این ترتیب می‌توانیم مجموعه اعداد طبیعی را به صورت اجتماع مجموعه اعداد مرکب و اعداد اول ایجاد کنیم.

$$\large  N= CN \cup P \cup\{1\}$$

از آنجایی که عدد ۱ را نه اول می‌دانیم و نه عدد مرکب، در انتها آن را هم به دو مجموعه قبلی اضافه کرده تا مجموعه اعداد طبیعی شکل گیرد.

عدد مرکب، یک عدد طبیعی است که می‌توان آن را برحسب ضرب دو عدد طبیعی کوچکتر از آن (به جز ۱) نوشت. بنابراین عدد ۱۵ یک عدد مرکب است، زیرا:

$$\large 15 = 3 \times 5$$

همچنین ۲۴ نیز یک عدد مرکب است، زیرا:

$$\large 24 = 4 \times 6$$

به بیان دیگر می‌توان گفت که اعداد طبیعی کوچکتر از ۲۴ وجود دارند که خارج قسمت تقسیم ۲۴ بر آن‌ها، یک عدد طبیعی است یا باقی‌مانده حاصل از تقسیم صفر است.

$$ \large \dfrac{24}{3}=6,\;\; \dfrac{24}{6}=3,\;\;\dfrac{24}{3}=8,\;\;\dfrac{24}{8}=3$$

از طرفی عدد اول، یک عدد طبیعی است که نمی‌توان آن را برحسب ضرب دو عدد طبیعی دیگر (به جز ۱) نوشت. به بیان دیگر تقسیم عدد اول بر هر عدد طبیعی کوچکتر از آن، باقی‌مانده صفر نخواهد داشت. به این ترتیب ۳ یک عدد اول است، زیرا با فرض آنکه اعداد طبیعی را با $$N$$ نشان دهیم، خواهیم داشت:

$$ \large \dfrac{3}{2}\notin N$$

همچنین ۷ نیز عدد اول است، زیرا تقسیم آن بر همه اعداد طبیعی کوچکتر از ۷، باقی مانده صفر نداشته یا خارج قسمت تقسیم آن بر هر عدد طبیعی کوچکتر از ۷، یک عدد طبیعی نیست.

$$\large \dfrac{7}{6}\notin N ,\;\; \;\; \dfrac{7}{5} \notin N,\;\;\;\; \dfrac{7}{4} \notin N,\;\; \;\;\dfrac{7}{3} \notin N,\;\; \;\;\dfrac{7}{2} \notin N$$

البته مشخص کردن اینکه آیا عددی اول یا مرکب است، بسیار سخت و طولانی است زیرا باید عمل تقسیم را برای همه اعداد کوچکتر از آن انجام دهیم. در ادامه به بررسی خصوصیات هر یک از این مجموعه‌ها خواهیم پرداخت.

عدد مرکب

همانطور که گفته شد، هر عدد مرکب را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی دیگر نوشت. البته مشخص است که این دو عدد نباید ۱ یا خود عدد باشند. برای مثال ۱۳ را می‌توان به صورت:

$$\large 13 = 13 \times 1 $$

ولی ۱۳ یک عدد مرکب نیست زیرا باید مضرب‌های این اعداد از خود آن کوچکتر بوده و از طرفی هیج‌یک از آن‌ها، نیز نباید ۱ باشد. پس ۱۳ عدد مرکب نیست.

نکته: ممکن است عدد مرکب را برحسب حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی به صورت‌های مختلف نوشت. برای مثال ۲۴ که یک عدد مرکب است،‌ برحسب حاصل‌ضرب ۳ در ۸ یا ۴ در ۶ نوشته می‌شود.

$$\large 24 = 3 \times 8 = 4 \times 6 = 12 \times 2 = 2 \times 3 \times 4$$

در نتیجه ممکن است این دو عدد، منحصر به فرد نباشند. همانطور که در قسمت آخر تساوی بالا مشاهده می‌کنید، یک عدد مرکب را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب سه یا چهار و حتی بیشتر از اعداد کوچکتر از خودش نیز نوشت؛ در ادامه، اعداد مرکب کوچکتر از ۱۵۰ نشان داده شده‌اند.

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150

همانطور که دیده می‌شود، تمامی اعداد زوج (به غیر از ۲) یک عدد مرکب محسوب می‌شوند. در مجموعه اعداد بالا فقط اعداد اول حضور ندارند. تعداد اعداد مرکب کوچکتر یا مساوی ۱۵۰، یکصدو چهارده عدد است. در نتیجه تعداد اعداد اول در این بازه، برابر با $$150-114-1=35$$ خواهد بود. به منظور بررسی صحت این موضوع بهتر است به جدول ۱ و ۲ توجه فرمایید.

هر عدد مرکب را می‌توان به صورت ضرب دو یا چند عدد اول نیز نوشت. زیرا طبق قضیه اصلی حساب (Fundamental Theorem of Arithmetic)، می‌توان هر عدد مرکب را به صورت حاصل‌ضرب عوامل اول نوشت. همانطور که گفته شد، ۲۴ یک عدد مرکب است پس باید بتوان آن را با تجزیه به عوامل اول به صورت حاصل‌ضرب اعداد اول کوچکتر از ۲۴ درآورد.

$$\large 24 = 4 \times 6 = 2^2 \times 2 \times 3 = 2 ^3 \times 3 $$

همانطور که مشخص است، قسمت آخر تساوی بالا منجر به ایجاد تساوی زیر خواهد شد.

$$\large 24 = 8 \times 3$$

پس ممکن است یک عدد مرکب را به شکل‌های متفاوتی به صورت حاصل‌ضرب اعداد طبیعی کوچکتر از آن نوشت ولی همیشه بیان یا نمایش آن براساس حاصل‌ضرب عوامل اول، طبق قضیه اصلی حساب، منحصر به فرد است.

نکته: طبق قضیه اصلی حساب، هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب اعداد اول به شکل یکتا و منحصر به فرد نشان داد، مگر آنکه آن عدد اول باشد.

از آنجایی که ۱ عضو خنثی در عمل ضرب تلقی می‌شود، آن را از اعداد اول خارج کرده‌ایم. به این ترتیب ضربی که موضوع قضیه اصلی حساب است نقض نخواهد شد. توجه داشته باشید که اگر ۱ را نیز در این قضیه دخیل می‌کردیم و آن را به عنوان یک عدد اول در نظر می‌گرفتیم، آنگاه دیگر ضرب عوامل اول منحصر به فرد نبود. برای مثال می‌توانستیم ۲ را به صورت‌های مختلف به صورت ضرب اعداد اول بنویسیم.

$$\large 2 = 2 \times 1 = 2 \times 1 \times 1 = 2 \times 1 \times 1 \times 1 =\ldots$$

به این ترتیب دیگر قضیه اصلی حساب صادق نبود.

یکی از نکات جالبی که در مورد اعداد مرکب وجود دارد آن است که می‌دانیم هر عدد مرکب حداقل سه مقسوم علیه دارد. اگر $$p$$ را یک عدد اول بنامیم که به عنوان عامل عدد $$n$$ محسوب می‌شود، مجموعه‌ای که در ادامه می‌بینید، زیر مجموعه‌ای از مجموعه همه مقسوم علیه‌های $$n$$ خواهد بود.

 $$\large {\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}$$

زیرا به فرض اینکه عدد مرکب از دو بار ضرب یک عدد اول مثل $$p$$ تشکیل شده باشد، مقسوم علیه‌های آن $$1$$، $$p$$ یا $$p^2$$ خواهد بود. در ادامه به بعضی از طبقه‌بندی‌های اعداد مرکب خواهیم پرداخت که وابسته به تعداد عوامل عدد مرکب است.

انواع اعداد مرکب

با توجه به تعداد مضرب‌های اعداد اول یا عوامل تشکیل دهنده یک عدد مرکب، آن‌ها را به دسته‌های مختلفی تقسیم می‌کنند. به این ترتیب «اعداد شبه اول»، «شبه اول نامربع» و «کروی» معرفی می‌شوند.

اعداد شبه اول

اگر یک عدد مرکب قابل تجزیه به دو عامل اول (یا حاصل‌ضرب دو عدد اول) بشود، آن را عدد شبه اول (Semiprime) می‌نامند. به این ترتیب، عدد ۲۱ و ۱۲۱ شبه اول هستند، زیرا:

$$\large 21 = 3 \times 7, \;\; 121 = 11 \times 11 = 11^2$$

همانطور که دیده می‌شود، این اعداد دارای دو عامل اول هستند که البته ممکن است تکراری هم باشند. هر چند اعداد اول کم‌یاب باشند ولی اعداد شبه اول کمیاب‌تر هستند. برای مثال تعداد اعداد شبه اول کوچکتر از یک میلیون فقط ۲۴۵ عدد است در حالیکه در این بین 78494 عدد اول وجود دارد.

اعداد شبه اول که کوچکتر از ۱۰۰ هستند در ادامه قابل مشاهده‌اند.

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95

اعداد شبه اول نامربع

اعداد شبه اولی که به صورت مربع نبوده، یعنی به صورت ضرب یک عدد اول در خودش بوجود نیامده باشند، اعدد شبه اول نامربع (Squarefree Semiprimes) گفته می‌شوند. به این ترتیب اعداد شبه اول نامربع کمتر از ۱۰۰ به صورت زیر خواهند بود.

6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95

همانطور که دیده می‌شود تعداد اعداد شبه اول نامربع حتی از تعداد اعداد شبه اول کمتر است.

اعداد کروی

اگر عددی برحسب حاصل‌ضرب سه عدد اول نوشته شود که با یکدیگر تفاوت دارند، آن را عدد کروی (Sphenic Number) می‌نامند. بر این اساس می‌توان ۳۰ و 42 را اعداد کروی محسوب کرد.

$$\large 30 = 2\times 3 \times 5, \;\; 42 = 2 \times 3 \times 7 $$

به این ترتیب عدد ۶۰ کروی نخواهد بود، زیرا:

$$\large 60 = 2\times 2\times 3 \times 5= 2^2 \times 3 \times 5$$

همانطور که دیده می‌شود، دو بار عامل اول ۲ در تولید عدد ۶۰ دیده می‌شود، در نتیجه نمی‌توان آن را کروی نامید.

اعداد کروی کوچکتر از ۲۰۰ به صورت زیر هستند. در این بین فقط چهار عدد کروی کوچکتر از ۱۰۰ وجود دارد. در نتیجه در بین اعداد طبیعی کوچکتر از ۱۰۰، اعداد کروی، کمیاب‌ترین اعداد محسوب می‌شوند.

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165

با توجه به تعریف اعداد کروی، مشخص است که آن‌ها نامربع هستند یعنی ریشه دوم آن‌ها یک عدد طبیعی نیست زیرا طبق تعریف عامل‌های اول اعداد کروی نباید تکراری باشند.

از خصوصیات جالب برای اعداد کروی می‌توان به تعداد مقسوم‌علیه‌های آن‌ها اشاره کرد. هر عدد کروی، ۸ مقسوم علیه دارد. به این معنی که اگر اعداد $$p$$، $$q$$ و $$r$$ را عوامل اول عدد $$n$$ به عنوان یک عدد کروی بنامیم، آنگاه مقسوم علیه‌های آن، مجموعه‌ای به مانند زیر را تشکیل می‌دهند.

$$ \large \left\{ 1, \ p, \ q, \ r, \ pq, \ pr, \ qr, \ n \right\}$$

برای مثال عدد کروی ۴۲ را در نظر بگیرید. با توجه به عامل‌های اول این عدد که به صورت ۲، ۳ و ۷ هستند، همه مقسوم علیه‌های این عدد در مجموعه‌ای زیر قرار خواهند گرفت.

$$ \large \left\{ 1, 2, 3, 7, 6, 7, 14, 21 , 42 \right\}$$

عدد قدرتمند

عدد مرکبی که همه عامل‌های اول آن تکراری باشند، عدد قدرتمند (Powerful Number) نامیده می‌شود. این مجموعه اعداد مرکب، مکمل اعداد مرکب از نوع نامربع هستند. به این معنی که می‌توان جذر،‌ کعب یا ریشه‌ای از آن‌ها را محاسبه کرد. برای مثال عدد 36 یک عدد قدرتمند است. در حقیقت کوچکترین عدد قدرتمند ۳۶ خواهد بود، زیرا:

$$\large 36= 2^2 \times 3^2$$

همچنین همه مضارب ۳۶، عدد قدرتمند محسوب می‌شوند.

اگر اعداد توان‌های کامل (Perfect Power) را به صورت حاصل‌ضرب عوامل اول با توان‌های صحیح مثبت (بزرگتر از ۱)‌ در نظر بگیریم، آن‌ها را اعداد توان‌های کامل گویند. به این ترتیب ۳۶ یک عدد توان کامل مربع و ۲۷ یک عدد کامل مکعب است. به این ترتیب می‌توان گفت که همه اعداد توان‌های کامل، در گروه اعداد قدرتمند قرار می‌گیرند. ولی متاسفانه عکس آن برقرار نیست. برای مثال ۷۲ یک عدد قدرتمند است در حالیکه نمی‌توان آن را به صورت مربع کامل یا مکعب کامل نوشت. بنابراین همه اعداد قدرتمند در گروه اعداد توان‌های کامل قرار ندارند.

$$\large 72 =  2^3 \times 3^2$$

prime-composite

عدد اول

اگر یک عددی طبیعی را نتوان براساس ضرب دو عدد طبیعی دیگر (غیر از ۱)‌ که از آن کوچکتر هستند، نوشت آن را عدد اول (Prime Number) می‌نامند. مجموعه $$\{2,3,5,7\}$$ شامل عدد اول کوچکتر از ۱۰ است.

یک روش ساده و البته زمان‌بر به منظور شناسایی اینکه آیا $$n$$ یک عدد اول است یا خیر، تقسیم آن بر همه اعداد طبیعی در بازه ۲ تا $$\sqrt{n}$$ است. اگر خارج قسمت این تقسیم‌ها،‌ یک عدد طبیعی نباشد یا باقی‌مانده آن‌ها صفر نشوند، رای به اول بودن عدد $$n$$ خواهیم داد.

به این ترتیب تشخیص اول بودن یک عدد براساس تقسیم آن بر تعداد محدودی از اعداد طبیعی صورت گرفته که مشخصا تعداد این تقسیم‌ها از $$n$$ کمتر است. در بیشتر موارد به جای بررسی خارج قسمت تقسیم، از باقی‌مانده تقسیم استفاده می‌کنند. عملگر $$mod$$ به منظور استخراج باقی‌مانده یک تقسیم به کار می‌رود. این تابع در بیشتر زبان‌های برنامه‌نویسی و همچنین کاربرگ‌های الکترونیکی مانند اکسل نیز وجود دارد.

فرض کنید می‌خواهیم بدانیم که آیا 127 اول است یا خیر؟ از آنجایی که جذر یا ریشه دوم عدد 127، تقریبا برابر با ۱۱٫269 است، پس باید تقسیم 127 را در بازه ۲ تا ۱۲ انجام دهیم و باقی‌مانده‌ها را مورد بررسی قرار دهیم.

$$\mod(127,2)\neq 0 ,\;\;\mod(127,3)\neq 0,\;\;\mod(127,4)\neq 0,\;\;\mod(127,5)\neq 0,$$

$$\mod(127,6)\neq 0, \mod(127,7)\neq 0,\\ \mod(127,8)\neq 0,\;\;\mod(127,9)\neq 0$$

$$\mod(127,10)\neq 0,\;\;\mod(127,11)\neq 0,\;\;\mod(127,12)\neq 0$$

در نتیجه ۱۲۷ یک عدد اول خواهد بود.

به منظور مشخص کردن اعداد اول بزرگتر از ۱۰۰ می‌توان ابتدا بررسی‌های زیر را انجام داد، سپس دست به تقسیم و بررسی اول بودن زد. برای این منظور توالی یا دنباله اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰ را به صورت زیر در نظر بگیرید.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

ابتدا اعداد اول کوچکتر از ۱۰ را کنار می‌گذاریم زیرا به خاطر سپردن آن‌ها (یا آزمایش اول بودنشان) ساده است. بنابراین اعداد دو رقمی را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

همانطور که مشاهده می‌کنید در این بین هیچ عدد زوجی به جز ۲ وجود ندارد، زیرا در قسمت قبل دیدیم که اعداد زوج (به غیر از ۲) چون مضربی از ۲ هستند، حتما یک عدد مرکب محسوب می‌شوند.‍ بنابراین اعداد اول را در بین اعداد فرد باید جستجو کرد. البته می‌دانیم که عدد ۲ از این قاعده استثنا است.

از طرفی رقم آخر یا یکان یک عدد اول هیچ‌گاه ۵ یا صفر نخواهد بود زیرا در این صورت بر ۵ تقسیم‌پذیر می‌شد. به این ترتیب یک عدد اول در یکان خود هیچکدام از ارقام ۰، ۲، ۴، ۵، ۶، ۸ را نخواهد داشت. بنابراین یک عدد اول باید در رقم یکان خود یکی از ارقام ۱، ۳، ۷، یا ۹ را داشته باشد.

معمولا برای نمایش اعداد اول از حرف $$P$$ استفاده می‌کنند. پس داریم:

$$\large P=\{2,3,5,7,11,23,29,31,\ldots\}$$

همانطور که مشخص است بی‌نهایت عدد اول وجود دارد. متاسفانه توالی اعداد اول، تشکیل یک دنباله نمی‌دهد و نمی‌توان برحسب این که $$n$$ عدد اول است، عدد اول بعدی را تشخیص داد. البته اقلیدس برای پیدا کردن دنباله اعداد اول روش زیر را معرفی کرد که فقط تعداد محدودی از اعداد اول را تولید می‌کند.

  • ابتدا از کوچکترین اعداد اول یعنی ۲ و ۳ آغاز می‌کنیم.
  • به این حاصل‌ضرب،‌ یک واحد اضافه می‌کنیم. عدد حاصل، اول است.
  • عدد اول بعدی (یعنی ۵) را در حاصل‌ضرب ۲ و ۳، ضرب می‌کنیم.
  • به آن یک واحد اضافه می‌کنیم. عدد حاصل، اول است.
  • عدد اول بعدی (یعنی ۷) را در حاصل‌ضرب ۲ و ۳ و ۵، ضرب می‌کنیم.
  • به آن یک واحد اضافه می‌کنیم. عدد حاصل، اول است.

این توالی اعداد را به توالی اعداد اقلیدسی (Euclidean Numbers) می‌شناسیم. متاسفانه روشی که اقلیدس برای تولید اعداد اول به ذهنش رسید، همیشه صادق نیست. به تصویر زیر دقت کنید. محاسبات گفته شده برای تولید اعداد اقلیدسی در یک کاربرگ اکسل گنجانده شده است. همانطور که مشخص است از عدد اول ۱۳ به بعد، به اعداد غیر اول (مرکب) نیز برخورد می‌کنیم.

prime test

همانطور که در تصویر مشاهده می‌کنید، اعداد اقلیدسی همه اعداد اول کوچکتر از ۱۰۰ را هم تشخیص نمی‌دهد و در تعیین اعداد اول نیز اشتباه دارد. خوشبختانه الگوریتم و روش‌هایی مختلفی برای تشخیص اول بودن یک عدد وجود دارد. که در نوشتارهای دیگر به آن‌ها خواهیم پرداخت.

بعضی از خصوصیات جالب اعداد اول

در ادامه به بعضی از خاصیت‌های جالب مجموعه اعداد اول می‌پردازیم. این خصوصیات می‌تواند ما را در شناسایی اعداد اول راهنمایی کند.

  • دنباله، توالی یا قانونی برای مشخص کردن مجموعه اعداد اول وجود ندارد ولی قادر هستیم به کمک تقسیم‌های متوالی یا الگوریتم‌هایی تشخیص دهیم که آیا عددی اول است یا خیر.
  • اکثر اعداد اول، فرد هستند.
  • تنها عدد زوج اول، ۲ است.
  • اعداد اول متوالی فقط ۲ و ۳ هستند. زیرا اگر اولین عدد اول را فرد در نظر بگیریم، با اضافه کردن یک واحد به آن عدد بعدی زوج خواهد بود که مسلما، اول نخواهد بود.
  • اعداد اولی که دو واحد اختلاف داشته باشند، اعداد اول دوقلو (Twin Prime) نامیده می‌شوند. مثل ۵ و ۷ یا ۱۱ و ۱۳ اعداد اول دوقلو هستند. الگوی خاصی برای این‌گونه اعداد اول وجود دارد که به شکل $${\displaystyle (6n-1,6n+1)}{\displaystyle (6n-1,6n+1)}$$ برای بعضی از مقادیر $$n$$ از اعداد طبیعی است. هر چند که زوج ۳ و ۵ نیز اعداد اول دوقلو هستند ولی از این قاعده پیروی نمی‌کنند. رابطه گفته شده بیانگر آن است که در بین دو عدد اول دوقلو، عددی از مضرب ۶ قرار گرفته است. به این ترتیب مجموع دو عدد اول دوقلو، مضربی از 12 خواهد بود. البته باز هم باید توجه داشت که زوج یا دوقلوهای اول ۳ و ۵ از این قاعده مستثنی هستند.

$$\large 11+ 13 = 24 ,\;\;\;\; 24 \div 12 = 2; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 7 + 5 = 12 ,\;\;\;\;  12 \div 12 = 1$$

  • به کمک ضرب اعداد اول در یکدیگر، می‌توان اعداد طبیعی را ایجاد کرد. به همین علت، اعداد اول را مولفه یا عامل می‌نامند و تجزیه اعداد به صورت ضرب اعداد اول را تجزیه به عوامل اول می‌گویند.
  • مجموع دو عدد اول، حتما زوج است، زیرا می‌دانیم که هر عدد اولی، فرد است و مجموع اعداد فرد، زوج خواهد بود. به منظور نشان دادن این موضوع، دو عدد اول $$2k+1$$ و $$2k’+1$$ را در نظر بگیرید. جمع آن‌ها به صورت زیر در خواهد آمد.

$$\large (2k+1)+(2k’+1)=2(k+k’)+2=2(k+k’+1)$$

که چون این مجموع مضربی از ۲ است، مجموع دو عدد اول، حتما زوج خواهد بود، زیرا می‌دانیم اعداد زوج به صورت $$2k$$ نوشته می‌شوند که $$k$$ یک عدد طبیعی است.

در جدول زیر اعداد مرکب و اول کمتر از ۱۰۰ نشان داده شده‌اند. همانطور که دیده می‌شود، اعداد اول به صورت پر رنگ (Bold) از اعداد مرکب متمایز شده‌اند. عدد ۱ نیز نه مرکب و نه اول محسوب شده است.

prime and composite numbers less than 100
جدول ۱: مجموعه اعداد مرکب و اول در بازه ۱ تا ۱۰۰

همانطور که مشاهده می‌کنید، در ستون اول هر قسمت از جدول‌ها، اعداد و در ستون دوم، مضراب اول آن‌ها دیده می‌شود. اگر عددی اول باشد، در ستون مضرب، فقط همان عدد نوشته شده است. همانطور که مشاهده می‌کنید،‌ تعداد ۲5 اعداد اول در این تصویر دیده می‌شود. حال به اعداد اول در بازه ۲۰۰ تا ۳۰۰ نگاهی بیاندازیم.

prime and composite numbers between 100 and 200
جدول ۲: مجموعه اعداد مرکب و اول در بازه ۱۰۱ تا ۲۰۰

همانطور که مشخص است، ۲۱ عدد اول در این بازه وجود دارد. پس به نظر می‌رسد که چگالی اعداد اول در هر فاصله متفاوت بوده و نمی‌توان به راحتی تعداد اعداد اول را مشخص کرد. البته در کل، مجموعه اعداد اول بی‌نهایت عضو دارد ولی در هر بازه نمی‌توان به طور دقیق تعداد آن‌ها را بدون محاسبه مشخص کرد.

تعداد اعداد اول تا عدد $$n$$

همانطور که در جدول بالا دیدید، اعداد اول در هر بازه به صورت نامنظم قرار گرفته‌اند. می‌توان نشان داد که تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی عدد $$n$$ برای زمانی که $$n$$ خیلی خیلی بزرگ باشد، طبق رابطه زیر محاسبه می‌شود. در اینجا منظور از $$|P_n|$$ تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی با $$n$$ است.

$$\large |P_n| = \lim_{n \rightarrow \infty}\dfrac{n}{\log n}$$

رابطه ۱

به این ترتیب زمانی که مقدار $$n$$ بزرگ و بزرگتر شود، می‌توان تعداد اعداد اول را با تقریب مناسبی حدس زد.

برای مثال اگر $$n=1000000$$ باشد تعداد اعداد اول کوچکتر از یک میلیون طبق رابطه ۱ برابر است با:

$$\large |P_{1000000}| \approx \dfrac{1000000}{\log 1000000}=\dfrac{1000000}{6}=166667$$

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار با عدد مرکب و خواص آن آشنا شدیم. همچنین براساس قضیه اصلی حساب (Fundamental Theorem of Arithmetic) و تجزیه اعداد به عوامل اول، توانستیم اعداد مرکب را به شکلی منحصر به فرد و یکتا به صورت حاصل‌ضرب اعداد اول بنویسیم. روش‌های تشخیص عدد مرکب و عدد اول نیز در این نوشتار مرور و مورد بررسی قرار گرفت. همچنین انواع اعداد مرکب برحسب تعداد عوامل اولشان طبقه‌بندی و نام‌گذاری شدند و خصوصیات هر یک نیز یادآوری شد. همچنین خصوصیات جالبی از اعداد اول را فرا گرفتیم که ما را در تشخیص اینکه آیا عددی اول است یا خیر، یاری می رساند. به این ترتیب شناخت ما از اعداد بخصوص اعداد طبیعی بیشتر شد. از آنجایی که اعداد اول و مرکب،‌ پایه‌های اصلی اعداد و نظریه اعداد (Number Theory) محسوب می‌شوند، شناخت آن‌ها در درک نظریه اعداد گامی موثر خواهد بود.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

آرمان ری بد (+)

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 5 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *