معکوس تابع و تابع معکوس — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

۳۰۷۳۰ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۸ آذر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۲۴ دقیقه
معکوس تابع و تابع معکوس — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

پیش‌تر در بلاگ فرادرس دامنه و برد تابع،‌ تابع یک به یک و پوشا و دیگر مفاهیم مرتبط با تابع توضیح داده شدند. در این مطلب قصد داریم تا در مورد مفهومی تحت عنوان «معکوس تابع» (Inverse Function) صحبت کنیم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

مقدمه

همان‌گونه که در مطلب مفاهیم تابع نیز عنوان شد، یک تابع هم‌چون ماشین عمل می‌کند. در حقیقت تابع، ماشینی است که ورودی را گرفته و خروجی می‌دهد.

برای نمونه در ادامه ماشینی ارائه شده که ورودیِ x را دریافت کرده، آن‌ را در ۲ ضرب و نهایتا عدد ۳ را به آن اضافه می‌کند.

Inverse-function

معکوس تابع، عبارتی است که خروجی تابع را دریافت و به ما ورودی تابع را می‌دهد. برای نمونه معکوس تابع فوق،‌ به صورت زیر خواهد بود.

Inverse-function

بنابراین می‌توان گفت معکوس تابع $$ 2 x + 3 $$ برابر با $$ \frac { y - 3 } { 2 } $$ است. معمولا معکوس یک تابع با علامت ۱- نشان داده می‌شود. البته توجه داشته باشید که این علامت به معنای توان نبوده و تنها یک نماد است. در حقیقت $$ f ^ { - 1 } ( x ) $$، معکوس تابع و $$ f ( x ) ^ { - 1 } $$ نشان دهنده $$ 1 \over f(x) $$ است. بنابراین معکوس تابع به‌ صورت زیر نشان داده می‌شود.

Inverse-function

عبارت بالا «معکوس تابع f یا معکوس y» خوانده می‌شود. در نتیجه معکوس تابع $$ f ( x ) = 2 x + 3 $$ برابر با عبارت زیر است.

Inverse-function

البته در تابع فوق می‌توان به جای y از هر متغیر دیگری نیز استفاده کرد. در اکثر موارد توابع معکوس را نیز بر حسب x بیان می‌کنند. برای نمونه به جای عبارت فوق می‌توان از $$ f ^ {- 1 } ( x ) = \frac { x - 3} { 2 } $$ نیز استفاده کرد.

بازگشت به نقطه شروع

نکته جالب در مورد معکوس تابع این است که با استفاده از آن می‌توان به ورودی اولیه (یا همان x) دست یافت. بدین منظور کافی است به‌جای سیب و موز در طرح زیر، به‌ترتیب x و (f(x قرار داده شود!

شکل ۱

مثال ۱

تابع $$ 2 x + 3 $$ را در نظر بگیرید. با استفاده از این رابطه خواهیم داشت:

Inverse-function

اگر عدد ۴ به عنوان ورودی در نظر گرفته شود، خروجی تابع برابر با ۱۱ است. در نتیجه اگر ۱۱ به عنوان ورودیِ معکوس تابع در نظر گرفته شود، خروجی آن نیز برابر با ۴ خواهد بود. به بیانی ریاضیاتی:

Inverse-function

هم‌چنین می‌توان گفت:

Inverse-function

البته برای تابع f همواره رابطه‌ای به شکل زیر قابل بیان است.

Inverse-function

بیان فوق معادل با شکل ۱ است. البته رابطه فوق بصورت زیر نیز نوشته می‌شود.

Inverse-function

بدست آوردن معکوس تابع

برای بدست آوردن معکوس یک تابع، در ابتدا به جای ضابطه‌ی (f(x تابع y قرار دهید، سپس معادله را به نحوی حل کنید که x بر حسب y بدست آید. سپس به‌ جای x عبارت $$ f ^ {- 1 } ( x ) $$ را قرار دهید. در نتیجه برای بدست آوردن معکوس یک تابع به ترتیب زیر عمل کنید.

  1. در تابع به جای (f(x، عبارت y را قرار دهید.
  2. معادله بدست آمده در قدم اول را بر حسب y حل کنید.
  3. در رابطه بدست آمده در قدم دوم، به جای x، $$ f ^{-1}( y ) $$ قرار دهید.
  4. $$ f ^{-1}( y ) $$ بدست آمده، معکوس تابع $$ y = f ( x ) $$ است.

در ادامه مثالی ارائه شده که جهت درک بهتر موضوع می‌توانید به آن توجه کنید.

کلاس درس با معلم ایستاده و دانش آموزان نشسته و نمودار تابع معکوس روی تخته

مثال ۲

معکوس تابع $$ f ( x ) = 2 x + 3 $$ را بیابید.

۱. در قدم اول به جای $$ f ( x ) $$، y قرار داده و به عبارت زیر می‌رسیم.

Inverse-function

۲. عبارت بدست آمده در قدم اول بر حسب y حل شده و به رابطه زیر دست می‌یابیم.

Inverse-function

۳. حال اگر به جای x عبارت $$ f ^ { - 1 } ( y ) $$ قرار داده شود، تابع معکوس به صورت زیر بدست می‌آید.

Inverse-function

معکوس توابع معروف

در مثال‌های ارائه شده در فوق، تنها از چهار عمل اصلی استفاده شده که این امر حل آن‌ها را بسیار سهل کرده است. لذا در ادامه معکوس توابع معروف ذکر شده که در مواردی بایستی از آن‌ها نیز استفاده شود.

Inverse-function

ستون سمت راست جدول فوق نیز بسیار مهم است. چرا که برخی توابع تنها می‌توانند در بازه‌ای خاص تعریف شوند. برای نمونه خروجی تابع سینوس ($$ \sin x $$) بین ۱- تا ۱+ است؛ در نتیجه دامنه تابع معکوس سینوس ($$ \sin^{-1} x $$) نیز می‌تواند تنها در این بازه باشد. در ادامه مثالی ارائه شده که اهمیتِ بررسی شرایط معکوس‌پذیری در آن نشان داده شده است.

مثال ۳

فرض کنید می‌خواهیم عدد ۲- را به توان ۲ رسانده و سپس مسیر عکس را طی کرده و از مقدار بدست آمده جذر بگیریم. با انجام این فرآیند داریم:

Inverse-function

همان‌طور که می‌بینید با در نظر نگرفتن شرایط معکوس‌پذیری، استدلال درستی از تابع معکوس حاصل نشد. با توجه به جدول، معکوس تابع $$ x ^ 2 $$ زمانی وجود دارد که مقادیر x و y مثبت باشند (ردیف چهارم - ستون چهارم).

معکوس‌پذیری

شاید با مطالعه مثال ۳ این سئوال برایتان پیش آمده باشد که آیا هر تابعی می‌تواند معکوس داشته باشد؟ به‌منظور پاسخ به این سوال، بایستی با توابع یک به یک آشنایی داشته باشید.

با توجه به تعریف تابع، به ازای یک ورودی نمی‌توان دو خروجی داشت. در تابع معکوس جای ورودی و خروجی با هم عوض شده‌اند. بنابراین تابعی که به ازای دو ورودی، یک خروجی یکسان داشته باشد، نمی‌تواند تابع معکوس داشته باشد. بنابراین تابعی می‌تواند معکوس داشته باشد که یک به یک باشد. برای نمونه در شکل زیر تابعی نشان داده شده که یک به یک است.

Inverse-function

با معکوس کردن تابع فوق، به عبارتی می‌رسیم که در آن y ورودی و همزمان دو مقدار x1 و x2 خروجی هستند. در نتیجه نمی‌تواند معکوس داشته باشد. در شکل زیر نیز تابعی یک به یک ارائه شده، بنابراین معکوسی نیز برای آن وجود خواهد داشت.

Inverse-function

در مطلب تابع پوشا و یک به یک روش‌هایی ارائه شده که با استفاده از آن‌ها می‌توانید تابع بودن و یک به یک بودن یک نمودار را بدانید.

محدود کردن دامنه

در بالا عنوان شد که تابع یک به یک می‌تواند معکوس داشته باشد. اما واقعیت این است که می‌توان با محدود کردن دامنه یک تابع در بازه‌ای که یک به یک است، برای آن معکوس نوشت. برای نمونه تابعی را در بگیرید که نمودار آن مطابق با شکل زیر است.

معکوس تابع

همان‌طور که می‌بینید تابع فوق یک به یک نیست. اما مطابق با نمودار شکل زیر، بازه‌ای را در نظر می‌گیریم که در آن دامنه تابع محدود شده است.

تابع معکوس

نمودار فوق در بازه نشان داده شده، دارای معکوس است؛‌ چرا که در این بازه، تابع یک به یک است. به‌منظور رسم کردن تابع معکوس، می‌توان نمودار تابع را نسبت به محور $$ y = x $$ قرینه کرد. در نتیجه نمودار معکوسِ شکل فوق به‌صورت زیر است.

معکوس تابع

بنابراین می‌توان گفت که همواره نمودار دو تابع (f(x و (f-1(x نسبت به یکدیگر قرینه هستند.

مثال ۴

در بالا معکوس تابع $$ x ^ 2 $$ را به صورت $$ \sqrt{x} $$ بدست آوردیم. توجه داشته باشید که تابع $$ x ^ 2 $$ در محدوده x‌>۰ بایستی تعریف شود. در این صورت تابع و معکوس آن به‌ صورت زیر خواهند بود.

تابع معکوس

حال تابع $$ x ^ 2 $$ را در بازه x<0 در نظر بگیرید. در این صورت معکوس آن به صورت $$ f ( x ) = - \sqrt {x} $$ خواهد بود. هم‌چنین نمودار تابع و معکوسش به شکل زیر هستند.

Inverse-function

مثال ۵

معکوس تابع $$g(x)={\frac { x - 3 } { x - 2 }: \enspace x > 3 }$$ را بیابید.

همان‌طور که در صورت سوال نیز نشان داده شده، تابع فوق به ازای مقادیر xهای بیشتر از ۳ در نظر گرفته شده؛ در این بازه مقدار تابع مثبت بوده و یک به یک است. در بالا نیز عنوان شد که در ابتدا به جای (f(x (یا همان (g(x در این مثال)، y را جایگذاری کرده و عبارت بدست آمده را بر حسب y بیابید. سپس به‌جای y از (g-1(y استفاده شود. در ادامه این مراحل به‌ ترتیب انجام شده است.

Inverse-function

بدیهی است که انتخاب متغیر به‌منظور بیان کردن یک تابع، امری اختیاری است. لذا می‌توان به جای y،‌ در رابطه فوق از x استفاده کرده و تابع معکوس را به‌صورت زیر بیان کرد.

Inverse-function

خلاصه

  • معکوس تابع $$ f ( x ) $$ به صورت $$ f ^ { - 1 } ( x ) $$ نشان داده می‌شود.
  • تابعی معکوس‌پذیر است که یک به یک باشد.
  • می‌توان با محدود کردن دامنه تابعی غیر یک به یک، معکوس آن را نوشت.
  • نمودار دو تابع $$ f ( x ) $$ و $$ f ^ { - 1 } ( x ) $$ نسبت به محور y=x قرینه هستند.

فیلم‌ های آموزش معکوس تابع و تابع معکوس — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی مفهوم معکوس تابع و تابع معکوس

دانلود ویدیو
بر اساس رای ۱۳۲ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Mathisfun
۱۴ دیدگاه برای «معکوس تابع و تابع معکوس — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)»

خسته نباشید با مطالب خوبتون یه سوال داشتم چرا باید نیمساز ربع اول و سوم رو ملاک قرینه قرار بدیم

سلام
ببخشید وارون تابع
(x+sin x)
چی میشه

سلام.
چون نقاط ربع اول و سوم هم طولشان قرینه هم است و هم عرضشان.
موفق باشید.

دمتون گرم واقعا بهش نیاز داشتم ♥️

سلام خیلی خوب بود ممنونم.

حاجی دمت گرم عاشق همین مقالات ریاضی فرادرسم بیشتر بزارید خداییش?

سلام، وقت شما بخیر؛

از اینکه با مجله فرادرس همراه هستید از شما بسیار سپاسگزاریم. فهرست کامل و به روز مقالات آموزش ریاضی مجله فرادرس را که بسیار متنوع هستند را می‌توانید از طریق این لینک مشاهده کنید.

سلام خسته نباشید معکوس توابع چند متغیره x /y/z بی زحمت توضیح بدید ممنون

هر خط موازی نیمساز ربع دوم وچهارم وارونش رو در نقاط خودش هم قطع میکنه ولی به نظرم تابع های دیگه ای هم هستند که اینطوری اند که خیلی دلم می خواد پیداشون کنم و شکلشونو ببینم

وااااااااای خیلی بدردم خورد…. مرررررسییییییییییی

با سلام و خسته نباشیم

یک سوالی ذهنمو درگیر کرده اینکه آیا تابع یک به یکی وجود داره که منطبق بر نیمساز ربع دوم و چهار نباشه و وارونش رو در نقاطی به غیر از ربع اول و سوم قطع کند ؟

عالی بود
بخش محدود کردن دامنه، خط اول یه اشتباه کوچیک داره?

با سلام. اشکال مورد نظر اصلاح شد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *