مجموعه متناهی و نامتناهی – تعاریف و خصوصیات

مبحث مجموعه متناهی و نامتناهی، یکی از مباحث مربوط به دروس کتاب ریاضی دهم است. این نوشتار از مجله فرادرس با دو رویکرد به مجموعه متناهی و نامتناهی و معرفی آن‌ها پرداخته است. در رویکرد اول که ابتدایی محسوب می‌شود، با دانش و حیطه اطلاعات دانش‌آموزان دوره دهم دبیرستان به بررسی مجموعه‌های متناهی و نامتناهی پرداخته می‌شود. ذکر مثال‌های ملموس مطابق با کتاب درسی و همچنین پاسخ به بعضی از مسائل در این بخش صورت می‌گیرد. اما در بخش دوم یا رویکرد دیگر، براساس نظریه مجموعه‌ها و عدد اصلی مجموعه‌ها، تفاوت بین مجموعه متناهی و نامتناهی بازگو شده و به این موضوع، عمیق‌تر و با دانش دانشگاهی مواجه شده و به بحث خواهیم پرداخت. این بخش با عنوان «مجموعه متناهی و نامتناهی با رویکرد دانشگاهی» در مطلب، قابل مطالعه است و برای مشاهده آن کافی است تا روی این لینک کلیک کنید.

مجموعه متناهی و نامتناهی با رویکرد ریاضی دهم

با مفهوم مجموعه به عنوان گردایه‌ای از اشیاء در نوشتار مجموعه ها در ریاضیات — مفاهیم پایه آشنا شده‌اید. در این نوشتار به بررسی دو نوع خاص از مجموعه‌ها به نام مجموعه متناهی و مجموعه نامتناهی خواهیم پرداخت.

همانطور که به یاد دارید، یک مجموعه دارای عضو است. البته به مجموعه‌ای که دارای هیچ عضوی نیست، مجموعه تهی گفته می‌شود. ولی به هر حال می‌توان مجموعه را با معرفی اعضای آن، مشخص کرد. یکی از روش‌های طبقه‌بندی مجموعه‌ها، براساس تعداد اعضای آن صورت می‌گیرد. به این ترتیب اگر بتوان تعداد اعضای یک مجموعه را به صورت یک عدد حسابی نمایش داد، آن را یک مجموعه متناهی گفته و در غیر اینصورت آن را نامتناهی می‌نامند.

ابتکارات و ابداعات بی‌نظیر «جورج کانتور» (George Cantor) دانشمند و ریاضیدان آلمانی در نظریه مجموعه‌ها، باعث شکوفایی این شاخه از ریاضیات شده است.

مجموعه متناهی

مجموعه‌های زیر را در نظر بگیرید.

• مجموعه اعداد طبیعی کوچکتر از ۱۰.

$$\large \{1 , 2, 3, 4,5 ,6 ,7 ,8 ,9 \}$$

• مجموعه اعداد اولی که یک رقمی هستند.

$$\large \{ 2 , 3 ,5 ,7 \}$$

• مجموعه اعداد زوج کمتر از ۲۰۰۰.

$$\large \{ 2 , 4 ,6, \ldots , 1998 \}$$

نکته: در مجموعه آخر برای جلوگیری از نوشتن همه اعضای مجموعه از علامت $$\ldots$$ استفاده کرده‌ایم.

تعداد اعضای این مجموعه‌ها قابل شمارش هستند. همانطور که می‌بینید مجموعه اولی دارای ۹ عضو، مجموعه دومی نیز چهار عضو و مجموعه آخر هم ۹۹۹ عضو دارد. چنین مجموعه‌هایی که دارای تعداد اعضای مشخص بوده، مجموعه‌های متناهی می‌گویند. واضح است که تعداد اعضای یک مجموعه متناهی، یک عدد حسابی (صحیح نامنفی) است.

نکته: شمارش و مشخص کردن تعداد اعضای بعضی از مجموعه‌های متناهی، ممکن است بسیار وقت گیر و طولانی باشد ولی به هر حال کاری شدنی است. به این ترتیب اگر بتوان تعداد اعضای چنین مجموعه‌ای را با یک عدد حسابی مشخص کرد، مجموعه را متناهی می‌گویند.

با توجه به این تعریف، مجموعه‌های زیر، متناهی هستند. البته ممکن است تعداد اعضای چنین مجموعه‌هایی یک عدد بسیار بزرگ باشد ولی باز هم می‌توان آن را یک عدد حسابی محسوب کرد.

• مجموعه درختان کره زمین
• مجموعه انسان‌هایی که در کل تاریخ زیسته‌اند.
• مجموعه اتم‌های مواد تشکیل دهنده کره زمین.

مجموعه نامتناهی

درمقابل مجموعه‌های متناهی، مجموعه‌های نامتناهی قرار گرفته‌اند. تعداد اعضای این مجموعه‌ها را نمی‌توان توسط یک عدد حسابی مشخص کرد. در حقیقت تعداد اعضای مجموعه‌های نامتناهی از هر عدد حسابی، بزرگتر هستند. به این ترتیب در اصطلاح می‌گوییم تعداد اعضای مجموعه‌های نامتناهی، بی‌نهایت است.

مجموعه‌هایی که در ادامه معرفی شده‌اند، مجموعه‌های نامتناهی نامیده می‌شوند.

• مجموعه اعداد صحیح بزرگتر از ۴

$$\large \{ 5 , 6 , 7 ,\ldots \}$$

• مجموعه اعداد صحیح کوچکتر از ۴

$$\large \{ \ldots , -2 , -1, 0 , 1 , 2 , 3 \}$$

• مجموعه اعداد طبیعی.

$$\large \mathbb{N} = \{ 1 , 2 , 3 ,\ldots \}$$

• مجموعه کسرهای مثبت با صورت یک (منظور از $$\mathbb{N}$$ مجموعه اعداد طبیعی است).

$$\large \{ \dfrac{1}{n} ;\;\; n \in \mathbb{N} \}$$

• بازه یا فاصله صفر تا یک از اعداد حقیقی.

$$\large (0 , 1 )$$

همانطور که می‌بینید نمی‌توان عدد حسابی را برای مشخص کردن تعداد اعضای این مجموعه‌ها در نظر گرفت. به همین علت چنین مجموعه‌هایی، نامتناهی نامیده می‌شوند.

برای مثال مجموعه آخر یعنی بازه باز صفر تا یک را در نظر بگیرید. نقطه وسط در بازه ۰ تا ۱، یعنی 1/2 در این مجموعه قرار دارد. اگر فاصله ۱/۲ تا صفر را نصف کنیم، باز هم عضوی از این مجموعه بدست می‌آید که برابر با ۱/4 است. همین کار را می‌توان روی بازه ۱/۲ تا یک نیز انجام داده و بی‌نهایت بار ادامه داد، بطوری که باز هم هر مقدار حاصل، عضوی از مجموعه یا بازه صفر تا یک باشد.

به این ترتیب بعضی از اعضای این مجموعه که به صورت عدد گویا با مخرج زوج و صورت یک هستند، تولید می‌شوند. بنابراین نمی‌توان تعداد اعضای مجموعه فاصله باز صفر تا یک از اعداد حقیقی را با یک عدد حسابی مشخص کرد، در نتیجه آن را یک مجموعه نامتناهی می‌نامیم.

نکته: بی‌نهایت عدد زوج و فرد وجود دارد. پس بی‌نهایت عدد گویا با صورت ۱ و مخرج زوج یا فرد می‌توان ایجاد کرد. پس اعداد گویا در بازه صفر تا یک، تشکیل یک مجموعه نامتناهی می‌دهند.

رابطه بین مجموعه های متناهی و نامتناهی

مجموعه $$A$$ و $$B$$ را به عنوان دو مجموعه متناهی و $$A^*$$ و $$B^*$$ را به عنوان دو مجموعه نامتناهی در نظر بگیرید. برای چنین مجموعه‌هایی می‌توان قواعد زیر را مشخص کرد.

1. هر زیر مجموعه‌ای از $$A$$ یا $$B$$، متناهی است.
2. اشتراک دو مجموعه متناهی مثل $$A \cap B$$ باز هم یک مجموعه متناهی است.
3. اشتراک دو مجموعه نامتناهی مثل $$A^* \cap B^*$$ ممکن است متناهی یا نامتناهی باشد.
4. اشتراک دو مجموعه متناهی و نامتناهی مثل $$A^* \cap A$$ یک مجموعه متناهی است.
5. اجتماع دو مجموعه متناهی مثل $$A \cup B$$ باز هم یک مجموعه متناهی است.
6. اجتماع دو مجموعه نامتناهی مثل $$A^* \cup B^*$$ حتما یک مجموعه نامتناهی خواهد بود.
7. اجتماع دو مجموعه متناهی و نامتناهی مثل $$A^* \cup B$$ حتما یک مجموعه نامتناهی خواهد بود.
8. اگر $$A$$ متناهی بوده و داشته باشیم $$C \subseteq A$$ می‌توان نتیجه گرفت که مجموعه $$C$$ نیز متناهی است.
9. اگر $$A$$‌ متناهی بوده و داشته باشیم $$A \subseteq C$$، نمی‌توان در مورد متناهی یا نامتناهی بودن مجموعه $$C$$‌ حرفی زد. ممکن است $$C$$ متناهی یا نامتناهی باشد.

برای روشن‌تر شدن موضوع به ذکر مثال‌هایی در این زمینه می‌پردازیم.

نکته: توجه داشته باشید که عملگر زیرمجموعه، می‌تواند به عنوان یک عملگر مرتب‌سازی روی مجموعه‌ها نیز به کار رود. به این ترتیب اگر مجموعه $$B$$ زیرمجموعه $$A$$ باشد، حتما دارای تعداد اعضای کمتری نسبت به مجموعه $$A$$ است.

مثال ۱

مجموعه $$A=\{1,2,3,\ldots,1998\}$$ را به عنوان یک مجموعه متناهی در نظر بگیرید. یک زیرمجموعه از این مجموعه که به صورت $$A^*=\{1,2,3,\ldots , 1000\}$$ مشخص شده است حتما متناهی است.

$$\large A^* \subset A$$

مثال ۲

دو مجموعه متناهی مثل $$A=\{1,2,3,\ldots,1998\}$$ و $$B=\{10,100,100,1000\}$$ را در نظر بگیرید. طبق تعریف، اشتراک این دو مجموعه به صورت زیر خواهد بود. واضح است که این اشتراک یک مجموعه متناهی است.

$$\large A \cap B = \{ 10, 100 , 1000 \}$$

مثال ۳

مجموعه همه مضرب‌های عدد ۵ کمتر و مجموعه مضرب‌های عدد ۳ کمتر از 20 را در نظر بگیرید. مجموعه اول یعنی $$\{5 , 10 , 15 , \ldots \}$$ یک مجموعه نامتناهی است ولی مجموعه دوم که به صورت $$\{3,6,9,12,15,18\}$$ مشخص می‌شود، یک مجموعه متناهی است. اشتراک این دو مجموعه تشکیل یک مجموعه متناهی می‌دهد.

$$\large \{5, 10 , 15 , \ldots \} \cap \{ 3,6,9,12,15,18 \} = \{ 15 \}$$

مثال ۴

این بار اجتماع دو مجموعه مربوط به مثال ۳ را در نظر می‌گیریم. مشخص است که حاصل اجتماع این دو مجموعه طبق تعریفی که برای اجتماع داریم، نامتناهی خواهد بود.

$$\large \{5, 10 , 15 , \ldots \} \cup \{ 3,6,9,12,15,18 \} = \{ 3 ,5 , 6, 9 , 10 , 12 , 15 , 18 , 20 , \ldots \}$$

مثال ۵

این بار اجتماع دو مجموعه مربوط به مثال ۲ را مورد بررسی قرار می‌دهیم. مشخص است که هر دو مجموعه متناهی هستند. در نتیجه اجتماع آن‌ها نیز متناهی خواهد بود.

$$\large A \cap B = \{ 1,2,3, \ldots 1998 , 10000 \}$$

مثال ۶

مجموعه اعداد گویا ($$\mathbb{Q}$$) و مجموعه اعداد گنگ ($$\mathbb{Q}'$$)، هر دو نامتناهی هستند. از طرفی اجتماع آن‌ها مجموعه اعداد حقیقی ($$\mathbb{R}$$) را می‌سازد که یک مجموعه نامتناهی است.

$$\large \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' = \mathbb{R}$$

مثال ۷

از آنجایی که هر مجموعه‌ای مثل $$A$$، زیر مجموعه اجتماع آن با مجموعه‌ای دیگر است، پس اجتماع دو مجموعه متناهی و نامتناهی، یک مجموعه نامتناهی را می‌سازد. برای مثال اجتماع مجموعه نامتناهی $$(0,1)$$ با مجموعه متناهی $$\{2,3\}$$ به صورت یک مجموعه نامتناهی بوده و به شکل زیر نمایش داده می‌شود.

$$\large (0,1) \cup \{2,3\}$$

مثال ۸

می‌دانیم که مجموعه متناهی $$A= \{1,2,3, \ldots , 1998\}$$ دارای یک زیرمجموعه به صورت اعداد اعداد زوج کمتر از ۲۰۰۰ است که به صورت $$B = \{ 2 , 4, 6 , \ldots , 1998\}$$ است. از آنجایی که $$B \subseteq A$$‌ است، پس $$B$$ نیز متناهی است.

مثال ۹

واضح است که مجموعه $$B$$ در مثال ۸ یک مجموعه متناهی است. از طرفی می‌دانیم که این مجموعه، زیر مجموعه متناهی $$A$$ و همچنین زیرمجموعه اعداد طبیعی است که نامتناهی محسوب می‌شود. پس نمی‌توان در مورد بالا مجموعه $$A$$ قضاوتی کرد.

$$\large B \subset A , \;\;\; B \subset \mathbb{N}$$

گزاره‌هایی که با شماره‌های ۱ تا ۹ مشخص شدند، می‌تواند به صورت قضیه‌هایی در نظریه مجموعه‌ها مورد اثبات قرار گیرند که این موضوعات را در ادامه و با رویکرد دانشگاهی مورد بررسی قرار می‌دهیم.

مجموعه متناهی و نامتناهی با رویکرد دانشگاهی

همانطور که در دیگر نوشتارهای فرادرس با مفهوم مجموعه و عدد اصلی آن (Cardinal Number)، آشنا شدید می‌دانید که ممکن است یک مجموعه از لحاظ تعداد اعضا، متناهی یا نامتناهی باشد. این موضوع در نظریه مجموعه‌ها (Set Theory) اهمیت زیادی دارد. رفتار مجموعه‌های متناهی با مجموعه‌های نامتناهی کاملا متفاوت بوده و محاسبات روی آن‌ها با یکدیگر فرق می‌کند. در این نوشتار قرار است به شکلی عمیق‌تر مجموعه متناهی و نامتناهی را تعریف کرده و خصوصیات هر یک را بازگو کنیم.

برای آشنایی بیشتر با نظریه مجموعه‌ها نوشتارهای اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده مطالعه کنید. همچنین خواندن مطالب ضرب دکارتی مجموعه ها و مختصات دکارتی — به زبان ساده و مجموعه باز و بسته در ریاضیات — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

در ریاضیات، شناخت مجموعه متناهی و نامتناهی از اهمیت زیادی برخوردار است بخصوص در نظریه مجموعه‌ها و بحث اعداد اصلی مجموعه، مشخص بودن تعریف مجموعه متناهی و نامتناهی لازم است.

به بیان ساده می‌توان گفت که «مجموعه متناهی» (Finite Set) به مجموعه‌ای گفته می‌شود که تعداد اعضای آن متناهی باشد. به بیان ساده‌تر می‌توان اعضای مجموعه متناهی را شمارش کرد و تعداد آن‌ها را مشخص نمود. برای مثال مجموعه زیر که مشخص کننده اعداد زوج بین ۲ تا ۱۰ است، یک مجموعه متناهی در نظر گرفته می‌شود.

$$\large { \displaystyle \{ 2, 4, 6, 8, 10 \} }$$

واضح است که تعداد اعضای این مجموعه، برابر با ۵ است. تعداد اعضای یک مجموعه متناهی، یک مقدار از مجموعه اعداد طبیعی است که به آن عدد اصلی یا «عدد کاردینال» (Cardinality of a Set) می‌گویند. مجموعه‌های متناهی بخصوص در «حساب ترکیبیات» (Cambinatorics) اهمیت زیادی دارند زیرا در آنجا به توجه به اصول شمارش، تعداد اعضای چنین مجموعه‌هایی تعیین می‌شوند.

«اصل لانه کبوتری» (Pigeonhole Principle) در این میان نقش اساسی ایفا می‌کند. در این اصل مشخص می‌شود که نمی‌توان یک رابطه یک به یک و پوشا (One to One and Onto) بین دو مجموعه متناهی با تعداد اعضای نابرابر، ایجاد کرد. به این ترتیب به این گزاره خواهیم رسید که یک رابطه ترتیبی بین اعداد اصلی مجموعه‌های متناهی وجود دارد.

در مقابل، «مجموعه نامتناهی» (Infinite Set)، مجموعه‌ای است که متناهی نباشد. به این معنی که تعداد اعضای آن مشخص نیست. ممکن است یک مجموعه شمارش‌پذیر (Countable) بوده ولی نامتناهی در نظر گرفته شود. در این حالت امکان شمارش اعضای مجموعه وجود دارد ولی عمل شمارش هرگز پایان نمی‌پذیرد. از طرفی این احتمال نیز وجود دارد که شمارش اعضای چنین مجموعه‌ای نیز امکان‌پذیر نباشد.

مجموعه زیر به عنوان یک مثال از مجموعه نامتناهی (ولی شمارش‌پذیر) در نظر گرفته می‌شود.

$$\large \{ 1, 2, 3, \ldots \}$$

واضح است که این مجموعه، همان اعداد طبیعی است. به کمک مفهوم عدد اصلی برای مجموعه‌های نامتناهی، باز هم می‌توان یک رابطه ترتیبی بین مجموعه‌ها براساس عدد اصلی آن‌ها ایجاد کرد.

تعریف مجموعه متناهی

همانطور که گفته شد، مجموعه متناهی، دارای تعداد اعضای مشخصی است. این امر را به کمک یک تعریف ریاضی و به صورت رابطه یک مجموعه متناهی با یک مجموعه متناهی دیگر از اعداد طبیعی مشخص می‌کنیم.

تعریف مجموعه متناهی: مجموعه $$S$$ را متناهی (Finite) گویند اگر یک «رابطه دو سویه» یا «یک به یک و پوشا» (Bijection) مثل $$f$$ با مجموعه $$\{ 1 , 2 , \ldots , n \}$$ داشته باشد.

$$\large f \colon S \rightarrow \{ 1, \ldots ,n \}$$

در اینجا مقدار $$n$$ یک عدد طبیعی است که نشانگر عدد اصلی مجموعه $$S$$ است. بر این اساس یک مجموعه متناهی را به کمک اعضای آن و به صورت‌های مختلفی می‌توان نشان داد. در ادامه بعضی از این شیوه‌ها را مشاهده می‌کنید.

$$\large {\displaystyle x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n} \quad ( x_{i} \in S, \ 1 \leq i \leq n) }$$

نکته: به طور قراردادی «مجموعه تهی» ($$\emptyset$$) یا یک مجموعه بدون عضو را یک مجموعه متناهی با عدد اصلی برابر با صفر در نظر می‌گیریم.

در حساب ترکیبیات، یک مجموعه متناهی با $$n$$‌ عضو را گاهی به صورت $$n$$-مجموعه ($$n-set$$) نشان می‌دهند. به این ترتیب یک زیر مجموعه $$k$$ عضوی از چنین مجموعه‌ای نیز به صورت $$k$$-زیرمجموعه ($$k-subset$$) شناخته می‌شود.

برای مثال، مجموعه $$\{ 5 , 6 , 7 \}$$ به صورت یک مجموعه متناهی $$3$$-مجموعه و $$\{ 6 , 7 \}$$ نیز یک $$2$$-زیرمجموعه آن نامیده می‌شود.

برای اثبات وجود تابعی مثل $$f$$ که یک به یک و پوشا نسبت به مجموعه $$\{ 1, 2, \ldots, n \}$$ است، از «ساختار فن نویمان» (von Neumann Construction) استفاده می‌شود که در نوشتار دیگری به آن خواهیم پرداخت.

خصوصیات مجموعه متناهی

در این قسمت با بعضی از خصوصیات جالب مجموعه‌های متناهی آشنا خواهیم شد.

مجموعه‌های متناهی و زیرمجموعه‌های محض آن‌ها

یکی از خصوصیات مربوط به مجموعه‌های متناهی، در رابطه با زیرمجموعه‌های یک مجموعه متناهی است. بر این اساس هر زیر مجموعه‌ محض از مجموعه متناهی $$S$$، دارای تعداد اعضای کمتری از $$S$$ است. در نتیجه برای یک مجموعه متناهی نمی‌توان یک رابطه دو سویه با زیرمجموعه‌های محض آن ایجاد کرد.

نکته: مجموعه $$A$$ را یک زیر «مجموعه محض» (Proper Subset) یا «زیر مجموعه اکید» (Strict Subset) گویند اگر رابطه‌های زیر برقرار باشند.

$$\large A \subseteq B , A \neq B \rightarrow { \displaystyle A \subsetneq B } , \;\; A \subset B$$

گاهی زیرمجموعه محض را به صورت $$A \subset B$$ نشان می‌دهند که در مقابل با زیرمجموعه عادی به شکل $$A \subseteq B$$ است.

توجه داشته باشید که اگر عدد اصلی یک مجموعه متناهی با عدد اصلی زیرمجموعه‌ محض آن برابر یا به اصطلاح «هم‌شمار» (Equinumerous) باشد، آن را مجموعه «متناهی-ددکیند» (Dedekind-finite) می‌گویند.

رابطه یک به یک و پوشا بین مجموعه‌های متناهی

همانطور که گفتیم، زمانی دو مجموعه دارای عدد اصلی برابر هستند که یک تابع یک به یک و پوشا بین آن‌ها برقرار باشد. به این ترتیب اگر یک رابطه یک به یک بین دو مجموعه که دارای عدد اصلی برابر هستند، وجود داشته باشد، حتما آن رابطه، «پوشا» (Surjective) نیز هست. همچنین رابطه‌ای پوشا بین دو مجموعه با عدد اصلی برابر، لزوما، یک رابطه «یک به یک» (Injective) خواهد بود.

اشتراک و اجتماع مجموعه‌های متناهی

فرض کنید دو مجموعه $$T$$ و $$S$$، متناهی باشند. آنگاه اجتماع این دو مجموعه، مجموعه‌ای با عدد اصلی کوچکتر از مجموع اعداد اصلی آن‌ها است. به بیان ریاضی اگر $$|S|$$ و $$|T|$$ عدد اصلی این دو مجموعه متناهی باشد، آنگاه رابطه زیر برقرار است.

$$\large | \ S \cup T \ | \leq |\ S \ | + |\ T \ |$$

در حقیقت عدد اصلی اجتماع این دو مجموعه و مجموع اعداد اصلی و اشتراک آن‌ها در تساوی زیر صدق می‌کنند.

$$\large | \ S \cup T \ | = |\ S \ | + | \ T \ | - | \ S \cap T \ |$$

این قضیه را برای اجتماع متناهی از مجموعه‌های متناهی نیز می‌توان بیان کرد.

$$\large { \displaystyle | \cup_{i = 1}^k S_i | \leq \sum_{ i = 1 }^k| S_i | }$$

به این ترتیب می‌توان گفت که اجتماع مجموعه‌های متناهی، متناهی خواهد بود.

همچنین می‌توان نشان داد که حاصل‌ضرب دکارتی دو مجموعه متناهی نیز متناهی است. به این ترتیب رابطه زیر برای دو مجموعه متناهی $$T$$ و $$S$$ برقرار است.

$$\large | S \times T | = | S | \times | T |$$

به همین ترتیب باز هم می‌توان گفت که حاصل‌ضرب دکارتی چندین مجموعه متناهی، یک مجموعه متناهی خواهد بود.

$$\large { \displaystyle | \prod_{i = 1}^k S_i | = \prod_{ i = 1 }^k | S_i | }$$

از طرفی با توجه به قانونی که برای ضرب دکارتی مجموعه‌های متناهی گفته شد، عدد اصلی مجموعه توانی یک مجموعه متناهی را هم می‌توان بدست آورد. فرض کنید مجموعه $$S$$، متناهی بوده و عدد اصلی آن برابر با $$n$$ باشد. به این معنی که مجموعه $$S$$ دارای $$n$$ عضو است. در این صورت تعداد زیر مجموعه‌های $$S$$ برابر با $$2^n$$ است. از آنجایی که مجموعه توانی توسط حاصل‌ضرب دکارتی زیر مجموعه‌های $$S$$ ساخته شده، متناهی خواهد بود. همچنین عدد اصلی مجموعه توانی $$S$$ به صورت $$2^n$$ محاسبه می‌شود.

مجموعه متناهی و شمارش‌پذیر

در قسمت قبل دیدیم که هر زیر مجموعه‌ای از مجموعه متناهی، متناهی است. همچنین مجموعه مقادیر تابعی که روی اعضای یک مجموعه متناهی به کار می‌رود هم متناهی است.

توجه داشته باشید که هر مجموعه متناهی، شمارش‌پذیر (Countable) بوده ولی هر مجموعه شمارش‌پذیری، متناهی نیست. برای مثال با توجه به تناظر یک به یک مجموعه اعداد زوج با مجموعه اعداد طبیعی، این مجموعه شمارش‌پذیر بوده ولی متناهی نیست. به همین منظور گاهی به مجموعه شمارش‌پذیر، نامتناهی شمارش‌پذیر (Countably Infinite) می‌گویند.

شرط لازم و کافی برای متناهی بودن مجموعه

با توجه به تعریفی که برای مجموعه متناهی بیان کردیم، گزاره‌های زیر معادل هستند. البته توجه داشته باشید که این گزاره‌ها با شرط وجود «اصل موضوع انتخاب» (Axiom of Choice) برقرار هستند.

• مجموعه $$S$$، متناهی است.
• هر رابطه یا تابع یک به یک از $$S$$ به خودش، پوشا است.
• هر تابع یا رابطه پوشا از $$S$$ به خودش، یک به یک است.
• مجموعه $$S$$ تهی است یا هر «ترتیب جزئی» (Partial Ordering) از $$S$$، دارای یک عنصر ماکسیمال (Maximal Element) است.

در صورتی که «اصل موضوع انتخاب» را کنار بگذاریم و فقط در حوزه نظریه مجموعه‌های «زرملو-فرانکل» (Zermelo–Fraenkel Set Theory) که به صورت مخفف ZF نامیده می‌شود، گام برداریم، گزاره‌های زیر نیز معادل یکدیگرند.

• مجموعه $$S$$، متناهی است. به این معنی که بین $$S$$ و مجموعه‌ای از اعداد طبیعی که از یک مقدار مشخص کوچکتر هستند، یک رابطه یک به یک و پوشا وجود دارد.
• هر نگاشت یک به یک از $$P(P(S))$$ به خودش، یک رابطه پوشا است. به این معنی که مجموعه توانی حاصل از ایجاد مجموعه توانی مجموعه $$S$$، یک مجموعه متناهی-ددکیند است.
• هر تابع یا رابطه پوشا از $$P(P(S))$$ به خودش، حتما یک رابطه یا تابع یک به یک است.
• هر زیرمجموعه‌ ناتهی از زیرمجموعه‌های $$S$$، دارای «عنصر مینیمال» (Minimal Element) است.
• هر زیرمجموعه ناتهی از زیرمجموعه‌های $$S$$، دارای «عنصر ماکزیمال» (Maximal Element) است.

تعریف مجموعه نامتناهی

مجموعه‌های نامتناهی در مقابل مجموعه‌های متناهی قرار دارند. یک مجموعه نامتناهی ممکن است «شمارا» یا «شمارش‌پذیر» (Countable) باشد و در مقابل بعضی از مجموعه‌های نامتناهی نیز «ناشمارا» یا «شمارش‌ناپذیر» (Uncountable) هستند.

یکی از مجموعه‌های نامتناهی پایه، «مجموعه اعداد طبیعی» (Natural Numbers Set) است. نامتناهی بودن این مجموعه توسط «اصل وجود نامتناهی» (Axiom of Infinity) فرض می‌شود. مجموعه‌های دیگر نامتناهی با استفاده از نظریه مجموعه‌های ZF یا «زرملو-فرانکل» مشخص می‌شوند. مجموعه نامتناهی طبق گزاره زیر تعریف می‌شود.

تعریف مجموعه نامتناهی با عدد اصلی: یک مجموعه، نامتناهی است، اگر و فقط هر زیرمجموعه‌ای از آن مجموعه دارای عدد اصلی برابر یا بزرگتر از عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی باشد. به بیان دیگر عدد اصلی هر یک از زیرمجموعه‌های آن شامل همه اعداد طبیعی شود.

این تعریف را با توجه به «اصل موضوعه انتخاب» (Axiom of Choice) به صورت دیگری نیز می‌توان بیان کرد.

تعریف مجموعه متناهی با اصل انتخاب: یک مجموعه، نامتناهی است اگر تعداد زیرمجموعه‌های آن بی‌نهایت ولی شمارش‌پذیر باشند.

خوشبختانه مجموعه‌های نامتناهی دارای ویژگی‌های خاصی هستند که آن‌ها را از مجموعه‌های متناهی مجزا می‌کند. در ادامه به بعضی از آن‌ها اشاره خواهیم کرد.

خصوصیات مجموعه نامتناهی

درست به مانند مجموعه‌های متناهی، خصوصیات جالب هم برای مجموعه‌های نامتناهی وجود دارد که در ادامه به برخی از آن‌ها خواهیم پرداخت.

• اگر مجموعه‌ای از مجموعه‌های مورد نظر، نامتناهی باشد، آنگاه اجتماع آن‌ها نیز نامتناهی خواهد بود.
• مجموعه توانی یک مجموعه نامتناهی، نامتناهی است.
• اگر یک مجموعه نامتناهی، به تعداد متناهی مجموعه دیگر تقسیم شود، حداقل یکی از آن‌ها نامتناهی خواهد بود.
• اگر بین یک مجموعه با یک مجموعه نامتناهی، یک «نگاشت» (Mapping) از نوع پوشا (Onto) وجود داشته باشد، آنگاه آن مجموعه، نامتناهی خواهد بود.
• ضرب دکارتی تعداد نامتناهی مجموعه که هر کدام حداقل دارای دو عضو باشند، یا تهی است یا یک مجموعه نامتناهی را تشکیل خواهد داد. در صورت برقراری اصل انتخاب، ضربی دکارتی چنین مجموعه‌هایی، یک مجموعه نامتناهی خواهد بود.

همانطور که مجموعه «متناهی ددکیند» (Dedekind-Finite) را در قسمت قبل تعریف کردیم، در اینجا هم می‌توانیم «مجموعه نامتناهی ددکیند» را مشخص کنیم. به این ترتیب یک مجموعه مثل $$A$$ را «نامتناهی ددکیند» (Dedekind-Infinite) گویند، اگر برای بعضی از زیرمجموعه‌های محض (یا مطلق) آن مثل $$B$$ داشته باشیم:

$$\large B \subsetneq A \longrightarrow | A | = | B |$$

واضح است که مجموعه‌های شمارش‌پذیر یا شمارا (Countable) و شمارش‌ناپذیر یا ناشمارا (Uncountable)، نامتناهی خواهند بود. در ادامه با مثال‌هایی تفاوت هر یک از این دو مفهوم را هم مشخص خواهیم کرد.

مجموعه‌های شمارش‌پذیر نامتناهی

مجموعه اعداد صحیح $$Z$$ را در نظر بگیرید.

$$\large Z = \{ \dots, -2 , -1 , 0 , 1, 2, \ldots \}$$

چنین مجموعه‌ای، شمارش‌پذیر ولی نامتناهی خواهد بود زیرا می‌توان بوسیله یک رابطه یک به یک و پوشا، مثل تابع $$f$$، این مجموعه را به مجموعه اعداد طبیعی مرتبط کرد.

$$\large f(n) = \begin{cases} \;\;\;\; \frac{n}{2} & n \text{ is even} \\ \\ \large \frac{- (n + 1)}{ 2 } & n \text{ is odd} \end{cases}$$

مجموعه اعداد زوج را هم در نظر بگیرید. چنین مجموعه‌ای نیز یک مجموعه نامتناهی ولی شمارش‌پذیر است، زیرا براساس تابع $$g$$ می‌توانیم اعضای مجموعه اعداد زوج را به اعداد طبیعی تبدیل کنیم.

$$\large g : E \rightarrow N, \;\; y = g(x) = \dfrac{x}{2}$$

همچنین به همین روش نیز می‌توان نشان داد که اعداد گویا (Rational Numbers)، یک مجموعه نامنتاهی ولی شمارا است و یک نگاشت یک به یک و پوشا بین آن و مجموعه اعداد طبیعی پیدا کرد.

مجموعه‌های نامتناهی شمارش‌ناپذیر

توجه داشته باشید که «مجموعه اعداد اصم» یا گنگ (Irrational Numbers Set) یک مجموعه نامتناهی ناشمار یا شمارش‌ناپذیر است. زیرا نمی‌توان بین آن‌ها و مجموعه اعداد طبیعی، یک نگاشت یک به یک و پوشا پیدا کرد. عدم چنین نگاشتی توسط «قضیه کانتور» (Cantor's Theorem) مشخص می‌شود. این قضیه و نحوه اثبات آن در نوشتارهای دیگر مجله فرادرس خواهد آمد.

از طرفی «مجموعه اعداد حقیقی» (Real Numbers Set) را باید به عنوان سرگروه مجموعه‌هایی در نظر گرفت که نامتناهی بوده ولی شمارش‌پذیر نیستند. پیداست که در بین هر دو عدد حقیقی، بی‌نهایت عضو دیگر از مجموعه اعداد حقیقی وجود دارد. کافی است وسط هر دو عدد دلخواه از اعداد حقیقی را در نظر بگیرید تا عضو دیگری از این مجموعه بدست آید.

همین موضوع را برای مجموعه اعداد گنگ یا اصم نیز می‌توان تعمیم داد. برای مثال با توجه به گنگ بودن عدد پی ($$\pi$$) یا $$\sqrt{2}$$، کافی با تقسیم هر یک از آن‌ها بر ۲، یک عدد گنگ دیگری ایجاد کرد. به این ترتیب می‌توان بی‌نهایت عضو از مجموعه اعداد گنگ را مشخص کنیم. همین امر نشان می‌دهد که مجموعه اعداد اصم، نامتناهی و شمارش‌ناپذیر هستند.

نکته: بین هر دو عدد گویا، می‌توان بی‌نهایت عدد حقیقی یا گنگ پیدا کرد. در نتیجه مجموعه اعداد حقیقی یا گنگ، چگال‌تر (Dense) از مجموعه اعداد گنگ یا اعداد صحیح هستند.

خلاصه و جمع‌بندی

مجموعه‌ها یکی از ساختارهای مهم در ریاضیات هستند. شناخت و طبقه‌بندی مجموعه‌ها ما را در درک بهتر آن‌ها یاری می‌رساند. یک نوع طبقه‌بندی برای مجموعه‌ها، براساس تعداد اعضای آن‌ها صورت می‌گیرد که با تکیه بر آن می‌توان مجموعه‌ها را به دو دسته متناهی و نامتناهی طبقه‌بندی کرد. مجموعه‌های متناهی، حتما دارای زیرمجموعه‌های متناهی هستند ولی مجموعه‌های نامتناهی، هم زیرمجموعه‌های متناهی و هم نامتناهی دارند.

«جورج کانتور» نظریه مجموعه‌ها (Set Theory) را برای نشان دادن رفتار ریاضیاتی مجموعه‌های نامتناهی ابداع کرد. تفاوت بین مجموعه متناهی و نامتناهی هسته اصلی نظریه مجموعه‌ها را مشخص می‌کند. یکی از تئوری‌های مدرن و پیشرفته در مورد نظریه مجموعه‌ها، دیدگاهی است که به نظریه مجموعه‌های «زرملو-فرانکل» (Zermelo–Fraenkel Set Theory) معروف است که براساس اصول خاص خود پایه‌ریزی شده است.

در این مطلب با تعریف مجموعه متناهی و نامتناهی آشنا شده و نحوه تشخیص آن‌ها را فرا گرفتیم. مجموعه متناهی و نامتناهی همینطور مجموعه‌های شمارش‌پذیر و شمارش‌ناپذیر نیز مفاهیمی هستند که نه تنها در نظریه مجموعه‌ها، بلکه در قضیه‌های مربوط به «توپولوژی» (Topology) هم به کار گرفته می‌شوند.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر که مرتبط با موضوع این نوشتار هستند نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• آموزش مبانی توپولوژی عمومی
• مجموعه آموزش‌های دروس رسمی دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• آموزش مبانی آنالیز حقیقی
• اعداد اصلی، ترتیبی و اسمی – مفاهیم و تعاریف به زبان ساده
• فضای متریک و نامساوی مثلثی — به زبان ساده
• الگوریتم تقسیم اعداد — از صفر تا صد

^^