فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی + حل تمرین

فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چندضلعی برابر °180×(n-2) است که در آن، n، تعداد ضلع‌های چند ضلعی را نمایش می‌دهد. به عنوان مثال، بر اساس این فرمول، مجموع زوایای داخلی مثلث (سه ضلعی) برابر با °180=°180×(2-3) خواهد بود. در این مقاله، فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی های مختلف را معرفی می‌کنیم و به حل چندین مثال متنوع می‌پردازیم.

چند ضلعی چیست ؟

در هندسه، به مجموعه‌ای از چند پاره خط مستقیم که به یکدیگر وصل می‌شوند و یک شکل بسته را تشکیل می‌دهند، چند ضلعی می‌گویند.

تصویر زیر، سه مثال از انواع چند ضلعی را نمایش می‌دهد.

انواع چند ضلعی کدام هستند ؟

انواع چند ضلعی بر اساس معیارهای مختلف به موارد زیر تقسیم می‌شوند:

• انواع چند ضلعی بر اساس برابر بودن اجزا
  • چند ضلعی منتظم
  • چند ضلعی نامنظم
• انواع چند ضلعی بر اساس اندازه زوایای داخلی
  • چند ضلعی محدب (کوژ)
  • چند ضلعی مقعر (کاو)
• انواع چند ضلعی بر اساس تعداد ضلع‌ها و زاویه‌ها
  • سه ضلعی (مثلث)
  • چهارضلعی (مربع، مستطیل، لوزی، ذوزنقه)
  • پنج ضلعی
  • شش ضلعی
  • هفت ضلعی
  • هشت ضلعی
  • و غیره

زاویه داخلی چیست ؟

زاویه داخلی، زاویه بین ضلع‌های مجاور یک چند ضلعی است که درون محیط آن قرار می‌گیرد.

تصویر زیر، زوایای داخلی یک مثلث متساوی الاضلاع (سه ضلعی منتظم) را نمایش می‌دهد.

مجموع زوایای داخلی چند ضلعی ها چند است؟

مجموع زوایای داخلی برخی از چند ضلعی‌ها برابر است با:

• مجموع زوایای داخلی سه ضلعی: 180 درجه
• مجموع زوایای داخلی چهار ضلعی: 360 درجه
• مجموع زوایای داخلی پنج ضلعی: 540 درجه
• مجموع زوایای داخلی شش ضلعی: 720 درجه

در ادامه، نحوه بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی‌ها را با استفاده از یک فرمول مخصوص توضیح می‌دهیم.

فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی چیست ؟

مجموع زوایای داخلی اشکال هندسی، بر اساس تعداد ضلع‌های آن به دست می‌آید.

فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی برابر است با:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌ها

فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی منتظم

به چند ضلعی‌هایی که همه ضلع‌ها و زاویه‌هایشان با هم مساوی است، چند ضلعی منتظم گفته می‌شود. مربع، یکی از شناخته شده‌ترین مثال‌های چند ضلعی منتظم است. این شکل از چهار ضلع برابر و چهار راس با زاویه 90 درجه تشکیل می‌شود.

فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی منتظم عبارت است از:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌ها

اگر اندازه یکی از زاویه‌های چند ضلعی منتظم معلوم باشد، مجموع زوایای داخلی آن از ضرب تعداد راس‌ها در مقدار آن زاویه به دست می‌آید. به عنوان مثال، زاویه هر راس مربع برابر 90 درجه است. بنابراین، مجموع زوایای داخلی مربع برابر حاصلضرب 4 (تعداد را‌س‌ها) در °90 یا برابر °360 خواهد بود.

فرمول بدست آوردن هر یک از زاویه های چند ضلعی منتظم

به منظور به دست آوردن هر یک از زوایای چند ضلعی منتظم، می‌توان از عبارت جبری زیر استفاده کرد:

$$
\frac {(n-2) \times 180^{ \circ } } { n }
$$

• n: تعداد ضلع‌های چند ضلعی منتظم

مثال 1: بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی منتظم

هشت ضلعی منتظم زیر را در نظر بگیرید. مجموع زوایای داخلی این هشت ضلعی و مقدار زاویه هر راس آن را حساب کنید.

برای این مثال، ابتدا فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی منتظم را می‌نویسیم:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی هشت ضلعی منتظم
• n: تعداد ضلع‌های هشت ضلعی منتظم برابر 8

تعداد ضلع‌ها را درون فرمول قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$
S = (8-2) \times 180°
$$

$$
S = (6) \times 180°
$$

$$
S = 1080°
$$

مجموع زوایای داخلی هشت ضلعی منتظم برابر 1080 درجه است. به دلیل برابر بودن تمام زاویه‌های این شکل، مقدار هر زاویه از تقسیم مجموع زوایای داخلی (°1080) بر تعداد راس‌‌ها (8) به دست می‌آید. البته فرمول مخصوص محاسبه هر زاویه چند ضلعی منتظم به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\frac {(n-2) \times 180^{ \circ } } { n }
$$

• n: تعداد ضلع‌های هشت ضلعی برابر 8

$$
\frac {(8-2) \times 180^{ \circ } } { 8 }
$$

$$
\frac {(6) \times 180^{ \circ } } { 8 }
$$

$$
\frac {1080^{ \circ } } { 8 }
$$

$$
135^{ \circ }
$$

بنابراین، هر زاویه داخلی هشت ضلعی منتظم برابر با °135=8÷°1080 است.

فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی نامنتظم

به چند ضلعی‌هایی که همه ضلع‌ها و زاویه‌هایشان با هم مساوی نباشند، چند ضلعی نامنظم یا نامنتظم می‌گویند. از چند ضلعی‌های نامنتظم معروف می‌توان به ذوزنقه اشاره کرد. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک ذوزنقه متساوی الساقین با دو زاویه داخلی 60 درجه را نمایش می‌دهد.

فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی نامنظم عبارت است از:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌ها

مثال 2: بدست آوردن زوایای داخلی چند ضلعی نامنظم

تصویر زیر، یک چهار ضلعی نامنتظم با سه زاویه داخلی معلوم را نمایش می‌دهد. اندازه زاویه چهارم این چهار ضلعی را به دست بیاورید.

به منظور تعیین زاویه چهارم در شکل بالا، ابتدا باید مجموع زوایای داخلی چند ضلعی نامنتظم را تعیین کنیم. این فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی هشت ضلعی منتظم
• n: تعداد ضلع‌های چند ضلعی نامنظم برابر 4

$$
S = (4-2) \times 180°
$$

$$
S = (2) \times 180°
$$

$$
S = 360°
$$

مجموع زوایای داخلی چهار ضلعی برابر 360 درجه است. به عبارت دیگر:

360° = زاویه چهارم + زاویه سوم + زاویه دوم + زاویه اول

اندازه زاویه‌های معلوم را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

360° = زاویه چهارم + °100 + °125 + °55

360° = زاویه چهارم + °280

280° - 360° = زاویه چهارم

80° = زاویه چهارم

در نتیجه، زاویه چهارم برابر 80 درجه است.

فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی محدب

چند ضلعی‌هایی که هیچ زاویه بزرگ‌تر از 180 درجه ندارند، چند ضلعی محدب یا کوژ نامیده می‌شوند.

شکل‌هایی مانند مثلث، مربع، مستطیل، لوزی، متوازی الاضلاع و ذوزنقه، از انواع معروف چند ضلعی محدب هستند.

فرمول مجموع زوایای داخلی چندضلعی محدب عبارت است از:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌ها

مثال 3: بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی محدب

مجموع زوایای داخلی متوازی الاضلاع زیر را حساب کنید. سپس، اندازه هر یک از زاویه‌های آن را بدست بیاورید.

متوازی الاضلاع، یکی از انواع چهار ضلعی‌های محدب است که ضلع‌ها و زاویه‌های مقابل آن با هم برابر هستند. مجموع زوایای داخلی این شکل بر اساس فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی محدب محاسبه می‌شود:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌های چند ضلعی محدب برابر 4

$$
S = (4-2) \times 180°
$$

$$
S = (2) \times 180°
$$

$$
S = 360°
$$

مجموع زوایای داخلی متوازی الاضلاع برابر 360 درجه است. به دلیل برابر بودن زاویه‌های مقابل در این شکل، می‌توان مجموع زوایای داخلی را به صورت زیر نوشت:

360° = زاویه چهارم + زاویه سوم + زاویه دوم + زاویه اول

360° = زاویه چهارم + °60 + زاویه دوم + °60

360° = زاویه چهارم + زاویه دوم + °120

120° - 360° = زاویه چهارم + زاویه دوم

240° = زاویه چهارم + زاویه دوم

در نتیجه، زاویه دوم و چهارم این متوازی الاضلاع برابر 120 درجه هستند.

فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی مقعر

به چند ضلعی‌‌هایی که حداقل یک زاویه بزرگ‌تر از 180 درجه دارند، چند ضلعی مقعر یا کاو می‌گویند. به غیر از مثلث (سه ضلعی)، امکان مقعر بودن تمام چند ضلعی های بسته وجود دارد.

فرمول مجموع زوایای داخلی چندضلعی مقعر عبارت است از:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌ها

مثال 4: بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی مقعر

تصویر زیر، یک هشت ضلعی مقعر را نمایش می‌دهد. مجموع زوایای داخلی این شکل مقعر را حساب کنید.

بر اساس فرمول مجموع زوایای داخلی چند ضلعی مقعر، داریم:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌های چند ضلعی مقعر برابر 8

$$
S = (8-2) \times 180°
$$

$$
S = (6) \times 180°
$$

$$
S = 1080°
$$

اگر به نتایج این مثال و سه مثال قبلی توجه کنید، متوجه خواهید شد که منتظم یا نامنتظم بودن و محدب یا مقعر بودن، هیچ تاثیری بر روی فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی ندارد. این فرمول برای تمام شکل‌های چند ضلعی بسته یکسان است و فقط بر اساس تعداد ضلع‌ها نوشته می‌شود. البته، یک ترفند کلی برای به دست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی وجود دارد که در بخش بعدی به آموزش آن می‌پردازیم.

فرمول مجموع زوایای داخلی مثلث یا سه ضلعی

مثلث، یکی از شکل‌های هندسی بسته است که از سه ضلع و سه راس تشکیل می‌شود. این شکل، اهمیت بسیار بالایی در محاسبه مجموع زوایای داخلی دیگر شکل‌های هندسی دارد.

مجموع زوایای داخلی مثلث برابر 180 درجه است. این عدد از فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی نیز به دست می‌آید:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌های چند ضلعی برابر 3

$$
S = (3-2) \times 180°
$$

$$
S = (1) \times 180°
$$

$$
S = 180°
$$

در مثال بعدی، نحوه استفاده از مثلث و مجموع زوایای داخلی آن برای محاسبه مجموع زوایای داخلی چند ضلعی‌ها را نشان می‌دهیم. روش اثبات مجموع زوایای داخلی مثلث را در یک مطلب جداگانه آموزش خواهیم داد.

مثال 5: محاسبه مجموع زوایای داخلی هفت ضلعی با استفاده از مثلث

مجموع زوایای داخلی هفت ضلعی زیر را توسط تقسیم‌بندی آن به چند مثلث حساب کنید.

به منظور محاسبه مجموع زوایای داخلی، راس‌های چند ضلعی را به صورت زیر به هم وصل می‌کنیم. روش‌های مختلفی برای این کار وجود دارد. با این وجود، ساده‌ترین و بهترین راه، انتخاب یک راس و اتصال آن به تمام راس‌های دیگر است.

اکنون تعداد مثلث‌های تشکیل شده را می‌شماریم. هفت ضلعی بالا از پنج مثلث تشکیل می‌شود. جمع زوایای داخلی هر مثلث برابر 180 درجه است. اگر مجموع زوایای داخلی هر پنج مثلث را با هم جمع کنیم، مجموع زوایای داخلی هفت ضلعی به دست می‌آید.

به عبارت دیگر:

180° $$\times$$ 5 = مجموع زوایای داخلی هفت ضلعی

900° = مجموع زوایای داخلی هفت ضلعی

اگر به رابطه بالا دقت کنید، متوجه خواهید شد که این رابطه همان فرمول بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی است:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌های هفت ضلعی برابر 7

$$
S = (7-2) \times 180°
$$

$$
S = (5) \times 180°
$$

$$
S = 900°
$$

در واقع، می‌توان گفت که فرمول بالا از مجموع زوایای داخلی مثلث گرفته شده است.

فرمول مجموع زوایای داخلی چهارضلعی

مجموع زوایای داخلی چهار ضلعی به صورت زیر به دست می‌آید:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌های چهار ضلعی برابر ۴

$$
S = (4-2) \times 180°
$$

$$
S = (2) \times 180°
$$

$$
S = 360°
$$

فرمول مجموع زوایای داخلی پنج ضلعی

مجموع زوایای داخلی پنج ضلعی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌های پنج ضلعی برابر 5

$$
S = (5-2) \times 180°
$$

$$
S = (3) \times 180°
$$

$$
S = 540°
$$

فرمول مجموع زوایای داخلی شش ضلعی

مجموع زوایای داخلی شش ضلعی را می‌توان توسط فرمول زیر محاسبه کرد:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌های شش ضلعی برابر 6

$$
S = (6-2) \times 180°
$$

$$
S = (4) \times 180°
$$

$$
S = 720°
$$

فرمول مجموع زوایای داخلی 12 ضلعی

مجموع زاویه های داخلی 12 ضلعی نیز مانند تمام چند ضلعی‌های دیگر توسط فرمول زیر قابل محاسبه است:

$$
S = (n-2) \times 180°
$$

• S: مجموع زوایای داخلی
• n: تعداد ضلع‌های 12ضلعی برابر 12

$$
S = (12-2) \times 180°
$$

$$
S = (10) \times 180°
$$

$$
S = 1800°
$$

سوالات متداول در رابطه با مجموع زوایای داخلی چند ضلعی

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در زمینه نحوه بدست آوردن مجموع زوایای داخلی چند ضلعی پاسخ می‌دهیم.

تعریف زاویه داخلی چیست ؟

زاویه‌هایی که درون یک چند ضلعی قرار دارند، زاویه‌های داخلی آن چند ضلعی نامیده می‌شوند.

عبارت جبری مجموع زاویه های داخلی یک n ضلعی چیست؟

عبارت جبری مجموع زاویه‌های داخلی یک n ضلعی (چند ضلعی) برابر °180×(2-n) است.

عبارت جبری اندازه هر یک از زاویه های یک n ضلعی منتظم چیست؟

برای محاسبه اندازه هر یک از زاویه های یک n ضلعی (چند ضلعی) منتظم می‌توان از حاصل °180×(2-n) تقسیم بر n استفاده کرد.

مجموع زوایای داخلی یک مثلث چند درجه است؟

مجموع زاویه های داخلی یک مثلث برابر 180 درجه است.

مجموع زوایای داخلی متوازی الاضلاع چند درجه است؟

مجموع زاویه های داخلی یک متواز الاضلاع برابر 360 درجه است.

مجموع زوایای داخلی پنج ضلعی چند درجه است؟

مجموع زاویه های داخلی یک پنج ضلعی برابر 540 درجه است.

مجموع زوایای داخلی شش ضلعی چند درجه است؟

مجموع زاویه های داخلی یک شش ضلعی برابر 720 درجه است.

مجموع زوایای خارجی یک n ضلعی چقدر است؟

مجموع زوایای خارجی تمام چند ضلعی‌ها برابر 360 درجه است.