ریاضی، علوم پایه 6289 بازدید

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با مثلث و روش‌های محاسبه مساحت و محیط آن آشنا شدیم. در این آموزش، مطالبی را درباره مثلث قائم الزاویه بیان می‌کنیم.

مثلث قائم الزاویه چیست ؟

«مثلث قائم الزاویه» (Right Triangle) مثلثی است که اندازه یکی از زاویه‌های آن ۹۰ درجه (قائمه یا راست) است. زاویه قائمه مثلث قائم الزاویه با یک مربع کوچک ($$\Box$$) نمایش داده می‌شود.

مثلث قائم الزاویه

«وَتَر» (Hypotenuse) ضلع مقابل زاویه قائمه مثلث قائم الزاویه است. دو ضلع دیگر مثلث قائم الزاویه را «ساق» (Leg) می‌نامند. شکل زیر یک مثلث قائم الزاویه را نشان می‌دهد که وتر و دو ساق آن مشخص شده‌اند.

مثلث قائم الزاویه

برخی از ویژگی‌های مثلث قائم الزاویه که بهتر است به خاطر داشته باشیم، عبارتند از:

  • یک زاویه این مثلث همواره برابر با 90 درجه است.
  • ضلع مقابلِ زاویه 90 درجه، وتر است.
  • وتر همیشه طولانی‌ترین ضلع مثلث قائم الزاویه است.
  • مجموع دو زاویه داخلی دیگر مثلث قائم الزاویه برابر با 90 درجه است.
  • دو ضلع مجاور زاویه قائمه را قاعده و ارتفاع نیز می‌نامند.

مثلث قائم الزاویه و قضیه فیثاغورس

قضیه فیثاغورس یکی از قضایای مهم هندسه است که رابطه بین اضلاع مثلث قائم الزاویه را بیان می‌کند. طبق قضیه فیثاغورس،‌ مربع اندازه وتر یک مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر. به عبارت دیگر، در مثلث قائم الزاویه شکل زیر، داریم:

$$ \large a^2+b^2=c^2 $$

قضیه فیثاغورس

مثلث قائم الزاویه در مثلثات

مثلث‌های قائم‌الزاویه به طور گسترده‌ای در مثلثات استفاده می‌شوند. در مثلثات، از ساق‌های مثلث قائم الزاویه اغلب به عنوان «ضلع مقابل» و «ضلع مجاور» یک زاویه حاده یاد می‌شود. این موضوع در شکل زیر نشان داده شده است.

مثلث قائم الزاویه

توابع مثلثاتی با استفاده از مثلث قائم الزاویه به صورت زیر تعریف می‌شوند:

روابط مثلثاتی

مثلث قائم الزاویه محاط در دایره

اگر مثلث قائم الزاویه در یک دایره محاط شده باشد، حتماً یکی از اضلاع آن (وتر) قطر دایره است. برعکس، اگر قطر دایره یکی از اضلاع مثلث محاطی را تشکیل دهد، این مثلث یک مثلث قائم الزاویه خواهد بود. سه رأس مثلث قائم الزاویه ABC شکل بالا روی دایره‌ای به مرکز O هستند و AB وتر مثلث را نشان می‌دهد.

فیلم‌های آموزشی مرتبط

مثلث قائم الزاویه

مساحت مثلث قائم الزاویه

مساحت مثلث قائم الزاویه برابر است با نصف حاصل‌ضرب ضلع‌های مجاور زاویه قائمه. به عبارت دیگر، فرمول محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه برابر است با:

(قاعده × ارتفاع) ۰٫۵= مساحت مثلث قائم الزاویه

به عنوان مثال، مثلث زیر را با اضلاع قاعده $$b$$، ارتفاع $$a$$ و وتر $$c$$ در نظر بگیرید.

مثلث قائم الزاویه

فرمول محاسبه مساحت این مثلث به صورت زیر است:

$$\large A = \frac 12 a \times b $$

محیط مثلث قائم الزاویه

برای به دست آوردن محیط مثلث قائم الزاویه کافی است اندازه اضلاع آن را با هم جمع کنیم.

مثال های مثلث قائم الزاویه

در این بخش، چند مثال را از مثلث قائم‌الزاویه بررسی می‌کنیم.

مثال اول مثلث قائم الزاویه

مساحت مثلث قائم‌الزاویه زیر را به دست آورید.

مثلث قائم الزاویه

حل: از فرمول مساحت مثلث قائم‌الزاویه استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

۶ = (۴ × ۳) × ۰٫۵ = (قاعده × ارتفاع) ۰٫۵= مساحت مثلث

مثال دوم مثلث قائم الزاویه

مساحت مثلث قائم الزاویه زیر برابر با $$24\; \text{cm}^2$$ است. اگر $$a=6\, \text{cm}$$‌ باشد، اندازه وتر مثلث را محاسبه کنید.

مثلث قائم الزاویه

حل: با توجه به فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه، می‌توان نوشت:

$$\large A = \frac 12 \times a \times b \Rightarrow 24 = 0.5 \times 6\times b \\
\large \Rightarrow b = \frac {24}{0.5\times 6} = 8 \; \text{cm} $$

اکنون که اندازه ضلع $$b$$ را نیز داریم، می‌توانیم به راحتی با استفاده از قضیه فیثاغورس می‌توان نوشت:

$$\large a^2+b^2 = c^ 2 \Rightarrow 6 ^2 + 8 ^ 2 = c ^2\\
\large c ^2 = 36+64 = 100 \Rightarrow c = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}$$

مثال سوم مثلث قائم الزاویه

اگر $$\sin (34^\circ) = 0.559$$ باشد، طول ارتفاع مثلث زیر را به دست آورید.

مثلث قائم الزاویه

حل: با توجه به روابط ملثاتی بالا که بیان کردیم، طول ارتفاع $$h$$ را می‌توان به صورت زیر به دست آورد:

$$ \large { \begin{align} \sin{\left(34^{\circ}\right)} &=\frac{h}{25} \\ 25\cdot \sin{ \left(34^{\circ}\right)} &=h\\ h &= 25\cdot \sin{ \left(34^{\circ}\right)}\\ h &= 25 \cdot \left(0.559\right)\\ h &=14 \end{align} } $$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

برای آشنایی بیشتر با مباحث اشکال هندسی، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این آموزش ویدیویی که مدت زمان آن ۴ ساعت و ۳ دقیقه است، شامل چهار درس می‌شود.

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

در درس اول این آموزش، موضوعات ترسیم‌های هندسی و استدلال بیان شده‌اند. مباحث درس دوم، به قضیه تالس و تشابه مثلث‌ها و کاربردهای آن‌ها اختصاص یافته است. در درس سوم، مباحث مربوط به چندضلعی‌ها و ویژگی‌هایی از آن‌ها و همچنین، مساحت و کاربردهای آن مورد بیان شده است. در نهایت، موضوع درس چهارم، تجسم فضایی است که خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر تجسمی را شامل می‌شود.

برای یادگیری اشکال مختلف هندسی و محاسبه محیط، مساحت و حجم آن‌ها، توصیه می‌کنیم آموزش‌های مجله فرادرس را که در این زمینه تهیه شده‌اند، مطالعه کنید:

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای 3 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *