آموزش حسابان دوازدهم – از صفر تا صد + حل مثال و تمرین

حسابان دوازدهم یا حسابان دو یکی از دروس تخصصی دانش‌آموزان رشته ریاضی و فیزیک در مقطع متوسطه دوم است و مباحثی مانند تابع، مثلثات، حدهای نامتناهی، حد در بی‌نهایت، مشتق و کاربردهای آن در این درس ریاضی کاملا توضیح داده می‌شوند. در این مطلب از مجله فرادرس گام به گام با شروع از فصل اول کتاب و حل مثال‌های و تمرین‌های مرتبط با هر مبحث پیش می‌رویم تا آموزش حسابان دوازدهم به شکل کاملی ارائه شود.

آموزش حسابان دوازدهم شامل چه مباحثی است؟

کتاب حسابان ۲ پنج فصل دارد که لازمه تسلط بر هر فصل آن، تکمیل یادگیری حسابان ۱ و مباحث پایه در سال‌های گذشته است. ضمن اینکه هر فصل مقدمه‌ای برای فصل بعد محسوب می‌شود و به همین دلیل مهم است که قدم به قدم همراه با فصل‌های کتاب پیش بروید. برای مثال، اگر بخواهید مسائل نقاط بحرانی و اکسترمم‌های تابع در فصل آخر را به راحتی حل کنید، لازم است به مبحث توابع یکنوا (فصل ۱) و آشنایی با مفهوم مشتق (فصل ۴) مسلط شوید.

آموزش حسابان دوازدهم را با این عناوین شروع می‌کنیم:

• فصل ۱ - تابع: تبدیل نمودار تابع، تابع درجه سوم، توابع یکنوا، بخش‌پذیری و تقسیم
• فصل ۲ - مثلثات: تناوب و تانژانت، معادلات مثلثاتی
• فصل ۳ - حدهای نامتناهی و حد در بی‌نهایت: حدهای نامتناهی، حد در بی‌نهایت
• فصل ۴ - مشتق: آشنایی با مفهوم مشتق، مشتق‌پذیری و پیوستگی، آهنگ متوسط و لحظه‌ای تغییر
• فصل ۵ - کاربردهای مشتق: اکسترمم‌های یک تابع، توابع صعودی و نزولی، جهت تقعر، نقطه عطف و رسم نمودار تابع

تابع

در اولین فصل کتاب مبحث تابع آمده است که به نوعی تکمیل مباحث قبلی در حسابان یک است. اگر بخاطر داشته باشید، در فصل دوم کتاب حسابان یازدهم به تعریف تابع، معرفی انواع تابع و نحوه رسم هر کدام و همچنین مفاهیمی مانند برابری، یک به یک و پوشا بودن، وارون یک تابع، ترکیب توابع و انواع عملیات روی توابع پرداخته شد. در آموزش حسابان دوازدهم مبحث تابع در سطوح پیشرفته‌تر تکمیل خواهد شد.

تبدیل نمودار تابع

تبدیل نمودار تابع روش‌هایی را به ما معرفی می‌کند تا به کمک آن‌ها بتوانیم با داشتن نمودار یک تابع و استفاده از برخی تبدیل‌ها، نمودار توابع دیگر را به راحتی رسم کنیم. برای رسیدن به این هدف کافی است در قدم اول به انتقال‌های عمودی و افقی در آموزش حسابان دوازدهم مسلط شویم. برای مثال، می‌دانیم نمودار تابع $$y = | x|$$ به شکل زیر است:

حالا اگر بخواهیم نمودار تابع $$y = - | x+ 4| + 2$$ را رسم کنیم، کافی است انتقال‌های مختلف را به ترتیب زیر روی تابع اصلی یا تابع پایه یعنی اعمال کنیم که عبارت‌اند از:

1. تابع پایه: تابع قدر مطلق با راسی در مبدا مختصات یا $$(0,0)$$ که شامل دو نیمساز ربع اول و دوم است.
2. انتقال افقی (داخل قدر مطلق): چون $$| x+ 4|$$ داریم، پس باید نمودار پایه را چهار واحد به سمت منفی محور xها منتقل کنیم. در این صورت راس در $$(-4,0)$$ قرار می‌گیرد.
3. قرینه‌سازی: با توجه به علامت منفی پشت قدر مطلق لازم است نمودار نسبت به محور x نیز قرینه شود. به این ترتیب دهانه V به سمت پایین باز خواهد شد.
4. انتقال عمودی: در نهایت عدد $$+2$$ خارج از قدر مطلق را اثر می‌دهیم که به معنای بالا بردن نمودار به اندازه دو واحد روی محور قائم است.

به این ترتیب نمودار نهایی به شکل زیر خواهد شد:

قواعد کلی در مورد رسم نمودار توابع بر اساس انواع انتقال، کشیدگی یا فشردگی و قرینه‌سازی به صورت زیر جمع‌بندی می‌شود:

مثال ۱

نمودار تابع $$g(x) = -(x+5)^2 + 3$$ را رسم کنید:

پاسخ

برای رسم نمودار این تابع به شکل زیر عمل می‌کنیم:

1. تابع پایه: نمودار یک سهمی با راسی در $$(0,0)$$ است.
2. قرینه‌سازی: با توجه به علامت منفی بیرون پرانتز لازم است نمودار نسبت به محور x قرینه شود، یعنی تقعر رو به بالای سهمی به سمت پایین خواهد شد.
3. انتقال افقی: چون $$x + 5$$ داریم، پس باید نمودار را پنج واحد به سمت منفی محور xها منتقل کنیم. در این صورت راس در $$(-5,0)$$ قرار می‌گیرد.
4. انتقال عمودی: در نهایت عدد $$+3$$ را اثر می‌دهیم که به معنای بالا بردن نمودار به اندازه سه واحد روی محور قائم است.

مثال ۲

نمودار تابع $$f(x) = \frac{1}{x+1} -2$$ را رسم کنید:

پاسخ

برای رسم نمودار این تابع به شکل زیر عمل می‌کنیم:

1. تابع پایه: $$\frac{1}{x}$$
2. انتقال افقی: چون $$x + 1$$ داریم، پس باید نمودار را یک واحد به سمت منفی محور xها منتقل کنیم.
3. انتقال عمودی: در نهایت عدد $$-2$$ را اثر می‌دهیم که به معنای پایین بردن نمودار به اندازه دو واحد روی محور قائم است.

تابع درجه سوم

در بخش دوم این فصل از آموزش حسابان دوازدهم با توابع درجه سه آشنا می‌شویم. می‌دانیم صورت کلی یک تابع چند جمله‌ای از درجه $$n$$ به شکل زیر است:

$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0$$

که حالت‌های خاص زیر را شامل می‌شود:

• اگر $$n=0$$ باشد، چند جمله‌ای از درجه صفر داریم و تابع $$f$$ یک تابع ثابت است.
• اگر $$n=1$$ باشد، چند جمله‌ای از درجه یک داریم و تابع $$f$$ یک تابع خطی است.
• اگر $$n=2$$ باشد، چند جمله‌ای از درجه دو داریم و تابع $$f$$ یک سهمی است.

به همین ترتیب اگر $$n=3$$ باشد، یک چند جمله‌ای از درجه سوم داریم و تابع $$f$$ یک تابع درجه سه است:

$$f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$$

که برای ساده شدن می‌توان آن را به شکل زیر نیز بازنویسی کرد:

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$

توابع صعودی و نزولی

توابع صعودی و نزولی را در مجموع توابع یکنوا می‌نامیم که در آموزش حسابان دوازدهم به صورت زیر تعریف می‌شوند:

همچنین دو تعریف زیر نشان می‌دهند در چه صورت یک تابع را اکیدا یکنوا می‌نامیم:

نکته: تابع ثابت در یک مجموعه، هم صعودی محسوب می‌شود و هم نزولی.

در فصل‌های بعد آموزش حسابان دوازدهم با کمک گرفتن از مفهوم مشتق بهتر می‌توانیم بازه‌هایی را که در آن‌ها یک تابع صعودی یا نزولی است، مشخص کنیم.

بخش‌ پذیری و تقسیم

در آخرین بخش از فصل اول آموزش حسابان دوازدهم ابتدا قضیه تقسیم در مورد چند جمله‌ای‌ها را بیان می‌کنیم. با این فرض که $$f(x)$$ و $$p(x)$$ دو چند جمله‌ای غیرصفر هستند، همواره $$q(x)$$ و $$r(x)$$ای وجود دارند که برای آن‌ها رابطه زیر برقرار است:

$$f(x) = p(x) q(x) + r(x)$$

• $$f(x)$$: مقسوم
• $$p(x)$$: مقسوم‌علیه
• $$q(x)$$: خارج‌قسمت
• $$r(x)$$:  باقیمانده

پس اگر باقیمانده نداشته باشیم ($$r(x) = 0$$)، چند جمله‌ای $$f(x)$$ بر چند جمله‌ای $$p(x)$$ بخش‌پذیر است و $$p(x)$$ را عامل یا فاکتوری از $$f(x)$$ می‌نامیم. برای پیدا کردن حاصل‌تقسیم $$\frac{f(x)}{p(x)}$$ روند کلی به این شکل است:

1. جمله اول صورت بر جمله اول مخرج تقسیم شود.
2. نتیجه مرحله قبل در کل مخرج ضرب شود.
3. عبارت بالا از صورت کم شود.
4. جمله اول از عبارت باقیمانده بر جمله اول مخرج تقسیم شود.
5. این روند آنقدر ادامه پیدا می‌کند تا یا باقیمانده صفر شود و یا درجه آن از مخرج کمتر شود.

مثال

حاصل تقسیم چند جمله‌ای $$5x^2 + 3x -2$$ بر $$x+1$$ چیست؟

پاسخ

ابتدا اولین جمله از صورت کسر $$\frac{5x^2 + 3x -2}{x+1}$$ را بر اولین جمله از مخرج آن تقسیم می‌کنیم:

$$\frac{5x^2 }{x} = 5x$$

پس اولین جمله خارج‌قسمت برابر است با $$5x$$. حالا $$5x$$ را در کل مخرج ضرب می‌کنیم:

$$5x (x+1) = 5x^2 + 5x$$

و حاصل را از کل صورت کم می‌کنیم:

$$5x^2 + 3x -2 - [5x^2 + 5x] = -2x -2$$

مجددا اولین جمله از $$-2x -2$$ را بر اولین جمله از مخرج یعنی $$x$$ تقسیم می‌کنیم:

$$\frac{-2x }{x} = -2$$

دومین جمله خارج‌قسمت برابر شد با $$-2$$. حالا دوباره $$-2$$ را در کل مخرج ضرب می‌کنیم:

$$-2 (x+1) = -2x-2$$

و حاصل را از صورت کم می‌کنیم:

$$-2x-2 - [-2x-2] = 0$$

صفر شدن عبارت بالا نشان دهنده این است که باقیمانده این تقسیم صفر و خارج‌قسمت آن به شکل زیر است:

$$\frac{5x^2 + 3x -2}{x+1} = 5x-2$$

یادگیری حسابان با فرادرس

در این بخش چند فیلم آموزشی از مجموعه فرادرس به شما معرفی می‌شود که با هدف آموزش حسابان دوازدهم تهیه شده‌اند:

• فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم فرادرس
• فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – حل تمرین فرادرس
• فیلم آموزش حسابان ۲ – پایه دوازدهم فرادرس
• فیلم آموزش حسابان ۲ (دوازدهم) + حل سوالات امتحان نهایی فرادرس

مثلثات

فصل دوم از آموزش حسابان دوازدهم تکمیل کننده مباحث قبلی مثلثات در مقطع متوسطه است. در حسابان یک با مفهوم رادیان و طول کمان، رابطه رادیان و درجه، انواع نسبت‌های مثلثاتی برای زاویه‌های قرینه، مکمل یا متمم، مجموع و تفاضل دو زاویه و نحوه رسم نمودار توابع مثلثاتی کاملا آشنا شدیم. در این کتاب بیشتر روی ویژگی متناوب بودن توابع مثلثاتی و حل معادلات آن تمرکز می‌کنیم.

تناوب در توابع مثلثاتی

اگر به خاطر داشته باشید، دوره تناوب توابع مثلثاتی مانند $$\sin x$$ و $$\cos x$$ را مقداری از $$x$$ در نظر می‌گرفتیم که در آن یک چرخه کامل داشته باشیم. یک تابع را متناوب یا Periodic می‌گوییم، هرگاه رابطه زیر همواره برقرار باشد:

$$f(x) = f(x\pm T)$$

$$T$$ یک عدد حقیقی مثبت و ثابت است که آن را دوره تناوب تابع می‌نامیم. از نظر نموداری این رابطه به این معناست که اگر تابع $$f$$ را به اندازه فاصله ثابت $$T$$ در امتداد محور افقی انتقال دهیم، دوباره همان تصویر قبلی را خواهیم دید. برای مثال، می‌دانیم نقطه‌ای با مختصات $$(x,y)$$ روی دایره مثلثاتی پس از هر بار چرخش کامل دور این دایره، مجددا مسیر خود را تکرار می‌کند. این اتفاق زمانی رخ می‌دهد که زاویه $$\theta$$ یک چرخه کامل به اندازه $$2\pi$$ رادیان را طی کند. بنابراین توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس متناوب هستند، یعنی داریم:

$$\sin \theta = \sin (\theta + 2\pi)$$

$$\cos \theta = \cos (\theta + 2\pi)$$

و دوره تناوب این توابع برابر است با $$2\pi$$ رادیان. این موضوع برای توابع مثلثاتی دیگر مانند $$\tan \theta$$ و $$\cot \theta$$ و $$\sec \theta$$ و $$\cosec \theta$$ نیز صادق است، یعنی هر شش تابع مثلثاتی متناوب هستند.

در فصل اول آموزش حسابان دوازدهم گفتیم که انتقال‌های افقی و عمودی چگونه نمودار یک تابع را تغییر می‌دهند. ما در دو مطلب «رسم نمودار سینوس و کسینوس – به زبان ساده با مثال و تمرین» و «نمودار تانژانت و کتانژانت – به زبان ساده با مثال و تمرین» از مجله فرادرس این انتقال‌ها را در مورد توابع مثلثاتی به‌صورت کامل بررسی کرده‌ایم تا ببینیم پارامترهایی نظیر دامنه یا دوره تناوب برای این توابع چگونه تغییر می‌کنند.

در اینجا فقط اشاره می‌کنیم که پارامترهای مختلف یک تابع سینوسی با ضابطه کلی $$y= Asin (\omega x + \phi) +C$$ به شکل زیر تعریف می‌شوند:

• دامنه $$A$$: بلندی موج را تعیین می‌کند. برای مثال، اگر دامنه سه باشد، موج بین $$3$$ و $$-3$$ نوسان می‌کند.
• بسامد زاویه‌ای $$\omega$$: تعداد نوسان‌ها در یک بازه مشخص را تعیین می‌کند. هر چه $$\omega$$ بزرگتر باشد، موج‌ها نیز بهم فشرده‌تر می‌شوند.
• دوره تناوب $$T = \frac{2\pi}{\omega}$$: این پارامتر یعنی چقدر طول می‌کشد تا یک موج کامل ساخته شود.
• ثابت فاز $$\phi$$: نمودار را به چپ یا راست می‌برد (نوعی انتقال افقی است).
• $$C$$: کل نمودار را به بالا یا پایین می‌برد (نوعی انتقال عمودی است).

تابع تانژانت

تابع تانژانت که با $$\tan x$$ نمایش داده می‌شود، یک تابع مثلثاتی است که نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور آن را در یک مثلث قائم‌الزاویه نشان می‌دهد:

همچنین تابع $$y = a \tan (bx)$$ یک تابع دوره‌ای یا متناوب با دوره تناوبی به شکل زیر است:

$$T = \frac{\pi}{|b|}$$

پس اگر $$b=1$$ باشد، تابع تانژانت یک تابع دوره‌ای با دوره تناوب $$\pi$$ خواهد بود، یعنی نمودار آن در هر $$\pi$$ رادیان روی محور x تکرار می‌شود. در تعریفی دیگر از آموزش حسابان، تابع تانژانت در واقع نسبت بین سینوس و کسینوس است:

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

نمودار $$y = \tan x$$ نشان می‌دهد که به ازای هر زاویه $$x$$ بر حسب رادیان، مقدار  $$y$$ چگونه تغییر می‌کند. این نمودار یک نمودار ناپیوسته است، زیرا مقدار $$\tan x$$ در مضارب فرد $$\frac{\pi}{2}$$ تعریف نشده است، یعنی $$\tan x$$ برای $$x = \frac{k \pi }{2}$$ تعریف نمی‌شود، اگر $$k$$ یک عدد صحیح و فرد باشد:

همچنین با توجه به اینکه دوره تناوب تابع تانژانت $$\pi$$ است و مقادیر آن در هر $$\pi$$ رادیان تکرار می‌شوند، در نتیجه الگوی منحنی نیز پس از هر $$\pi$$ رادیان تکرار می‌شود. طبق شکل بالا، این تابع دارای مجانب‌های قائم در نقاط $$x = - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, -\frac{3 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} , ...$$ است.

بنابراین دامنه $$\tan x$$ تمام اعداد حقیقی به جز مضارب فرد $$\frac{\pi}{2}$$ است، اما برد تابع تانژانت شامل تمام اعداد حقیقی است، زیرا مقدار $$\tan x$$ از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت تغییر می‌کند. در نهایت مهم‌ترین ویژگی‌های تانژانت در آموزش حسابان دوازدهم به شرح زیر است:

• تابع تانژانت یک تابع فرد است، چون داریم $$\tan(-x) = - \tan x$$.
• در نقاطی که $$\cos x = 0$$ باشد، مقدار $$\tan x$$ تعریف نشده است و مجانب داریم.
• نمودار $$\tan x$$ دارای بی‌نهایت مجانب عمودی است.
• نمودار $$\tan x$$ نسبت به مبدا مختصات متقارن است.

جدول زیر مقادیر تانژانت را در زاویه‌های خاص نشان می‌دهد:

به‌علاوه در جدول زیر روابط مثلثاتی مهم تابع تانژانت آورده شده است:

معادلات مثلثاتی

معادلات مثلثاتی معادلاتی‌اند که شامل توابع مثلثاتی می‌شوند. از آنجا که توابع مثلثاتی دوره‌ای هستند، جواب‌ها در هر دوره تکرار می‌شوند. به عبارت دیگر، معادلات مثلثاتی می‌توانند بی‌نهایت جواب داشته باشند. جدول زیر نشان می‌دهد قواعد لازم برای بیان همه جواب‌های ممکن در مورد توابع مثلثاتی مختلف در آموزش حسابان دوازدهم چیست (دقت کنید $$k$$ یک عدد صحیح است):

حل معادلات مثلثاتی در آموزش حسابان دوازدهم نیازمند همان روش‌هایی است که در حل معادلات جبری بکار می‌بریم. ما معادله را از چپ به راست مانند یک جمله می‌خوانیم. به دنبال الگوهای شناخته‌ شده می‌گردیم، تجزیه می‌کنیم، مخرج مشترک می‌گیریم و گاهی عبارات خاصی را با یک متغیر جایگزین می‌کنیم تا روند حل ساده‌تر شود.

البته در معادلات مثلثاتی این مزیت را نیز داریم که می‌توانیم از اتحادها و روابطی که قبلا آموخته‌ایم نیز استفاده کنیم. پیشنهاد می‌کنیم مطلب «روابط بین سینوس و کسینوس – تمام فرمول ها + مثال و تمرین» مجله فرادرس را مطالعه کنید تا به تمام روابط بین این دو تابع مسلط شوید.

همچنین در مورد معادلات مثلثاتی درجه دوم که در آن‌ها یکی از توابع مثلثاتی دارای توان دو است، راه‌حل شبیه حل هر معادله درجه دوم دیگری است. به الگوی معادله نگاه کنید. آیا بیش از یک تابع مثلثاتی در معادله وجود دارد یا فقط یک تابع داریم؟ کدام تابع مثلثاتی به توان دو رسیده است؟ اگر فقط یک تابع وجود داشته باشد و یکی از جمله‌ها به توان دو باشد، به فرم استاندارد معادله درجه دوم رجوع کنید. تابع مثلثاتی را با یک متغیر مانند x یا u جایگزین کنید. اگر این جایگذاری باعث شود معادله شبیه یک معادله درجه دوم شود، آنگاه می‌توانیم از همان روش‌های حل معادلات درجه دوم برای حل معادلات مثلثاتی استفاده کنیم.

مثال ۱

پاسخ‌های ممکن برای معادله $$\tan (\theta - \frac{\pi}{2}) = 1$$ در بازه $$0≤ \theta < 2 \pi$$ کدام است؟

پاسخ

با توجه به اینکه دوره تناوب تابع تانژانت برابر است با $$\pi$$، پس در بازه $$[0, \pi)$$ و در زاویه $$\frac{\pi}{4}$$ مقدار تانژانت برابر است با یک. اما در این سوال معادله ما به شکل $$\tan (\theta - \frac{\pi}{2})$$ است. بنابراین از $$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$$ داریم:

$$\theta - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$$

$$\theta = \frac{3 \pi}{4} ± k \pi$$

که در بازه $$0≤ \theta < 2 \pi$$ تنها دو جواب خواهیم داشت:

$$\theta = \frac{3 \pi}{4}$$ و $$\theta = \frac{3 \pi}{4} + \pi = \frac{7 \pi}{4}$$

مثال ۲

معادله $$2 \sin^2 \theta - 5 \sin \theta +3 = 0$$ را در بازه $$0≤ \theta ≤ 2 \pi$$ حل کنید:

پاسخ

برای حل این معادله مثلثاتی درجه دو، کافی است فاکتورگیری را به شکل زیر انجام دهیم و سپس هر کدام از دو پرانتز را برابر با صفر در نظر بگیریم:

$$(2 \sin \theta -3) (\sin \theta -1) = 0$$

$$2 \sin \theta -3 = 0$$

$$\sin \theta = \frac{3}{2}$$

$$\sin \theta -1 = 0$$

$$\sin \theta = 1$$

حالا با توجه به دو عبارت به‌دست آمده درستی هر کدام را بررسی می‌کنیم. در اولین مورد، $$\sin \theta = \frac{3}{2}$$ درست نیست، چون می‌دانیم برد تابع سینوسی همواره از یک کمتر است، در حالی که این عبارت مقدار سینوس را بیشتر از یک کرده است. اما عبارت $$\sin \theta = 1$$ به ما پاسخ $$\theta = \frac{\pi}{2}$$ را خواهد داد که همان پاسخ صحیح در بازه داده شده است.

مثال ۳

معادله مثلثاتی $$\cos (2\theta) = \cos \theta$$ را حل کنید:

پاسخ

سمت چپ این معادله بیانگر کسینوس دو برابر یک زاویه است که با استفاده از رابطه $$\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta -1$$ قابل‌تبدیل به $$\cos \theta$$ است:

$$2 \cos^2 \theta -1 = \cos \theta$$

$$2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1 = 0$$

در این بخش سمت چپ را به حاصل‌ضرب دو پرانتز تبدیل می‌کنیم و هر کدام را جداگانه برابر با صفر در نظر می‌گیریم:

$$(2 \cos \theta +1) (\cos \theta -1 ) = 0$$

$$2 \cos \theta +1 =0$$

$$\cos \theta = - \frac{1}{2}$$

$$\cos theta -1 = 0$$

$$\cos \theta = 1$$

از $$\cos \theta = - \frac{1}{2}$$ به پاسخ‌‌هایی به‌صورت $$\theta = \frac{2 \pi}{3} ± 2k \pi$$ و $$\theta = \frac{4 \pi}{3} ± 2k \pi$$ می‌رسیم. از $$\cos \theta = 1$$ نیز پاسخ‌هایی به شکل $$\theta = 0 ± 2k \pi$$ به‌دست می‌آیند.

حدهای نامتناهی و حد در بی‌ نهایت

سومین فصل آموزش حسابان دوازدهم اختصاص دارد به ادامه مبحث حدگیری در کتاب حسابان یک، با این تفاوت که در این کتاب روی حدهای نامتناهی و حد در بی‌نهایت تمرکز می‌کنیم. ابتدا باید تفاوت این دو مفهوم را درک کنیم:

اگر با میل کردن $$x$$ به سمت یک مقدار عددی مشخص، مقدار تابع از نظر قدر مطلقی خیلی بزرگ یا خیلی کوچک شود (به سمت $$∞$$ برود)، می‌گوییم تابع ما در این مقدار مشخص برای $$x$$ دارای حد نامتناهی است و معمولا یک مجانب قائم نیز در این نقطه وجود دارد. اما در حد در بی‌نهایت، بررسی می‌کنیم وقتی $$x$$ خیلی بزرگ یا خیلی کوچک شود (یعنی به سمت $$+∞$$ یا $$-∞$$ میل کند)، مقدار تابع به چه عددی نزدیک می‌شود:

حد نامتناهی

حدهای نامتناهی یا همان حدهای بی‌نهایت به حدهایی گفته می‌شوند که با میل کردن متغیر $$x$$ به سمت یک مقدار عددی مشخص و محدود، مقدار تابع خیلی بزرگ یا بی‌نهایت شود. پس در این نوع حدها، پاسخ حد بی‌نهایت است. تعریف دقیق‌تر این نوع حد در آموزش حسابان دوازدهم با این فرض که تابع $$f$$ در همسایگی محذوف $$a$$ تعریف شده باشد، به شکل زیر است:

• $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = + \infty$$: می‌توانیم $$f(x)$$ را به میزان دلخواه از هر عدد مثبت بزرگتر کنیم، به شرطی که $$x$$ را به اندازه کافی به $$a$$ نزدیک کرده باشیم.
• $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = - \infty$$: می‌توانیم $$f(x)$$ را به میزان دلخواه از هر عدد منفی کوچکتر کنیم، به شرطی که $$x$$ را به اندازه کافی به $$a$$ نزدیک کرده باشیم.

در ادامه مهم‌ترین قضایای حدهای نامتناهی را بیان کرده‌ایم:

• اگر $$n$$ یک عدد طبیعی باشد، داریم: $$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x^n} = + \infty$$.
• اگر $$n$$ یک عدد طبیعی باشد، برای $$n$$های زوج $$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x^n} = + \infty$$ را داریم و برای $$n$$های فرد $$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x^n} = - \infty$$.
• اگر $$\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = + \infty$$ و $$\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = + \infty$$، آنگاه $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = + \infty$$.
• اگر $$\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = - \infty$$ و $$\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = - \infty$$، آنگاه $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = - \infty$$.

به‌علاوه اگر $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L ≠ 0$$ و $$\lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$$:

• اگر $$L>0$$ و $$g(x)$$ در همسایگی محذوف $$a$$ مثبت باشد، آنگاه $$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = + \infty$$.
• اگر $$L<0$$ و $$g(x)$$ در همسایگی محذوف $$a$$ مثبت باشد، آنگاه $$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = - \infty$$.
• اگر $$L>0$$ و $$g(x)$$ در همسایگی محذوف $$a$$ منفی باشد، آنگاه $$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = - \infty$$.
• اگر $$L<0$$ و $$g(x)$$ در همسایگی محذوف $$a$$ منفی باشد، آنگاه $$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = + \infty$$.

و چنانچه $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = + ∞$$ و $$\lim_{x \rightarrow a} g(x) = L$$، در این صورت داریم $$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) + g(x)) = + \infty$$:

• اگر $$L>0$$، آنگاه داریم $$\lim_{x \rightarrow a} (f(x).g(x)) = + \infty$$.
• اگر $$L<0$$، آنگاه داریم $$\lim_{x \rightarrow a} (f(x).g(x)) = - \infty$$.

همچنین اگر $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$$ و $$\lim_{x \rightarrow a} g(x) = ∞$$، در این صورت $$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$$. تسلط به قضایای بالا به شما کمک می‌کند که خیلی سریع بتوانید تشخیص دهید حاصل $$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x^6}$$ می‌شود $$+∞$$، در حالی که حاصل $$\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x^7}$$ می‌شود $$-∞$$.

مثال ۱

حاصل $$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{x + \sin^2 x}{x^2}$$ چقدر است؟

پاسخ

ابتدا عبارت داخل حد را ساده می‌کنیم:

$$\frac{x + \sin^2 x}{x^2} = \frac{1}{x} + \frac{\sin^2x}{x^2}$$

می‌دانیم که حاصل حد $$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\sin^2 x}{x^2}$$ یا $$\lim_{x \rightarrow 0^+} (\frac{\sin2 x}{x})^2$$ طبق قاعده رفع ابهام صفر صفرم می‌شود یک. همچنین برای بخش دیگر طبق قضایای حد در آموزش حسابان دوازدهم داریم:

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x} = + ∞$$

گفتیم اگر $$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = + ∞$$ و $$\lim_{x \rightarrow a} g(x) = L$$، در این صورت داریم $$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) + g(x)) = + \infty$$. پس حاصل این حد می‌شود $$+ ∞$$.

مثال ۲

با توجه به نمودار تابع $$f(x)$$، مقادیر خواسته شده کدام‌اند؟

1. $$\lim_{x \rightarrow (-4)^-} f(x)$$ و $$\lim_{x \rightarrow (-4)^+} f(x)$$ و $$\lim_{x \rightarrow -4} f(x)$$ و $$f(-4)$$
2. $$\lim_{x \rightarrow (-2)^-} f(x)$$ و $$\lim_{x \rightarrow (-2)^+} f(x)$$ و $$\lim_{x \rightarrow -2} f(x)$$ و $$f(-2)$$
3. $$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)$$ و $$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)$$ و $$\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$$ و $$f(1)$$

پاسخ

در مورد اولین ردیف، با در نظر گرفتن نقطه $$x = -4$$ روی نمودار داده شده، ملاحظه می‌کنید که اگر از سمت راست و چپ به این نقطه نزدیک شویم، مقدار تابع در هر دو حالت به سمت صفر میل می‌کند. پس حد این تابع در نقطه $$x = -4$$ مساوی با صفر است (چون حد راست و چپ در این نقطه صفر شد):

$$\lim_{x \rightarrow (-4)^-} f(x) = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow (-4)^+} f(x) = 0$$

$$\lim_{x \rightarrow -4} f(x) = 0$$

$$f(-4) = 0$$

به همین شکل برای نقطه $$x = -2$$ مانند نقطه قبلی مقادیر حدی با هم برابراند، در حالی که مقدار تابع در این نقطه تعریف نشده است:

$$\lim_{x \rightarrow (-2)^-} f(x) = 3$$

$$\lim_{x \rightarrow (-2)^+} f(x) = 3$$

$$\lim_{x \rightarrow -2} f(x) = 3$$

$$f(-2)$$ تعریف نشده است.

و در نهایت برای $$x = 1$$ حد چپ و راست با هم متفاوت‌اند:

$$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 6$$

$$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = 3$$

$$\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$$ وجود ندارد.

$$f(1) = 6$$

مجانب قائم

در فصل دوم آموزش حسابان دوازدهم به مجانب‌های قائم تابع تانژانت اشاره شد. در این بخش با مفهوم مجانب قائم بیشتر آشنا می‌شویم. بطور کلی خط $$x= a$$ را مجانب قائم نمودار تابعی مانند $$f(x)$$ در نظر می‌گیریم، اگر حداقل یکی از چهار شرط زیر برقرار باشد:

$$\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = + \infty$$

$$\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = - \infty$$

$$\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = + \infty$$

$$\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = - \infty$$

برای نمونه در تصویر زیر با نزدیک شدن مقادیر $$x$$ به عدد ثابت و مشخص $$c$$، مقدار تابع به سمت مثبت بی‌نهایت میل می‌کند. پس خط $$x=c$$ که یک خط عمودی و موازی محور $$y$$ها است مجانب قائم این نمودار است:

حد در بی نهایت

در بخش‌های قبل با تفاوت حد بی‌نهایت و حد در بی‌نهایت در آموزش حسابان دوازدهم آشنا شدیم. حد در بی‌نهایت را به شکل دقیق در ریاضیات این گونه تعریف می‌کنیم:

• اگر تابع $$f(x)$$ در بازه‌ای مانند $$(a,+∞)$$ تعریف شده باشد، آنگاه داریم $$\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = l$$، هرگاه بتوان با خیلی بزرگ کردن مقادیر $$x$$ فاصله $$f(x)$$ از $$l$$ را کوچک کرد.
• اگر تابع $$f(x)$$ در بازه‌ای مانند $$(-∞,a)$$ تعریف شده باشد، آنگاه داریم $$\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = l$$، هرگاه بتوان با خیلی کوچک کردن مقادیر $$x$$ فاصله $$f(x)$$ از $$l$$ را کوچک کرد.

در مورد این حدها هم قضایایی داریم. برای مثال اگر $$a$$ یک عدد حقیقی و $$n$$ یک عدد طبیعی باشد، در این صورت رابطه $$\lim_{x \rightarrow ± \infty} \frac{a}{x^n} = 0$$ برقرار است. همچنین اگر $$L_1$$ و $$L_2$$ اعداد حقیقی باشند و داشته باشیم $$\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = L_1$$ و $$\lim_{x \rightarrow + \infty} g(x) = L_2$$، آنگاه داریم:

• $$\lim_{x \rightarrow + \infty} (f±g)(x) = L_1 ± L_2$$.
• $$\lim_{x \rightarrow + \infty} (f.g)(x) = L_1 L_2$$.
• $$\lim_{x \rightarrow + \infty} (\frac{f(x)}{g(x)})(x) = \frac{L_1}{L_2}$$ با این شرط که $$L_2 ≠ 0$$ باشد.

مجانب افقی

مجانب‌ها فقط به‌صورت عمودی یا قائم نیستند. در واقع سه گروه مجانب داریم، قائم، افقی و مایل. در این بخش از آموزش حسابان دوازدهم به بررسی مجانب افقی می‌پردازیم. خط $$y = L$$ را مجانب افقی نمودار تابعی مانند $$y = f(x)$$ در نظر می‌گیریم، اگر حداقل یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:

$$\lim_{x \rightarrow +∞} f(x) = L$$

$$\lim_{x \rightarrow -∞} f(x) = L$$

برای مثال در سمت راست نمودار تابع زیر، اگر $$x$$ها به سمت بی‌نهایت بروند، مقدار تابع در عدد مشخص و محدود $$b$$ ثابت خواهد ماند. به همین علت به خط $$y = b$$ که یک خط افقی و موازی با محور $$x$$ها است، مجانب افقی این نمودار گفته می‌شود:

مثال

حدهای زیر را محاسبه و در صورت وجود، مجانب افقی را تعیین کنید:

$$\lim_{x \rightarrow - \infty} (3+\frac{4}{x})$$

$$\lim_{x \rightarrow + \infty} (3+\frac{4}{x})$$

پاسخ

حدهای داده شده طبق قضایای حد به دو حد $$\lim_{x \rightarrow ± \infty} 3$$ و $$\lim_{x \rightarrow ± \infty}\frac{4}{x}$$ تقسیم می‌شوند. اولین مورد حد یک عدد ثابت در بی‌نهایت است که همواره برابر با مقدار ثابت $$3$$ خواهد شد. دومین مورد نیز طبق قانون «عدد تقسیم بر بی‌نهایت مساوی است با صفر»، صفر می‌شود. پس حاصل هر دو حد برابر است با:

$$\lim_{x \rightarrow ± \infty} (3+\frac{4}{x}) = 3$$

همچنین خط $$y = 3$$ مجانب افقی این تابع است.

حد نامتناهی در بی نهایت

دسته‌ای دیگر از حدها در آموزش حسابان دوازدهم، هم در گروه حدهای نامتناهی قرار دارند و هم حد در بی‌نهایت محسوب می‌شوند. تعریف دقیق‌تر حدهای نامتناهی در بی‌نهایت به این شکل است:

• اگر تابع $$f(x)$$ در بازه‌ای مانند $$(a,+∞)$$ تعریف شده باشد و با میل کردن $$x$$ به سمت $$+ ∞$$، مقدار $$f$$ به سمت $$+ ∞$$ میل کند، آنگاه داریم $$\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = + ∞$$.
• اگر تابع $$f(x)$$ در بازه‌ای مانند $$(a,+∞)$$ تعریف شده باشد و با میل کردن $$x$$ به سمت $$+ ∞$$، مقدار $$f$$ به سمت $$- ∞$$ میل کند، آنگاه داریم $$\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = - ∞$$.

قضیه‌‌های مربوط به این نوع حد به شرح زیر هستند:

• اگر $$n$$ یک عدد طبیعی و زوج باشد، آنگاه داریم $$\lim_{x \rightarrow ± \infty} x^n = + ∞$$.
• اگر $$n$$ یک عدد طبیعی و فرد باشد، آنگاه داریم $$\lim_{x \rightarrow + \infty} x^n = + ∞$$ و $$\lim_{x \rightarrow - \infty} x^n = - ∞$$.

همچنین اگر $$l$$ یک عدد حقیقی و مخالف صفر باشد و بدانیم $$\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = l$$ و $$\lim_{x \rightarrow + \infty} g(x) = + ∞$$، آنگاه داریم:

• $$\lim_{x \rightarrow + \infty} (f(x) + g(x)) = + ∞$$.
• $$\lim_{x \rightarrow + \infty} (f(x) . g(x)) = + ∞$$، اگر $$l$$ مثبت باشد و $$\lim_{x \rightarrow + \infty} (f(x) . g(x)) = - ∞$$، اگر $$l$$ منفی باشد.

به‌علاوه اگر $$l$$ یک عدد حقیقی و مخالف صفر باشد و بدانیم $$\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = l$$ و $$\lim_{x \rightarrow - \infty} g(x) = + ∞$$، داریم:

• $$\lim_{x \rightarrow - \infty} (f(x) . g(x)) = + ∞$$، اگر $$l$$ مثبت باشد.
• $$\lim_{x \rightarrow - \infty} (f(x) . g(x)) = - ∞$$، اگر $$l$$ منفی باشد.

نکته مهم: $$\lim_{x \rightarrow ± \infty} (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1x + a_0) = \lim_{x \rightarrow ± \infty} a_n x^n$$.

مثال

اگر $$h(t) = \sqrt[3]{t} + 12 t -2t^2$$ باشد، حاصل $$\lim_{t \rightarrow - \infty} h(t)$$ چقدر است؟

پاسخ

ابتدا با فاکتورگیری عبارت داده شده را ساده می‌کنیم و سپس طبق قضیه ضرب با تقسیم حد داده شده به دو حد مجزا و ضرب کردن پاسخ‌ها جواب نهایی به‌دست می‌آید:

$$\lim_{t \rightarrow - \infty} (t^{\frac{1}{3}} + 12 t -2t^2) =$$

$$\lim_{t \rightarrow - \infty} [t^2 (\frac{1}{t^{\frac{5}{3}}} + \frac{12}{t} -2)] =$$

$$\lim_{t \rightarrow - \infty} t^2 . \lim_{t \rightarrow - \infty} (\frac{1}{t^{\frac{5}{3}}} + \frac{12}{t} -2) =$$

$$\lim_{t \rightarrow - \infty} t^2 . \lim_{t \rightarrow - \infty} (\frac{1}{t^{\frac{5}{3}}} + \frac{12}{t} -2) =$$

$$= \infty . (-2) = - \infty$$

مشتق

در دو فصل آخر آموزش حسابان دوازدهم به مبحث مشتق و کاربردهای آن می‌پردازیم. مشتق همان نرخ تغییرات کمیتی مانند $$y$$ نسبت به کمیت دیگری مانند $$x$$ است. مشتق تابع $$f(x)$$ را با $$\frac{d}{dx} f(x)$$ یا $$f^{'}(x)$$ نمایش می‌دهیم. در ادامه ابتدا مروری داریم بر مفهوم مشتق و ارتباط آن با شیب خط.

خط مماس بر منحنی

منحنی تابع $$f(x)$$ را به شکل زیر در نظر بگیرید و فرض کنید دو نقطه روی آن به مختصات $$(x,f(x))$$ و $$(x+h, f(x+h))$$ وجود دارد. شیب خط متقاطع یا خط سکانت که از این دو نقطه می‌گذرد، از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{x+h-x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

حالا اگر فاصله بین دو نقطه به صفر بسیار نزدیک شود یا به زبان ریاضیات، $$h$$ به سمت صفر میل کند، نقطه دوم بر نقطه اول تقریبا منطبق شده و خط متقاطع به خط مماس در نقطه اول تبدیل می‌شود. در حسابان، شیب خط مماس همان مشتق تابع در نظر گرفته می‌شود:

مشتق تابع = شیب خط مماس =  $$f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

تعریف بالا تعریف حدی مشتق است که مشتق‌گیری از طریق اصول اولیه نیز نام دارد. استفاده از این تعریف برای یافتن مشتق توابع پیچیده ممکن است دشوار باشد. به همین دلیل فرمول‌های مشتق‌گیری خاصی وجود دارند که البته همگی از همین تعریف حدی استخراج شده‌اند و می‌توانیم از آن‌ها در فرایند مشتق‌گیری استفاده کنیم. در بخش‌های بعد آموزش حسابان دوازدهم این فرمول‌ها معرفی خواهند شد.

مثال

با استفاده از اصول اولیه، مشتق تابع $$f(x) = \frac{1}{x^2}$$ را پیدا کنید:

پاسخ

اگر $$f(x) = \frac{1}{x^2}$$ باشد، در این صورت $$f(x+h)$$ برابر می‌شود با $$\frac{1}{(x+h)^2 }$$. در این صورت طبق تعریف حدی مشتق داریم:

$$f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$$f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}}{h}$$

$$f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 - (x+h)^2}{h x^2 (x+h)^2 }$$

$$f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 - (x^2 +2xh +h^2)}{h x^2 (x+h)^2 }$$

$$f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h(2x+h)}{h x^2 (x+h)^2 }$$

در اینجا طبق قواعد حدگیری، حد بالا را به حاصل‌ضرب دو حد به شکل زیر تبدیل می‌کنیم:

$$f^{'}(x) = -\lim_{h \rightarrow 0} (2x+h) . \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{ x^2 (x+h)^2 }$$

$$f^{'}(x) = -2x . \frac{1}{ x^4 }$$

$$f^{'}(x) = \frac{-2}{ x^3 }$$

مشتق پذیری و پیوستگی

ارتباط مشتق یک تابع و پیوستگی آن، توسط قضیه زیر در آموزش حسابان دوازدهم مشخص می‌شود:

• اگر تابع $$f$$ در نقطه‌ای مانند $$a$$ مشتق‌پذیر باشد، آنگاه $$f$$ در $$a$$ پیوسته است.
• اگر تابع $$f$$ در نقطه‌ای مانند $$a$$ پیوسته نباشد، آنگاه در $$x=a$$ مشتق‌پذیر هم نیست.

همچنین تعاریف زیر را برای مشتق راست و چپ تابع $$f$$ در $$x=a$$ داریم:

• مشتق راست یا $$f_+^{'} (a)$$ برابر است با $$\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$$ یا $$\lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$.
• مشتق چپ یا $$f_-^{'} (a)$$ برابر است با $$\lim_{x \rightarrow a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$$ یا $$\lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$.

با توجه به این دو تعریف، اگر تابع $$f$$ در $$a$$ پیوسته باشد و در این نقطه مشتق چپ و راست بی‌نهایت شوند، در این صورت خط $$x = a$$ را مماس قائم بر این تابع در نقطه $$(a,f(a))$$ در نظر می‌گیریم. در این شرایط مشتق در نقطه $$a$$ وجود ندارد. در مجموع، برای تابع $$f$$ در $$a$$ زمانی مشتق نداریم که یکی از حالت‌های زیر اتفاق افتاده باشند:

• تابع $$f$$ در $$a$$ پیوسته نباشد.
• تابع $$f$$ در $$a$$ پیوسته و مشتق چپ و راست هر دو متناهی باشند، اما با هم برابر نباشند.
• تابع $$f$$ در $$a$$ پیوسته باشد، اما مشتق چپ و راست هر دو نامتناهی باشند.
• تابع $$f$$ در $$a$$ پیوسته باشد، اما یکی از دو مشتق چپ و راست نامتناهی باشد.

مثال ‍

پیوستگی و مشتق‌پذیری تابع $$f(x) = |x-2|$$ در $$x= 2$$ چگونه است؟

پاسخ

اگر نمودار این تابع را رسم کنیم، با یک نگاه گذرا متوجه می‌شویم که در $$x= 2$$ پیوسته است. اما برای بررسی مشتق‌پذیری علاوه بر پیوستگی لازم است مشتق چپ و راست نیز بررسی شود:

$$f^{'}(2^-) = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{f(x) - f(a)}{x-2}$$

$$f^{'}(2^-) = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{|x-2| - 0}{x-2}$$

$$f^{'}(2^-) = \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{-(x-2) }{x-2}$$

$$f^{'}(2^-) = -1$$

$$f^{'}(2^+) = \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{f(x) - f(a)}{x-2}$$

$$f^{'}(2^+) = \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{|x-2| - 0}{x-2}$$

$$f^{'}(2^+) = \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{+(x-2) }{x-2}$$

$$f^{'}(2^+) = +1$$

مشتق چپ و راست هر دو مقادیر تعریف شده و متناهی دارند، اما با هم برابر نیستند. پس شرایط مشتق‌پذیری در آموزش حسابان دوازدهم فراهم نشد و این تابع در $$x= 2$$ مشتق‌پذیر نیست.

فرمول های مشتق

در توضیح مفهوم مشتق گفتیم که محاسبه مشتق یک تابع به کمک اصول اولیه فرایندی پیچیده و زمان‌بر است. در این بخش از آموزش حسابان دوازدهم، مروری داریم بر مهم‌ترین فرمول‌های مشتق‌گیری در مورد توابع مختلف:

در همین راستا می‌توانید مطلب «مشتق توابع معکوس مثلثاتی – به زبان ساده» از مجله فرادرس را نیز مطالعه کنید. همچنین اگر $$f$$ و $$g$$ دو تابع مشتق‌پذیر در $$x= a$$ باشند، قواعد زیر را می‌توان استفاده کرد:

• $$(f±g)^{'} (a) = f^{'}(a) ± g^{'}(a)$$.
• $$(fg)^{'} (a) = f^{'} (a) g(a) + f(a) g^{'} (a)$$.
• $$(kf)^{'} (a) = k f^{'}(a)$$.
• $$(\frac{f}{g})^{'} (a) = \frac{f^{'}(a) g(a) - g^{'}(a) f(a)}{(g(a))^2 }$$.

در کنار این قواعد، می‌توانیم از مشتق زنجیره‌ای برای محاسبه مشتق تابعی مانند $$f$$ استفاده کنیم که ضابطه آن بر حسب $$u$$ است، در حالی که $$u$$ تابعی از $$x$$‌ است:

 $$f(u)$$ مشتق ⇒ $$u^{'} f^{'}(u)$$

به‌علاوه اگر $$g$$ یک تابع مشتق‌پذیر در $$x$$ و $$‌f$$ نیز در $$g(x)$$ مشتق‌پذیر باشد، در این صورت ترکیب این دو تابع یعنی $$h=fog = f (g(x))$$ در $$x$$ مشتق‌پذیر است. $$h'(x)$$ به‌ شکل زیر نمایش داده می‌شود:

$$h^{'}(x) = f^{'}(g(x)).g^{'}(x)$$

آنچه توضیح دادیم، قاعده زنجیره‌ای در آموزش حسابان دوازدهم نام دارد. با در نظر گرفتن اینکه $$f^{'}(g(x)) = \frac{df}{dg}$$ و $$g^{'}(x) = \frac{dg}{dx}$$، مشتق زنجیره‌ای به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$\frac{df}{dx} =\frac{df}{dg} \frac{dg}{dx}$$

نکته: $$f(g(x)) \neq g(f(x))$$ و $$\frac{d}{dx} (f(g(x))) \neq \frac{d}{dx} (g(f(x)))$$.

مثال ۱

مشتق $$f(x) = (e^x+1) \tan x$$ را پیدا کنید:

پاسخ

در این مثال ابتدا طبق قاعده $$(fg)^{'} (a) = f^{'} (a) g(a) + f(a) g^{'} (a)$$ از حاصل‌ضرب دو تابع مشتق‌گیری می‌کنیم:

$$f^{'} (x) = \frac{d}{dx}(e^x+1) \tan x + (e^x +1) \frac{d}{dx} \tan x$$

$$f^{'} (x) = e^x \tan x + (e^x +1) \sec^2 x$$

مثال ۲

مشتق $$\frac{ \sin x}{x}$$ را محاسبه کنید:

پاسخ

در این سوال با توجه به فرمول $$(\frac{f}{g})^{'} (a) = \frac{f^{'}(a) g(a) - g^{'}(a) f(a)}{(g(a))^2 }$$ خواهیم داشت:

$$\frac{d}{dx} \frac{ \sin x}{x} = \frac{(\frac{d}{dx} \sin x) x - \sin x (\frac{d}{dx} x)}{x^2}$$

$$\frac{d}{dx} \frac{ \sin x}{x} = \frac{x \cos x - \sin x }{x^2}$$

مشتق پذیری روی یک بازه

در مورد بازه‌ها بخصوص بازه‌هایی که از یک یا هر دو طرف بسته‌اند، مهم است که بدانیم منظور از مشتق‌پذیری یک تابع چیست. برای مثال، مشخص است زمانی می‌گوییم تابع $$f$$ روی بازه باز $$(a,b)$$ مشتق‌پذیر است که روی هر نقطه در این بازه مشتق وجود داشته باشد. اما در مورد بازه‌ بسته‌ای مانند $$[a,b]$$ زمانی تابع $$f$$ مشتق‌پذیر است که علاوه‌بر مشتق پذیری روی بازه باز $$(a,b)$$، در نقطه $$a$$ مشتق راست و در نقطه $$b$$ مشتق چپ وجود داشته باشد.

مشتق مرتبه دوم

اگر تابع $$f$$ یک تابع مشتق‌پذیر باشد و مشتق آن یعنی $$'f$$ نیز مشخصات یک تابع را داشته باشد، در این صورت می‌توانیم مشتق $$'f$$ را نیز محاسبه کنیم. مشتق جدید، مشتق مرتبه دوم تابع $$f$$ است که با $$"f$$ نشان داده می‌شود:

$$y ''= f''(x) =\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{df'}{dx}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$$

به همین ترتیب می‌توانیم مشتق مراتب بالاتر را در صورت وجود برای تابع $$f$$ محاسبه کنیم. $$n$$امین مشتق تابع $$f$$ را با $$f^{(n)}$$ در آموزش حسابان دوازدهم نشان می‌دهیم که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$$y^{(n)}= f^{n}(x) =\frac{d^ny}{dx^n}$$

مثال

مشتق دوم توابع زیر را پیدا کنید:

$$g(x) = \sin (2x^3 - 9x)$$

$$y = e^{-5z} + 8 \ln (2z^4)$$

پاسخ

ابتدا مشتق اول تابع $$g$$ را که یک تابع سینوسی است، تعیین می‌کنیم. با استفاده از جدول فرمول‌های مشتق و قاعده زنجیره‌ای داریم:

$$g^{'} (x) = (6x^2 - 9 ) \cos (2x^3 -9x)$$

مرتبه دوم مشتق‌گیری به کمک قاعده ضرب انجام خواهد شد:

$$g^{''} (x) = 12x \cos (2x^3 -9x) - (6x^2 -9) \sin (2x^3 -9x)$$

در مورد تابع $$y$$ نیز خواهیم داشت:

$$\frac{dy}{dz} = -5e^{-5z} + 8 (\frac{8z^3}{2z^4})$$

$$\frac{dy}{dz} = -5e^{-5z} + \frac{32}{z}$$

$$\frac{d^2y}{dz^2} = 25e^{-5z} - \frac{32}{z^2}$$

آهنگ تغییرات

آهنگ تغییرات یا نرخ تغییرات چگونگی تغییرات خروجی یک تابع نسبت به تغییرات ورودی آن را توصیف می‌کند. متوسط آهنگ تغییرات برای تابعی مانند $$y = f(x)$$ و روی بازه $$[a,b]$$ معادل است با:

$$\frac{\triangle y }{\triangle x } = \frac {f(b) -f(a) }{b-a }$$

این فرمول همان شیب خط متصل کننده دو نقطه متناظر با ابتدا و انتهای بازه (شیب خط سکانت) را به ما می‌دهد. اما آهنگ تغییرات آنی یا لحظه‌ای توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود که همان مشتق یا شیب خط مماس بر نمودار تابع $$f(x)$$ است:

$$\lim_{a \rightarrow 0} \frac{\triangle y }{\triangle x } = \frac{d y }{dx }$$

آهنگ تغییرات یک تابع اطلاعات جالب‌توجهی در مورد آن تابع به ما می‌دهد که می‌توانیم از این اطلاعات در زمینه شناسایی نقاطی که تابع موردنظر ما صعودی یا نزولی است یا در تعیین اکسترمم‌های نسبی و مطلق و وضعیت تقعر آن استفاده کنیم. به عبارت دیگر، بررسی آهنگ تغییرات در آموزش حسابان دوازدهم به ما نشان می‌دهد رفتار آن تابع چگونه است. به این ترتیب محاسبه این کمیت به ما در تعیین آهنگ رشد (علم آمار) و یا محاسبه سرعت متوسط و سرعت لحظه‌ای (علم فیزیک) کمک خواهد کرد.

مثال ۱

با توجه به نمودار تابع $$g (t)$$ به شکل زیر، متوسط آهنگ تغییرات این تابع را در بازه $$[-1,2]$$ به‌دست آورید:

پاسخ

برای محاسبه متوسط آهنگ تغییرات در این مثال، لازم است مقادیر تابع یا خروجی‌های موردنظر خود را با توجه به نمودار آن مشخص کنیم. ابتدا باید نقطه ابتدای بازه یعنی $$t = -1$$ را در نظر بگیریم. خروجی متناظر با این نقطه طبق نمودار برابر است با $$g(-1 ) = 4$$. همچنین انتهای بازه یعنی $$t = 2$$ متناظر می‌شود با $$g(2 ) = 1$$. بنابراین خواهیم داشت:

1. محاسبه اختلاف دو خروجی متناظر با نقاط ابتدا و انتهای بازه: $$\triangle y = y_2 - y_1 =1 - 4 = -3$$
2. محاسبه اختلاف نقاط ابتدا و انتهای بازه: $$\triangle x = x_2 - x_1 = 2 - (-1) = 3$$
3. یافتن نسبت دو عدد بالا: $$\frac{-3}{3} = -1$$

تصویر زیر این روند را نشان می‌دهد. خط افقی قرمز رنگ نشان دهنده تغییرات مقادیر ورودی تابع یا $$\triangle t$$ است، در حالی که خط عمودی سبز رنگ یا $$\triangle g(t)$$ تغییرات خروجی تابع یا مقادیر متناظر با ابتدا و انتهای بازه را نشان می‌دهد. به این ترتیب حاصل تقسیم این دو مقدار نشان می‌دهد متوسط آهنگ تغییرات تابع در این بازه منفی است. دقت کنید برای محاسبه آهنگ تغییرات در آموزش حسابان دوازدهم، ترتیب مقادیر اولیه و نهایی بسیار مهم و تعیین کننده است.

مثال ۲

اگر توپی از ارتفاع $$64 \ ft$$ رها شده و معادله مسافت آن به شکل $$s(t) = -16t^2 + 64$$ باشد، سرعت لحظه‌ای آن زمانی که به زمین می‌رسد و سرعت متوسط آن در طول این افتادن چقدر است؟

پاسخ

در این سوال که کاملا یک مبحث فیزیکی است، معادله حرکت توپ داده شده است. برای پیدا کردن سرعت لحظه‌ای کافی است از معادله مکان مشتق‌گیری کنیم:

$$v(t) = s^{'} (t)$$

$$\Rightarrow v(t) = -32t$$

اما مقدار این سرعت در لحظه‌ای که به زمین می‌رسد، خواسته شده است و باید این زمان را نیز محاسبه کنیم. با توجه به اینکه در لحظه رسیدن توپ به زمین مکان آن صفر می‌شود، پس می‌توانیم از رابطه زیر استفاده کنیم:

$$s(t) = 0 \Rightarrow -16t^2 + 64 = 0$$

حل معادله درجه دو بالا به پاسخ زیر منجر می‌شود:

$$\Rightarrow t= 2 \ s$$

پس سرعت لحظه‌ای در لحظه برخورد توپ به زمین برابر می‌شود با:

$$\Rightarrow v(t) = -32 \times 2 = -64 \ \frac{ft}{s}$$

در بخش دوم از سوال سرعت متوسط را برای کل پروسه افتادن توپ می‌خواهیم که در مدت زمان دو ثانیه رخ داده است. پس با نوشتن فرمول سرعت متوسط به شکل زیر خواهیم داشت:

$$v_{ave}(t) = \frac{s(2) - s(1) }{2-0} = \frac{0 - 64 }{2-0}= -32 \ \frac{ft}{s}$$

دقت کنید باید ابتدا $$s(0)$$ و $$s(2)$$ را با مقداردهی به معادله مکانی که در اختیار داریم، محاسبه کنیم و سپس در عبارت بالا قرار دهیم.

یادگیری ریاضی متوسطه دوم با فرادرس

در این مطلب از مجله فرادرس روی آموزش حسابان دوازدهم تمرکز کردیم. مقطع متوسطه دوم رشته ریاضی و فیزیک شامل دروس دیگری از جمله هندسه تحلیلی، آمار و احتمال و ریاضیات گسسته است. در این بخش می‌توانید چند فیلم آموزشی فرادرس در این زمینه را مشاهده کنید:

• فیلم آموزش آمار و احتمال پایه یازدهم

کاربردهای مشتق

در فصل چهارم آموزش حسابان دوازدهم دیدیم که مشتق تابع $$f(x)$$ با نماد $$f^{'} (x)$$ نمایش داده می‌شود و با توجه به زمینه مورد‌نظر، می‌توان آن را به شکل‌های زیر تفسیر کرد:

• شیب خط مماس: مشتق تابع در یک نقطه برابر است با شیب خط مماسی که در آن نقطه بر منحنی رسم می‌شود.
• آهنگ تغییرات لحظه‌ای: مشتق نشان‌دهنده نرخ تغییرات لحظه‌ای در یک نقطه مشخص از تابع است.
• سرعت لحظه‌ای: با محاسبه مشتق تابع جابجایی در فیزیک، می‌توان سرعت یک ذره را به‌دست آورد.
• بهینه‌سازی: از مشتق برای بهینه‌سازی (پیدا کردن ماکزیمم یا مینیمم) یک تابع استفاده می‌شود.
• تحلیل رفتار تابع: مشتق‌ها برای یافتن بازه‌های صعودی یا نزولی بودن تابع و تعیین بازه‌های تقعر (رو به بالا یا رو به پایین) بکار می‌روند.

پس هرگاه با عباراتی مانند شیب، گرادیان، نرخ تغییرات، سرعت و ماکزیمم یا مینیمم کردن مواجه شدید، باید از مشتق استفاده کنید. دقت کنید شناخت تفاوت مشتق و دیفرانسیل نیز در حسابان از اهمیت بالایی برخوردار است.

اکسترمم های تابع

یکی از مهم‌ترین کاربردهای مشتق، تعیین صعودی یا نزولی بودن یک تابع و سپس یافتن نقاط اکسترمم آن است. در فصل اول آموزش حسابان دوازدهم، توابع صعودی و نزولی را تعریف کردیم. ماکزیمم و مینیمم نسبی یا همان اکسترمم‌های تابع $$f$$ با این فرض که $$I$$ یک همسایگی از نقطه $$c$$ و زیرمجموعه‌ای از دامنه $$f$$ است، به شکل زیر به ازای هر $$x$$ متعلق به $$I$$ تعریف می‌شود:

• نکته ۱: اکسترمم‌های مطلق یا ماکزیمم و مینیمم مطلق یک تابع به ترتیب بالاترین و پایین‌ترین نقطه از نمودار آن تابع هستند.
• نکته ۲: اگر تابع $$f$$ در بازه بسته‌ای مانند $$[a,b]$$ پیوسته باشد، آنگاه این تابع در این بازه دارای ماکزیمم و مینیمم مطلق است.
• نکته ۳: نقطه‌ای مانند $$x= c$$ را نقطه بحرانی تابعی مانند $$f$$ می‌نامیم، هرگاه $$f^{'} (c)$$ صفر باشد یا موجود نباشد.

پس یک روش دیگر در آموزش حسابان دوازدهم برای تعیین یکنوا بودن (صعودی یا نزولی بودن) توابع، مشتق‌گیری از آن‌ها است. با این فرض که تابع $$f$$ در بازه $$[a,b]$$ پیوسته باشد و در $$(a,b)$$ مشتق‌پذیر، به ازای هر $$x$$ در این بازه قاعده زیر برقرار است:

بر این اساس، با بررسی شرایطی به نام آزمون مشتق اول، می‌توانیم بطور دقیق‌تری ماکزیمم و مینیمم نسبی را تعیین کنیم. با فرض پیوسته بودن تابع $$f$$ در بازه $$[a,b]$$ و اینکه $$c$$ یک نقطه بحرانی آن است، داریم:

در آخرین ردیف $$f^{'}$$ در هر دو طرف $$c$$ یا مثبت است یا منفی.

مثال

با استفاده از آزمون مشتق اول، اکسترمم‌های محلی تابع $$f(x) = x^3 - 3x^2 -9x -1$$ را پیدا کنید:

پاسخ

ابتدا مشتق تابع داده شده را محاسبه کرده و آن را برابر با صفر قرار می‌دهیم تا نقاط بحرانی شناسایی شوند:

$$f^{'} (x) = 3x^2 -6x - 9 = 0$$

$$3 (x^2-2x-3) = 3 (x-3)(x+1) = 0$$

$$x = 3 , -1$$

حالا بازه کلی $$(-∞, +∞)$$ را بر اساس این دو نقطه به سه زیربازه کوچکتر $$(-∞, -1)$$ و $$(-1, 3)$$ و $$(3, +∞)$$ تقسیم می‌کنیم. همچنین با توجه به اینکه تابع داده شده و مشتق آن هر دو توابعی چند جمله‌ای و پیوسته هستند، برای تعیین علامت $$f^{'}$$ کافی است از هر بازه یک نقطه آزمون انتخاب کنیم و علامت $$f^{'}$$ را در آن نقطه بررسی کنیم. جدول زیر سه نقطه انتخابی و حاصل آزمون مشتق اول را طبق توضیحات آموزش حسابان دوازدهم نشان می‌دهد:

طبق این جدول با افزایش $$x$$ از $$-1$$ به بعد، علامت $$f^{'}$$ از مثبت به منفی تغییر می‌کند. پس در $$x = -1$$ یک ماکزیمم محلی برای تابع $$f$$ داریم. به همین شکل با افزایش ورودی‌های تابع از $$x= 3$$ تغییر علامتی از منفی به مثبت برای علامت $$f^{'}$$ داریم که نشان‌دهنده مینیمم محلی بودن این نقطه است.

جهت تقعر و نقطه عطف

در این بخش از آموزش حسابان دوازدهم یاد می‌گیریم که چگونه می‌توان با محاسبه مشتق مرتبه دوم جهت تقعر و نقطه عطف توابع مختلف را تعیین کرد. فرض کنید $$f^{"} (x)$$ به ازای هر $$x$$ از بازه باز $$I$$ موجود است. در این صورت برای نمودار $$f$$ روی این بازه قواعد زیر برقرار است:

به این ترتیب اگر به یک نمودار دارای تقعر بالا از چپ به راست نگاه کنیم، شیب خط مماس بر این نمودار افزایش خواهد یافت. به تصویر زیر دقت کنید. در سمت چپ نمودار شیب زیاد و در عین حال منفی است. هر چه به مرکز نمودار نزدیک می‌شویم، از شدت شیب کاسته می‌شود تا اینکه در مبدا شیب به صفر می‌رسد. با عبور از مبدا و حرکت به طرف سمت راست نمودار، مجددا شیب افزایش می‌یابد، اما این بار با مقداری مثبت. پس روند افزایش شیب از چپ به راست در نمودار تابعی با تقعر رو به بالا به این صورت است:

به همین شکل، اگر $$f^{'}$$ نزولی باشد، در این صورت تابع $$f$$ تقعر رو به پایین دارد، به این معنا که اگر از چپ به راست به نمودار آن نگاه کنیم، شیب خطوط مماس کاهش می‌یابد. همچنین با فرض پیوسته بودن تابع $$f$$ در نقطه‌ای مانند $$x= c$$، زمانی نقطه $$(c,f(c))$$ را نقطه عطف این تابع در نظر می‌گیریم که دو شرط زیر برقرار باشند:

• نمودار $$f$$ در نقطه $$(c,f(c))$$ خط مماس داشته باشد.
• جهت تقعر $$f$$ در نقطه $$(c,f(c))$$ تغییر کند.

در واقع نقطه عطف، نقطه‌ای روی نمودار تابع است که در آن جهت تقعر نمودار عوض می‌شود. اگر تقعر تابع $$f$$ در نقطه‌ای مانند $$c$$ عوض شود، در این صورت وضعیت $$f^{'}$$ نیز در این نقطه از صعودی به نزولی یا برعکس تغییر کرده است و این به این معنا است که علامت $$f^{"}$$ از منفی به مثبت یا برعکس تغییر کرده است.

مثال

فرض کنید تابعی به شکل $$f(x) = x^3 - 3x +1$$ داریم. نقاط عطف آن را به همراه بازه‌هایی که تابع تقعر رو به بالا یا پایین دارد، مشخص کنید:

پاسخ

ابتدا مشتق اول و دوم را محاسبه می‌کنیم:

$$f^{'} (x) = 3x^2 -3$$

$$f^{''} (x) = 6x$$

برای یافتن نقاط عطف کافی است مشتق دوم را برابر با صفر قرار دهیم:

$$6x = 0 ⇒ x=0$$

همچنین باید بررسی کنیم که آیا نقطه‌ای وجود دارد که در آن تابع ما تعریف نشده باشد. چنین نقطه‌ای نداریم. پس $$(0,1)$$ تنها نقطه عطف این تابع است که بازه $$(-∞, +∞)$$ را به دو زیربازه $$(-∞, 0)$$ و $$(0, +∞)$$ تقسیم می‌کند:

• با انتخاب هر $$c<0$$‌، همواره $$f^{''} (c) <0$$ است: تقعر رو به پایین در بازه $$(-∞, 0)$$
• با انتخاب هر $$c>0$$‌، همواره $$f^{''} (c) >0$$ است: تقعر رو به بالا در بازه $$(0, +∞)$$

رسم نمودار تابع

نمودار یک تابع مجموعه نقاطی به‌صورت $$(x,y)$$ در صفحه است که در معادله $$y = f(x)$$ صدق می‌کنند. برای رسم نمودار یک تابع می‌توان از ریشه‌ها و علامت مشتق اول و دوم استفاده کرد. مراحل کلی رسم نمودار تابع طبق آنچه در آموزش حسابان دوازدهم آموختیم، به صورت زیر است:

1. مشخص کردن دامنه تابع
2. تعیین محل تلاقی نمودار با محورهای مختصات
3. محاسبه $$f^{'}$$ و تعیین علامت آن برای مشخص شدن صعودی یا نزولی بودن
4. به دست آوردن نقاط بحرانی و اکسترمم‌های نسبی
5. محاسبه $$f^{''}$$ و تعیین علامت آن برای مشخص شدن جهت تقعر
6. به دست آوردن نقطه عطف
7. تعیین رفتار تابع برای مقادیر بسیار بزرگ و بسیار کوچک $$x$$
8. محاسبه مجانب‌های تابع

در نهایت با تنظیم یک جدول حاوی خلاصه‌ای از اطلاعات بالا و با استفاده از نقاط کمکی در صورت نیاز، نمودار تابع را رسم می‌کنیم.