ریاضی , علوم پایه 24819 بازدید

در راستای تکمیل مجموعه مقالات مجله فرادرس در خصوص محیط و مساحت اشکال هندسی، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده، چهار روش برای محاسبه مساحت مثلث به همراه مثال بیان کنیم. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید.

دانلود ویدیو

 استفاده از قاعده و ارتفاع

مساحت مثلث

احتمالاً از ریاضیات دوران ابتدایی به یاد دارید که برای محاسبه مساحت یک مثلث باید مقدار طول قاعده و ارتفاع آن را بدانیم. با دانستن این دو مقدار و استفاده از فرمول زیر می‌توانیم به مساحت یک مثلث پی ببریم:

رابطه فوق بیان می‌کند که مساحت یک مثلث، نصف حاصل ضرب اندازه قاعده (b) در ارتفاع (h) است. توجه داشته باشید که هر کدام از ضلع‌های مثلث را می‌توان به عنوان قاعده در نظر گرفت، در این صورت در محاسبه ارتفاع باید دقت لازم را داشته باشیم. به طور مثال برای محاسبه مساحت مثلثی که در شکل فوق آمده است، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

مساحت مثلث

دقت کنید که واحد مساحت از جنس متر مربع ($$m^{2}$$) است. همچنین توجه داشته باشید که برای محاسبه صحیح مساحت تمامی واحد‌ها یکسان باشد. برای مثال، حتماً اندازه قاعده و ارتفاع هر دو بر حسب سانتی‌متر باشند. در صورت تفاوت در واحد یکی از آن‌ها، باید عمل تبدیل واحد را انجام داد.

به عنوان مثالی دیگر می‌خواهیم مساحت مثلث قائم‌الزاویه شکل زیر را حساب کنیم.

فیثاغورس

در مثلث شکل فوق، ارتفاع برابر با ۴ و قاعده برابر با a است. اما طول ضلع سوم (موسوم به وتر) در این مثلث معلوم است. از آنجایی که مثلث قائم‌الزاویه است، می‌توانیم برای آن رابطه فیثاغورس را به کار ببریم که در شکل انجام شده است. توجه داشته باشید که اگر ضلع به اندازه ۴ را به عنوان قاعده در نظر بگیریم، ارتفاع برابر با a شده که در پاسخ نهایی تاثیری ندارد.

استفاده از فرمول هرون

یکی دیگر روش‌های محاسبه ماحت مثلث استفاده از قانون هرون است. فرمول محاسبه مساحت توسط این قانون در شکل زیر آمده است:

در رابطه فوق، سه پارامتر a ،b و c ضلع‌های مثلث و پارامتر S نصف محیط مثلث (Semiperimeter) است. جهت اطلاع از چگونگی محاسبه محیط مثلث به مقاله «محیط مثلث — به زبان ساده» مراجعه کنید.

به عنوان مثال می‌خواهیم مساحت مثلث قائم‌الزاویه شکل زیر را با استفاده از فرمول هورون به دست آوریم.

نصف محیط

مقدار پارامتر S، یعنی نصف محیط، در شکل فوق محاسبه شده است. حال با جایگذاری طول اضلاع در فرمول مربوطه مطابق با شکل زیر، مساحت مثلث مذکور را به دست می‌آوریم.

رابطه هرون

مساحت مثلث متساوی الاضلاع

مساحت مثلث متساوی الاضلاع

در صورتی که هر سه ضلع مثلث برابر باشند، مثلث را متساوی‌ الاضلاع می‌نامند. در این نوع مثلث زوایای داخلی با یکدیگر یکسان بوده و برابر با 60 درجه هستند. استفاده از رابطه ساده $$A=\frac{1}{2}bh$$ شاید در اینجا به دلیل معلوم نبودن ارتقاع کمی مشکل باشد. البته می‌توان با انجام محاسبات ریاضی و استفاده از رابطه فیثاغورس، ارتفاع مثلث متساوی‌ الاضلاع را به دست آورد. اما یک راه آسان‌تر استفاده از رابطه زیر است:

مساحت مثلث متساوی الاضلاع

دقت کنید که در رابطه بالا پارامتر s طول ضلع مثلث متساوی‌ الاضلاع است. به طور مثال برای محاسبه مساحت مثلثی با ضلع‌های یکسان ۶ سانتی‌متر، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

مساحت مثلث متساوی الاضلاع

استفاده از سینوس زاویه

فرض کنید مثلثی در اختیار دارید که شکل استاندارد خاصی نداشته و تنها طول دو ضلع آن را می‌دانید. به دست آوردن طول ارتفاع جهت استفاده از رابطه ($$A=\frac{1}{2}bh$$) مثلث‌هایی که شکل استاندارد (معروفی) ندارند، امکان پذیر نبوده یا عملی دشوار است. اما اگر اندازه زاویه بین دو ضلع معلوم را بدانیم، می‌توانیم خیلی راحت با استفاده از فرمول زیر، مساحت مثلث را محاسبه کنیم.

حال به عنوان مثال برای محاسبه مساحت مثلث شکل زیر با استفاده از فرمول فوق، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

محاسبه مساحت از سینوس زاویه

با جایگذاری اندازه دو ضلع b و c در رابطه مذکور داریم:

مساحت مثلث

حال با جایگذاری زاویه بین دو ضلع خواهیم داشت:

مساحت مثلث

در صورتیکه این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شود:

^^

telegram
twitter

اشکان ابوالحسنی

«اشکان ابوالحسنی» دانشجو مقطع دکتری واحد علوم و تحقیقات تهران در رشته مهندسی برق مخابرات، گرایش میدان و امواج است. علاقه خاص او به فرکانس‌های ناحیه اپتیکی و مکانیک کوانتومی باعث شده که در حال حاضر در دو زمینه‌ مخابرات نوری و محاسبات کوانتومی تحقیق و پژوهش کند. او در حال حاضر، آموزش‌هایی را در دو زمینه فیزیک و مهندسی برق (مخابرات) در مجله فرادرس می‌نویسد.

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

یک نظر ثبت شده در “مساحت مثلث — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *