فرادرساعداد حقیقی — به زبان ساده
در این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی مجموعه اعداد حقیقی می‌پردازیم. برای بسیاری از ما عدد مفهوم کاملاً مشخصی دارد. یعنی چیزی که با آن می‌توانیم چیزهای مختلف را بشماریم. مسلم است که کمترین عددی که می توان به شمار آورد 1 است و از طرف دیگر بزرگترین عدد تا هر جایی که بخواهیم می‌تواند بزرگ باشد. به این مجموعه اعداد از 1 تا بی نهایت اعداد طبیعی گفته می‌شود. اما مجموعه اعداد محدود به این مقدار نیست. وقتی سروکار ما با اعداد به مرحله‌ای فراتر از شمارش حرکت می‌کند، متوجه می شویم که ممکن است حاصل تقسیم دو عدد، یک عدد اعشاری و یا حاصل تفریق دو عدد، عددی منفی به دست آید. به این مجموعه اعداد، اعداد گویا گفته می‌شود. اعداد گویا در مطلب «اعداد گویا — به زبان ساده» از مجله فرادرس به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفته‌اند.
وقتی محاسبات ریاضی بر روی اعداد از چهار عمل اصلی فراتر رفته و برای مثال جذر را نیز شامل می‌شود، شاهد هستیم که جذر اعدادی مانند 2 عددی به دست می‌آید که مقدار دقیق آن قابل شمارش نیست و به اصطلاح عددی اصم یا گنگ است. پس لازم می‌آید که مجموعه اعداد گویا را باز هم بسط بدهیم تا این اعداد را نیز شامل شود. به مجموعه اعداد گویا و گنگ، مجموعه اعداد حقیقی (Real numbers) گفته می‌شود. مجموعه اعداد حقیقی با R نمایش داده می‌شود. اعداد زیر همگی جزو مجموعه اعداد حقیقی به شمار می روند:
$$ 1 , 12/38 , -0/8625 , \frac { 3 } { 4 } , \sqrt {2 } , 198 $$
در واقع، تقریباً هر عددی که به ذهن‌تان برسد یک عدد حقیقی است. به طور خلاصه اعداد حقیقی شامل موارد زیر هستند:
- اعداد صحیح (مانند 1، 2، 3، 4 و ...)
- اعداد گویا (مانند ¾، 0.125، ...0.333، 1.1 و ...)
- اعداد گنگ (مانند 2√، π و ...)
اعداد حقیقی همچنین می توانند مثبت، منفی یا صفر باشند. سوالی که در این جا پیش می‌آید، این است که اگر تقریباً همه اعداد شامل اعداد حقیقی هستند، پس کدام اعداد، حقیقی به شمار نمی‌روند؟
اعداد زیر حقیقی نیستند:
- اعداد موهومی (اعداد مختلط) مانند 1-√ (جذر عدد 1-) عدد حقیقی نیستند.
- بی نهایت نیز عدد حقیقی نیست.
و چند نوع عدد ویژه دیگر نیز وجود دارد که بیشتر ریاضی‌دانان با آنها سروکار دارند و جزو اعداد حقیقی به شمار نمی‌آیند.
دلیل انتخاب نام «حقیقی» برای این مجموعه اعداد چیست؟
اعداد حقیقی قبل از این که اعداد موهومی شناخته شوند، اسمی نداشتند. اعداد موهومی اعدادی هستند که در طبیعت و زندگی روزمره خود نمی‌توانیم معادلی برای آنها بیابیم. مثلاً جذر یک عدد منفی یک معادل فیزیکی (و یا دست کم فیزیک کلاسیک) ندارد و بنابراین موهومی نامیده می‌شود. بنابراین اعداد حقیقی این اسم را به این دلیل به خود گرفتند، چون موهومی نبودند.
نمایش اعداد حقیقی
نمایش اعداد حقیقی روی دستگاه مختصات همانند یک خط هندسی است.
نقطه ای روی خط به عنوان «مبدا» در نظر گرفته می‌شود. نقاط سمت راست این مبدا، مثبت، و سمت چپ آن منفی هستند.
یک فاصله معینی بعنوان واحد یا 1 شناخته می‌شود، سپس تمامی اعداد بر اساس این فاصله شماره‌گذاری می شوند {... و 3 و 2 و 1}، و همچنین در جهت منفی {1- و 2- و 3- و ...}.
هر نقطه ای روی این خط، یک عدد حقیقی است:
- اعداد می توانند صحیح باشند (مانند 7)
- یا گویا باشند (مانند 20/9)
- یا گنگ باشند (مانند π)
اما روی خط مجموعه اعداد حقیقی چیزی مانند بی‌نهایت، یا یک عدد موهومی را نمی توانید پیدا کنید.
آزمون سنجش یادگیری اعداد حقیقی
در این بخش از مجله فرادرس، سطح اطلاعات شما در مبحث اعداد حقیقی را با طرح سوال‌های چندگزینه‌ای می‌سنجیم. پس از جواب دادن به تمام سوال‌ها، نتیجه آزمون برای شما به نمایش درمی‌آید.
کدامیک از گزینه‌های زیر، عضوی از مجموعه اعداد حقیقی نیست؟
مجموعه اعداد صحیح
مجموعه اعداد مختلط
مجموعه اعداد حسابی
مجموعه اعداد طبیعی
تمام مجموعه‌های اعداد، به غیر از مجموعه اعداد مختلط، به عنوان عضوی از مجموعه اعداد حقیقی در نظر گرفته می‌شوند.
کدامیک از مجموعه اعداد زیر، عضوی از مجموعه اعداد حقیقی است؟
مجموعه اعداد صحیح
مجموعه اعداد گویا
مجموعه اعداد گنک
تمام موارد
تمام مجموعه‌های اعداد، به غیر از مجموعه اعداد مختلط، به عنوان عضوی از مجموعه اعداد حقیقی در نظر گرفته می‌شوند.
مجموعه اعداد حقیقی با کدامیک از علامت‌های زیر نمایش داده می‌شود؟
R
Z
N
Q
مجموعه اعداد حقیقی با حرف R نمایش داده می‌شوند. از علامت‌های دیگر مجموعه‌های اعداد می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
- N: مجموعه اعداد طبیعی
- Z: مجموعه اعداد صحیح
- Q: مجموعه اعداد گویا
- I یا P: مجموعه اعداد گنگ
کدامیک از اعداد زیر، حقیقی نیستند؟
$$ \sqrt { 6 } $$
$$ \sqrt { -5 } $$
$$ 3/15 $$
$$ \frac { 1 } { 2 } $$
اعداد مختلط و موهومی، عضو مجموعه اعداد حقیقی نیستند. عدد $$ \sqrt { -5} $$، d، یک عدد مختلط است که می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:
$$ \sqrt { -5} = \left ( \sqrt { 5 } \right ) i$$
این عدد، در مجموعه اعداد حقیقی حضور ندارد.
کدام جمله در رابطه با اعداد حقیقی، درست است؟
هر عدد حقیقی، یک عدد مختلط است.
هر عدد حقیقی، یک عدد گنگ است.
هر عدد حقیقی، یک عدد گویا است.
هر عدد گنگ، یک عدد حقیقی است.
برای پاسخگویی به سوال، نکات زیر را برای هر گزینه در نظر بگیرید:
- اعداد مختلط، تنها مجموعه‌ای هستند که در مجموعه اعداد حقیقی جای ندارند. بنابراین، اعداد حقیقی، مختلط نیستند.
- مجموعه اعداد حقیقی، از اعداد گنگ، گویا، صحیح و غیره تشکیل می‌شود. بنابراین، هر عدد حقیقی، گنگ نیست و می‌تواند متعلق به دیگر مجموعه‌های اعداد باشد.
- مجموعه اعداد حقیقی، از اعداد گنگ، گویا، صحیح و غیره تشکیل می‌شود. بنابراین، هر عدد حقیقی، گویا نیست و می‌تواند متعلق به دیگر مجموعه‌های اعداد باشد.
- مجموعه اعداد حقیقی، اعداد گنگ، گویا، صحیح و غیره را دربرمی‌گیرد. بنابراین، هر عدد گنگ، یک عدد حقیقی است.
متوجه نشدم 🤓
درست متوجه نشدم🥲 ولی مطلب مفیدی بود
nice
ممنون از توضیحات تون
فرق بین اعداد حقیقی و طبیعی(N) چیست؟
عالی بود
خیلی مطلب تأثیر گذاری بود ممنونم
عالی بود ممنون
اعداد گویا زیاد هستند یا اعداد گنگ؟
هر دو بی نهایت هستند
ممنون فرادرس عزیز عالی بود
ممنون فرادرس عزیز
عــــــــالی
عالی
هر عدد صحیح یک عدد حقیقی است؟
بله اعداد صحیح از زیرمجموعه های اعداد حقیقی میباشد .
بله
سلام ، عالی . فقط لطفاً چند مثال دیگر هم برای اعدادی که حقیقی (R)نیستند بزنید .
اعدادی ک جز اعداد حقیقی نیستند یا تعریف نشده در R؟
ایا صفر جز اعداد حقیقی است؟
بدردم نخورد
عالی سپاس گذارم
عالی خیلی بهتر از کتاب توضیح داده شده بود
اعداد گنگ و گویا در کنار هم اعداد حقیقی را تشکیل میدهند
عالییی.خیلی ممنون مشکلم به کلی در مورد اعداد حقیقی رفع شد.^^
سلام خسته نباشید من. پایه نهم ام و میخواستم بدونم که بزرگ تر از اعداد گویا اعداد گنگ هستند یا حقیقی؟ بعد اعداد گنگ یا اصم زیر مجموعه اعداد حقیقی میتوانند باشند یانه ممنون میشم اگر جواب فوری بدید…
سلام خیر اصلا اعداد گویا و گنگ دو تا از اعداد متفاوت هستند و کاملا از هم جدا هستند و هیچ کدام زیر مجوعه ی هم نیستند .
با تشکر
دوست عزیز اعداد گویا و گنگ نه زیرمجموعه هم هستند و نه ارتباطی با هم دارند. آنها هر دو در کنار هم مجموعه اعداد حقیقی را تشکیل میدهند. یعنی مجموعه اعداد حقیقی به دو مجموعه اعداد گویا و گنگ افراز می‌شود.