اعداد حقیقی — به زبان ساده

برای بسیاری از ما عدد مفهوم کاملاً مشخصی دارد. یعنی چیزی که با آن می‌توانیم چیزهای مختلف را بشماریم. مسلم است که کمترین عددی که می توان به شمار آورد 1 است و از طرف دیگر بزرگترین عدد تا هر جایی که بخواهیم می‌تواند بزرگ باشد. به این مجموعه اعداد از 1 تا بی نهایت اعداد طبیعی گفته می‌شود. اما مجموعه اعداد محدود به این مقدار نیست. وقتی سروکار ما با اعداد به مرحله‌ای فراتر از شمارش حرکت می‌کند، متوجه می شویم که ممکن است حاصل تقسیم دو عدد، یک عدد اعشاری و یا حاصل تفریق دو عدد، عددی منفی به دست آید. به این مجموعه اعداد، اعداد گویا گفته می‌شود. اعداد گویا در مطلب «اعداد گویا — به زبان ساده» به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفته‌اند.

وقتی محاسبات ریاضی بر روی اعداد از چهار عمل اصلی فراتر رفته و برای مثال جذر را نیز شامل می‌شود، شاهد هستیم که جذر اعدادی مانند 2 عددی به دست می‌آید که مقدار دقیق آن قابل شمارش نیست و به اصطلاح عددی اصم یا گنگ است. پس لازم می‌آید که مجموعه اعداد گویا را باز هم بسط بدهیم تا این اعداد را نیز شامل شود. به مجموعه اعداد گویا و گنگ، مجموعه  اعداد حقیقی (Real numbers) گفته می‌شود. مجموعه اعداد حقیقی با R نمایش داده می‌شود. اعداد زیر همگی جزو مجموعه اعداد حقیقی به شمار می روند:

1   ,   12.38   ,   -0.8625   ,   ¾   ,   √2   ,   198

در واقع، تقریباً هر عددی که به ذهن‌تان برسد یک عدد حقیقی است. به طور خلاصه اعداد حقیقی شامل موارد زیر هستند:

• اعداد صحیح (مانند 1، 2، 3، 4 و ...)
• اعداد گویا (مانند ¾، 0.125، ...0.333، 1.1 و ...)
• اعداد گنگ (مانند 2√، π و ...)

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم

اینجا کلیک کنید

اعداد حقیقی همچنین می توانند مثبت، منفی یا صفر باشند. سوالی که در این جا پیش می‌آید، این است که اگر تقریباً همه اعداد شامل اعداد حقیقی هستند، پس کدام اعداد، حقیقی به شمار نمی‌روند؟

اعداد زیر حقیقی نیستند:

آموزش ریاضی و آمار ۱ – پایه دهم علوم انسانی

شروع یادگیری

آموزش ریاضی – پایه هشتم

شروع یادگیری

آموزش ریاضی – پایه نهم

شروع یادگیری

آموزش عربی – پایه نهم

شروع یادگیری

آموزش محاسبات سریع ریاضی

شروع یادگیری

آموزش ریاضی پایه هفتم

شروع یادگیری

آموزش نگارش – پایه هفتم

شروع یادگیری

آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی

شروع یادگیری

آموزش هندسه پایه دهم – هندسه ۱

شروع یادگیری

آموزش ریاضیات گسسته – پایه دوازدهم

شروع یادگیری

• اعداد موهومی مانند 1-√ (جذر عدد 1-) عدد حقیقی نیستند.
• بی نهایت نیز عدد حقیقی نیست.

و چند نوع عدد ویژه دیگر نیز وجود دارد که بیشتر ریاضی‌دانان با آنها سروکار دارند و جزو اعداد حقیقی به شمار نمی‌آیند.

دلیل انتخاب نام «حقیقی» برای این مجموعه اعداد چیست؟

اعداد حقیقی قبل از این که اعداد موهومی شناخته شوند، اسمی نداشتند. اعداد موهومی اعدادی هستند که در طبیعت و زندگی روزمره خود نمی‌توانیم معادلی برای آنها بیابیم. مثلاً جذر یک عدد منفی یک معادل فیزیکی (و یا دست کم فیزیک کلاسیک) ندارد و بنابراین موهومی نامیده می‌شود. بنابراین  اعداد حقیقی این اسم را به این دلیل به خود گرفتند، چون موهومی نبودند.

نمایش اعداد حقیقی

نمایش اعداد حقیقی روی دستگاه مختصات همانند یک  خط هندسی است.

فیلم آموزش مبانی آنالیز ریاضی – مرور و حل مساله

اینجا کلیک کنید

نقطه ای روی خط به عنوان «مبدا» در نظر گرفته می‌شود. نقاط سمت راست این مبدا، مثبت، و سمت چپ آن منفی هستند.

یک فاصله معینی بعنوان واحد یا 1 شناخته می‌شود، سپس تمامی اعداد بر اساس این فاصله شماره‌گذاری می شوند {... و 3 و 2 و 1}، و همچنین در جهت منفی {1- و 2- و 3- و ...}.

هر نقطه ای روی این خط، یک عدد حقیقی است:

• اعداد می توانند صحیح باشند (مانند 7)
• یا گویا باشند (مانند 20/9)
• یا گنگ باشند (مانند π)

اما روی خط مجموعه اعداد حقیقی چیزی مانند بی‌نهایت، یا یک عدد موهومی را نمی توانید پیدا کنید.

اگر این نوشته مورد توجه شما واقع شده است، موارد زیر نیز احتمالاً برای شما جذاب خواهند بود:

• اعداد اصلی، ترتیبی و اسمی – مفاهیم و تعاریف به زبان ساده
• اعداد مختلط – به زبان ساده
• اعداد گویا — به زبان ساده
• مجموعه ها در ریاضیات – مفاهیم پایه
• دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی
• عدد اویلر یا نپر – به زبان ساده
• تعریف های ابتدایی جبر – به زبان ساده
• آموزش ریشه یابی و ترسیم اعداد مختلط در متلب

==