ریاضی، علوم پایه ۳۵۴ بازدید

میانگین یکی از مفاهیم پایه در ریاضی و آمار است که کاربردهای فراوانی دارد. در این آموزش از مجله فرادرس، می‌خواهیم ببینیم میانگین چیست و چگونه محاسبه می‌شود.

میانگین چیست؟

از نظر لغوی، میانگین یک صفت نسبی است که به آنچه در میان و وسط چیزی قرار دارد اشاره می‌کند. در فرهنگستان زبان و ادب فارسی، برای واژه‌های انگلیسی Mean و Mean Value معادل «میانگین» مصوب شده و تعریف آن این‌گونه بیان شده است: «عددی که معرف و نماینده مجموعه‌ای از چند عدد است.» پیش از آغاز بحثِ نحوه محاسبه میانگین، با توجه به این معانی و تعاریف، درمی‌یابیم که میانگین نماینده‌ای از چند عدد است.

نکته: به میانگین «متوسط» یا «معدل» نیز می‌گویند.

فیلم آموزشی مرتبط

کاربرد میانگین چیست؟

شاید این پرسش برایتان پیش آمده باشد که کاربرد میانگین چیست. از میانگین برای نمایش مجموعه بزرگی از اعداد تنها در قالب یک عدد استفاده می‌شود. البته، در آمار اعداد مختلفی (مانند میانه) وجود دارند که نمایندگی مجموعه‌ای از اعداد را نشان می‌دهند و میانگین یکی از این اعداد است. میانگین معمولاً با جمع کردن تمام مقادیر و تقسیم آن بر تعداد اعداد محاسبه می‌شود. میانگین در زندگی روزمره ما کاربردهای زیادی دارد. برای کمیت‌هایی با مقادیر متفاوت و تعداد فراوان، از مقدار منحصر به فرد میانگین برای نمایش مقادیر استفاده می‌شود.

برای مثال، می‌دانیم که سن یا قد دانش‌آموزان یک کلاس با هم متفاوت است. اگر از ما بپرسند قد یا سن دانش‌آموزان کلاس چگونه است، بدون شک گفتن سن و قد همه دانش‌آموزان کاری خسته‌کننده خواهد بود. در این مواقع میانگین به کمک ما می‌آید و می‌توانیم با محاسبه میانگین، یک عدد یکتا بیان کنیم که معرف کل دانش‌آموزان است.

میانگین چیست

یادگیری میانگین به ما کمک می‌کند تا به‌سرعت داده‌های موجود را در یک عدد خلاصه کنیم. مجموعه نمرات دانش‌آموزان، تغییرات قیمت سهام، داده‌های آب‌و‌هوای یک مکان، درآمد افراد مختلف در یک شهر و... همگی نمونه‌هایی هستند که می‌توان میانگین آن‌ها محاسبه کرد.

میانگین یک مقدار عددی است که مقدار زیادی داده را نمایندگی می‌کند. گاهی اوقات تصمیم‌گیری بر اساس یک داده واحد یا مجموعه بزرگی از داده‌ها دشوار است. از این رو، مقدار میانگین محاسبه می‌شود یا اصطلاحاً میانگین گرفته می‌شود و به نمایش تمام مقادیر در یک مقدار کمک می‌کند. احتمالاً در رسانه‌ها کلمه میانگین را برای ارائه آمار اقتصادی شنیده‌اید.

شاید با خودتان فکر کرده باشید که کاربرد میانگین در زندگی روزمره چیست.  میانگین از بسیاری جهات دیگر نیز در دنیای واقعی مفید است. چند نمونه دیگر از کاربردهای میانگین در ادامه ذکر شده است. اگر دانش‌آموزی موضوع خاصی را با $$n$$ تعداد فصل در $$x$$ ساعت می‌خواند، با استفاده از میانگین می‌توان زمان مطالعه را برای سایر موضوعات و فصل‌های مشابه محاسبه کرد. این کار به دانش‌آموز در تجزیه و تحلیل زمان کمک می‌کند.

اگر کودکی در ورزش خاصی شرکت می‌کند، میانگین برای مربی او مفید است تا تغییرات سرعت یا انرژی او را پیگیری کند. می‌توان از میانگین برای برنامه‌ریزی برنامه‌های روزانه برای کودکان استفاده کرد تا اطمینان حاصل شود که زمان کافی برای همه فعالیت‌ها در نظر گرفته شده است. قیمت سهام یک شرکت هر روز در حال تغییر است. در اینجا میانگین قیمت سهم به‌عنوان مرجع ذکر می‌شود. مدت زمان سفر بین دو مکان برای هر روز متفاوت است. در این مورد از میانگین مدت زمان سفر برای کمک به درک زمان لازم برای سفر بین دو مکان استفاده می‌شود.

فرمول میانگین چیست؟

قبل از اینکه بدانیم فرمول میانگین چیست، بهتر است نکته‌ای را متذکر شویم و آن این است که میانگین انواع مختلفی دارد. آنچه که ما به‌عنوان میانگین در کتاب‌های درسی می‌شناسیم، معمولاً میانگین حسابی است که مجموع همه اعداد تقسیم بر تعداد اعداد است. به عبارت دیگر، میانگین نسبت مجموع همه مشاهدات به تعداد کل مشاهدات است. بنابراین، فرمول میانگین این‌گونه است:

تعداد مشاهدات یا اعداد ÷ مجموع مشاهدات یا اعداد = میانگین 

روش محاسبه میانگین چیست؟

برای محاسبه میانگین می‌توان سه گام ساده را طی کرد. از نظر محاسبات، میانگین گرفتن، شامل دو عمل حسابی جمع و تقسیم است.

مرحله 1: اولین مرحله در فرایند یافتن میانگین، یافتن مجموع اعداد داده‌شده است. به‌عنوان مثال، فرض کنید می‌خواهیم میانگین وزن شش کودک را محاسبه کنیم. وزن این کودکان بدین شرح است:‌ ۹ کیلوگرم، ۱۲ کیلوگرم، ۱۰ کیلوگرم، ۶ کیلوگرم، ۱۲ کیلوگرم، ۱۱ کیلوگرم.

جمع این اعداد برابر است با

۶۰ = ۱۱ + ۱۲ + ۶ + ۱۰ + ۱۲ + ۹

مرحله 2: باید تعداد مشاهدات یا تعداد داده‌ها یا تعداد مقادیر را بدانیم. در مثالی که گفتیم، ما 6 کودک داریم. بنابراین، تعداد مشاهدات یا نمونه‌ها برابر با ۶ است.

مرحله 3: با جایگزینی مقادیر مرحله 1 و مرحله 2 در فرمول میانگین، عبارت زیر را داریم.

۱۰ = ۶۰/۶ = تعداد کودکان ÷ مجموع وزن کودکان = تعداد مشاهدات ÷ مجموع مشاهدات = میانگین

بنابراین، میانگین وزن کودکان ۱۰ کیلوگرم است.

مثال‌های میانگین

اکنون که می‌دانیم میانگین چیست و روش محاسبه آن را یاد گرفته‌ایم، در این بخش، مثال‌هایی را از میانگین حل خواهیم کرد.

مثال اول میانگین

نرگس هفته گذشته ۱۵ سالگی خود را با رفتن به پارک مورد علاقه خود جشن گرفت. او از شش نفر از نزدیک‌ترین دوستانش دعوت کرد تا با او همراه شوند: رعنا که 15 ساله است، بنفشه که 17 سال دارد، مریم که 15 سالش است، مستانه 16 ساله، سحر 20 ساله و نیکی که 19 سال دارد. علاوه بر این افراد، مادر سحر، کتایون، نیز که 55 ساله است با آن‌ها به پارک رفت. میانگین سنی افراد حاضر در جشن نرگس چقدر بوده است؟

جواب: می‌دانیم که فرمول میانگین اینگونه است:

تعداد افراد ÷ مجموع کل اعداد = میانگین

اولین قدم برای یافتن میانگین، جمع کردن سن همه افراد است. بنابراین، داریم:

172 = 15 + 15 + 17 + 15 + 16 + 20 + 19 + 55

شش دوست نرگس در تولدش بودند، بنابراین، با توجه به حضور مادرش و خودش، در مجموع هشت نفر آنجا بوده‌اند. اکنون عدد را در فرمول قرار می‌دهیم و داریم:

8 ÷ 172 = میانگین

اکنون تنها کاری که باید انجام دهیم این است که 172 را بر 8 تقسیم کنیم و میانگین سنی افراد حاضر در جشن تولد نرگس را پیدا کنیم:

21٫5 = 8 ÷ 172 = میانگین

بنابراین، میانگین سنی افراد در آنجا 21٫5 سال بوده است.

مثال دوم میانگین

کلاس ششم ب همگی در یک آزمون ریاضی مهم شرکت کرده‌اند، و معلم در نهایت آماده است تا به آن‌ها نمره بدهد. تعداد دانش‌آموزان کلاس ۳۰ نفر است. آزمون از 100 نمره بوده است.

نمرات آزمون کلاس ب به شرح زیر است:

  • 10 دانش‌آموز نمره 80
  • 5 دانش‌آموز نمره 95
  • 3 دانش‌آموز نمره 62
  • 2 دانش‌آموز نمره 77
  • 6 دانش‌آموز، نمره 50
  • 3 دانش‌آموز، نمره 91
  • 1 دانش‌آموز، نمره 100

میانگین نمرات دانش‌آموزان کلاس چقدر است؟

جواب: فرمول میانگین زیر را داریم:

تعداد دانش‌آموزان ÷ مجموع کل نمرات = میانگین

اولین قدم برای یافتن میانگین با هم جمع کردن تمام نمرات است. بنابراین، خواهیم داشت:

(80 × 10) + (95 × 5) + (62 × 3) + (77 × 2) + (50 × 6) + (91 × 3) + 100 = جمع همه نمرات

این مرحله کمی پیچیده‌تر از مثال قبلی است، زیرا ضرب در آن وجود دارد. ساده‌ترین راه برای به دست آوردن مجموع این است که قبل از انجام هر یک از جمع‌ها ابتدا پرانتزها را حل کنیم.

800 = 80 × 10

475 = 95 × 5

186 = 62 × 3

154 = 77 × 2

300 = 50 × 6

273 = 91 × ​​3

100 = 100 × 1

اکنون همه پرانتزها ما حل شده‌اند، بنابراین می توانیم این اعداد را در جمع خود قرار داده و جمع را انجام دهیم.

2288 = 800 + 475 + 186 + 154 + 300 + 273 + 100 = جمع کل نمرات

در کلاس  30 دانش آموز وجود دارد. بنابراین، تعداد نمرات ۳۰ است. در نتیجه، میانگین نمرات کلاس به‌شکل زیر محاسبه می‌شود:

30 ÷ 2288 = میانگین

اکنون، تنها کاری که ما باید انجام دهیم تا میانگین نمره آزمون کلاس ب را انجام دهیم، تقسیم 2288 بر 30 است. این عدد بزرگ است، بنابراین، هم می‌توانیم به‌صورت دستی و هم با یک ماشین‌حساب آن را محاسبه کنیم:

76٫2 = 30 ÷ 2288 = میانگین نمرات کلاس

بنابراین، میانگین نمره آزمون کلاس ب 76٫2 از 100 است.

دقت کنید که یکی از راه‌های بررسی درستن بودن محاسبه میانگین، این است که جوابتان منطقی باشد. برای مثال، اگر در این مثال، برای میانگین عدد ۵۴ را به‌دست می‌آوردیم، با توجه به محدوده نمرات و تعداد آن‌ها در آن محدوده، کمی غیرمنطقی به‌ نظر می‌رسید.

مثال سوم میانگین

یک تیم فوتبال در ۸ بازی آخر خود به ترتیب ۵ و ۲ و ۳ و ۰ و ۴ و ۲ و ۲ و ۴ کل زده است. این تیم در بازی بعدی چند گل بزند تا میانگین گل‌های زده‌اش در ۹ بازی ۳ شود؟

مثال میانگین

جواب: میانگین برابر با ۳ و تعداد کل بازی‌ها ۹ است. بنابراین، می‌توانیم با استفاده از فرمول میانگین تعداد همه گل‌ها در ۹ بازی را محاسبه کنیم.

تعداد بازی‌ها ÷ تعداد کل گل‌ها = میانگین

یعنی، داریم:

۹ ÷ تعداد کل گل‌ها = ۳

بنابراین، تعداد کل گل‌ها به‌شکل زیر به‌دست می‌آید:

 ۲۷ = ۹ × ۳ = تعداد کل گل‌ها

اما برای محاسبه تعداد گل‌های بازی نهم، باید تعداد گل‌های ۸ بازی قبلی را به‌دست آوریم:

۲۲ = ۴ + ۲ + ۲ + ۴ + ۰ + ۳ + ۲ + ۵ = تعداد گل‌های ۸ بازی قبلی

بنابراین، تعداد گل‌های بازی نهم به‌شکل زیر محاسبه می‌شود:

تعداد گل‌های ۸ بازی قبلی - تعداد کل گل‌ها = تعداد گل‌های بازی نهم

۵ = ۲۲ - ۲۷ = تعداد گل‌های بازی نهم

بنابراین، در بازی بعدی، تیم باید ۵ گل بزند تا میانگین گل‌های زده‌اش در ۹ بازی برابر با ۳ شود.

مثال چهارم میانگین

میانگین اعداد زیر را به‌دست آورید.

۵۰ ۶۸٬ ۷۵٬ ۴۲٬ ۳۶٬ ۲۹٬

جواب: ابتدا مجموع اعداد را محاسبه می‌کنیم:

۳۰۰ = ۲۹ + ۳۶ + ۴۲ + ۷۵ + ۶۸ + ۵۰

سپس، این مجموع را بر ۶ تقسیم می‌کنیم، زیرا ۶ عدد داریم:

۵۰ = ۶ ÷ ۳۰۰ = میانگین

فیلم آموزشی مرتبط

مثال پنجم میانگین

معدل دو ترم احمد و صدرا و ایمان در جدول زیر آورده شده است. با توجه به اعداد داده‌شده، اعداد مربوط به‌ خانه‌هایی را که علامت سؤال در آن‌ها قرار داده شده، به‌دست آورید.

ایمان صدرا احمد
۱۴ ۲۰ ۱۸ معدل نیم‌سال اول
۱۷ ۱۷ ۱۹ معدل نیم‌سال دوم
؟ ؟ ؟ میانگین معدل دو نیم‌سال

جواب: برای به‌دست آوردن جواب‌ها، کافی است میانگین معدل دو نیم‌سال را برای هریک از دانش‌آموزان حساب کنیم.

میانگین معدل دو نیم‌سال احمد:

۱۸٫۵ = ۲ ÷ ۳۷ = ۲ ÷ (۱۹ + ۱۸) = میانگین

میانگین معدل دو نیم‌سال صدرا:

۱۸٫۵ = ۲ ÷ ۳۷ = ۲ ÷ (۱۷ + ۲۰) = میانگین

میانگین معدل دو نیم‌سال ایمان:

۱۵٫۵ = ۲ ÷ ۳۱ = ۲ ÷ (۱۷ + ۱۴) = میانگین

مجموع معدل‌ها را بر ۲ تقسیم کرده‌ایم، زیرا از ۲ عدد میانگین می‌گیریم.

بنابراین، جدول زیر را خواهیم داشت.

ایمان صدرا احمد
۱۴ ۲۰ ۱۸ معدل نیم‌سال اول
۱۷ ۱۷ ۱۹ معدل نیم‌سال دوم
۱۵٫۵ ۱۸٫۵ ۱۸٫۵ میانگین معدل دو نیم‌سال

مثال ششم میانگین

میانگین دو عدد $$12$$ و $$3\frac 2 5 $$ را به‌دست آورید و آن را به‌صورت عدد مخلوط بنویسید.

جواب: با توجه به اینکه ۲ عدد داریم، باید مجموع این دو را بر ۲ تقسیم کنیم. همان‌طور که در آموزش «جمع اعداد مخلوط — به زبان ساده + حل تمرین و مثال» دیدیم، این دو عدد را می‌توان به شکل زیر با هم جمع کرد:

$$ 12 + 3 \frac 25 = 15\frac 25= \frac {15\times 5 }{5}+\frac 25 = \frac {75+2}{5}= \frac {77} 5 $$

اکنون که مجموع را به‌دست آورده‌ایم، باید آن را بر ۲ تقسیم کنیم. مطابق آنچه در آموزش «تقسیم کسرها — به زبان ساده + حل تمرین و مثال» یاد گرفتیم، تقسیم به‌شکل زیر انجام می‌شود:

$$ \frac {77} 5 \div 2 = \frac {77} 5\div \frac 21 = \frac { 77 } 5 \times \frac 12 = \frac {77 } { 10 } $$

بنابراین، میانگین برابر با $$ \frac { 77 } { 10} $$ است.

برای تبدیل این کسر به عدد مخلوط، با توجه به آنچه در آموزش «تبدیل عدد مخلوط به کسر — به زبان ساده + حل تمرین و مثال» آموختیم، خواهیم داشت:

$$ \frac {77 } { 10 } = \frac {70+7}{10} = \frac {70}{10}+ \frac 7 { 10 } = 7 + \frac 7 { 10 } = 7 \frac 7 {10} $$

مثال هفتم میانگین

معدل سه عدد ۱۷٫۵ است. مجموع این سه عدد را محاسبه کنید.

جواب: فرمول زیر را درباره میانگین می‌دانیم:

۳ ÷ مجموع سه عدد = میانگین

با ضرب دو طرف در ۳، به فرمول معادل زیر می‌رسیم:

میانگین × ۳ = مجموع سه عدد

بنابراین، مجموع سه عدد برابر خواهد بود با

۵۲٫۵ = ۱۷٫۵ × ۳ = مجموع سه عدد

مثال هشتم میانگین

میانگین آب درون ۴ عدد بطری برابر با ۱٫۵ لیتر است. مجموع آب این بطری‌ها چقدر است؟

محاسبه میانگین

جواب: مانند مثال‌های قبل، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

میانگین آب هر بطری × ۴ = مجموع آب بطری‌ها

بنابراین، داریم:‌

۶ = ۱٫۵ × ۴ = مجموع آب بطری‌ها

مثال نهم میانگین

میانگین اعداد ۲ و ۳ و ۵ و a برابر با ۴ است. مقدار a را محاسبه کنید.

جواب: مجموع اعداد برابر است با

میانگین اعداد × تعداد اعداد = مجموع اعداد

۱۶ = ۴ × ۴ = مجموع اعداد

بنابراین، خواهیم داشت:

a + ۵ + ۳ + ۲ = ۱۶

a + ۱۰ = ۱۶

بنابراین:

۶ = a = ۱۶ - ۱۰

فیلم آموزشی مرتبط

مثال دهم میانگین

اگر میانگین ۱۲ داده برابر با ۱۰ و میانگین n داده دیگر ۱۵ باشد و میانگین کل داده‌ها ۱۳، آنگاه مقدار n را محاسبه کنید.

جواب: تعداد کل داده‌ها برابر با ۱۲ + n است و میانگین کل داده‌ها برابر با ۱۳. بنابراین، مجموع مقدار داده‌ها برابر خواهد بود با

تعداد کل داده‌ها × میانگین همه داده‌ها = مجموع مقادیر داده‌ها

بنابراین، داریم:

(۱۲ + n) × ۱۳ = مجموع مقادیر داده‌ها

از طرفی، مجموع مقادیر داده‌های دسته اول برابر است با

۱۲۰ = ۱۰ × ۱۲ = مجموع مقادیر داده‌های دسته اول

مجموع مقادیر داده‌های دسته دوم نیز به‌شکل زیر محاسبه می‌شود:

۱۵ × n = مجموع مقادیر داده‌های دسته دوم

مجموع مقادیر داده‌های دسته اول و دوم برابر با مجموع کل داده‌هاست که در ابتدا محاسبه کردیم:

$$13 \times (n + 12) = 120 + n \times 15 $$

بنابراین، با حل این معادله می‌توان به‌راحتی $$ n $$ را محاسبه کرد:

$$ \begin {align} 13 n + 156 & = 120 + 15 n \\
156- 120 & = 15 n - 13 n \\
36 & = 2 n \\
\frac {36 } 2 & = \frac { 2 n } 2 \\
18 & = n
\end {align} $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۱۰ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

مشاهده بیشتر