در این مطلب قصد داریم تا مفهومی بسیار مهم در ریاضیات،‌ تحت عنوان «تصاعد حسابی» (Arithmetic Sequence) را توضیح دهیم. در ابتدا فرض کنید می‌خواهید حاصل ‌جمع اعداد ۱ تا ۱۰۰ را بدست آورید.

فیلم آموزش تصاعد حسابی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

دانلود ویدیو

به نظر شما اگر بخواهید این عمل را دستی -یا حتی با ماشین حساب- انجام دهید، چقدر وقت نیاز خواهید داشت؟ بدیهی است که عمل مذکور بسیار زمان‌بر خواهد بود؛‌ اما با استفاده از مفهوم تصاعد حسابی می‌توانید این کار را به آسانی و حتی به‌صورت ذهنی انجام دهید! در انتهای این مطلب به این سوال پاسخ خواهیم داد. جهت یادگیری تصاعد حسابی در ابتدا نیاز است تا با مفهومِ‌ دنباله آشنا باشید.

دنباله

یک دنباله به مجموعه‌ای از اشیاء (معمولا اعداد) اطلاق شده که در بیشترِ مواقع با نظم مشخصی بیان می‌شوند. در زیر نمونه‌ای از یک دنباله نشان داده شده است.

Arithmetic Sequence

به هرکدام از اعداد ارائه شده در بالا، جمله -یا تِرم- گفته می‌شود. برای نمونه دنباله فیبوناچی به مجموعه‌ای از اعداد اطلاق می‌شود که از ویژگی‌های شگفت‌انگیزی برخوردار است.

تصاعد حسابی

تصاعد حسابی، دنباله‌ای است که فاصله بین اعداد آن، مقداری ثابت است. برای ساختن دنباله‌ای حسابی، در ابتدا عددی در نظر گرفته و عدد مشخصی را به آن اضافه کنید. برای نمونه اگر عدد اولیه برابر با ۱ و مقدار ثابت اضافه شده، برابر با ۳ باشد، تصاعد حسابی مرتبط با آن به‌صورت زیر در خواهد آمد.

Arithmetic-Sequence

همان‌طور که در دنباله بالا نیز می‌بینید هرکدام از جملات به اندازه‌ی ۳ افزایش یافته.

Arithmetic-Sequence

بنابراین یک تصاعد حسابی را می‌توان به شکلی عمومی، به‌صورت زیر بیان کرد:

Arithmetic-Sequence

اجزاء رابطه بالا برابرند با:

  • a: جمله‌ی اول تصاعد
  • d: اختلاف میان دو جمله‌ی متوالیِ تصاعد که معمولا آن را تحت عنوان قدرِ نسبت می‌شناسند.

مثال ۱

ثابت‌های a و d را در دنباله‌ی زیر مشخص کنید.

Arithmetic-Sequence

جمله‌ی اول دنباله بالا برابر با ۱ بوده که همان a محسوب می‌شود. از طرفی فاصله هر دو جمله از دنباله فوق برابر با ۳ بوده که نشان دهنده d=3 است. در زیر الگوی جملات دنباله مفروض نشان داده شده است.

Arithmetic-Sequence

فرمول عمومی دنباله حسابی

یک دنباله حسابی را می‌توان در قالب فرمول زیر بیان کرد:

Arithmetic-Sequence
رابطه ۱

در رابطه فوق a و d به‌ترتیب نشان دهنده جمله اول و قدرنسبت هستند. هم‌چنین عدد n نشان دهنده شماره جمله است. توجه داشته باشید که دلیل استفاده از n-1 این است که در جمله اول از قدرنسبت استفاده نمی‌شود.

مثال ۲

رابطه عمومی دنباله زیر را به‌دست آورده و جمله نهم را نیز محاسبه کنید.

Arithmetic-Sequence

مطابق با شکل زیر، اختلاف هر دو جمله از سری بالا برابر با ۵ است.

Arithmetic-Sequence

در حقیقت قدر نسبت دنباله فوق برابر با ۵ و جمله اول آن نیز ۳ است. از این رو با استفاده از رابطه ۱ و جایگذاری a و d در آن، رابطه عمومی دنباله فوق به‌صورت زیر بدست می‌آید.

Arithmetic-Sequence

با استفاده از رابطه فوق، جمله‌ی نهم برابر با عدد زیر بدست می‌آید.

Arithmetic-Sequence

حاصل جمع جملات

یکی از کاربرد‌های مهم تصاعد حسابی، محاسبه حاصل جمع اعدادی است که شاید محاسبه دستی آن‌ها زمان‌گیر و سخت باشند. در ابتدا دنباله‌‌ای حسابی را به‌صورت زیر در نظر بگیرید.

Arithmetic-Sequence

حاصل جمع جملات اول تا nام را می‌توان با استفاده از رابطه زیر بدست آورد.

رابطه ۲

علامت $$\sum$$ در رابطه بالا نشان دهنده حاصل جمع است. استفاده از این نماد مطابق با الگوی زیر است.

تصاعد حسابی

رابطه بالا به‌صورت “حاصل جمع n، زمانی که n از ۱ تا ۴ تغییر کند”، خوانده می‌شود.

مثال ۳

حاصل جمع ۱۰ جمله‌ی اول دنباله زیر را بیابید.

Arithmetic-Sequence

مقادیر d ،a و n برابرند با:

  • a=1
  • d=3
  • n=10

با جایگذاری مقادیر فوق در رابطه ۲ حاصل جمع ۱۰ جمله اول برابر است با:

Arithmetic-Sequence

حال قصد داریم تا چالشی را پاسخ دهیم که در ابتدای این مطلب ذکر شد. فرض کنید می‌خواهید حاصل جمع اعداد ۱ تا ۱۰۰ را بدست آورید. برای انجام این کار دنباله‌ای را ‌به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

Arithmetic-Sequence

در دنباله فوق a=1 و d نیز برابر با ۱ است. جهت بدست آوردن حاصل جمع ۱۰۰ جمله‌ی اول، n=100 را در رابطه ۲ قرار داده و حاصل جمع را همان‌گونه که در زیر نشان داده شده بدست می‌آوریم.

Arithmetic-Sequence

اثبات فرمول محاسبه حاصل جمع

شاید این سوال در ذهن شما مطرح شده باشد که چرا رابطه ۲ درست کار می‌کند؟ جهت اثبات رابطه مذکور، جملات دنباله را در دو حالتِ زیر می‌نویسیم:

Arithmetic-Sequenceاین جملات را می‌توان از آخر به ابتدا نیز نوشت:

Arithmetic-Sequence

حال طرفین دو رابطه بالا را به‌صورت زیر جمع می‌زنیم.

Arithmetic-Sequence

نکته جالب در حاصل جمع بدست آمده در بالا این است که تمامی مقادیرِ 2S با هم‌ برابر هستند. هم‌چنین تعداد این جملات نیز همان n است. در نتیجه حاصل 2S برابر است با:

Arithmetic-Sequence

با تقسیم کردن طرفین رابطه بالا به ۲، مقدار S برابر با عبارت زیر بدست می‌آید.

Arithmetic-Sequence

عبارت بالا نیز در حقیقت همان رابطه ۲ را نشان می‌دهد؛ در نتیجه رابطه مذکور صحیح است. نمونه‌ای دیگر از تصاعد تحت عنوان تصاعد هندسی نیز وجود دارد که در آن هر دو جمله متوالی ضریب ثابتی از یکدیگر هستند. در مطلبی به‌صورت مجزا این مفهوم را نیز تشریح خواهیم کرد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 128 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

11 نظر در “تصاعد حسابی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *