نیمساز چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

۵۰۲۵۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۴ مهر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳ دقیقه
نیمساز چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

نیم‌ساز، خطی است که زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می‌کند. به عنوان مثال، قطرهای مربع، زاویه‌های داخلی آن را به دو زاویه 45 درجه تقسیم می‌کنند. بنابراین، قطرهای مربع، نیمساز زوایای داخلی آن هستند. در این آموزش از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، به این پرسش پاسخ می‌دهیم که نیمساز چیست و چگونه باید آن را رسم کرد. همچنین، با قضیه نیمساز زاویه آشنا می‌شویم.

997696
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

انواع زاویه در هندسه

قبل از پاسخ به این پرسش که نیمساز چیست و چگونه می‌توان آن را رسم کرد، انواع مختلف زاویه در هندسه را مرور می‌کنیم.

بسته به شیب دو بازوی تشکیل دهنده یک زاویه، آن زاویه می‌تواند حاده (کمتر از 90 درجه، مانند زاویه 60 درجه)، منفرجه (بیش از 90 درجه) یا زاویه قائمه (دقیقاً 90 درجه) باشد.

انواع زاویه

تشکیل زاویه‌ها بخش مهمی از هندسه است، زیرا این دانش برای ساخت سایر شکل‌های هندسی و در درجه اول، مثلث، کاربرد دارد. تعدادی از زاویه‌ها را می‌توان به سادگی با تجزیه و تحلیل برخی از زاویه‌های مشترک ساخت.

برای آشنایی بیشتر با زاویه و میاحث مرتبط با آن، به مطلب «زاویه چیست؟ — تعریف، انواع و اندازه گیری (+ فیلم آموزش رایگان)» از مجله فرادرس مراجعه کنید.

نیمساز چیست ؟

اما نیمساز چیست ؟ نیمساز زاویه یا به اختصار «نیمساز» (Bisector) خطی است که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. هر زاویه یک نیمساز دارد. همچنین این خط (نیمساز) تقارن بین دو بازوی یک زاویه است که تشکیل آن ما را قادر می‌سازد تا زاویه‌های کوچک‌تر بسازیم. مثلاً اگر از ما بخواهند دو زاویه 30 درجه بسازیم، این کار را می‌توانیم با ایجاد یک زاویه 60 درجه انجام دهیم و سپس آن را با نیمساز دو نیم تقسیم کنیم. به همین ترتیب، زوایای 90 درجه، 45 درجه، 15 درجه و سایر زوایا با استفاده از این مفهوم ساخته شده‌اند.

روش رسم نیمساز چیست ؟

برای ساخت زاویه‌ها و نیمساز آن‌ها به خط‌کش و پرگار نیاز داریم.

فرض می‌کنیم زاویه PQR\angle PQR معلوم را داریم. مراحل تشکیل نیمساز این زاویه در ادامه توضیح داده شده است.

رسم نیمساز

مرحله 1: سوزن پرگار را روی QQ قرار دهید. پرگار را به اندازه دلخواه باز کنید. کمانی رسم کنید که دو بازوی زاویه را قطع کند.

رسم نیمساز

مرحله 2: از نقطه‌ای که کمان اول بازوی QPQP را قطع می‌کند، یک کمان دیگر به سمت داخل زاویه رسم کنید.

نیمساز

مرحله 3: بدون تغییر اندازه پایه‌های پرگار، مرحله 2 را از نقطه‌ای که کمان اول QRQR را قطع کرده تکرار کنید.

نیمساز زاویه

مرحله چهارم: با استفاده از خط‌کش، یک خط از QQ به نقطه تلاقی کمان‌ها رسم کنید.

نیمساز زاویه

خطی که از QQ ترسیم شده است، نیمساز زاویه PQR\angle PQR را نشان می‌دهد.

نکته: اگر نیمساز زاویه یک پاره‌خط را به دو زاویه 90 درجه تقسیم کند، به عنوان نیمساز عمود بر آن خط شناخته می‌شود.

برای آشنایی بیشتر با رسم نیمساز، به مطلب «رسم نیمساز — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» را ببینید.

قضیه نیمساز زاویه

قضیه نیمساز زاویه مربوط به اضلاع متناظر با دو پاره‌خطی از یک ضلع مثلث است که توسط خط نیمساز زاویه مقابل به دو بخش تقسیم می‌شود.

قضیه نیمساز زاویه

مثلث ABCABC‌ را در نظر بگیرید. نیمساز زاویه BAC\angle BAC ضلع BCBC را در نقطه DD قطع کرده و به دو قسمت تقسیم می‌کند. طبق قضیه نیمساز زاویه، نسبت اندازه پاره‌خط BDBD به DCDC برابر است با نسبت طول ضلع ABAB به ACAC .

BDDC=ABAC \large \frac{\left | BD \right |}{\left | DC \right |}=\frac{\left | AB \right |}{\left | AC \right |}

برای آشنایی بیشتر با قضیه نیمساز، به مطلب «قضیه نیمساز زاویه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)» از مجله فرادرس مراجعه کنید.

مثال های نیمساز زاویه

در این بخش چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال اول نیمساز زاویه

در شکل زیر، BDBD نیمساز زاویه ABC \angle ABC است. زاویه ABC \angle ABC را پیدا کنید.

نیمساز زاویه

حل: در شکل بالا، BDBD نیمساز زاویه است. بنابراین، زاویه‌های CBD\angle CBD و ABD\angle ABD برابر هستند:

CBD=ABD\large \angle CBD =\angle ABD

بنابراین، داریم:

CBD=65\large \angle CBD =65^\circ

در نتیجه، زاویه مورد نظر برابر است با:

ABC=ABD+CBD=65+65=130\large \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD =65^\circ +65^\circ = 130 ^ \circ

مثال دوم نیمساز زاویه

نیمساز A \angle A در مثلث ΔABC \Delta ABC در نقطه DD‌ضلع BCBC را قطع می‌کند. اگر AB>ACAB > AC، ثابت کنید ADC\angle ADC حاده است.

نیمساز چیست

حل: از آنجا که AB>ACAB> AC است، نامساوی C>B \angle C > \angle B را داریم (زاویه مقابل ضلع بزرگ‌تر، بزرگ‌تر است). اکنون از قضیه زاویه خارجی استفاده می‌کنیم. داریم:

ADB=12A+CADC=12A+B \large \begin {align*} \angle ADB &= \frac{1}{2}\angle A + \angle C \\ \angle ADC & = \frac{1}{2}\angle A + \angle B \end {align*}

 واضح است که ADB>ADC\angle ADB > \angle ADC . اما از آنجا که این دو زاویه مکمل هستند، ADB\angle ADB باید منفرجه و ADC\angle ADC باید حاده باشد. بنابراین، اثبات کامل می‌شود.

مثال سوم نیمساز زاویه

در شکل زیر، CDCD نیمساز زاویه CC است. اندازه x x را به دست آورید.

نیمساز

حل: طبق قضیه نیمساز زاویه، داریم:

ADAC=DBBC \large \frac {AD} {AC} = \frac {DB}{BC}

بنابراین، می‌توان نوشت:

1218=x2418x=12×24=288x=28818=16 \large \frac {12} {18} = \frac {x}{24}\Rightarrow 18 x = 12\times 24=288 \Rightarrow x = \frac {288}{18} = 16

در نتیجه، x=16 x = 16 است.

فیلم‌ های آموزش نیمساز چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی رسم نیمساز

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی قضیه نیمساز زاویه

دانلود ویدیو

مطلبی که در بالا مطالعه کردید بخشی از مجموعه مطالب «زاویه ها و انواع آن ها – هر آنجه باید بدانید» است. در ادامه، می‌توانید فهرست این مطالب را ببینید:

بر اساس رای ۳۳ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
۴ دیدگاه برای «نیمساز چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)»

من موندم نیم ساز چند درجه هستش ولی عالی بود

سپاس مفید بود…

ممنون مفید بود

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *