در این آموزش از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، به این پرسش پاسخ می‌دهیم که نیمساز چیست و چگونه باید آن را رسم کرد. همچنین، با قضیه نیمساز زاویه آشنا می‌شویم.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

انواع زاویه در هندسه

قبل از پاسخ به این پرسش که نیمساز چیست و چگونه می‌توان آن را رسم کرد، انواع مختلف زاویه در هندسه را مرور می‌کنیم. بسته به شیب دو بازوی تشکیل دهنده یک زاویه، آن زاویه می‌تواند حاده (کمتر از 90 درجه، مانند زاویه 60 درجه)، منفرجه (بیش از 90 درجه) یا زاویه قائمه (دقیقاً 90 درجه) باشد.

انواع زاویه

تشکیل زاویه‌ها بخش مهمی از هندسه است، زیرا این دانش برای ساخت سایر شکل‌های هندسی و در درجه اول، مثلث، کاربرد دارد. تعدادی از زاویه‌ها را می‌توان به سادگی با تجزیه و تحلیل برخی از زاویه‌های مشترک ساخت.

برای آشنایی بیشتر با زاویه و میاحث مرتبط با آن، به مطلب «زاویه چیست؟ — تعریف، انواع و اندازه گیری (+ فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

نیمساز چیست ؟

اما نیمساز چیست ؟ نیمساز زاویه یا به اختصار «نیمساز» (Bisector) خطی است که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. هر زاویه یک نیمساز دارد. همچنین این خط (نیمساز) تقارن بین دو بازوی یک زاویه است که تشکیل آن ما را قادر می‌سازد تا زاویه‌های کوچک‌تر بسازیم. مثلاً اگر از ما بخواهند دو زاویه 30 درجه بسازیم، این کار را می‌توانیم با ایجاد یک زاویه 60 درجه انجام دهیم و سپس آن را با نیمساز دو نیم تقسیم کنیم. به همین ترتیب، زوایای 90 درجه، 45 درجه، 15 درجه و سایر زوایا با استفاده از این مفهوم ساخته شده‌اند.

برای آشنایی بیشتر با مباحت هندسه و ریاضیات، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

روش رسم نیمساز چیست ؟

برای ساخت زاویه‌ها و نیمساز آن‌ها به خط‌کش و پرگار نیاز داریم. فرض می‌کنیم زاویه $$\angle PQR$$ معلوم را داریم. مراحل تشکیل نیمساز این زاویه در ادامه توضیح داده شده است.

رسم نیمساز

مرحله 1: سوزن پرگار را روی $$Q$$ قرار دهید. پرگار را به اندازه دلخواه باز کنید. کمانی رسم کنید که دو بازوی زاویه را قطع کند.

رسم نیمساز

مرحله 2: از نقطه‌ای که کمان اول بازوی $$QP$$ را قطع می‌کند، یک کمان دیگر به سمت داخل زاویه رسم کنید.

نیمساز

مرحله 3: بدون تغییر اندازه پایه‌های پرگار، مرحله 2 را از نقطه‌ای که کمان اول $$QR$$ را قطع کرده تکرار کنید.

نیمساز زاویه

مرحله چهارم: با استفاده از خط‌کش، یک خط از $$Q$$ به نقطه تلاقی کمان‌ها رسم کنید.

نیمساز زاویه

فیلم‌های آموزشی مرتبط

خطی که از $$Q$$ ترسیم شده است، نیمساز زاویه $$\angle PQR$$ را نشان می‌دهد.

نکته: اگر نیمساز زاویه یک پاره‌خط را به دو زاویه 90 درجه تقسیم کند، به عنوان نیمساز عمود بر آن خط شناخته می‌شود.

برای آشنایی بیشتر با رسم نیمساز، به مطلب «رسم نیمساز — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» را ببینید.

قضیه نیمساز زاویه

قضیه نیمساز زاویه مربوط به اضلاع متناظر با دو پاره‌خطی از یک ضلع مثلث است که توسط خط نیمساز زاویه مقابل به دو بخش تقسیم می‌شود.

قضیه نیمساز زاویه

مثلث $$ABC$$‌ را در نظر بگیرید. نیمساز زاویه $$\angle BAC$$ ضلع $$BC$$ را در نقطه $$D$$ قطع کرده و به دو قسمت تقسیم می‌کند. طبق قضیه نیمساز زاویه، نسبت اندازه پاره‌خط $$BD$$ به $$DC$$ برابر است با نسبت طول ضلع $$AB$$ به $$AC $$.

$$ \large \frac{\left | BD \right |}{\left | DC \right |}=\frac{\left | AB \right |}{\left | AC \right |} $$

برای آشنایی بیشتر با قضیه نیمساز، به مطلب «قضیه نیمساز زاویه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)» مراجعه کنید.

مثال های نیمساز زاویه

در این بخش چند مثال را بررسی می‌کنیم.

مثال اول نیمساز زاویه

در شکل زیر، $$BD$$ نیمساز زاویه $$ \angle ABC$$ است. زاویه $$ \angle ABC$$ را پیدا کنید.

نیمساز زاویه

حل: در شکل بالا، $$BD$$ نیمساز زاویه است. بنابراین، زاویه‌های $$\angle CBD $$ و $$\angle ABD $$ برابر هستند:

$$\large \angle CBD =\angle ABD $$

بنابراین، داریم:

$$\large \angle CBD =65^\circ $$

در نتیجه، زاویه مورد نظر برابر است با:

$$\large \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD =65^\circ +65^\circ = 130 ^ \circ $$

مثال دوم نیمساز زاویه

نیمساز $$ \angle A $$ در مثلث $$ \Delta ABC $$ در نقطه $$D$$‌ضلع $$BC $$ را قطع می‌کند. اگر $$AB > AC$$، ثابت کنید $$\angle ADC $$ حاده است.

نیمساز چیست

حل: از آنجا که $$AB> AC$$ است، نامساوی $$ \angle C > \angle B $$ را داریم (زاویه مقابل ضلع بزرگ‌تر، بزرگ‌تر است). اکنون از قضیه زاویه خارجی استفاده می‌کنیم. داریم:

$$ \large \begin {align*} \angle ADB &= \frac{1}{2}\angle A + \angle C \\
\angle ADC & = \frac{1}{2}\angle A + \angle B \end {align*} $$

 واضح است که $$\angle ADB > \angle ADC $$. اما از آنجا که این دو زاویه مکمل هستند، $$\angle ADB $$ باید منفرجه و $$\angle ADC $$ باید حاده باشد. بنابراین، اثبات کامل می‌شود.

مثال سوم نیمساز زاویه

در شکل زیر، $$CD$$ نیمساز زاویه $$C$$ است. اندازه $$ x $$ را به دست آورید.

نیمساز

حل: طبق قضیه نیمساز زاویه، داریم:

$$ \large \frac {AD} {AC} = \frac {DB}{BC} $$

بنابراین، می‌توان نوشت:

$$ \large \frac {12} {18} = \frac {x}{24}\Rightarrow 18 x = 12\times 24=288 \Rightarrow x = \frac {288}{18} = 16 $$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

در نتیجه، $$ x = 16 $$ است.

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

برای آشنایی بیشتر با مباحث زاویه در هندسه، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این آموزش ویدیویی که مدت زمان آن ۴ ساعت و ۳ دقیقه است، در چهار درس تهیه شده است.

در درس اول این آموزش، موضوعات ترسیم‌های هندسی و استدلال بیان شده‌اند. مباحث درس دوم، به قضیه تالس و تشابه مثلث‌ها و کاربردهای آن‌ها اختصاص یافته است. در درس سوم، مباحث مربوط به چندضلعی‌ها و ویژگی‌هایی از آن‌ها و همچنین، مساحت و کاربردهای آن مورد بیان شده است. در نهایت، موضوع درس چهارم، تجسم فضایی است که خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر تجسمی را شامل می‌شود.

برای یادگیری اشکال مختلف هندسی و محاسبه محیط، مساحت و حجم آن‌ها، توصیه می‌کنیم آموزش‌های مجله فرادرس را که در این زمینه تهیه شده‌اند، مطالعه کنید:

فیلم‌ های آموزش نیمساز چیست ؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

فیلم آموزشی رسم نیمساز

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی قضیه نیمساز زاویه

دانلود ویدیو

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

بر اساس رای 13 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

3 نظر در “نیمساز چیست ؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *