ریاضی، علوم پایه ۱۱۳۲۲۸ بازدید

در این مطلب نحوه محاسبه فاصله بین دو نقطه به صورت دقیق مورد بررسی قرار می‌گیرد. در واقع سوال اصلی که در این مطلب به دنبال پاسخ آن هستیم این است که اگر مختصات دو نقطه A و B را داشته باشیم، فاصله بین آن‌ها چگونه محاسبه می‌شود. این موضوع در شکل زیر نشان داده شده است.

فیلم آموزشی فاصله بین دو نقطه

دانلود ویدیو
فاصله بین دو نقطه
شکل ۱

همانطور که در شکل زیر نشان داده شده، ما می‌توانیم خطوطی را بین نقاط A و B طوری رسم کنیم که یک مثلث قائم الزاویه شکل بگیرد.

فاصله بین دو نقطه
شکل ۲

با توجه به شکل بالا می‌توان رابطه فیثاغورس را بین سه ضلع مثلث نوشت. این رابطه به شکل زیر بیان می‌شود و ارتباطی را بین سه ضلع مثلث قائم الزاویه ایجاد می‌کند.

رابطه فیثاغورس

بنابراین با توجه به رابطه بالا، ایده اصلی یافتن فاصله بین دو نقطه یعنی فاصله c را متوجه شدیم. این ایده همان قضیه فیثاغورس است که در مثلثات و ریاضیات به صورت کامل مورد بررسی قرار گرفته است. همانطور که اشاره شد، برای یافتن فاصله بین دو نقطه نیاز به دانستن مختصات آن دو نقطه است. بنابراین در ادامه مختصات نقاط A و B را به شکل زیر مشخص می‌کنیم.

فاصله بین دو نقطه
شکل ۳

در شکل بالا، مختصات x نقطه A، با نماد xA و مختصات y آن نقطه با نماد yA نمایش داده شده است. همچنین مختصات نقطه B در راستای x و y به ترتیب با نماد xB و yB مشخص می‌شوند. توجه کنید که این نام گذاری یک نام گذاری رایج است و در اکثر مسائل ریاضی و هندسه از همین مدل نام‌گذاری برای نمایش مختصات نقاط مختلف استفاده می‌شود.

بنابراین با توجه به شکل بالا و توضیحاتی که داده شد، می‌توان نتیجه گرفت که فاصله a و b در شکل ۲ با استفاده از دو رابطه زیر محاسبه می‌شوند.

$$ a = (x _ A – x _ B) $$

$$ b = (y _ A – y _ B) $$

دقت کنید که a فاصله افقی را نشان می‌دهد و با استفاده از مختصات در راستای x قابل محاسبه است و b نیز فاصله عمودی را نشان می‌دهد و با استفاده از مختصات در راستای y به دست می‌آید.

در ادامه به محاسبه فاصله c که در شکل 2 نشان داده شده با استفاده از مختصات نقاط A و B می‌پردازیم. توجه کنید که فاصله c همان فاصله بین دو نقطه را نمایش می‌دهد و برابر با طول پاره خطی است که دو نقطه A و B دو سمت این پاره خط هستند. بنابراین در ابتدا رابطه فیثاغورس را به شکل زیر دوباره بیان می‌کنیم.

رابطه فیثاغورس

فیلم‌های آموزشی مرتبط

در قدم بعدی، مقادیر a و b که در قسمت قبل محاسبه شد را در رابطه بالا قرار می‌دهیم. بنابراین رابطه فوق به شکل زیر در می‌آید.

در ادامه برای به دست آوردن فاصله بین دو نقطه A و B که با نماد c نشان داده شده، کافی است که از طرفین رابطه بالا جذر بگیریم. بنابراین داریم:

رابطه بالا به صورت کلی برای محاسبه فاصله بین دو نقطه با مختصات معلوم، استفاده می‌شود. در ادامه به کمک چند مثال، کاربرد رابطه بالا را برای حل مسائل مختلف مورد ارزیابی قرار می‌دهیم.

مثال 1

فاصله بین نقاط A و B در شکل زیر را بیابید.

فاصله بین دو نقطه
شکل ۴

توجه کنید که در این مثال قرار است فاصله بین دو نقطه A و B محاسبه شود و این طول برابر با طول پاره خط AB نیز در نظر گرفته می‌شود. در بخش قبل بیان شد که فاصله بین دو نقطه دلخواه A و B با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است.

فاصله بین دو نقطه

با جایگذاری مقادیر موجود در شکل بالا (مختصات نقاط A و B)، فاصله بین دو نقطه A و B به شکل زیر به دست می‌آید.

نکته بسیار مهمی که باید به آن توجه کرد این است که در محاسبه فاصله بین دو نقطه، اهمیتی ندارد که کدام نقطه را اول بنویسیم. در واقع در رابطه فوق $$x _A – x _ B$$ و $$x _B – x _ A$$ با یکدیگر تفاوتی ندارند. دلیل این موضوع این است که توان ۲ موجود در رابطه فاصله بین دو نقطه، علامت منفی را از بین می‌برد. برای اثبات این موضوع، به روابط زیر توجه کنید.

مثال 2

در این قسمت مثالی را برای مختصات منفی مورد بررسی قرار می‌دهیم. بر این اساس، فاصله بین دو نقطه نشان داده شده در شکل زیر را بیابید.

فاصله بین دو نقطه
شکل ۵

همانطور که بیان شد، فاصله بین دو نقطه، طول پاره خط بین آن دو نقطه را نشان می‌دهد. بنابراین خطی بین این دو نقطه رسم می‌کنیم. طول این خط با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود.

فاصله بین دو نقطه

با جایگذاری مقادیر مختصات دو نقطه در رابطه بالا، فاصله بین دو نقطه موجود در این مثال، به شکل زیر محاسبه می‌شود.

فاصله بین دو نقطه در حالت سه بعدی

توضیحاتی که در بالا برای محاسبه فاصله بین دو نقطه ارائه شد، برای حالتی که سه بعد وجود دارد نیز قابل استفاده است و رابطه آن به شکل زیر بیان می‌شود.

فاصله بین دو نقطه

رابطه بالا نشان می‌دهد که برای محاسبه فاصله بین دو نقطه کافی است که اختلاف بین هرکدام از مولفه‌های دو نقطه را محاسبه کنیم. سپس مربع این اختلاف‌ها را با یکدیگر جمع کنیم و جذر آن را به دست آوریم. این مقدار نهایی برابر با فاصله بین دو نقطه A و B است و این فاصله، برابر با طول پاره خطی است که دو نقطه A و B، دو سمت آن هستند.

فیلم‌های آموزشی مرتبط

مثال 3

فاصله بین دو نقطه که در شکل زیر نشان داده شده را به دست آورید.

فاصله بین دو نقطه
شکل ۶

فاصله بین دو نقطه A و B که در شکل نشان فوق داده شده‌اند برابر با طول پاره خط بین آن دو است و رابطه آن به شکل زیر در نظر گرفته می‌شود.

فاصله بین دو نقطه

در ادامه، مختصات دو نقطه را در رابطه فوق که برای هندسه سه بعدی بیان شده، قرار می‌دهیم. بنابراین داریم:

این مقدار به صورت تقریبی برابر با 5.9 است.

در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۴۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

6 نظر در “فاصله بین دو نقطه — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

  • سلام
    لطفا درباره کوتاه ترین فاصله زمانی بین دو نقطه طی شده تحت اثر گرانش آموزشی تهیه نمایید.
    با تشکر وسپاس

  • درباره قدر مطلق ها به مشکل میخورم نمیدونم چطور میشه که بعد قدر نطلق برابر میشن منظور این که از کجا دقیقا اومدن و چرا مجزا برای مساحت هر ذوذنقه نذاشته و برای کلش یکجا گذاشته؟

  • تو پیدا کردن مساحت مثلث روی محور مختصات دوتا تکنیک داریم که یکیش به کمک خط و طول نقطه از خط که میشه همون ارتفاع مثلث هست استفاده میکنیم حالا یک فرمول دیگه داریم که با مختصات سه نقطه مساحت رو پیدا میکنه لینک فرمول
    http://mathplus-mds.ir/wp-content/uploads/2017/10/image-1.jpg
    حالا سئوال من اینه گه ترتیب نقاط A و B و C روی مثلث مهمه یا هرجایی که خواستیم رو میتونیم A یا B یا C بگیریم و به همون مساحت می‌رسیم؟ یا باید بر اساس قرار داد و ترتیببی که اثباتش کردیم حتما اسم نقاط رو نام گذاری و وارد فرمول کنیم؟
    سئوال دوم من اینه که چون توان دو داشت اثبات شما در همین بالا خب طبیعتا باید قدر مطلق میگرفت ولی در فرجول مساحت مثلثی که من لینکشو گذاشتم قدر مطلق از کجا اومده خودمون دادیم؟ اگه ممکنه یه اثباتی و توضیحی هم درباره اون فرمول ارائه بدید متشکرم

    1. سلام.
      در پاسخ به پرسش اول، باید گفت که رئوس را با هر ترتیبی می‌توانید انتخاب کنید، اما باید دقت داشته باشید که فرمول مربوطه نیز تغییر خواهد کرد و ترتیب مختصات در فرمول را باید با توجه به ترتیب جدید نقاط تغییر دهید.
      برای پرسش دوم نیز دقت کنید که فاصله بین دو نقطه و همچنین مساحت یک مثلث همواره عددی مثبت است. با توجه به این موضوع، از قدر مطلق استفاده نشده است.
      از اینکه با مجله فرادرس همراه هستید، سپاسگزازیم.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

مشاهده بیشتر