دایره مثلثاتی — به زبان ساده

دایره مثلثاتی، به دایره‌ای به شعاع واحد گفته می‌شود. با استفاده از این دایره‌ی ساده می‌توان نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس و تانژانت) را به سادگی بدست آورد. هم‌چنین با استفاده از مفهوم دایره‌ی مثلثاتی می‌توان طول‌ها و زوایا را در اشکال هندسی بدست آورد.

محاسبه سینوس، کسینوس و تانژانت

در ابتدا مطابق با شکل زیر دایره‌ای به قطر واحد را در نظر بگیرید.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی

اینجا کلیک کنید

با توجه به این که شعاع دایره برابر با ۱ است، می‌توان نسبت‌های مثلثاتی را به صورت مستقیم بدست آورد. فرض کنید می‌خواهیم نسبت‌های مثلثاتی را در زاویه‌ای خاص بدست آوریم. در این صورت نقطه‌ی روی دایره را در زاویه مذکور قرار داده و از آن به مرکزِ دایره خطی رسم می‌کنیم. بدیهی است که طول این خط برابر با ۱ است. در نتیجه ارتفاع نقطه تا محور افقی برابر با سینوس و طول افقی نقطه تا مرکزِ دایره، اندازه کسینوس زاویه‌ی مذکور را نشان می‌دهد. اگر در زاویه مذکور خطی به دایره مماس شود، طول آن نشان دهنده اندازه تانژانت زاویه است.

در شکل زیر دایره مثلثاتی، اندازه سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه θ نشان داده شده‌اند.

در شکل فوق طولِ خط قرمز رنگ، نشان دهنده سینوس، طول خط زرد رنگ، نشان دهنده کسینوس و خط آبی رنگ،‌ برابر با اندازه تانژانت است. برای نمونه احتمالا می‌دانید که سینوس زاویه‌ی صفر درجه برابر با صفر است (sin 0=0). حال می‌خواهیم با استفاده از دایره‌ی مثلثاتی، همین عدد را بدست آوریم. زاویه صفر درجه به این معنی است که نقطه دقیقا روی محور افقی قرار داشته باشد.

همان‌گونه که در شکل فوق می‌بینید فاصله عمودی نقطه تا محور افقی (یا همان ارتفاع نقطه) برابر با صفر است. بنابراین sin 0=0 نتیجه می‌شود. از طرفی فاصله نقطه تا محور عمودی برابر با شعاع دایره است. بنابراین از شکل فوق نتیجه می‌شود:

$$\large sin (0) =0$$
$$\large cos (0) =1$$

مطابق با شکل زیر فرض کنید نقطه‌‌ای در زاویه ۶۰ درجه نسبت به محور افق قرار گرفته است. با توجه به طول‌های بدست آمده، اندازه سینوس و کسینوس زاویه ۶۰ درجه چند است؟

با توجه به تصویر فوق اندازه طول زرد رنگ برابر با $$1 \over 2$$ و اندازه طول قرمز رنگ برابر با ۰.۸۶۶ است (اگر اندازه‌گیری شود این عدد بدست خواهد آمد). بنابراین می‌توان گفت:

$$\large sin \enspace (60)=0.866$$
$$\large cos \enspace (60) =\frac{1}{2}$$

توجه داشته باشید که علامت مقادیر مثلثاتی با استفاده از قوانین کارتزینی قابل تعیین است. برای نمونه اگر نقطه‌‌ای در ربع سوم (پایین سمتِ چپ دایره) دایره قرار گیرد،‌ هر دو مقدار سینوس و کسینوس آن منفی خواهند بود (در ادامه تقسیم‌بندی ربع‌های دایره نشان داده شده).

فیثاغورس

همان‌گونه که قبلا نیز بیان شده، قانون فیثاغورس می‌گوید در یک مثلث قائم الزاویه، حاصل جمع مربع اضلاع برابر با مربع وتر خواهد بود.

فیلم آموزش هندسه پایه دهم – هندسه ۱

اینجا کلیک کنید

بنابراین در دایره مثلثاتی زیر نیز رابطه فیثاغورس به‌صورت ارائه شده، برقرار است.

اگر در رابطه فوق، مقادیر متناظرشان را قرار دهیم، خواهیم داشت:

زوایای مهم

در محاسبات مربوط به مثلثات، زوایای پرکاربردی وجود دارند که در مسائل بسیار تکرار می‌شوند.

فیلم آموزش حسابان ۱ – پایه یازدهم – مرور و حل تمرین

اینجا کلیک کنید

در جدول زیر این زوایا به همراه مقادیر مثلثاتی آن‌ها ارائه شده است.

به‌منظور به خاطر سپردن مقادیر بالا به ترتیب از ۱ تا ۳ شمرده و آن‌ها را زیر رادیکال قرار داده و به ۲ تقسیم کنید.

برای مقدار کسینوس به صورت عکس و از ۳ تا ۱ را بشمرید.

بنابراین تنها با دانستن سه عددِ $$ {1\over 2}, {\sqrt{2} \over 2},{\sqrt{3}\over 2}$$ مقدار مثلثاتی زوایا نیز معلوم می‌شوند. در شکل زیر مقادیر سینوس و کسینوس در زوایای مختلف روی دایره نشان داده شده است. البته در این مطلب روشی بسیار آسان جهت به‌خاطر سپردن مقادیر مثلثاتی ارائه شده که در صورت علاقه‌مندی می‌توانید به آن مراجعه کنید.

تانژانت

با توجه به مفاهیم پایه‌ای مثلثات، مقدار تانژانت برابر با حاصل تقسیم سینوس به کسینوس یک زاویه است. برای نمونه با استفاده از جدول فوق مقادیر سینوس و کسینوس در زاویه‌ی ۳۰ درجه معلوم هستند. بنابراین مقدار تانژانتِ ۳۰ درجه برابر است با:

تمامی دایره

همان‌طور که می‌دانید علامت مقادیر سینوس و کسینوس بعد از ۹۰ درجه متفاوت می‌شوند.

فیلم آموزش هندسه ۲ – پایه یازدهم رشته ریاضی و فیزیک

اینجا کلیک کنید

در حقیقت در هرکدام از ربع‌های دایره علامت سینوس و کسینوس تغییر می‌کنند. در شکل زیر علامت سینوس در سمت راست و علامت کسینوس در سمت چپ نشان داده شده است.

همان‌طور که می‌بینید در نیمه راست دایره مقادیر کسینوس مثبت هستند. هم‌چنین در نیمه‌ بالایی دایره مقادیر سینوس مثبت‌اند. عکس همین علامت‌ها نیز در نیمه دیگر رخ می‌دهد. در شکل زیر مقادیر سینوس و کسینوس در زوایای مختلف، روی شکل نشان داده شده است. پیشنهاد می‌کنیم به نحوه تکرار شدن اعداد و تغییر علامت آن‌ها در شکل ۱ دقت کنید.

مثال

مقدار $$\sin \frac{7\pi}{6}$$ را بیابید.

می‌توان زاویه $$\frac{7\pi}{6}$$ (یا همان ۲۱۰ درجه) را به‌صورت $$\pi +\frac{\pi}{6}$$ تصور کرد. بنابراین اگر از $$\frac{\pi}{6}$$ به اندازه‌ی π عبور کنیم به زاویه‌ی زیر خواهیم رسید.

در حقیقت در ربع سوم قرار گرفته‌ایم. بنابراین حاصل سینوس بایستی منفی باشد. همان‌طور که در شکل ۱ نیز مشاهده می‌شود،‌ مقدار سینوس در زاویه مذکور برابر است با:

$$\large \sin \frac{7\pi}{6}=\frac{-1}{2}$$

معرفی فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی

یکی از آموزش‌های ویدیویی دوره دبیرستان فرادرس، «آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی» است که به طور ویژه مربوط به دانش‌آموزان رشته علوم انسانی است. این آموزش ویدیویی در قالب چهار درس و در زمان ۶ ساعت و ۱۹ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم، معادله درجه دوم مورد بحث قرار گرفته که شامل مطالب اصلی درس، نکات مهم و مثال‌های حل شده است. در درس دوم، موضوع مهم تابع ارائه شده و در آن، به موارد مهمی از قبیل تعریف ضابطه و تابع، رسم آن، دامنه و برد تابع و... پرداخته شده است. کار با داده‌های آماری موضوع درس سوم است. در نهایت، در درس چهارم به طور کامل، مطالب کتاب درسی درباره نمایش داده‌ها ارائه شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزش‌هایی که برای آشنایی بیشتر با مبحث اتحاد و تجزیه می‌توانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفته‌اند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شده‌اند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شده‌اند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفته‌اند.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)

فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد) در ۵ ساعت و ۱۶ دقیقه و در قالب ۴ درس تهیه شده است. درس یکم این آموزش درباره مجموعه‌ها، چندجمله‌ای‌ها، اتحاد و تجزیه، نامساوی و نامعادلات است. در درس دوم، معادله درجه 2 مورد بررسی قرار گرفته است. موضوع درس سوم مثلثات است. در نهایت، در درس چهارم به تابع، دامنه و برد آن، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع، ترکیب توابع، توابع زوج و فرد، توابع یک به یک، وارون تابع، تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق، تابع جزء صحیح، تابع نمایی و تابع لگاریتمی پرداخته شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد) + اینجا کلیک کنید.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه‌ی ریاضیات پایه، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزش‌های ریاضی
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• سینوس، کسینوس و تانژانت یک زاویه -- به زبان ساده
• قضیه تالس -- به زبان ساده
• نمونه سوال مثلثات — همراه با جواب

^^