دایره مثلثاتی — به زبان ساده

۳۸۷۵۵ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۸ مهر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۳ دقیقه
دایره مثلثاتی — به زبان ساده

دایره مثلثاتی، به دایره‌ای به شعاع واحد گفته می‌شود. با استفاده از این دایره‌ی ساده می‌توان نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس و تانژانت) را به سادگی بدست آورد. هم‌چنین با استفاده از مفهوم دایره‌ی مثلثاتی می‌توان طول‌ها و زوایا را در اشکال هندسی بدست آورد.

997696

محاسبه سینوس، کسینوس و تانژانت

در ابتدا مطابق با شکل زیر دایره‌ای به قطر واحد را در نظر بگیرید.

unit-circle

 

با توجه به این که شعاع دایره برابر با ۱ است، می‌توان نسبت‌های مثلثاتی را به صورت مستقیم بدست آورد. فرض کنید می‌خواهیم نسبت‌های مثلثاتی را در زاویه‌ای خاص بدست آوریم. در این صورت نقطه‌ی روی دایره را در زاویه مذکور قرار داده و از آن به مرکزِ دایره خطی رسم می‌کنیم. بدیهی است که طول این خط برابر با ۱ است. در نتیجه ارتفاع نقطه تا محور افقی برابر با سینوس و طول افقی نقطه تا مرکزِ دایره، اندازه کسینوس زاویه‌ی مذکور را نشان می‌دهد. اگر در زاویه مذکور خطی به دایره مماس شود، طول آن نشان دهنده اندازه تانژانت زاویه است.

در شکل زیر دایره مثلثاتی، اندازه سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه θ نشان داده شده‌اند.

دایره مثلثاتی

در شکل فوق طولِ خط قرمز رنگ، نشان دهنده سینوس، طول خط زرد رنگ، نشان دهنده کسینوس و خط آبی رنگ،‌ برابر با اندازه تانژانت است. برای نمونه احتمالا می‌دانید که سینوس زاویه‌ی صفر درجه برابر با صفر است (sin 0=0). حال می‌خواهیم با استفاده از دایره‌ی مثلثاتی، همین عدد را بدست آوریم. زاویه صفر درجه به این معنی است که نقطه دقیقا روی محور افقی قرار داشته باشد.

دایره مثلثاتی

همان‌گونه که در شکل فوق می‌بینید فاصله عمودی نقطه تا محور افقی (یا همان ارتفاع نقطه) برابر با صفر است. بنابراین sin 0=0 نتیجه می‌شود. از طرفی فاصله نقطه تا محور عمودی برابر با شعاع دایره است. بنابراین از شکل فوق نتیجه می‌شود:

sin(0)=0\large sin (0) =0
cos(0)=1\large cos (0) =1

مطابق با شکل زیر فرض کنید نقطه‌‌ای در زاویه ۶۰ درجه نسبت به محور افق قرار گرفته است. با توجه به طول‌های بدست آمده، اندازه سینوس و کسینوس زاویه ۶۰ درجه چند است؟

دایره مثلثاتی

با توجه به تصویر فوق اندازه طول زرد رنگ برابر با 121 \over 2 و اندازه طول قرمز رنگ برابر با ۰.۸۶۶ است (اگر اندازه‌گیری شود این عدد بدست خواهد آمد). بنابراین می‌توان گفت:

sin(60)=0.866\large sin \enspace (60)=0.866
cos (60)=12\large cos \enspace (60) =\frac{1}{2}

توجه داشته باشید که علامت مقادیر مثلثاتی با استفاده از قوانین کارتزینی قابل تعیین است. برای نمونه اگر نقطه‌‌ای در ربع سوم (پایین سمتِ چپ دایره) دایره قرار گیرد،‌ هر دو مقدار سینوس و کسینوس آن منفی خواهند بود (در ادامه تقسیم‌بندی ربع‌های دایره نشان داده شده).

فیثاغورس

همان‌گونه که قبلا نیز بیان شده، قانون فیثاغورس می‌گوید در یک مثلث قائم الزاویه، حاصل جمع مربع اضلاع برابر با مربع وتر خواهد بود.

بنابراین در دایره مثلثاتی زیر نیز رابطه فیثاغورس به‌صورت ارائه شده، برقرار است.

unit-circle

unit-circle

اگر در رابطه فوق، مقادیر متناظرشان را قرار دهیم، خواهیم داشت:

unit-circle

زوایای مهم

در محاسبات مربوط به مثلثات، زوایای پرکاربردی وجود دارند که در مسائل بسیار تکرار می‌شوند.

در جدول زیر این زوایا به همراه مقادیر مثلثاتی آن‌ها ارائه شده است.

unit-circle

به‌منظور به خاطر سپردن مقادیر بالا به ترتیب از ۱ تا ۳ شمرده و آن‌ها را زیر رادیکال قرار داده و به ۲ تقسیم کنید.

برای مقدار کسینوس به صورت عکس و از ۳ تا ۱ را بشمرید.

unit-circle

بنابراین تنها با دانستن سه عددِ 12,22,32 {1\over 2}, {\sqrt{2} \over 2},{\sqrt{3}\over 2} مقدار مثلثاتی زوایا نیز معلوم می‌شوند. در شکل زیر مقادیر سینوس و کسینوس در زوایای مختلف روی دایره نشان داده شده است. البته در این مطلب روشی بسیار آسان جهت به‌خاطر سپردن مقادیر مثلثاتی ارائه شده که در صورت علاقه‌مندی می‌توانید به آن مراجعه کنید.

unit-circle

تانژانت

با توجه به مفاهیم پایه‌ای مثلثات، مقدار تانژانت برابر با حاصل تقسیم سینوس به کسینوس یک زاویه است. برای نمونه با استفاده از جدول فوق مقادیر سینوس و کسینوس در زاویه‌ی ۳۰ درجه معلوم هستند. بنابراین مقدار تانژانتِ ۳۰ درجه برابر است با:

unit-circle

تمامی دایره

همان‌طور که می‌دانید علامت مقادیر سینوس و کسینوس بعد از ۹۰ درجه متفاوت می‌شوند.

در حقیقت در هرکدام از ربع‌های دایره علامت سینوس و کسینوس تغییر می‌کنند. در شکل زیر علامت سینوس در سمت راست و علامت کسینوس در سمت چپ نشان داده شده است.

unit-circle

همان‌طور که می‌بینید در نیمه راست دایره مقادیر کسینوس مثبت هستند. هم‌چنین در نیمه‌ بالایی دایره مقادیر سینوس مثبت‌اند. عکس همین علامت‌ها نیز در نیمه دیگر رخ می‌دهد. در شکل زیر مقادیر سینوس و کسینوس در زوایای مختلف، روی شکل نشان داده شده است. پیشنهاد می‌کنیم به نحوه تکرار شدن اعداد و تغییر علامت آن‌ها در شکل ۱ دقت کنید.

دایره مثلثاتی
شکل ۱

مثال

مقدار sin7π6\sin \frac{7\pi}{6} را بیابید.

می‌توان زاویه 7π6\frac{7\pi}{6} (یا همان ۲۱۰ درجه) را به‌صورت π+π6\pi +\frac{\pi}{6} تصور کرد. بنابراین اگر از π6\frac{\pi}{6} به اندازه‌ی π عبور کنیم به زاویه‌ی زیر خواهیم رسید.

unit-circle

در حقیقت در ربع سوم قرار گرفته‌ایم. بنابراین حاصل سینوس بایستی منفی باشد. همان‌طور که در شکل ۱ نیز مشاهده می‌شود،‌ مقدار سینوس در زاویه مذکور برابر است با:

sin7π6=12\large \sin \frac{7\pi}{6}=\frac{-1}{2}

بر اساس رای ۳۰۸ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Mathisfun
۱۶ دیدگاه برای «دایره مثلثاتی — به زبان ساده»

عالی
آقا مجید عوض زاده با تشکر از شما عالی هستی
و تیم فوق‌العاده فریادرس

سلام خیلی جامع و کامل بود ممنون

کسینوس دوپی سوم چند درجه میشه؟

یک دور از منفی پی تا پی یعنی چی؟ نمی فهمم🥺

سلام و درود
توی این متن شما فقط گفتید که این ها هست
ولی چرا هست ؟
مثلا اندازه x , y چطوری و چرا مساوی با سینوس و کسینوس تتا هستند ؟

سلام
یه روشی هم لطف کنید بگید برای این جور سوالات :
زاویه 870 در کدام ناحیه دایره مثلثاتی قرار دارد؟

سلام.
این زاویه را می‌توان این‌گونه نوشت: 870=2×360+150870=2\times 360+150. که برابر با دو دور به‌علاوه زاویه ۱۵۰ درجه است که در ربع دوم قرار می‌گیرد.
موفق باشید.

خیلی خوب بود ممنونم ازتون یه سوال داشتم اگه میشه چرا کسینوس و سینوس کمتر از یک هستند و یا بزرگتر از منفی یک هستند؟؟؟

سلام.
همان‌طور که می‌دانیم، تعریف سینوس، نسبت اندازه ضلع مقابل به وتر و تعریف کسینوس، نسبت اندازه ضلع مجاور به وتر است. ضلع مقابل و مجاور یک مثلث، همواره کوچک‌تر یا مساوی وتر است و به همین دلیل، اندازه این دو نسبت مثلثاتی در بازه [1,1][-1,1] است.
موفق باشید.

فرادرس بی نظیره اینو من از خیلی وقت پیش میدونستم؛ از اون زمانی که با سرچ موضوعی، فرادرس توی صفحه سوم گوگل قرار میگرفت…
ولی الآن بحمدالله در برخی موارد جست و جو مثل همین صفحه حتی از سایت ویکی پدیا هم بالا میزنه…
جزاکم الله خیرا انشاالله

عالی بود بلاخره تونستم این درک کنم توضیحاتتون قابل درک فوق العاده این

با سلام آیا فرمولی برای زاویه معادل(یعنی زاویه ای که در امتداد زاویه مقابل در دایره مثلثاتی قرار دارد.وجود دارد؟
ممکن است دو مقدار مثبت و منفی بیاید که هردو درست اند.ممکن است در صورت وجود به مطلب اضافه شود؟
ممنون میشوم.

با سلام . در پاراگراف : تمامی دایره
درجمله : در شکل زیر علامت سینوس در سمت چپ و علامت کسینوس در سمت راست نشان داده شده است…
بایستی به صورت علامت سینوس در سمت راست و علامت کسینوس در سمت چپ نشان داده شده است ، تصحیح شود.
سپاس از مطالب آموزنده

سلام.
جمله مذکور تصحیح شد.
از توجه شما سپاسگزاریم.

در سوال اخر جواب ربع سوم است نه ربع چهارم لطفا اصلاح کنید

با سلام و تشکر از بازخورد شما.
واژه مد نظر اصلاح شد.

با سلام
لطفا مقاله ای درباره چگونگی بدست اوردن مقدار توابع مثلثاتی بدون استفاده از ماشین حساب و خط کش بگذارید.
باتشکر

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *