ریاضی، علوم پایه ۱۱۴۲۱۵ بازدید

دایره مثلثاتی، به دایره‌ای به شعاع واحد گفته می‌شود. با استفاده از این دایره‌ی ساده می‌توان نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس و تانژانت) را به سادگی بدست آورد. هم‌چنین با استفاده از مفهوم دایره‌ی مثلثاتی می‌توان طول‌ها و زوایا را در اشکال هندسی بدست آورد.

فیلم آموزشی دایره مثلثاتی

دانلود ویدیو

محاسبه سینوس، کسینوس و تانژانت

در ابتدا مطابق با شکل زیر دایره‌ای به قطر واحد را در نظر بگیرید.

unit-circle

با توجه به این که شعاع دایره برابر با ۱ است، می‌توان نسبت‌های مثلثاتی را به صورت مستقیم بدست آورد. فرض کنید می‌خواهیم نسبت‌های مثلثاتی را در زاویه‌ای خاص بدست آوریم. در این صورت نقطه‌ی روی دایره را در زاویه مذکور قرار داده و از آن به مرکزِ دایره خطی رسم می‌کنیم. بدیهی است که طول این خط برابر با ۱ است. در نتیجه ارتفاع نقطه تا محور افقی برابر با سینوس و طول افقی نقطه تا مرکزِ دایره، اندازه کسینوس زاویه‌ی مذکور را نشان می‌دهد. اگر در زاویه مذکور خطی به دایره مماس شود، طول آن نشان دهنده اندازه تانژانت زاویه است.

در شکل زیر دایره مثلثاتی، اندازه سینوس، کسینوس و تانژانت زاویه θ نشان داده شده‌اند.

دایره مثلثاتی

در شکل فوق طولِ خط قرمز رنگ، نشان دهنده سینوس، طول خط زرد رنگ، نشان دهنده کسینوس و خط آبی رنگ،‌ برابر با اندازه تانژانت است. برای نمونه احتمالا می‌دانید که سینوس زاویه‌ی صفر درجه برابر با صفر است (sin 0=0). حال می‌خواهیم با استفاده از دایره‌ی مثلثاتی، همین عدد را بدست آوریم. زاویه صفر درجه به این معنی است که نقطه دقیقا روی محور افقی قرار داشته باشد.

دایره مثلثاتی

همان‌گونه که در شکل فوق می‌بینید فاصله عمودی نقطه تا محور افقی (یا همان ارتفاع نقطه) برابر با صفر است. بنابراین sin 0=0 نتیجه می‌شود. از طرفی فاصله نقطه تا محور عمودی برابر با شعاع دایره است. بنابراین از شکل فوق نتیجه می‌شود:

$$\large sin (0) =0$$
$$\large cos (0) =1$$

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

  • برای مشاهده مجموعه فیلم‌های آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

مطابق با شکل زیر فرض کنید نقطه‌‌ای در زاویه ۶۰ درجه نسبت به محور افق قرار گرفته است. با توجه به طول‌های بدست آمده، اندازه سینوس و کسینوس زاویه ۶۰ درجه چند است؟

دایره مثلثاتی

با توجه به تصویر فوق اندازه طول زرد رنگ برابر با $$1 \over 2$$ و اندازه طول قرمز رنگ برابر با ۰.۸۶۶ است (اگر اندازه‌گیری شود این عدد بدست خواهد آمد). بنابراین می‌توان گفت:

$$\large sin \enspace (60)=0.866$$
$$\large cos \enspace (60) =\frac{1}{2}$$

توجه داشته باشید که علامت مقادیر مثلثاتی با استفاده از قوانین کارتزینی قابل تعیین است. برای نمونه اگر نقطه‌‌ای در ربع سوم (پایین سمتِ چپ دایره) دایره قرار گیرد،‌ هر دو مقدار سینوس و کسینوس آن منفی خواهند بود (در ادامه تقسیم‌بندی ربع‌های دایره نشان داده شده).

فیثاغورس

همان‌گونه که قبلا نیز بیان شده، قانون فیثاغورس می‌گوید در یک مثلث قائم الزاویه، حاصل جمع مربع اضلاع برابر با مربع وتر خواهد بود. بنابراین در دایره مثلثاتی زیر نیز رابطه فیثاغورس به‌صورت ارائه شده، برقرار است.

unit-circle

unit-circle

اگر در رابطه فوق، مقادیر متناظرشان را قرار دهیم، خواهیم داشت:

unit-circle

زوایای مهم

در محاسبات مربوط به مثلثات، زوایای پرکاربردی وجود دارند که در مسائل بسیار تکرار می‌شوند. در جدول زیر این زوایا به همراه مقادیر مثلثاتی آن‌ها ارائه شده است.

unit-circle

به‌منظور به خاطر سپردن مقادیر بالا به ترتیب از ۱ تا ۳ شمرده و آن‌ها را زیر رادیکال قرار داده و به ۲ تقسیم کنید.

برای مقدار کسینوس به صورت عکس و از ۳ تا ۱ را بشمرید.

unit-circle

بنابراین تنها با دانستن سه عددِ $$ {1\over 2}, {\sqrt{2} \over 2},{\sqrt{3}\over 2}$$ مقدار مثلثاتی زوایا نیز معلوم می‌شوند. در شکل زیر مقادیر سینوس و کسینوس در زوایای مختلف روی دایره نشان داده شده است. البته در این مطلب روشی بسیار آسان جهت به‌خاطر سپردن مقادیر مثلثاتی ارائه شده که در صورت علاقه‌مندی می‌توانید به آن مراجعه کنید.

unit-circle

تانژانت

با توجه به مفاهیم پایه‌ای مثلثات، مقدار تانژانت برابر با حاصل تقسیم سینوس به کسینوس یک زاویه است. برای نمونه با استفاده از جدول فوق مقادیر سینوس و کسینوس در زاویه‌ی ۳۰ درجه معلوم هستند. بنابراین مقدار تانژانتِ ۳۰ درجه برابر است با:

unit-circle

تمامی دایره

همان‌طور که می‌دانید علامت مقادیر سینوس و کسینوس بعد از ۹۰ درجه متفاوت می‌شوند. در حقیقت در هرکدام از ربع‌های دایره علامت سینوس و کسینوس تغییر می‌کنند. در شکل زیر علامت سینوس در سمت راست و علامت کسینوس در سمت چپ نشان داده شده است.

unit-circle

همان‌طور که می‌بینید در نیمه راست دایره مقادیر کسینوس مثبت هستند. هم‌چنین در نیمه‌ بالایی دایره مقادیر سینوس مثبت‌اند. عکس همین علامت‌ها نیز در نیمه دیگر رخ می‌دهد. در شکل زیر مقادیر سینوس و کسینوس در زوایای مختلف، روی شکل نشان داده شده است. پیشنهاد می‌کنیم به نحوه تکرار شدن اعداد و تغییر علامت آن‌ها در شکل ۱ دقت کنید.

دایره مثلثاتی
شکل ۱

مثال

مقدار $$\sin \frac{7\pi}{6}$$ را بیابید.

می‌توان زاویه $$\frac{7\pi}{6}$$ (یا همان ۲۱۰ درجه) را به‌صورت $$\pi +\frac{\pi}{6}$$ تصور کرد. بنابراین اگر از $$\frac{\pi}{6}$$ به اندازه‌ی π عبور کنیم به زاویه‌ی زیر خواهیم رسید.

unit-circle

در حقیقت در ربع سوم قرار گرفته‌ایم. بنابراین حاصل سینوس بایستی منفی باشد. همان‌طور که در شکل ۱ نیز مشاهده می‌شود،‌ مقدار سینوس در زاویه مذکور برابر است با:

$$\large \sin \frac{7\pi}{6}=\frac{-1}{2}$$

معرفی فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی

آموزش ریاضی و آمار (۱) - پایه دهم علوم انسانی

یکی از آموزش‌های ویدیویی دوره دبیرستان فرادرس، «آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی» است که به طور ویژه مربوط به دانش‌آموزان رشته علوم انسانی است. این آموزش ویدیویی در قالب چهار درس و در زمان ۶ ساعت و ۱۹ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم، معادله درجه دوم مورد بحث قرار گرفته که شامل مطالب اصلی درس، نکات مهم و مثال‌های حل شده است. در درس دوم، موضوع مهم تابع ارائه شده و در آن، به موارد مهمی از قبیل تعریف ضابطه و تابع، رسم آن، دامنه و برد تابع و… پرداخته شده است. کار با داده‌های آماری موضوع درس سوم است. در نهایت، در درس چهارم به طور کامل، مطالب کتاب درسی درباره نمایش داده‌ها ارائه شده است.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزش‌هایی که برای آشنایی بیشتر با مبحث اتحاد و تجزیه می‌توانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفته‌اند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شده‌اند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شده‌اند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفته‌اند.

 

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)

فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد) در ۵ ساعت و ۱۶ دقیقه و در قالب ۴ درس تهیه شده است. درس یکم این آموزش درباره مجموعه‌ها، چندجمله‌ای‌ها، اتحاد و تجزیه، نامساوی و نامعادلات است. در درس دوم، معادله درجه 2 مورد بررسی قرار گرفته است. موضوع درس سوم مثلثات است. در نهایت، در درس چهارم به تابع، دامنه و برد آن، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع، ترکیب توابع، توابع زوج و فرد، توابع یک به یک، وارون تابع، تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق، تابع جزء صحیح، تابع نمایی و تابع لگاریتمی پرداخته شده است.

فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه‌ی ریاضیات پایه، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

^^

بر اساس رای ۱۸۷ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

11 نظر در “دایره مثلثاتی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

  • سلام
    یه روشی هم لطف کنید بگید برای این جور سوالات :
    زاویه ۸۷۰ در کدام ناحیه دایره مثلثاتی قرار دارد؟

    1. سلام.
      این زاویه را می‌توان این‌گونه نوشت: $$۸۷۰=۲\times 360+150$$. که برابر با دو دور به‌علاوه زاویه ۱۵۰ درجه است که در ربع دوم قرار می‌گیرد.
      موفق باشید.

  • زانا حبیبی — says: ۳ آذر، ۱۴۰۰ در ۷:۲۸ ب٫ظ

    خیلی خوب بود ممنونم ازتون یه سوال داشتم اگه میشه چرا کسینوس و سینوس کمتر از یک هستند و یا بزرگتر از منفی یک هستند؟؟؟

    1. سلام.
      همان‌طور که می‌دانیم، تعریف سینوس، نسبت اندازه ضلع مقابل به وتر و تعریف کسینوس، نسبت اندازه ضلع مجاور به وتر است. ضلع مقابل و مجاور یک مثلث، همواره کوچک‌تر یا مساوی وتر است و به همین دلیل، اندازه این دو نسبت مثلثاتی در بازه $$[-۱,۱]$$ است.
      موفق باشید.

  • فرادرس بی نظیره اینو من از خیلی وقت پیش میدونستم؛ از اون زمانی که با سرچ موضوعی، فرادرس توی صفحه سوم گوگل قرار میگرفت…
    ولی الآن بحمدالله در برخی موارد جست و جو مثل همین صفحه حتی از سایت ویکی پدیا هم بالا میزنه…
    جزاکم الله خیرا انشاالله

  • امیرحسین خوش کلام — says: ۲۳ آبان، ۱۳۹۹ در ۳:۱۲ ق٫ظ

    با سلام آیا فرمولی برای زاویه معادل(یعنی زاویه ای که در امتداد زاویه مقابل در دایره مثلثاتی قرار دارد.وجود دارد؟
    ممکن است دو مقدار مثبت و منفی بیاید که هردو درست اند.ممکن است در صورت وجود به مطلب اضافه شود؟
    ممنون میشوم.

  • با سلام . در پاراگراف : تمامی دایره
    درجمله : در شکل زیر علامت سینوس در سمت چپ و علامت کسینوس در سمت راست نشان داده شده است…
    بایستی به صورت علامت سینوس در سمت راست و علامت کسینوس در سمت چپ نشان داده شده است ، تصحیح شود.
    سپاس از مطالب آموزنده

  • با سلام
    لطفا مقاله ای درباره چگونگی بدست اوردن مقدار توابع مثلثاتی بدون استفاده از ماشین حساب و خط کش بگذارید.
    باتشکر

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

مشاهده بیشتر