کسر تلسکوپی – روش حل به زبان ساده + مثال و تمرین

جمع کسرها از جمله ‌گسترده‌ترین مباحث ریاضی است و با استفاده از قواعد خاصی می‌توانیم فرآیند ساده‌سازی و به‌دست آوردن مجموع چند کسر را آسان‌تر و سریع‌تر کنیم. یکی از این روش‌ها قاعده کسر تلسکوپی است که موضوع این مطلب از مجله فرادرس است. زمانی که مخرج کسری مانند $$\frac{1}{3 \times 4}$$ به شکل حاصل‌ضرب دو عدد بیان شود، طوری که اختلاف این دو عدد با صورت کسر برابر باشد، در این صورت طبق قاعده کسر تلسکوپی می‌توانیم این کسر را با تفاضل دو کسر مجزا به‌ صورت $$\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$$ جایگزین کنیم.

در ابتدای این مطلب توضیح می‌دهیم برای اینکه بتوانیم از قاعده کسر تلسکوپی در حل مسائل کسرها در ریاضیات استفاده کنیم، لازم است چه شرایطی برقرار باشد. سپس حالت‌های مختلفی که ممکن است در حل مسائل با آن‌ها روبرو شویم را توضیح می‌دهیم. در بخش بعد با حل مثال‌ها و تمرین‌های متنوع، نشان می‌دهیم که کاربرد این قاعده در هر حالت به چه صورت است. به همین منظور مثال‌هایی در سطوح مختلف برای شما در نظر گرفته‌ایم که از ساد‌ه‌ترین سطح شروع شده و در انتها حل مسائل پیچیده‌تری را با قاعده کسر تلسکوپی بررسی کرده‌ایم. با مطالعه این مطلب تا انتها و حل مثال‌ها و تمرین‌های تهیه شده می‌توانید مبحث کسر تلسکوپی و روش حل مسائل مربوط به آن را با زبانی ساده و کاربردی بیاموزید.

قاعده کسر تلسکوپی چیست؟

قاعده کسر تلسکوپی در مورد کسرهایی است که مخرج آ‌ن‌ها به‌ شکل حاصل‌ضرب دو عدد نوشته شده است ($$\frac{c}{a \times b}$$)، به‌گونه‌ای که تفاضل این دو عدد با صورت کسر برابر است ($$b - a = c$$). در این صورت می‌توانیم این کسر را به شکل $$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$$ بنویسیم:

$$\begin{cases} \frac{c}{a \times b} \\ \\ b - a = c \end{cases} \ \ \ \Rightarrow \ \frac{c}{a \times b}=\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$$

به بیان دقیق‌تر، اگر بخواهیم مجموع چند کسر به شکل $$\frac{c}{a \times b} + \frac{c}{b \times d} + ...$$ را با کمک گرفتن از قاعده تلسکوپی محاسبه کنیم، باید تمام شرایط زیر برقرار باشد:

1. ابتدا باید بتوانیم مخرج تمام کسرها را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم.
2. همچنین باید دومین عدد در مخرج هر کسر با اولین عدد در مخرج کسر بعدی برابر باشد.
3. برای هر کسر اختلاف یا تفاضل دو عدد در مخرج برابر است با صورت کسر. این اختلاف برای تمام کسرها برابر با عدد یکسانی است.

در این صورت می‌توانیم بگوییم می‌توانیم از قاعده کسر تلسکوپی استفاده کنیم. پس از اینکه مطمئن شدیم شرایط بالا برقرار است، می‌توانیم هر کدام از کسرها را به دو کسر مجزا تجزیه کنیم. برای مثال کسر اول با دو کسر زیر جایگزین می‌شود:

$$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$$

بنابراین حاصل‌جمع کسرهای $$\frac{c}{a \times b} + \frac{c}{b \times d} + ...$$ برابر می‌شود با:

$$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} + \ ...$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، این ساده‌سازی باعث می‌شود کسرهای وسطی با اندازه برابر و علامت مخالف هم، ساده و حذف شوند. علت نامگذاری چنین روندی به‌صورت قاعده کسر تلسکوپی نیز در همین حذف شدن کسرها است که قابل مقایسه با یک تلسکوپ جمع‌شونده است. در نتیجه فقط اولین و آخرین کسر از مجموع بالا برای انجام محاسبات باقی خواهند ماند. در بخش مثال‌ها این نکته را بهتر متوجه خواهید شد.

حالا با در نظر گرفتن این شرایط، می‌خواهیم ببینم آیا مجموع کسرهای زیر را می‌توانیم به کمک قاعده تلسکوپی به‌دست آوریم یا نه؟

$$\frac{1}{a \times b} + \frac{1}{ b \times c} + \frac{1}{c \times d} + \ ... \ + \frac{1}{y \times z}$$

در عبارت بالا شرط اول که نوشته شدن مخرج هر کسر به صورت حاصل‌ضرب دو عدد است، برقرار است. همچنین تمام این حاصل‌ضرب‌ها به‌گونه‌ای نوشته شده‌اند که دومین عدد در مخرج هر کسر با اولین عدد در مخرج کسر بعد یکسان است. پس دومین شرط نیز برقرار است. درستی شرط سوم نیز در صورتی برقرار است که برای هر کسر اختلاف دو عدد در مخرج برابر با یک شود، یعنی داشته باشیم:

$$ \ b - a = 1 \ , \ c - b = 1 \ , \ d - c = 1 \ , \ .... \ , \ z - y = 1 \ $$

در ادامه این مطلب، با حل مثال‌های متنوع حالت‌های مختلفی که ممکن است در حل مسائل با آن‌ها روبرو شویم را بررسی می‌کنیم.

مسیر یادگیری صفر تا صد کسرها با فرادرس

مفهوم کسر به معنای نسبت یا بخشی از کل است. هر کسر از دو بخش به نام صورت و مخرج تشکیل شده است که توسط خطی به نام خط کسری از هم جدا شده‌اند. در این بخش قصد داریم چند فیلم‌ آموزشی رایگان در زمینه مباحث مختلف مربوط به کسرها مانند تساوی، مقایسه، ساده‌سازی، جمع، ضرب، مخرج مشترک گرفتن، کسرهای مساوی و بزرگتر از واحد، کسرهای مخلوط و تبدیل کسر به اعشار را به شما معرفی کنیم. مشاهده این فیلم‌‌های آموزشی فرادرس به شما کمک می‌کند تا کاملا به مبحث کسرها در ریاضیات مسلط شوید:

1. فیلم آموزش رایگان چگونه کسر را ساده کنیم؟ + مثال‌های کاربردی فرادرس
2. فیلم آموزش رایگان جمع کسرها + مثال‌های کاربردی بعلاوه کسر فرادرس
3. فیلم آموزش رایگان روش حل کسر بزرگتر از واحد + مثال‌های کاربردی فرادرس
4. فیلم آموزش رایگان روش حل کسرهای مساوی + حل مثال‌های مختلف فرادرس
5. فیلم آموزش رایگان تساوی کسرها ریاضی (چهارم) + مثال فرادرس
6. فیلم آموزش رایگان روش حل کسرهای مخلوط + مثال‌های کاربردی فرادرس
7. فیلم آموزش رایگان روش حل طرفین وسطین + مثال های کاربردی فرادرس
8. فیلم آموزش رایگان مقایسه کسرها با یکدیگر + محاسبه سریع + مثال فرادرس
9. فیلم آموزش رایگان مخرج مشترک گرفتن در کسرها + ۲ روش فرادرس
10. فیلم آموزش رایگان گویا کردن مخرج های گنگ – روش‌های ساده و کاربردی فرادرس
11. فیلم آموزش رایگان تبدیل کسر به اعشار + ۳ حالت مختلف فرادرس
12. فیلم آموزش رایگان روش حل ضرب کسری با شکل + به زبان ساده با مثال‌های کاربردی فرادرس

حالت‌های مختلف استفاده از قاعده کسر تلسکوپی

با توجه به توضیحاتی که در مورد شرایط استفاده از قاعده کسر تلسکوپی داده شد، برای اینکه در حل مسائل تشخیص بهتری داشته باشید، انواع حالت‌های ممکن را در این بخش توضیح می‌دهیم. در بخش بعد با مثال بهتر متوجه این حالت‌ها خواهید شد.

انواع حالت‌هایی که در محاسبه مجموع چند کسر ممکن است با آ‌ن‌ها مواجه شوید، به شرح زیر است:

1. اختلاف اعداد مخرج برابر است با $$1$$ و صورت تمام کسرها نیز $$1$$ است.
2. اختلاف اعداد مخرج برابر است با $$1$$ و صورت تمام کسرها عددی مخالف $$1$$ است.
3. اختلاف اعداد مخرج برابر با $$1$$ نیست و صورت تمام کسرها $$1$$ است.
4. اختلاف اعداد مخرج برابر با عددی است که در صورت تمام کسرها قرار گرفته است.

در اولین حالت همه چیز مرتب و درست است. تنها کاری که باید بکنیم این است که هر کسر را به‌ شکل تفاضل دو کسر جدید بنویسیم، طوری که صورت هر دو کسر برابر است با عدد $$1$$ و مخرج هر کدام نیز معادل است با یکی از دو عدد ضرب شده. به این ترتیب با حذف کسرهای مشابه هم، مسئله ساده می‌شود. در حالت دوم نیز با فاکتورگیری از عددی که در صورت کسرها قرار دارد، مسئله به حالت اول تبدیل می‌شود. فقط نباید فراموش کنیم که در انتها پاسخ نهایی را در این عدد فاکتورگیری شده حتما ضرب کنیم.

در سومین حالت لازم است حاصل تفریق دو عددی که در مخرج در هم ضرب می‌شوند را به نوعی در محاسبات خود در نظر بگیریم. برای مثال، اگر این اختلاف برابر با عدد $$2$$ است، در حالی که صورت تمام کسرها مساوی $$1$$ است، در این حالت لازم است این عدد $$2$$ را به نوعی در صورت تمام کسرها وارد کنیم که اغلب با ضرب و تقسیم کردن تمام کسرها در عبارت $$\frac{2}{2}$$ این اتفاق رخ می‌دهد.

به این ترتیب با قرار گرفتن عدد $$2$$ در صورت تمام کسرها، روش حل مشابه حالت اول است. فقط در انتها باید فراموش نکنیم که پاسخ در یک ضریب $$\frac{1}{2}$$ نیز ضرب می‌شود. آخرین حالت هم دقیقا مانند حالت اول حل می‌شود. درست است که در اینجا صورت کسرها عددی مخالف $$1$$ است، اما تجزیه هر کسر به صورت کسری با صورتی مساوی $$1$$ خواهد بود. در ادامه با حل مثال این حالت‌ها را بهتر متوجه خواهید شد.

حل مثال و تمرین از کسر تلسکوپی

در بخش قبل با تعریف کسر تلسکوپی و مراحل کاربرد این قاعده کاملا آشنا شدیم. در این بخش قدم به قدم حالت‌های مختلف و مسائل متفاوتی که می‌توان در این زمینه حل کرد را با هم بررسی می‌کنیم. پس از اینکه به توضیح انواع مثال‌ها در این زمینه پرداختیم، چند تمرین در قالب سوالات چهار گزینه‌ای نیز برای شما در نظر گرفته شده است که می‌توانید با پاسخ‌دهی به آن‌ها میزان یادگیری و تسلط خود را بیازمایید.

مثال ۱

حاصل‌جمع کسرهای زیر را به‌دست آورید:

$$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{ 2 \times 3} + \frac{1}{ 3 \times 4} + \ ... \ + \frac{1}{99 \times 100}$$

پاسخ

محاسبه مجموع کسرهای بالا با روش معمول وقت‌گیر است. اگر بتوانیم مطمئن شویم که قاعده کسرهای تلسکوپی را می‌توان برای مجموع بالا استفاده کرد، با این روش به‌راحتی و سریع می‌توانیم حاصل‌جمع را پیدا کنیم. در کسرهای بالا مخرج هر کسر به شکل حاصل‌ضرب دو عدد نوشته شده است. پس شرط اول خود به خود برقرار است. برقراری شرط دوم هم واضح است، دومین عدد در مخرج هر کسر معادل شده است با اولین عدد در مخرج کسر بعدی.

سومین شرط هم با بررسی اختلاف اعداد مخرج در هر کسر تایید می‌‌شوند، این اختلاف برای تمام کسرها مساوی با عدد $$1$$ است که در صورت تمام کسرها این عدد را داریم. پس با خیال راحت می‌توانیم این مجموعه را کسر تلسکوپی در نظر بگیریم و بر اساس این قاعده جواب را پیدا کنیم. کافی است هر کدام از کسرهای بالا را به‌صورت اختلاف دو کسر بازنویسی کنیم:

مثلا کسر اول یعنی $$\frac{1}{1 \times 2}$$ را می‌توانیم به شکل $$\frac{1}{1} - \frac{1}{2}$$ و کسر دوم یعنی $$\frac{1}{ 2 \times 3}$$ را می‌توانیم به‌صورت $$\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$$ بنویسیم. به این ترتیب برای کل مجموعه خواهیم داشت:

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} +\frac{1}{2} - \frac{1}{3} +\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ ... \ +\frac{1}{99} - \frac{1}{100}$$

با حذف شدن کسرهای مشابه اما با علامت مخالف هم، فقط دو کسر زیر از مجموعه بالا باقی خواهد ماند:

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{100}$$

بنابراین پاسخ این کسر تلسکوپی با گرفتن مخرج مشترک به شکل زیر محاسبه خواهد شد:

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{100} = \frac{1 \times 100}{1 \times 100} - \frac{1}{100} = \frac{100-1}{100}= \frac{99}{100}$$

مثال ۲

حاصل‌جمع زیر چقدر می‌شود؟

$$\frac{1}{110} + \frac{1}{132 } + \frac{1}{ 156} + \ ... \ + \frac{1}{870}$$

پاسخ

در این عبارت شرط اول دیده نمی‌شود، یعنی مخرج کسرها به شکل حاصل‌ضرب دو عدد نیست. بنابراین نمی‌توانیم دو شرط دیگر را نیز بررسی کنیم. پس اولین کاری که می‌کنیم این است که سعی کنیم مخرج هر کسر را به شکل حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم. برای مثال اولین مخرج برابر است با $$‌110$$، که می‌توان آن را به‌صورت $$‌10 \times 11$$ نوشت:

$$\frac{1}{110} = \frac{1}{10 \times 11}$$

حالا برای اینکه شرط دوم هم برقرار شود، باید اولین عدد در مخرج کسر دوم برابر شود با دومین عدد در مخرج کسر اول یعنی $$‌ 11$$. پس برای دومین کسر داریم:

$$\frac{1}{132} = \frac{1}{11 \times 12}$$

اگر دقت کنید شرط سوم هم خود به خود برقرار است و اختلاف هر دو عدد در مخرج این دو کسر برابر است:

$$‌ 11 - 10 = 1$$

$$‌ 12 - 11 = 1$$

مخرج سومین کسر را هم به آسانی می‌توانیم به شکل حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم، با در نظر گرفتن این نکته که اولین عدد باید $$‌ 12$$ باشد و دومین عدد هم با افزودن یک واحد به $$‌ 12$$ می‌شود $$‌ 13$$:

$$\frac{1}{156} = \frac{1}{12 \times 13}$$

حالا می‌رویم سراغ آخرین کسر. با توجه به اینکه کسر قبل از آن مشخص نیست، تشخیص دو عددی که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با $$‌ 870$$ شود، کمی مشکل است:

$$\frac{1}{870} = \frac{1}{x \times y}$$

اما می‌دانیم که باید اختلاف این دو عدد هم مانند کسرهای ابتدایی برابر با عدد $$‌ 1$$ شود تا بتوانیم این مجموعه را کسر تلسکوپی در نظر بگیریم. پس در واقع دو معادله و دو مجهول به شکل زیر داریم:

$$‌ xy = 870$$

$$‌ y - x = 1$$

با به‌دست آوردن $$‌ y$$ بر حسب $$‌ x$$ و جای‌گذاری در اولین معادله بالا خواهیم داشت:

$$‌\Rightarrow y = 1 + x$$

$$‌\Rightarrow x (1 + x) = 870$$

$$‌\Rightarrow x^2 + x - 870 = 0$$

پس به یک معادله درجه دو رسیدیم که با حل آن دو عدد موردنظر به‌صورت $$‌ 29$$ و $$‌ 30$$ به‌دست می‌آید. اگر فکر می‌کنید در مورد حل دستگاه معادلات با دو مجهول مشکل دارید و نیاز است در این زمینه بیشتر تمرین حل کنید، در فیلم آموزش رایگان روش حل دو معادله دو مجهول فرادرس نمونه مثال‌هایی مشابه با وضعیت بالا بررسی می‌شوند و حل دستگاه دو معادله دو مجهول به سه روش مختلف توضیح داده می‌شود. در ادامه لینک این آموزش برای شما قرار داده شده است:

پس عبارت صورت سوال به شکل زیر نوشته می‌شود که کاملا شرایط یک کسر تلسکوپی را دارد:

$$\frac{1}{10 \times 11} + \frac{1}{11 \times 12 } + \frac{1}{ 12\times 13} + \ ... \ + \frac{1}{29 \times 30}$$

حالا کافی است هر کسر به شکل $$\frac{1}{a \times b}$$ را به‌صورت $$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$$ بازنویسی کنیم:

$$\frac{1}{10} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} + \ ... \ +\frac{1}{29} - \frac{1}{30}$$

پس از ساده‌سازی خواهیم داشت:

$$\frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1 \times 3}{10 \times 3} - \frac{1}{30} = \frac{3-1}{30}=\frac{2}{30} = \frac{1}{15}$$

مثال ۳

حاصل‌جمع زیر را با کمک گرفتن از قاعده کسر تلسکوپی به‌دست آورید:

$$\frac{3}{70} + \frac{3}{130 } + \frac{3}{ 208} + \ ... \ + \frac{3}{1054}$$

پاسخ

ابتدا لازم است مخرج هر کسر را به شکل حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم. نکته مهمی که در این سوال وجود دارد این است که صورت تمام کسرها برابر با $$‌ 3$$ است. بنابراین با توجه به شرایطی که در مورد قاعده کسر تلسکوپی توضیح داده بودیم، اگر بتوانیم هر کسر را به شکل $$\frac{1}{a \times b}$$ بنویسیم، همواره برای هر دو عدد در مخرج داریم:

$$b - a = 3$$

پس در مورد اولین کسر یعنی $$\frac{3}{70}$$ دو عدد ضرب شونده در مخرج باید حاصل‌ضربی برابر با $$‌ 70$$ داشته باشند، در حالی که اختلاف آنها برابر است با $$‌ 3$$. می‌توانیم با حل دستگاه معادلات دو معادله دو مجهول به این دو عدد برسیم. اما اگر کمی تمرکز کنیم، می‌توانیم به راحتی با حدس زدن هم به پاسخ درست برسیم.

در اولین حدس این به ذهن ما می رسد که $$‌ 70$$ برابر است با $$7 \times 10$$. همان‌طور که ملاحظه می‌کنید شرط دوم یعنی $$10 - 7 = 3$$ نیز برقرار  است. با مشخص شدن اولین حاصل‌ضرب، عدد اول در مخرج کسر دوم حتما برابر است با $$10$$ و عدد دوم در مخرج همین کسر با افزودن سه واحد به $$10$$ می‌شود $$13$$. به همین شکل در مورد کسر سوم اعداد موردنظر $$13$$ و $$16$$ هستند.

در مورد آخرین کسر حدس زدن مانند اولین کسر آسان نیست، اما می‌دانیم باید شرایط زیر برقرار باشد:

$$\frac{3}{1054} = \frac{3}{x \times y}$$

$$xy=1054$$

$$y - x =3$$

با حل معادله درجه دومی که از دو معادله بالا به‌دست می‌آید، اعداد $$‌ 31$$ و $$‌34$$ را خواهیم داست. پس عبارت صورت سوال بر اساس قاعده کسر تلسکوپی به شکل زیر خواهد شد:

$$\frac{3}{7 \times 10} + \frac{3}{10 \times 13} + \frac{3}{ 13 \times 16} + \ ... \ + \frac{3}{31 \times 34}$$

حالا کافی است هر کسر به شکل تفاضل دو کسر نوشته شود. برای مثال می‌دانیم در مورد اولین کسر می‌توانیم بنویسیم:

$$\frac{3}{7 \times 10} = \frac{1}{7} - \frac{1}{10}$$

دقت کنید با اینکه در این سوال صورت کسرها برابر با $$‌ ‌1$$ نیست، اما صورت هر دو کسری که به شکل بالا از هم کم می‌شوند باید برابر با $$‌ 1$$ باشد. می‌توانید با ساده کردن سمت راست تساوی بالا و رسیدن به کسر سمت چپ، این نکته را چک کنید:

$$\frac{1}{7} - \frac{1}{10}‌ = \frac{1\times 10}{7 \times 10} - \frac{1 \times 7}{10 \times 7}‌ = \frac{10-7 }{70}‌= \frac{3}{70}‌$$

پس راه‌حل خود را با قاعده کسر تلسکوپی ادامه می‌دهیم:

$$\frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{16} + \ ... \ + \frac{1}{31} - \frac{1}{34}$$

$$\frac{1}{7} - \frac{1}{34} = \frac{1 \times 34}{7 \times34} - \frac{1 \times 7}{34 \times 7}$$

$$\frac{1}{7} - \frac{1}{34} = \frac{34-7}{238}= \frac{27}{238}$$

مثال ۴

حاصل‌ عبارت زیر را پیدا کنید:

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{28} + \frac{1}{70} + \ ... \ + \frac{1}{9700}$$

پاسخ

همان‌طور که در مثال‌‌‌های قبل دیدیم، همیشه مخرج‌هایی که در کسر‌های تلسکوپی مشاهده می‌کنیم به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد نوشته نمی‌شوند. همچنین ممکن است با سوالاتی مواجه شویم که در آن‌ها اختلاف دو عدد ضرب شده در مخرج در صورت کسر قرار ندارد. این سوال هر دو نکته را دارد.

اولین قدم این است که ببینیم آیا می‌توانیم این کسرها را تلسکوپی در نظر بگیریم یا نه. برای اینکه کسر تلسکوپی داشته باشیم لازم است مخرج هر کسر به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد نوشته شود، طوری که عدد دوم در مخرج کسر اول با عدد اول در مخرج کسر بعدی یکسان باشد. برای مثال اگر کسر اول به شکل $$\frac{1}{a \times b}$$ باشد، باید اولین عدد در مخرج کسر دوم ما حتما برابر با $$b$$ باشد و کسری به شکل $$\frac{1}{b \times c}$$ صحیح است. به این ترتیب کسر بعدی باید به شکل $$\frac{1}{c \times d}$$ باشد و به همین شکل تا آخر.

حالا با در نظر گرفتن نکته اول می‌توانیم صورت سوال را به‌صورت زیر بازنویسی کنیم:

$$\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{ 4 \times 7} + \frac{1}{ 7 \times 10} + \ ... \ + \frac{1}{97 \times 100}$$

شاید این سوال مطرح شود که در آخرین کسر چگونه تشخیص دهیم که باید حاصل‌ضرب دو عدد $$97$$ و $$100$$ نوشته شود. با توجه کسرهای ابتدایی اختلاف دو عدد مخرج باید برابر شود با $$3$$. پس باید دو عددی که انتخاب می‌کنیم اختلافی برابر با $$3$$ داشته باشند.

در نکته بعدی باید اختلاف دو عدد مخرج یعنی $$3$$ را که در صورت کسرها قرار ندارد، در نظر بگیریم. می‌توانیم با ضرب کردن عدد $$3$$ در صورت و مخرج تمام کسرها این نکته را در محاسبات خود لحاظ کنیم. با این روش مجموعه بالا را به شکل زیر خواهیم داشت:

$$\frac{3}{3} \times \frac{1}{1 \times 4} + \frac{3}{3} \times \frac{1}{ 4 \times 7} + \ ... \ + \frac{3}{3} \times\frac{1}{97 \times 100}$$

$$\frac{1}{3} \times \frac{3}{1 \times 4} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{ 4 \times 7} + \ ... \ + \frac{1}{3} \times\frac{3}{97 \times 100}$$

$$\frac{1}{3} \times[ \frac{3}{1 \times 4} + \frac{3}{ 4 \times 7} + \ ... + \frac{3}{97 \times 100} ]$$

حالا مجموع کسرهای داخل آکولاد تمام شرط‌های لازم برای استفاده از قاعده کسر تلسکوپی را دارد. پس برای این مجموع می‌توانیم به شکل زیر عمل کنیم:

$$\frac{1}{3} \times[ \frac{1}{1} - \frac{1}{ 4} +\frac{1}{4} - \frac{1}{ 7} +\ ... \ +\frac{1}{97} - \frac{1}{ 100}]$$

$$\frac{1}{3} \times[ \frac{1}{1} - \frac{1}{ 100}] = \frac{1}{3} \times[ \frac{100-1}{ 100}]$$

$$\frac{33}{ 100}$$

مثال ۵

حاصل عبارت زیر را با استفاده از قاعده کسر تلسکوپی به‌دست آورید:

$$\frac{3}{30} + \times \frac{3}{ 42} + \ ... \ +\times\frac{3}{210}$$

پاسخ

برای شروع باید مخرج هر کسر را به شکل حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم. در مورد اولین کسر برای عدد $$30$$ دو حالت $$3 \times 10$$ و $$5 \times 6$$ را می‌توانیم در نظر بگیریم. در مورد دومین کسر برای $$42$$ نیز دو حالت $$6 \times 7$$ و $$3 \times 14$$ را می‌توانیم داشته باشیم. برای اینکه شرایط استفاده از قاعده کسر تسلکوپی برقرار باشد، باید تفاضل اعداد مخرج در هر کسر با کسر دیگر برابر باشد. پس اگر دو حاصل‌ضرب $$5 \times 6$$ و $$6 \times 7$$ را برای دو کسر ابتدایی در نظر بگیریم، شرایط به‌درستی اعمال شده‌اند.

به این ترتیب برای آخرین کسر می‌توانیم با استفاده از معادلات زیر اعداد موردنظر را محاسبه کنیم:

$$xy = 120$$

$$y - x =1$$

$$y= 1+x \Rightarrow x(1+x) = 120 \Rightarrow x^2+x-120=0$$

$$x = 14 , \ y = 15$$

نکته‌ مهمی که در این سوال وجود دارد این است که صورت تمام کسرها در عدد $$3$$ ضرب شده است. اگر این عدد را از کل مجموعه فاکتور بگیریم، خواهیم داشت:

$$3 [ \frac{1}{30} + \times \frac{1}{ 42} + \ ... \ +\times\frac{1}{210}]$$

پس ما در حقیقت قاعده کسر تلسکوپی را در مورد مجموعه‌ای که داخل آکولاد قرار دارد، اعمال خواهیم کرد. اما در محاسبات خود باید حتما در انتها عدد $$3$$ را در پاسخ ضرب کنیم:

$$3 [ \frac{1}{5\times 6} + \times \frac{1}{ 6 \times 7} + \ ... \ +\times\frac{1}{14 \times 15}]$$

$$3 [ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \ ... \ + \frac{1}{14} - \frac{1}{15}]$$

در نهایت با ساد‌ه‌سازی خواهیم داشت:

$$3 [ \frac{1}{5} - \frac{1}{15}] =3 [ \frac{1\times 3}{5 \times 3} - \frac{1}{15}] =3 [ \frac{3-1}{15} ]=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

مثال ۶

مقدار عبارت زیر را پیدا کنید:

$$\sum_{n=1} ^ {2015} \ \frac{1}{n^2+3n+2}$$

پاسخ

در این مثال و مثال‌های بعد کاربرد‌های دیگری از قاعده کسر تلسکوپی را توضیح می‌دهیم. می‌دانیم نماد سیگما $$\sum$$ به‌معنای مجموع است. رابطه بالا خلاصه شده مجموع $$2015$$ کسر است که از قرار دادن اعداد $$1$$ تا $$2015$$ به‌جای $$n$$ در کسر داده شده حاصل می‌شوند. در این سوال برای اینکه بتوانیم کسر بالا را به شکل حاصل‌ضرب دو عدد در مخرج بازنویسی کنیم، لازم است با اتحادها و به‌ویژه اتحاد جمله مشترک آشنا باشیم. عبارت $${n^2+3n+2}$$ نوعی اتحاد جمله مشترک است که می‌توانیم آن را به‌صورت زیر بنویسیم:

$${n^2+3n+2} = (n+1) (n+2)$$

پس عبارت بالا را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$\sum_{n=1} ^ {2015} \ \frac{1}{ (n+1) (n+2)}$$

حالا باید ببینیم آیا می‌توان کسر بالا را کسر تلسکوپی در نظر گرفت یا نه. شرط اول برقرار است و مخرج به‌صورت حاصل ضرب دو عدد بر حسب $$n$$ یعنی $$n+1$$ و $$n+2$$ نوشته شده است. اگر علامت سیگما را بخواهیم باز کنیم، با اضافه کردن عدد واحد به $$n$$ پیش می‌رویم. پس اگر کسر اول ما با قرار دادن $$n = 1$$ به شکل $$\frac{1}{ 2\times 3}$$ است، کسر بعدی ما با قرار دادن $$n = 2$$ برابر می‌شود با $$\ \frac{1}{ 3 \times 4}$$. بنابراین شرط دوم برقرار خواهد بود. در مورد سومین شرط هم کافی است $$n+1$$ را از $$n+2$$ کم کنیم که برابر است با صورت یعنی $$1$$.

بنابراین محاسبه مجموع بالا به شکل زیر با کاربرد قاعده کسر تلسکوپی انجام می‌شود:

$$\sum_{n=1} ^ {2015} \ \frac{1}{ (n+1) (n+2)} = \frac{1}{ 2 \times 3} + \frac{1}{ 3 \times 4} + \ ... \ + \frac{1}{ 2016 \times 2017}$$

$$\sum_{n=1} ^ {2015} \ \frac{1}{ (n+1) (n+2)} = \frac{1}{ 2} - \frac{1}{ 3 }+\frac{1}{ 3} - \frac{1}{ 4 } + \ ... \ + \frac{1}{ 2016} - \frac{1}{ 2017 }$$

$$\sum_{n=1} ^ {2015} \ \frac{1}{ (n+1) (n+2)} = \frac{1}{ 2} - \frac{1}{ 2017 }$$

$$\sum_{n=1} ^ {2015} \ \frac{1}{ (n+1) (n+2)} = \frac{1 \times 2017 }{ 2 \times 2017} - \frac{1}{ 2017 }$$

$$\sum_{n=1} ^ {2015} \ \frac{1}{ (n+1) (n+2)} = \frac{2015 }{ 4034}$$

مثال ۷

حاصل عبارت $$\frac{1}{ 2^2 - 1 } + \frac{1}{ 4^2 - 1 } + \frac{1}{ 6^2 - 1 } + \ ... \ + \frac{1}{{1000}^2 - 1 }$$ چقدر است؟

پاسخ

برای اینکه بتوانیم تشخیص دهیم آیا می‌توان کسرهای بالا را کسر تسلکوپی در نظر گرفت یا نه، لازم است ببینیم اعداد متناظر با مخرج هر کدام از کسرها چگونه‌اند:

$$\frac{1}{ 3 } + \frac{1}{ 15 } + \frac{1}{ 35 } + \ ... \ + \frac{1}{ 999999 }$$

حالا باید مخرج هر کدام از کسرهای بالا را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم که اختلاف آن‌ها با هم برابر باشد. مثلا اگر برای اولین کسر حاصل‌ضرب $$1 \times 3$$ را در نظر بگیریم و برای دومین کسر $$3 \times 5$$ را، شرایط کسر تلسکوپی برقرار است. تنها نکته‌ای که نباید فراموش کنیم این است که اختلاف دو عدد در مخرج هر کسر برابر با $$2$$ می‌شود که در صورت کسرها قرار ندارد و لازم است به این مسئله دقت کنیم:

$$\frac{1}{ 1 \times 3 } + \frac{1}{ 3 \times 5 } + \frac{1}{ 5 \times 7 } + \ ... \ + \frac{1}{ 999999 }$$

برای اینکه بتوانیم عدد $$999999$$ را به شکل حاصل‌ضرب دو عدد مناسب بنویسیم، می‌توانیم به شیوه زیر عمل کنیم. فرض کنید این دو عدد عبارت‌اند از $$a$$ و $$b$$. برای این دو عدد روابط زیر برقرار است:

$$a \times b= 999999$$

$$b - a = 2$$

با حل این دو معادله، دو مجهول به شکل زیر به‌دست می‌آیند:

$$b = a+ 2$$

$$a (a+ 2) = 999999 \Rightarrow a^2 +2a -999999=0$$

ریشه‌های معادله درجه دو بالا برابر هستند با $$1001$$ و $$999$$. بنابراین مجموع کسرها بالا به شکل نهایی زیر تبدیل می‌شود:

$$\frac{1}{ 1 \times 3 } + \frac{1}{ 3 \times 5 } + \frac{1}{ 5 \times 7 } + \ ... \ + \frac{1}{ 1001 \times 999 }$$

حالا به ادامه حل مسئله می‌پردازیم. گفتیم باید نبود عدد $$2$$ در صورت کسرها در محاسبات لحاظ شود. پس لازم است صورت و مخرج هر کدام از کسرهای بالا را در $$2$$ ضرب کنیم:

$$\frac{2}{2} \times\frac{1}{ 1 \times 3 } + \frac{2}{2} \times \frac{1}{ 3 \times 5 } + \frac{2}{2} \times \frac{1}{ 5 \times 7 } + \ ... \ + \frac{2}{2} \times \frac{1}{ 1001 \times 999 }$$

$$\frac{1}{2} \times\frac{2}{ 1 \times 3 } + \frac{1}{2} \times \frac{2}{ 3 \times 5 } + \ ... \ + \frac{1}{2} \times \frac{2}{ 1001 \times 999 }$$

$$\frac{1}{2} \times [\frac{2}{ 1 \times 3 } + \frac{2}{ 3 \times 5 } + \ ... \ + \frac{2}{ 1001 \times 999 }]$$

عبارت داخل آکولاد را می‌توانیم بر اساس قاعده کسر تلسکوپی به شکل زیر بنویسیم:

$$\frac{1}{2} \times [\ \frac{1}{1} - \frac{1}{ 3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{ 5} + \ ... \ + \frac{1}{999} - \frac{1}{ 1001} ]$$

که با ساده‌سازی می‌شود:

$$\frac{1}{2} \times [\ \frac{1}{1} - \frac{1}{ 1001} ] = \frac{1}{2} \times [\ \frac{1001-1}{1001} ]$$

$$\ \frac{500}{1001}$$

مثال ۸

با استفاده از قاعده کسر تلسکوپی نشان دهید سری زیر همگرا است و حاصل آن را حساب کنید.

$$\sum_{n=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ n (n+1) }$$

پاسخ

اولین قدم این است که با عددگذاری و قرار دادن مقادیر $$n$$ در رابطه بالا ببینیم این سری چه روندی دارد:

$$\sum_{n=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ n (n+1) } = \frac{1}{2 } \ + \ \frac{1}{6 } \ + \ \frac{1}{12 } \ + \ ... \ + \ \frac{1}{ n (n+1) }$$

حالا باید ببینیم آیا می‌توان مجموع کسرهای بالا را منطبق با شروط کسر تلسکوپی در نظر گرفت یا خیر. اگر مخرج هر کسر را به‌ شکل حاصل‌ضرب دو عدد بنویسیم، طوری که اختلاف آن‌ها بابر با صورت کسرها یعنی عدد $$1$$ شود، خواهیم داشت:

$$\frac{1}{ 1 \times 2 } \ + \ \frac{1}{ 2 \times 3 } \ + \ \frac{1}{ 3 \times 4 } \ + \ ... \ + \ \frac{1}{ n \times (n+1) }$$

حالا می‌توانیم طبق قاعده هر کسر را معادل با اختلاف دو کسر در نظر بگیریم:

$$\frac{1}{ 1 } - \frac{1}{ 2 } +\frac{1}{ 2 } - \frac{1}{ 3 } +\frac{1}{ 3 } - \frac{1}{ 4 } + \ ... \ + \frac{1}{ n } - \frac{1}{ n+1 }$$

$$\frac{1}{ 1 } - \frac{1}{ n+1 }$$

$$1 - \frac{1}{ n+1 }$$

پیش از اینکه این عبارت را ساده‌تر کنیم، بهتر است برای تعیین همگرایی این مجموع از حدگیری استفاده کنیم:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \ [\sum_{n=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ n (n+1) } ] = \lim_{n \rightarrow \infty} \ [1 - \frac{1}{ n+1 } ]$$

$$\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \ [1 - \frac{1}{ n+1 } ]= 1 - 0 = 1$$

در حقیقت با بزرگ شدن $$n$$ در حد بی‌نهایت، مخرج کسر بالا به سمت صفر میل می‌کند. در نتیجه حاصل این مجموع همگرا و برابر با عدد یک می‌شود. اگر تمایل دارید در زمینه همگرایی سری‌ها بیشتر بدانید، می‌توانید مطلب «سری همگرا و واگرا – از صفر تا صد» از مجله فرادرس را مطالعه کنید. در این مطلب تعاریف همگرایی و واگرایی سری‌ها همراه با بررسی مثال بیان می‌شود.

مثال ۹

حاصل عبارت زیر را پیدا کنید:

$$81 ( \frac{1}{1.2.3.4} + \frac{1}{2.3.4.5} + \frac{1}{3.4.5.6} +\frac{1}{4.5.6.7} + \ ... \ )$$

پاسخ

برای اینکه بتوانیم حاصل‌جمع بالا را با کمک گرفتن از قاعده کسر تلسکوپی محاسبه کنیم، ابتدا بهتر است رابطه بین اعدادی که در مخرج‌ها وجود دارند را پیدا کنیم. مشخص است که در هر مخرج چهار عدد پشت سر هم داریم. پس می‌توانیم بگوییم مخرج‌ها به شکل زیر هستند:

$$k (k+1) (k+2) (k+3)$$

در اولین کسر $$k = 1$$، در دومین کسر $$k = 2$$ و به همین ترتیب تا انتها. دقت کنید علامت‌های نقطه یا دات بین اعداد به معنای ضرب است. بنابراین مجموع بالا را می‌توانیم به‌صورت سیگما بنویسیم:

$$81 ( \frac{1}{1.2.3.4} + \frac{1}{2.3.4.5} + \frac{1}{3.4.5.6} +\frac{1}{4.5.6.7} + \ ... \ )= 81 \sum_{k=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ k (k+1) (k+2) (k+3) }$$

با توجه به اینکه داریم:

$$\frac{1}{ k (k+3) } - \frac{1}{ (k+1) (k+2) } = \frac{(k+1) (k+2) - k (k+3)}{ k (k+1) (k+2) (k+3) } = \frac{k^2+3k+2-k^2-3k}{ k (k+1) (k+2) (k+3) }$$

$$\frac{1}{ k (k+3) } - \frac{1}{ (k+1) (k+2) } = \frac{2}{ k (k+1) (k+2) (k+3) }$$

پس می‌توانیم $$\frac{1}{ k (k+1) (k+2) (k+3) }$$ را به شکل $$\frac{1}{ 2 } [ \frac{1}{ k (k+3) } - \frac{1}{ (k+1) (k+2) } ]$$ بنویسیم:

$$81 \sum_{k=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ k (k+1) (k+2) (k+3) } = 81 \sum_{k=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ 2 } [ \frac{1}{ k (k+3) } - \frac{1}{ (k+1) (k+2) } ]$$

حالا هر کدام از کسرهای بالا را طبق قاعده کسر تلسکوپی باز می‌کنیم. ابتدا کسر $$\sum_{k=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ k (k+3) }$$ را در نظر می‌گیریم که در آن اختلاف دو عددی که در مخرج در هم ضرب شده‌اند برابر است با $$3$$:

$$(k+3) - k = 3$$

بنابراین اگر بخواهیم در مورد این کسر از قاعده کسر تلسکوپی استفاده کنیم، لازم است صورت و مخرج آن را در $$3$$ ضرب کنیم. پس خواهیم داشت:

$$\sum_{k=1} ^ {\infty} \frac{3}{ 3 } \ \frac{1}{ k (k+3) } = \frac{1}{ 3 }\sum_{k=1} ^ {\infty} \ \frac{3}{ k (k+3) }$$

حالا مجاز هستیم که کسر بالا را به‌صورت تفاضل دو کسر بنویسیم:

$$\frac{1}{ 3 }\sum_{k=1} ^ {\infty} (\ \frac{1}{k } - \frac{1}{k+3 } )$$

کسر دوم $$\sum_{k=1} ^ {\infty} \frac{1}{ (k+1) (k+2) }$$ است که در آن اختلاف دو عددی که در مخرج در هم ضرب شده‌اند برابر است با $$1$$:

$$(k+2) - (k+1) = 1$$

پس اگر بخواهیم در مورد این کسر هم از قاعده کسر تلسکوپی استفاده کنیم، نیازی به ضرب کردن صورت و مخرج در عدد خاصی نیست و مجاز هستیم که آن را به‌صورت تفاضل دو کسر بنویسیم:

$$\sum_{k=1} ^ {\infty} (\ \frac{1}{k +1} - \frac{1}{k+2 } )$$

در نهایت با قرار دادن عبارت‌های ساده شده دو کسری که در سوال به‌دست آوردیم، در عبارت زیر خواهیم داشت:

$$81 \sum_{k=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ 2 } [ \frac{1}{ k (k+3) } - \frac{1}{ (k+1) (k+2) } ]$$

$$81 \sum_{k=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ 2 } [\frac{1}{ 3 } (\ \frac{1}{k } - \frac{1}{k+3 } ) - \frac{1}{k +1} - \frac{1}{k+2 }]$$

$$81 \sum_{k=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ 6 } (\ \frac{1}{k } - \frac{1}{k+3 } ) - 81 \sum_{k=1} ^ {\infty} \ \frac{1}{ 2 } (\frac{1}{k +1} - \frac{1}{k+2 })$$

با حدگیری از رابطه بالا به عدد نهایی $$4.5$$ خواهیم رسید.

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳

تمرین ۴

تمرین ۵

سری تلسکوپی چیست؟

قاعده کسر تلسکوپی بر مبنای تعریف سری‌ تلسکوپی به‌دست می‌آید. در این بخش تمام آنچه که تا اینجا در مورد کسر تلسکوپی گفتیم را در قالب نمادهای جبری نشان می‌دهیم تا علت، شرایط و نحوه استفاده از کسرهای تلسکوپی را بهتر درک کنید. سری تلسکوپی یکی از زیرمجموعه‌های جبر است که برای درک آن باید بتوانیم یک الگوی منطقی مشخصی در مجموعه‌‌ای از کسرها پیدا کنیم.

نکته مهم این است که در یک سری تلسکوپی هر جمله‌ای مانند $$u_k$$ را می‌توانیم به شکل زیر بنویسیم:

$$u_k = t_k - t_{k+1}$$

بنابراین مزیت استفاده از سری تلسکوپی این است که به ما اجازه می‌دهد برای مثال مجموع جملاتی به شکل $$u_1 + u_2 + u_3 + \ ...$$ را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$u_1 + u_2 + u_3 + \ ... \ = (t_1 - t_2) + (t_2 - t_3) + (t_3 - t_4) + \ ... \ + (t_n - t_{n+1})$$

اگر عبارت بالا را ساده کنیم، با حذف شدن تمام جملات به‌جز جملات اول و آخر، مجموع $$u_1 + u_2 + u_3 + \ ...$$ به‌راحتی به‌دست می‌آید:

$$\Rightarrow u_1 + u_2 + u_3 + \ ... \ = t_1- t_{n+1}$$

حالا اگر سری $$u_k$$ را به شکل $$\frac{1}{k(k+1)}$$ در نظر بگیریم که در آن جملات $$t_k$$ برابر هستند با $$\frac{1}{k}$$، می‌توانیم بررسی کنیم که رابطه $$u_k=t_k - t_{k+1}$$ برای این سری برقرار است:

$$t_k = \frac{1}{k} \Rightarrow t_{k+1} = \frac{1}{k+1}$$

$$\Rightarrow u_k= \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$$

بنابراین سری $$u_k$$ با چنین جملاتی یک سری تلسکوپی است. روابط بالا ما را به نتیجه زیر می‌رساند:

$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i(i+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$$

اگر مقدار $$n$$ را در تساوی بالا خیلی خیلی بزرگ تصور کنیم، طوری که بتوانیم بگوییم $$n = \infty$$، در این صورت داریم $$\frac{1}{n+1} \rightarrow 0$$ (حاصل کسر $$\frac{1}{n+1}$$ به صفر نزدیک می‌شود).

در نتیجه رابطه بالا به صورت زیر ساده خواهد شد:

$$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i(i+1)} = 1$$

یادگیری ریاضی پایه نهم برای دانش‌آموزان با فرادرس

مبحث کسر تلسکوپی و مسائل مربوط به آن در فصل هفتم کتاب ریاضی پایه نهم مطرح می‌شود. البته در کتاب ریاضی پایه هشتم نیز مقدمات کسرها توضیح داده شده است. اگر می‌خواهید به تمام مباحث این کتاب‌های درسی تسلط کاملی به‌دست آورده و با نکات و نمونه سوالات در سطح آزمون‌های ورودی مدارس نیز آشنا شوید، می‌توانید این فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس را مشاهده کنید:

1. فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
2. فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس
3. فیلم آموزش ریاضی نهم – نکته و تست آزمون نمونه دولتی و تیزهوشان فرادرس

جمع‌بندی

در این آموزش از مجله فرادرس یاد گرفتیم که قاعده کسر تلسکوپی چیست و چه زمانی می‌توانیم از آن استفاده کنیم. این قاعده بر مبنای سری‌های تلسکوپی توسعه یافته است و از آن در ساده‌سازی محاسبات مجموع کسرها استفاده می‌شود. فرض کنید می‌خواهیم مجموع چند کسر مانند $$\frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \ ...$$ را محاسبه کنیم. اگر مخرج هر کسر به شکل حاصل‌ضرب دو عدد نوشته شده باشد و اختلاف این دو عدد با صورت کسر برابر باشد، در این صورت می‌توانیم قاعده کسر تلسکوپی را بکار ببریم.

طبق این قاعده می‌توانیم هر کدام از کسرها را به‌صورت تفاضل دو کسر بنویسیم. صورت هر کدام از این کسرها مساوی با یک و مخرج هر کدام برابر با یکی از اعداد در مخرج کسر اولیه است. بنابراین حاصل‌جمع بالا به شکل $$\frac{1}{4 } - \frac{1}{5 } + \frac{1}{5 } - \frac{1}{6 } + \ ...$$ در می‌آید. در این عبارت می‌توانیم کسرهای مشابه و با علامت مخالف را حذف کنیم. در نتیجه عبارت اولیه و پیچیده در مسئله به محاسبه اختلاف دو کسر ساده تبدیل می‌شود.