اعداد با توان کسری | به زبان ساده

۵۴۵۸۶ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۱۲ شهریور ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۱۰ دقیقه
اعداد با توان کسری | به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، به اعدادی پرداختیم که توان آن‌ها منفی است و روش محاسبه این اعداد را بررسی کردیم. در این آموزش، با روش محاسبه عباراتی با توان کسری آشنا می‌شویم.

توان کسری و رادیکال

در آموزش رادیکال از مجله فرادرس با رابطه بین رادیکال و توان آشنا شدیم. دیدیم که یک رادیکال توان را نتیجه می‌دهد و با توان نیز می‌توان یک ریشه رادیکالی را بیان کرد.

برای مثال:

توان کسری

اما رابطه دیگری نیز وجود دارد که با استفاده از آن می‌توانیم محاسبات را ساده‌تر انجام دهیم.

هر عدد با توان کسری را می‌توان با یک عدد رادیکالی نیز نشان داد. عکس این مطلب نیز صحیح است. یعنی هر رادیکال با فرجه و توان مشخص را می‌توان در قالب یک عدد با توان کسری نوشت. رابطه عدد با توان کسری و رادیکال به شکل زیر است:

توان کسری

برای جذر یا همان ریشه دوم، توان یک‌دوم را می‌توانیم به فرم زیر بنویسیم:

$$ \large \sqrt { 2 } = 2 ^ { \frac 12} $$

یا

$$ \large \sqrt { 4 } = 4 ^ \frac 12 $$

برای ریشه سوم نیز داریم:

$$ \large \sqrt [3] 8 = 8 ^ { \frac 13} = 2 $$

ریشه چهارم را نیز می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$ \large \sqrt [4] 81 = 81 ^ { \frac 14} = 3$$

به همین ترتیب، ریشه پنجم عدد برابر با عدد با توان یک‌پنجم است و به همین صورت ادامه پیدا می‌کند.

به دو مثال ابتدای متن دقت کنید. این دو مثال را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

توان کسری

همه ما با توان‌های صحیح (مثبت و منفی) آشنایی داریم.

چگونه اعداد با توان کسری را ساده کنیم؟

پرسشی که اغلب پیش می‌آید، این است که یک عدد با توان کسری را چگونه ساده کنیم و به صورت یک عدد بدون توان بنویسیم.

یا اینکه چگونه اعداد با توان کسری را با ماشین‌حساب‌های ساده محاسبه کنیم. کار ساده است. یک راه آسان این است که اعداد با توان کسری را به صورت رادیکال بنویسیم.

برای مثال، عدد زیر را در نظر بگیرید که توان آن کسری است:

$$ \large 8 ^ {\frac 23 } $$

یک راه این است که این عدد را به صورت رادیکالی زیر بنویسیم:

توان کسری

گاهی برای ساده‌سازی اعداد می‌توانیم آن‌ها را به صورت توانی بنویسیم و توان را اعمال کنیم.

$$ \large 8 ^ \frac 23 = ( 2 ^ 3 )^ \frac 23 = 2 ^ \frac {2 \times 3 } { 3 } = 2 ^ 2 = 4 $$

نکته: دقت کنید که برای اعمال توان، ابتدا از داخلی‌ترین پرانتز شروع می‌کنیم.

ضرب اعداد با توان کسری

ضرب اعداد با توان کسری، مشابه ضرب اعداد با توان صحیح است. بدین معنا که اگر پایه دو عدد مشابه باشد، نمای آن‌ها را با هم جمع می‌کنیم. یعنی، برای ضرب دو عدد $$ x ^ \frac m n $$ و $$x ^ \frac p q $$، داریم:

$$ \large x ^ \frac m n \times x ^ \frac p q = x ^ { (\frac m n + \frac p q ) } $$

مثال ضرب اعداد با توان کسری

حاصل ضرب زیر را به دست آورید:

$$ \large 5 ^ \frac 14 \times 5 ^ \frac 12 $$

حل: چون مبنای دو عدد یکسان هستند، توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم:

$$ \large 5 ^ \frac 14 \times 5 ^ \frac 12 = 5 ^ {(\frac 14 + \frac 12)} = 5 ^ \frac 3 4 $$

تصویر گرافیکی یک دنش آموز پسر در حال نگاه کردن به تخته کلاس

تقسیم اعداد با توان کسری

تقسیم اعداد با توان کسری نیز مشابه تقسیم اعداد با توان صحیح است. بدین معنا که اگر پایه دو عدد مشابه باشد، نمای آن‌ها را از هم کم می‌کنیم. یعنی، برای تقسیم دو عدد $$ x ^ \frac m n $$ و $$x ^ \frac p q $$، داریم:

$$ \large x ^ \frac m n \div x ^ \frac p q = x ^ { (\frac m n - \frac p q ) } $$

مثال تقسیم اعداد با توان کسری

حاصل تقسیم زیر را به دست آورید:

$$ \large 16 ^ \frac 12 \div 16 ^ \frac 14 $$

حل: با توجه به قانون تقسیم اعداد با توان کسری، داریم:

$$ \large 16 ^ \frac 12 \div 16 ^ \frac 14 = 16 ^ {(\frac 24-\frac 14 ) } = 16 ^ \frac 14 = (2 ^ 4 ) ^ \frac 14 = 2 $$

توان کسری منفی

اگر توان کسری $$\frac m n $$ و همچنین، عدد $$ x $$ مثبت باشند، آنگاه توان برای محاسبه اعدادی با توان کسری منفی می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

$$ \large x ^ {-\frac m n } = \frac { 1 } { x ^ \frac m n} = (\frac 1 x ) ^ \frac m n $$

در حالت کلی، اگر عدد کسری $$ \frac a b $$ به توان کسر منفی $$ - \frac m n $$ برسد، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large ( \frac a b ) ^ {-\frac m n }= (\frac b a ) ^ \frac m n $$

در فرمول‌های بالا از این نکته استفاده شده که هر عدد به توان یک عدد منفی، برابر با وارون آن عدد به همان توان با علامت مثبت است.

مثال اول توان کسری منفی

عدد زیر را ساده کنید:

$$ \large 9 ^ { - \frac 1 2 } $$

حل: با توجه به آنچه گفتیم، این عدد به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large 9 ^ { - \frac 1 2 } = \frac { 1 } { 9 ^ \frac 12 } = (\frac 1 9 ) ^
\frac 12 = [(\frac 13) ^ 2 ] ^ \frac 12 = (\frac 13 ) ^ 1 = \frac 13$$

مثال دوم توان کسری منفی

عدد زیر توان کسری منفی زیر را ساده کنید:

$$ \large ( \frac { 2 7 } { 125 } ) ^ { - \frac 4 3 } $$

حل: با استفاده از قاعده توان منفی، عبارت بالا به صورت زیر ساده می‌شود:

$$ \large \begin {align*} ( \frac { 2 7 } { 125 } ) ^ { - \frac 4 3 } & = (\frac {125 } { 27 })^ \frac 43 = (\frac { 5 ^ 3 } { 3 ^ 3 } ) ^ \frac 43 = [(\frac 53)^3] ^ \frac 43 = (\frac 53) ^ 4 \\ &= \frac {(5\times 5\times 5\times 5)}{(3\times 3 \times 3 \times 3 ) } = \frac {625}{81} \end {align*} $$

تصویر گرافیکی یک پسر نشسته پشت میز در حال نوشتن در دفتر (تصویر تزئینی مطلب توان کسری)

توان کسری در ماشین حساب

برای مثال اگر بخواهیم عبارت $$ (- 8 ) ^ \frac 23 $$ را در ماشین‌حساب محاسبه کنیم، باید آن را به صورت زیر بنویسیم.

توان کسری در ماشین حساب

البته دقت کنید که گاهی تنظیمات ماشین‌حساب به گونه‌ای است که ممکن است عدد به دست آمده درست نباشد. برای مثال، ممکن است یک عدد مختلط یا حتی خطا را نتیجه دهد. بنابراین، حتماً از صحت تنظیمات ماشین‌حساب مطمئن باشید. شکل زیر این مورد را نشان می‌دهد.

توان کسری در ماشین حساب

البه در این موارد، با اندکی تغییرات در نحوه وارد کردن عملگرها، می‌توان به نتیجه صحیح دست یافت. شکل زیر نشان می‌دهد که با تغییر در فرمول‌نویسی، نتیجه صحیح ۴ به دست آمده است.

توان کسری در ماشین حساب

چند مثال از توان کسری

در این بخش، چند مثال متنوع را حل می‌کنیم.

مثال اول توان کسری

عبارت $$ \left ( ( - 8 ) ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } $$ را ساده کنید.

حل: این مثال نکته مهمی دارد. در نکاه نخست، ممکن است با استفاده از قانون توان بگوییم که جواب به صورت زیر است:

$$ \large \left ( ( - 8 ) ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } = ( - 8 ) ^ { 2 \times \frac { 3 } { 2 } } = ( - 8 ) ^ 3 = - 5 1 2 $$

اما این جواب غلط است.

طبق قاعده ترتیب عملیات، باید ابتدا پرانتز داخلی را محاسبه کنیم و پس از آن سراغ سایر محاسبات برویم. بنابراین، جواب صحیح این مثال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ \large \begin {aligned} \left ( ( - 8 ) ^ { 2 } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } & = ( 6 4 ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \\ & = \sqrt { 6 4 ^ 3 } \\ & = 8 ^ 3 \\ & = 5 1 2 \end {aligned} $$

مثال دوم توان کسری

حاصل عبارت $$ \sqrt { 1 2 5 ^ { \frac { 2 } { 3 } } } $$ را محاسبه کنید.

حل: این عبارت به صورت زیر ساده می‌شود:

اعداد با توان کسری

مثال سوم توان کسری

مقدار $$ x $$ را از معادله زیر به دست آورید.

$$ \large 5 ^ { \frac { 2 } { 3 } } = \left ( \sqrt [ 3 ] { 5 } \right ) ^ x $$

حل: از آنجا که $$ 5 ^ { \frac { 2 } { 3 } } = \left ( 5 ^ { \frac { 1 }{ 3 } } \right ) ^ 2 = \left ( \sqrt [ 3 ] { \small5 ^ 1 } \right ) ^ 2 = \left ( \sqrt [ 3 ] { 5 } \right ) ^ 2 $$، با برابر قرار دادن آن با $$ \left ( \sqrt [ 3 ] { 5 } \right ) ^ x $$ مقدار $$ x = 2 $$ را به دست می‌آوریم.

مثال چهارم توان کسری

عبارت $$ 27 ^ { - \frac { 2 } { 3 } } $$ را ساده کنید.

حل: جواب این مثال به صورت زیر است:

$$ \large 2 7 ^ { - \frac { 2 } { 3 } } = \left ( 3 ^ 3 \right ) ^ { - \frac { 2 } { 3 } } = 3 ^ { 3 \times \left ( - \frac { 2 }{ 3 } \right ) } = 3 ^ { - 2 } = \left ( 3 ^ { 2 } \right ) ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 3 ^ 2} = \frac { 1 } { 9 } . $$

تصویر گرافیکی یک دانش آموز در کلاس درس نشسته مقابل تخته و در حال نگاه کردن به آن

مثال پنجم توان کسری

مقدار $$a$$ را در معادله زیر به دست آورید:

توان کسری

حل: سمت راست معادله به صورت زیر ساده می‌شود:

توان کسری

بنابراین، با برابر قرار دادن آن با سمت راست معادله، یعنی $$ \left ( a ^ 3 \right ) ^ \frac { 1 } { 1 5 } $$، جواب $$ a = 4 $$ به دست خواهد آمد.

مثال ششم توان کسری

عبارت $$ \displaystyle { a } ^ { { { 3 } \text{/} { 4 } } }{ a } ^ { { { 4 } \text {/} { 5 } } } $$ را ساده کنید.

حل:‌ ساده شده این عبارت به صورت زیر است:

$$ \large { a } ^ { { \frac { 3 } { { 4 } } } } { a } ^ { { \frac { 4 } { { 5 } } } }= { a } ^ { { \frac { 3 } { { 4 } } + \frac { 4 }{ { 5 } } } } = { a } ^ { { \frac { 3 1 } { { 20 } } } } $$

مثال هفتم توان کسری

عبارت زیر را ساده کنید:

$$ \large { \left ( \frac { { {4 } ^ { { - \frac { 3 } { { 2 } } } } { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } { y } ^ { { - \frac { 7 } { { 4 } } } } } } { { { 2 } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { x } ^ { { -\frac { 1 } { { 3 } } } } { y } ^ { { \frac { 3 } { { 4 } } } } } } \right ) } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } $$

حل: شاید در ابتدا ظاهر این عبارت ترسناک و دشوار به نظر برسد، اما با قواعدی که یاد گرفته‌ایم و پیاده‌سازی گام به گام آن‌ها به راحتی می‌توانیم این عبارت را ساده کنیم.

ابتدا توان‌های منفی را مثبت می‌کنیم. برای این کار، کافی است عباراتی را که توان منفی دارند، از صورت به مخرج و بالعکس جابه‌جا کنیم. در این صورت، خواهیم داشت:

$$ \large = { \left ( \frac { { { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } { x } ^ { { \frac { 1 } { { 3 } } } }} } { { { 2 } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { 4 } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { y } ^ { { \frac {3 } { { 4 } } } } { y } ^ { { \frac { 7 }{ { 4 } } } } } } \right ) } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } $$

اکنون، جملات با پایه‌های مشابه ($$ x $$ و $$ y $$) را ساده می‌کنیم:

$$ \large = { \left ( \frac { { { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } + \frac { 1 } { { 3 } } } } } } { { { \left ( { 2 } \times { 4 } \right ) } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { y } ^ { { \frac { 3 } { { 4 } } + \frac { 7 } { { 4 } } } } } } \right ) } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } = { \left ( \frac { x } { { { 8 } ^ { { \frac { 3 } { { 2 } } } } { y } ^ { { \frac { 1 0 } { { 4 } } } } } } \right ) } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } $$

گام نهایی، اعمال توان کسری به عبارت است:

$$ \large = \frac { { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } } { { { 8 } ^ { { { \left ( \frac { 3 } { { 2 } } \times \frac { 2 } { { 3 } } \right ) } } } { y } ^ { { { \left ( \frac { 1 0 } { { 4 } } \times \frac { 2 } { { 3 } } \right ) } } } } } = \frac { { x } ^ { { \frac { 2 } { { 3 } } } } } { { { 8 } { y } ^ { { \frac { 5 } { { 3 } } } } } } $$

مثال هشتم توان کسری

حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$$ \large \frac { { { 1000 } ^ { { { 1 } \text {/} { 3 } } } } } { { { 4 0 0 } ^ { { - { 1 } \text {/} { 2 } } } } } $$

حل: با توجه به نکاتی که گفتیم، این عبارت به صورت زیر ساده می‌شود:

$$ \large \frac { {1000} ^ { { { 1 } \text {/} { 3 } } } }{ { { 4 0 0 } ^ { { - { 1 } \text {/} { 2 } } } } } ={ 1 0 } \times { 4 0 0 } ^ { { { 1 } \text {/} { 2 } } }
= { 1 0 } \times { 2 0 } = { 2 0 0 } $$

بر اساس رای ۱۲۴ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرسBrilliantInteractive Mathematics
۳۲ دیدگاه برای «اعداد با توان کسری | به زبان ساده»

سلام
ببخشید میشه کسر (y/y+1)^3/2 رو بصورت y/y+1^3/2 نوشت ؟؟ (Y در صورت هست و y+1 در مخرج )

سلام متشکرم از تدریس عالیتون
ببخشید اگر یک عدد کسری به توان کسر دیگری برسد چطوری حساب میکنیم مثلا ۳/۲ به توان ۴/۵

اگر اعداد منفی به توان مثبت برسند و در پرانتز باشند (یعنی جواب مثبت در بیاد) منفی از بین میره و میشه.

سلام حاصل (x+y)^۱/۲ چطور میشه

سلام کسی هس که بتونه این سؤالو جواب بده؟
27به توانxبرابر است 1تقسيم بر x
حالxچقدر است؟؟؟؟؟؟؟؟؟

سلام و درود :
اول از همه مرسی بابت این مطلب به شدت روان و عالی اما عذر میخوام استاد من یک سوال اینجا واسم پیش اومد … چطور میتونیم بگیم که اگر توان کسری ای استفاده میکنیم برابر با رادیکاله ؟ یعنی به زبانی ساده تر بخوام سوالم رو بیان کنم اینطور بگم که مثلا اگر میگیم که
۴ به توان نیم چطوری میتونیم به این اثبات برسیم که منظورمون رادیکاله … یعنی اگر رادیکال نباشه راهی هست که بتونیم توان کسری رو حل کنیم؟

سلام عزیزم کلا در ریاضی توان و رادیکال مفهوم برعکس همدیگر را بیان میکنند

با سلام.حاصل این عبارت چجور حساب میشه 〖0.72〗^(1/3)

خیلی خوب ممنون از سایت عالیتون

سلام نگار گرامی.
خوشحالیم که از این آموزش استفاده کرده‌اید.
شاد و پیروز باشید.

سلام چرا اعداد منفی به توان کسر منفی نمی شوند ؟

سلام.
اعداد منفی به توان کسر می‌توانند منفی شوند. چیزی ممکن است رخ دهد. مثلاً عبارت $$(-8)^\frac{1}{3}$$ را در نظر بگیرید. حاصل این عبارت این‌گونه به‌دست می‌آید:
$$(-8)^\frac{1}{3} = ((- 2)^3)^\frac 13 = (-2)^ {3\times \frac 13} = (-2)^1 = -2 $$
شاد و پیروز باشید.

سلام مثلا عددی با توان کسری که رند نیست رو چطوری انجام بدیم بدون ماشین حساب؟مثلا 2به توان3\7 یا 4به توان ¼

سلام.
عدد اعشاری به توان عدد اعشاری بدون ماشین حساب چطور میشه حساب کرد؟!

خداوند خیرتون بده مطالب خیلی خوب بود

سلام آ
آیا اعدا منفی هم می توانند به توان کسیری برسند وای آیا قابل قبول است یا خیر
چون من داخل کتاب درسی مشاهده کردم گفت غیر قابل قبول اما سایتmathway و معلم من می گه مورد قبول است
الان کدام درسته

سلام.
اعداد منفی را می‌توان به توان یک عدد کسری (مثبت یا منفی) رساند. البته این موضوع معمولاً در کتاب‌های درسی با جزئیات بیان نمی‌شود، زیرا در سطوح بالاتر به آن پرداخته می‌شود.
شاد و پیروز باشید.

به به به به لذت می برم و کیف می کنم آفرین بر شما

سلام وقت بخیر تو عبارتی که هم بیرون عبارت توان منفی داره و هم داخل عبارت چیکار باید بکنیم؟ مثل این
2- ^(36a^-5÷9a^2) با معکوس کردن داخل عبارت هم علامت توان تغییر میکنه؟

سلام آرای عزیز.
عبارت هرچه پیچیده هم باشد، از همان قواعدی که در متن گفتیم، استفاده می‌کنیم. در این موردی که نوشته‌اید، ابتدا از داخلی‌ترین بخش شروع می‌کنیم و آن را ساده می‌کنیم. سپس پرانتز‌های بیرونی را ساده خواهیم کرد. بنابراین، ابتدا $$36a^-5÷9a^2 $$ را ساده می‌کنیم:
$$36a^{-5}÷9a^2 $= \frac {36 a^{-5}}{9 a^2}=\frac {36}9a^{-5-2}= 4a^{-7} $$
اکنون عبارت $$ (4a^{-7}) ^ {-2} $$ را داریم و باید آن را ساده کنیم:
$$ (4a^{-7}) ^ {-2} =4^ {-2}a^ {(-7)(-2)}= \frac {1}{4^2}a^ {14}=\frac 1{16}a^{14}$$
برای آشنایی بیشتر با توان منفی به آموزش «اعداد با توان منفی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» مراجعه کنید.
شاد و پیروز باشید.

سلام.
سپاس از همراهی‌تان با مجله فرادرس.
شاد و پیروز باشید.

خیلی ممنون از مقاله عالی و مختصرتون من امروز صبح امتحان ریاضی داشتم دیروز اینارو خوندم و امتحانمو خیلی خوب نوشتم خیلی ممنون از مقالتون

سلام طاهای عزیز.
بسیار خوشحالیم که از آموزش‌های مجله فرادرس استفاده کرده‌اید.
به امید موفقیت‌های بیشتر.

سلام خواستم خدمتتون بگم که اعداد منفی کلا به توان کسری نمیرسن و تعریف نشده میشن تا اونجایی که میدونم اگه دلیلی دارید خواهشا بگید

اگر اعداد منفی به توان مثبت برسند و در پرانتز باشند (یعنی جواب مثبت در بیاد) منفی از بین میره و میشه.

سلام.
در حالت کلی نمی‌توان چنین چیزی گفت. برای مثال، عبارت $$ (-8)^\frac23$$ را در نظر بگیرید که در آن یک عدد منفی به توان کسری رسیده و حاصلش عدد $$4$$ است.
شاد و پیروز باشید.

مثال آخر،چرا بیست تقسیم بر ده رو کردین بیست ضربدر ده؟

سلام.
در این مثال، ابتدا $$400^{-1/2}$$ را از مخرج به صورت آورده‌ایم که به $$400^{1/2}=20$$ تبدیل شده است. سپس عدد $$1000^{1/3}=10$$ را در آن ضرب کرده‌ایم.
موفق باشید.

سلام عالی بود ممنون

میتونم بگم یه نابغه در اموزش این مطلب رو نوشته راحت در کمترین زمان به این مبحث مسلط شدم

سلام.
از پیام محبت‌آمیز شما بسیار سپاسگزارم.
سالم و سربلند باشید.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *