مرکز تقارن چیست؟ – به زبان ساده + در اشکال مختلف

مرکز تقارن، نقطه‌ای است که اگر از روی یکی از نقاط شکل، خطی را تا آن رسم کنیم (خط 1) و سپس خط دیگری را از روی آن تا نقطه مقابل شکل ادامه دهیم (خط 2)، هر دو خط دارای یک اندازه خواهند بود. به عبارت دیگر، به ازای هر نقطه از شکل، نقطه‌ای در طرف دیگر مرکز تقارن وجود خواهد داشت که فاصله هر دو از مرکز تقارن به یک اندازه است. مرکز تقارن، برای شکل‌های دارای تقارن مرکزی تعریف می‌شود. درک مفاهیم مرتبط با تقارن مرکزی و مرکز تقارن، نیاز به رسم شکل و توضیحات هندسی دارد. به همین دلیل، در این مقاله، مرکز تقارن و تعاریف مرتبط با آن را در شکل‌های مختلف هندسی و به صورت تصویری ارائه می‌کنیم.

تقارن چیست ؟

«تقارن» (Symmetry)، یکی از مفاهیم جذاب در هندسه است که متوازن بودن بخش‌های مختلف یک شکل نسبت به یک نقطه یا خط را نمایش می‌دهد. برای درک مفهوم تقارن در هندسه، تصویر زیر را در نظر بگیرید. در این تصویر، دو شکل متفاوت را نمایش می‌دهد. هر یک از شکل‌ها، توسط یک خط‌چین به دو قسمت تقسیم شده‌اند.

خط‌چین شکل سمت راست، آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. اگر این شکل را از روی خط‌چین تا بزنیم، هر دو قسمت دقیقا بر روی هم می‌افتند. به این ویژگی تقارن و شکل دارای این ویژگی، شکل متقارن می‌گوییم. شکل سمت چپ، ویژگی‌های مذکور را ندارد. بنابراین، این شکل به عنوان یک شکل نامتقارن در نظر گرفته می‌شود.

انواع تقارن چه هستند ؟

تقارن در هندسه به سه نوع اصلی انتقالی، محوری (بازتابی) و چرخشی تقسیم می‌شود. در برخی از موارد، اشکال دارای ترکیبی از این نوع تقارن‌ها هستند. تصویر زیر، انواع تقارن را نمایش می‌دهد.

در تصویر ابتدای مقاله، تقارن محوری و خط تقارن را به طور جزئی مورد بررسی قرار دادیم. تقارن محوری، شناخته شده‌ترین نوع تقارن است که با عنوان تقارن بازتابی نیز شناخته می‌شود. با این حال، در این مقاله، قصد داریم بر روی تقارن چرخشی و یکی از ویژگی‌های اصلی آن تمرکز کنیم.

تقارن چرخشی چیست ؟

«تقارن چرخشی» (Rotational Symmetry)، تقارنی است که با دوران یک شکل حول یک نقطه ثابت رخ می‌دهد. شکل‌های دارای تقارن چرخشی، در صورت دوران تحت زاویه‌های کمتر از 360 درجه، به حالت اولیه خود بازمی‌گردند. به عنوان مثال، یک مثلث متساوی‌الاضلاع را در نظر بگیرید.

اگر این مثلث را حول نقطه مرکزی آن دوران دهیم، پس از هر 120 درجه چرخش، شکل مثلث به حالت اولیه بازمی‌گردد. در این حالت می‌گوییم مثلث متساوی‌الاضلاع، دارای تقارن چرخشی است. به نقطه‌ای که مثلث حول آن می‌چرخد، «مرکز دوران» (Center of Rotation) می‌گوییم. تقارن چرخشی و مرکز دوران، از مفاهیم مورد نیاز برای درک مفهوم مرکز تقارن هستند.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

مرکز تقارن چیست ؟

در شکل‌های دارای تقارن چرخشی، یک نقطه مرکزی وجود دارد که در صورت دوران حول آن، شکل پس از مدتی به وضعیت اولیه خود بازمی‌گردد. اگر فاصله هر نقطه تا مرکز با فاصله نقطه مقابل آن تا مرکز برابر باشد، به نقطه مرکزی، «مرکز تقارن» (Center of Symmetry) می‌گوییم.

به ویژگی بالا در شکل‌های دارای نقطه تقارن، «تقارن مرکزی» (Central Symmetry) یا «بازتاب نقطه‌ای» (Point Reflection) گفته می‌شود. وجود مرکز تقارن، به مرتبه تقارن چرخشی بستگی دارد. به عنوان مثال، مربع زیر را در نظر بگیرید.

با توجه به تصویر متحرک بالا، مربع در حین دوران حول نقطه مرکزی، چهار بار بر روی خودش منطبق می‌شود. به این ترتیب، می‌گوییم مربع دارای تقارن چرخشی با مرتبه چهار است. برخلاف مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع، علاوه بر تقارن چرخشی، مرکز تقارن نیز دارد. به طور کلی، اگر مرتبه تقارن چرخشی، زوج باشد، مرکز شکل به عنوان مرکز تقارن نیز در نظر گرفته می‌شود؛ در غیر اینصورت، شکل فاقد مرکز تقارن است.

تعریف مرکز تقارن در ریاضی هشتم

بر اساس کتاب ریاضی هشتم، اگر شکلی را حول یک نقطه، به اندازه 180 درجه دوران دهیم و شکل به حالت اولیه خود بازگردد، به آن نقطه، مرکز تقارن می‌گوییم.

مثال 1: بررسی وجود تقارن مرکزی و مرکز تقارن در مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی‌الاضلاع زیر را در نظر بگیرید. نقطه قرمز، مرکز دوران این شکل را نمایش می‌دهد. آیا این شکل، تقارن مرکزی و مرکز تقارن دارد؟

اگر مثلث متساوی‌الاضلاع بالا را حول مرکز دوران آن، به اندازه 180 درجه بچرخانیم، به شکل زیر می‌رسیم. اطراف وضعیت مثلث بعد از دوران را با رنگ سیاه مشخص کرده‌ایم.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، پس از دوران 180 درجه‌ای مثلث متساوی‌الاضلاع حول مرکز دوران، شکل آن بر روی خودش منطبق نمی‌شود. بنابراین، مثلث متساوی‌الاضلاع، تقارن مرکزی و مرکز تقارن ندارد.

تفاوت محور تقارن و مرکز تقارن چیست ؟

محور تقارن، خطی است که یک شکل را به دو قسمت مساوی و متقارن تقسیم می‌کند؛ به گونه‌ای با تا زدن شکل از روی آن، هر دو قسمت به طور کامل بر روی هم قرار می‌گیرند. به عنوان مثال، در تصویر زیر، قطر مستطیل، محور تقارن آن نیست؛ در صورتی که عمود منصف طول مستطیل، دقیقا ویژگی‌های محور تقارن را دارد.

محور تقارن، مانند یک آینه عمل می‌کند و قسمت قرار گرفته در یک سمت خود را در سمت دیگر بازتاب می‌دهد. مرکز تقارن نیز مانند یک آیینه عمل می‌کند. با این تفاوت که این مرکز، هر نقطه از شکل را در طرف بازتاب می‌دهد. حرف انگلیسی S است. شکل این حرف، هیچ محور تقارنی ندارد.

اگر شکل بالا را از روی هر خط دلخواهی تا بزنیم، قسمت‌های دو طرف خط، بر روی یکدیگر منطبق نمی‌شوند.

بنابراین، شکل S، تقارن محوری و محور تقارن ندارد. با این وجود، فاصله هر نقطه از شکل تا مرکز این شکل (نقطه قرمز)، با فاصله نقطه مقابل آن تا مرکز، به یک اندازه است. بنابراین، شکل S، دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن است. تمام شکل‌های دارای تقارن چرخشی 180 درجه‌ای، تقارن مرکزی و مرکز تقارن دارند.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

مرکز تقارن در اشکال مختلف

در این بخش، وجود یا عدم وجود مرکز تقارن در شکل‌های مختلف هندسی نظیر چندضلعی‌های منتظم، چهارضلعی‌ها، دایره، بیضی و شکل‌های نامنظم را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

مرکز تقارن در چند ضلعی های منتظم

چندضلعی‌های منتظم، به دلیل داشتن ضلع‌های هم‌اندازه و زاویه‌های داخلی برابر، از تقارن محوری و چرخشی برخوردار هستند. البته، داشتن تقارن مرکزی و مرکز تقارن در این چندضلعی‌ها، به تعداد ضلع‌های آن‌ها بستگی دارد. تصویر زیر، یک پنج‌ضلعی و یک شش‌ضلعی منتظم را به همراه مرکز دوران‌شان نمایش می‌دهد.

اگر چندضلعی‌های بالا را به اندازه 180 درجه حول مرکز دوران‌شان بچرخانیم، به شکل‌های زیر می‌رسیم.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، وضعیت شش‌ضلعی منتظم پس از دوران 180 درجه‌ای، هیچ تغییری نمی‌کند. در طرف مقابل، پنج‌ضلعی منتظم پس از دوران 180 درجه‌ای، بر روی خودش منطبق نمی‌شود. بنابراین، مرکز دوران شش‌ضلعی منتظم، مرکز تقارن آن نیز بوده و این شکل دارای تقارن مرکزی است. این موضوع برای پنج‌ضلعی منتظم صدق نمی‌کند.

مثال 2: بررسی وجود تقارن مرکزی در هفت ضلعی و هشت ضلعی منتظم

هفت‌ضلعی و هشت‌ضلعی منتظم زیر را به همراه مرکز دوران‌شان (نقاط قرمز) در نظر بگیرید. آیا این نقاط، مرکز تقارن این چندضلعی‌ها هستند؟ چه نتیجه‌ای می‌توان از این مثال و چندضلعی‌های بررسی شده در بخش‌های قبلی گرفت؟

برای بررسی وجود مرکز تقارن در شکل‌های بالا، آن‌ها حول مرکز دوران، به اندازه 180 درجه می‌چرخانیم. با این کار، شکل زیر حاصل می‌شود.

در هفت‌ضلعی منتظم، شکل پس از دوران 180 درجه‌ای بر روی خودش منطبق نمی‌شود. بنابراین، مرکز دوران آن، مرکز تقارن نیست. در طرف دیگر، پس از دوران 180 هشت‌ضلعی منتظم، این شکل بر روی خودش قرار می‌گیرد. در نتیجه، هشت‌ضلعی منتظم دارای تقارن مرکزی بوده و مرکز دوران آن، مرکز تقارن نیز محسوب می‌شود. خلاصه نتایج این مثال و چندضلعی‌هایی که در بخش قبلی مورد بررسی قرار دادیم عبارت است از:

• مثلث متساوی‌الاضلاع (سه‌ضلعی منتظم)، مرکز تقارن ندارد.
• مربع (چهارضلعی منتظم)، مرکز تقارن دارد.
• پنج‌ضلعی منتظم، مرکز تقارن ندارد.
• شش‌ضلعی منتظم، مرکز تقارن دارد.
• هفت‌ضلعی منتظم، مرکز تقارن ندارد.
• هشت‌ضلعی منتظم، مرکز تقارن دارد.

از جمله‌های بالا می‌توانیم نتیجه بگیریم که زوج‌ضلعی‌های منتظم، دارای مرکز تقارن و تقارن مرکزی هستند؛ در صورتی که فردضلعی‌های منتظم، مرکز تقارن و تقارن مرکزی ندارند.

یافتن مرکز تقارن چند ضلعی های منتظم

در چندضلعی‌های منتظم، فقط در صورت زوج بودن تعداد ضلع‌ها، تقارن مرکزی و مرکز تقارن وجود خواهد داشت. برای یافتن این نقطه در زوج‌ضلعی‌های منتظم، می‌توانیم تمام راس‌های رو‌به‌روی و وسط تمام ضلع‌های روبه‌رویی را به هم وصل کنیم. به این ترتیب، پاره‌خط‌هایی به وجود می‌آیند که همدیگر را در یک نقطه مشترک قطع می‌کنند. این نقطه تقاطع، همان مرکز تقارن زوج‌ضلعی منتظم است.

محل تقاطع خط‌های رسم شده در چهارضلعی، شش‌ضلعی، هشت ضلعی و ده‌ضلعی منتظم، مرکز تقارن آن‌ها است. البته باید به این نکته نیز اشاره کنیم که این خط‌ها، محور تقارن چندضلعی‌های مذکور نیز محسوب می‌شوند. به عبارت دیگر، مرکز تقارن زوج‌ضلعی‌های منتظم، بر روی محل تقاطع محورهای تقارن آن‌ها قرار دارد.

مرکز تقارن چهار ضلعی های غیرمنتظم

وجود مرکز تقارن در چهارضلعی‌های غیرمنتظم مانند مربع، مستطیل، لوزی، ذوزنقه ، به وجود یا عدم وجود تقارن چرخشی مرتبه دو در این شکل‌ها وابسته است. اغلب چندضلعی‌های غیرمنتظم، تقارن مرکزی و مرکز تقارن ندارند. متوازی‌الاضلاع، یک چهارضلعی با ضلع‌های موازی است. تصویر زیر، شکل این چندضلعی غیرمنتظم را نمایش می‌دهد.

قطرهای متوازی‌الاضلاع را رسم کنیم، همدیگر را در مرکز تقارن این شکل قطع می‌کنند. در تصویر بالا، نقطه قرمز، محل تقاطع قطرهای متوازی‌الاضلاع و مرکز تقارن این شکل را نمایش می‌دهد. یکی از روش‌های بررسی درست بودن موقعیت مرکز تقارن، اندازه‌گیری فاصله نقاط روی شکل تا مرکز و مقایسه اندازه به دست آمده با فاصله مرکز تا نقاط روبه‌رویی است. به عنوان مثال، در متوازی‌الاضلاع، اگر فاصله یک راس تا مرکز تقارن و فاصله مرکز تا تقارن تا راس مقابل را اندازه‌گیری کنیم، به یک اندازه برابر می‌رسیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی در فرادرس

کلیک کنید

مرکز تقارن لوزی، مستطیل و مربع

علاوه بر متوازی الاضلاع، شکل‌های هندسی دیگری مانند لوزی، مستطیل و مربع نیز دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن هستند. تمام این شکل‌ها، از حالت‌های خاص متوازی‌الاضلاع محسوب می‌شوند:

• مستطیل، متوازی‌الاضلاعی با زاویه‌های داخلی 90 درجه است.
• لوزی، متوازی‌الاضلاعی با ضلع‌های برابر است.
• مربع، متوازی‌الاضلاعی با زاویه‌های داخلی 90 درجه و ضلع‌های برابر است. این شکل، از حالت‌های مستطیل و لوزی به حساب می‌آید.

به این ترتیب، هر سه شکل لوزی، مستطیل و مربع، دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن هستند. محل قرارگیری مرکز تقارن این شکل‌ها، مانند متوازی‌الاضلاع، با رسم قطرها و تعیین محل برخورد آن‌ها مشخص می‌شود.

مرکز تقارن کایت

از دیگر چهارضلعی‌های شناخته شده در دنیای هندسه می‌توان به کایت و ذوزنقه اشاره کرد. کایت، شکلی شبیه به لوزی است؛ با این تفاوت که در این شکل، تمام ضلع‌ها با هم برابر نیستند. کایت، تقارن مرکزی و مرکز تقارن نداشته و فقط تقارن محوری دارد.

مرکز تقارن ذوزنقه

ذوزنقه، یک چهارضلعی با دو ضلع موازی (دو قاعده) و دو ضلع غیرموازی (دو ساق) است. این شکل به انواع مختلف‌الاضلاع، متساوی‌الساقین و قائم‌الزاویه تقسیم می‌شود. هیچ از انواع ذوزنقه، تقارن مرکزی و مرکز تقارن ندارند. البته ذوزنقه متساوی‌الساقین، دارای تقارن محوری و یک محور تقارن است.

مرکز تقارن اشکال ستاره ای

شکل‌های ستاره‌ای، از انواع چندضلعی‌های مقعر هستند که ضلع‌های هم‌اندازه دارند. وجود یا عدم وجود تقارن مرکزی و مرکز تقارن در ستاره‌ها، به تعداد راس‌های آن‌ها وابسته است. ستاره‌های دارای راس زوج، تقارن مرکزی و مرکز تقارن دارند. این ویژگی برای ستاره‌های دارای راس فرد، صدق نمی‌کند. به عنوان مثال، ستاره‌های چهارپر و پنج‌پر زیر را در نظر بگیرید.

اگر شکل‌های بالا را به اندازه 180 درجه، حول مرکزشان دوران دهیم، حالت‌های زیر به وجود می‌آیند.

ستاره پنج‌پر پس از دوران 180 درجه‌ای بر روی خودش منطبق نشد. در طرف دیگر، ستاره چهارپر پس از دوران 180 درجه‌ای، دقیقا بر روی خودش قرار گرفت. بنابراین، از میان شکل‌های بالا، ستاره چهارپر دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن است. محل قرارگیری مرکز تقارن ستاره چهارپر، با اتصال راس‌های روبه‌رویی پرها به دست می‌آید. اگر هر راس بیرونی را به راس بیرونی مقابلش وصل کنیم، پاره‌خط‌ها یکدیگر را در نقطه‌ای مشترک قطع می‌کنند.

به طور کلی، اگر تعداد پرهای شکل ستاره زوج باشد، شکل دارای تقارن مرکزی و مرکز تقارن خواهد بود. در صورت فرد بودن تعداد پرهای شکل ستاره، تقارن مرکزی و مرکز تقارن وجود نخواهد داشت.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

مرکز تقارن دایره و بیضی

بیضی و دایره، دو منحنی بسته شناخته شده در دنیای هندسه هستند. تقارن مرکزی و مرکز تقارن، از ویژگی‌های مخصوص این این شکل‌ها به شمار می‌روند. اگر دایره و بیضی را حول مرکزشان به اندازه 180 درجه دوران دهیم، شکل آن‌ها به حالت اولیه بازمی‌گردد. البته دوران دایره با هر زاویه‌ای، تغییری در شکل آن ایجاد می‌کند. بنابراین،

مرکز تقارن بیضی و دایره نیز مانند زوج‌ضلعی‌های منتظم و انواع متوازی‌الاضلاع، بر روی محل تقاطع قطرها قرار دارد.

فاصله مرکز تقارن دایره با تمام نقاط روی محیط دایره، به یک اندازه است. این فاصله با عنوان شعاع دایره شناخته می‌شود.

مرکز تقارن اشکال نامنظم

در بخش‌های قبلی، وجود تقارن مرکزی و مرکز تقارن در برخی از اشکال هندسی شناخته شده را مورد بررسی قرار دادیم. اغلب این شکل‌ها، دارای ویژگی‌‌های مخصوصی مانند هم‌اندازه بودن ضلع‌ها، موازی بودن ضلع‌ها، برابر بودن زاویه‌ها و غیره بودند. شکل‌های نامنظم، شکل‌هایی هستند که هیچ یک از این ویژگی‌ها را نداشته یا نظم خاصی در هندسه آن‌ها وجود ندارد. اغلب این شکل‌ها، فاقد تقارن مرکزی و مرکز تقارن هستند. با این وجود، اگر یک شکل نامنظم با چرخش 180 درجه‌ای حول یک نقطه، بر روی وضعیت اولیه خودش منطبق شود، آن نقطه را مرکز تقارن و شکل را دارای تقارن مرکزی در نظر می‌گیریم. تصویر زیر، نمونه‌ای از یک شکل نامنظم با تقارن مرکزی را نمایش می‌دهد.

در صورت دوران 180 درجه‌ای شکل بالا حول نقطه محل تقاطع دو خط، شکل به وضعیت اولیه خود بازمی‌گردد. علاوه بر این، این شکل، از ویژگی اصلی شکل‌های دارای تقارن مرکزی نیز بهره می‌برد. به ازای هر نقطه از شکل، نقطه‌ای مشابه در طرف مقابل وجود دارد که فاصله هر دو نقطه تا مرکز شکل به یک اندازه است. در این تصویر بالا، این ویژگی، توسط خط‌چین‌های فلش‌دار نمایش داده شده است.

سوالات متداول در رابطه با مرکز تقارن

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با مرکز تقارن به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

مرکز تقارن یعنی چه ؟

اگر شکلی را حول یک نقطه، 180 درجه دوران دهیم و نتیجه دوران، روی خودش منطبق شود، می‌گوییم شکل مرکز تقارن دارد و نقطه مورد نظر، مرکز تقارن شکل است.

آیا مثلث مرکز تقارن دارد ؟

خیر. هیچ از انواع مثلث‌ها، مرکز تقارن ندارند.

آیا متوازی الاضلاع مرکز تقارن دارد ؟

بله. متوازی‌الاضلاع، دارای تقارن چرخشی مرتبه دو (تقارن مرکزی) و مرکز تقارن است.

آیا لوزی مرکز تقارن دارد ؟

بله. لوزی یک متوازی‌الاضلاع است و مرکز تقارن دارد.

آیا ذوزنقه مرکز تقارن دارد ؟

خیر. ذوزنقه، نه تقارن چرخشی داشته و نه مرکز تقارن دارد. فقط ذوزنقه متساوی‌الساقین، تقارن محوری دارد.

آیا دایره مرکز تقارن دارد ؟

بله. مرکز دایره، همان مرکز تقارن آن است.

آیا بیضی مرکز تقارن دارد ؟

بله. محل تقاطع محورهای اصلی و فرعی بیضی، مرکز تقارن آن است.

کدام شکل مرکز تقارن دارد ؟

چندضلعی‌های منتظم با ضلع‌های زوج، متوازی‌الاضلاع، لوزی، مستطیل، مربع، دایره، بیضی، ستاره‌ها با پرهای زوج و هر شکل منظم یا نامنظمی که با دوران 180 درجه‌ای حول یک نقطه، به موقعیت اولیه خود بازگردد، مرکز تقارن دارد.

کدام شکل مرکز تقارن ندارد ؟

از میان شکل‌های معروف دارای تقارن چرخشی، مثلث متساوی‌الاضلاع، مرکز تقارن ندارد. به طور کلی، شکل‌های دارای تقارن چرخشی مرتبه فرد، مرکز تقارن ندارند.

کدام حرف های انگلیسی مرکز تقارن دارند ؟

حرف‌های X ،S ،O ،N ،I ،H و Z دارای تقارن مرکز هستند.

آیا شکل دارای تقارن چرخشی مرکز تقارن دارند ؟

شکل‌های دارای تقارن چرخشی، مرکز دوران دارند. این شکل‌ها می‌توانند دارای مرکز تقارن نیز باشند؛ اگر با دوران 180 درجه‌ای حول مرکز دوران‌شان، بر روی وضعیت اولیه خود منطبق شوند.

تفاوت مرکز دوران و مرکز تقارن چیست ؟

برای شکل‌های دارای تقارن مرکزی (تقارن چرخشی 180 درجه‌ای)، مرکز دوران، همان مرکز تقارن است. برای شکل‌های دارای تقارن چرخشی بدون تقارن مرکزی، فقط مرکز دوران تعریف می‌شود و مرکز تقارن وجود ندارد.

آیا تمام چند ضلعی های منتظم مرکز تقارن دارند ؟

خیر. چندضلعی‌های منتظم با تعداد ضلع‌های زوج، تقارن مرکزی و مرکز تقارن دارند؛ در صورتی که چندضلعی‌های منتظم با تعداد ضلع‌های فرد، فقط تقارن چرخشی و مرکز دوران دارند.