مشتق و محاسبات آن — به زبان ساده

مشتق (Derivative) از پرکاربردترین مفاهیم ابداع شده در ریاضیات است. در حقیقت می‌توان گفت قلب ریاضیات مدرن، مفهوم مشتق است. در حالت کلی مشتق بر دو نوع مشتق ساده و جزئی است. البته مشتقات ساده را می‌توان با دو روش صریح و ضمنی بدست آورد. در این مطلب تنها روش صریح توضیح داده شده است. البته در آینده مشتق توابع لگاریتمی، توابع معکوس مثلثاتی و مشتق زنجیره‌ای را نیز توضیح خواهیم داد.

کاربرد مشتق در چیست؟

مفهوم مشتق در ریاضیات بیان می‌کند که یک پارامتر با چه سرعتی در زمان تغییر می‌کند. از این رو این ابزار در فیزیک کاربرد بسیاری دارد. برای مثال تصور کنید که خودرویی در حال پیمودن مسافت مشخصی است. در این حالت اگر تغییرات مسافت پیموده شده نسبت به زمان معلوم باشد، می‌توان نرخ این مسافت را در واحد زمان محاسبه کرد. از این رو در اکثر مسائلی که با سرعتِ تغییرِ یک پارامتر سروکار داریم، مشتق ظاهر خواهد شد.

مفهوم مشتق

همان‌طور که در بالا نیز اشاره شد، مشتق بیان می‌کند که یک تابع (مثلا جابجایی صورت گرفته توسط یک خودرو) با چه نرخی نسبت به متغیر وابسته‌اش تغییر می‌کند. برای نمونه در مثال خودرو، شیب تغییرات مسافت نسبت به زمان، همان مشتق است.

فرض کنید خودرویی فاصله مشخصی را می‌پیماید. هم‌چنین تصور کنید که نمودار مسافت پیموده شده نسبت به زمان را در اختیار داریم. شکل زیر این تغییرات را نشان می‌دهد.

این نمودار بیان می‌کند که خودرو در هر لحظه در چه مکانی قرار گرفته. بنابراین با بدست آوردن شیب این نمودار، می‌توان فهمید که در هر ثانیه این خودرو به چه میزان جابجا می‌شود. این عدد بدست آمده، همان مفهوم سرعت است.

حال تصور کنید که این تغییرات، همچون نمودار پایین غیرخطی باشند. به راستی در این حالت سرعت را چطور می‌توان بدست آورد؟

فرض کنید می‌خواهیم شیب نمودار را در نقطه (x₀,y₀) بیابیم. از این رو به نقطه دومی هم نیاز داریم. اگر این نقطه را به فاصله زیادی از (x₀,y₀) در نظر بگیریم، شیب بین این دو نقطه، عدد دقیقی را از شیب در نقطه (x₀,y₀) بدست نمی‌دهد. بنابراین بایستی چه کرد؟ حال نقطه دوم را بسیار نزدیک به (x₀,y₀) در نظر می‌گیریم. در حقیقت مختصات نقطه دوم به صورت $$(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$$ در نظر گرفته شده. بنابراین شیب بین این دو نقطه برابر است با:

$${{y_0+\Delta y-y_0} \over {x_0+\Delta x-x_0}}={\Delta y \over \Delta x}$$

از این رو شیب بین دو نقطهِ (x₀,y₀) و $$(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$$ برابر با $${\Delta y \over \Delta x}$$ می‌شود. اما هنوز این مقدار شیب دقیقی را در نقطه (x₀,y₀) به ما نمی‌دهد. اگر فاصله دو نقطه را به صفر نزدیک کنیم دقیقا شیب در نقطه مفروض بدست خواهد آمد. بنابراین می‌توان گفت شیب در نقطه (x₀,y₀) برابر است با:

$$\lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x} ={dy \over dx}$$

به عبارت $$dy \over dx$$ مشتق تابع y نسبت به x گفته می‌شود. این مقدار، تغییرات تابع y را نسبت به متغیر x در یک نقطه خاص، محاسبه می‌کند. انیمیشن زیر تغییرات شیب با نزدیک شدن به نقطه (x₀,y₀) را نشان می‌دهد.

به عملیاتی که در بالا انجام شد، مشتق‌گیری تابع y نسبت به x گفته می‌شود.

آموزش عربی – پایه نهم

شروع یادگیری

آموزش ریاضی – پایه هشتم

شروع یادگیری

آموزش محاسبات سریع ریاضی

شروع یادگیری

آموزش ریاضی پایه هفتم

شروع یادگیری

آموزش هندسه پایه دهم – هندسه ۱

شروع یادگیری

آموزش ریاضی – پایه دهم | رشته های تجربی و ریاضی

شروع یادگیری

آموزش ریاضی – پایه نهم

شروع یادگیری

آموزش ریاضیات گسسته – پایه دوازدهم

شروع یادگیری

آموزش ریاضی و آمار ۱ – پایه دهم علوم انسانی

شروع یادگیری

آموزش نگارش – پایه هفتم

شروع یادگیری

بنابراین مشتق تابع (y=f(x نسبت به x برابر است با:

$${f'(x)}=\lim_{\Delta x \to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}={dy \over dx} \enspace \enspace \enspace*$$

در توابع مختلف حاصل این حد حساب شده است.

محاسبه مشتق در توابع مختلف

در این قسمت می‌خواهیم مشتق چند تابع را بدست آوریم. البته توجه داشته باشید که مواردی که تابع y مستقیما، به‌صورت صریح بر حسب x بیان نمی‌شود، می‌توان از مشتق‌گیری ضمنی استفاده کرد.

مثال ۱

مشتق تابع f(x)=x را بدست آورید.

با جایگذاری تابع f در معادله * داریم:

$${f'(x)}=\lim_{\Delta x \to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}={{x+\Delta x -x} \over {\Delta x}}=1 \enspace \enspace \enspace$$

با توجه به پاسخ بدست آمده شیب این تابع در تمامی نقاطش برابر با ۱ است.

دیگر توابع

فرض کنید در جلسه امتحان حضور دارید و می‌خواهید مشتق تابع $$f(x)=xtan(x)$$ را محاسبه کنید. در ابتدا به نظر می‌رسد بایستی برای قبول شدن در این درس تا سال بعد صبر کنید! اما واقعیت این است که مشتق توابع مختلف را می‌توان با استفاده از قوانین حاکم بر آن‌ها پیدا کرد و همواره نیاز نیست تا از طریق معادله * عمل کرد. در جدول زیر حاصل مشتقِ معروف‌ترین توابع موجود در ریاضیات بیان شده است.

قوانین مشتق‌گیری

با استفاده از مشتقات توابع معرفی شده در بالا می‌توان مشتق هر نوع تابعی را بدست آورد. البته بایستی قوانین حاکم بر مشتق را دانست. برای مثال مشتق تابع $$y=f(x)+g(x)$$ با مشتق $$y=g(x)+y(x)$$ برابر است. در جدول زیر مهم‌ترین قوانین کاربردی در فرآیند مشتق‌گیری معرفی شده‌اند.

اثبات مشتق جمع دو تابع

فرض کنید دو تابع $$ f (x) $$ و $$ g ( x ) $$ داده شده‌اند که در نقطه‌ای مانند $$x$$ مشتق‌پذیر هستند. می‌خواهیم مشتق اثبات کنیم مشتق جمع دو تابع، یعنی $$ h (x ) = f (x) + g ( x ) $$، برابر با $$h'(x) = f'(x)+g'(x)$$. برای این کار از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم.

$$ \large \begin {align} h'(x) & = \lim _ { a\to 0} \frac{h(x+a)-h(x)}{a} \\
& = \lim_{a\to 0} \frac{[f(x+a)+g(x+a)]-[f(x)+g(x)]}{a} \\
& = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)+g(x+a)-g(x)}{a}
\\
& = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)}{a} + \lim_{a\to 0} \frac{g(x+a)-g(x)}{a} \\
&= f'(x)+g'(x)
\end {align} $$

اثبات مشتق تفریق دو تابع

اثبات مشتق تفریق دو تابع نیز مشابه اثبات مشتق جمع دو تابع است. فرض کنید دو تابع $$ f (x) $$ و $$ g ( x ) $$ داده شده‌اند که در نقطه‌ای مانند $$x$$ مشتق‌پذیر هستند. می‌خواهیم مشتق اثبات کنیم مشتق تفریق دو تابع، یعنی $$ h (x ) = f (x) – g ( x ) $$، برابر با $$h'(x) = f'(x)-g'(x)$$. برای این کار از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم.

$$ \large \begin {align} h'(x) & = \lim _ { a\to 0} \frac{h(x+a)-h(x)}{a} \\
& = \lim_{a\to 0} \frac{[f(x+a)-g(x+a)]-[f(x)-g(x)]}{a} \\
& = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)-[g(x+a)-g(x)]}{a}
\\
& = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)}{a} – \lim_{a\to 0} \frac{g(x+a)-g(x)}{a} \\
&= f'(x)-g'(x)
\end {align} $$

اثبات مشتق ضرب دو تابع

فرض کنید $$ h ( x ) = f ( x ) g ( x ) $$ را داشته باشیم. که در آن، $$f$$ و $$g$$ دو تابع مشتق‌پذیر هستند. می‌خواهیم اثبات کنیم مشتق $$h$$ برابر با $$ h'(x) =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ است.

برای این کار، از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin{align}
h'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\big[f(x+\Delta x)-f(x)\big] \cdot g(x+\Delta x) + f(x) \cdot \big[g(x+\Delta x)-g(x)\big]}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot {\lim_{\Delta x\to 0} g(x+\Delta x)}
+ \lim_{\Delta x\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
\end{align} $$

در عملیات بالا، تساوی $$\lim_{\Delta x\to0} g(x+\Delta x) = g(x)$$ طبق قضیه‌ای نوشته شده که بیان می‌کند توابع مشتق‌پذیر پیوسته‌اند.

اثبات مشتق تقسیم دو تابع

می‌خواهیم تساوی زیر را اثبات کنیم:

$$ \large { h’ ( x ) = \frac { g ( x ) \cdot f’ ( x ) – f ( x ) \cdot g’ ( x ) } { \left ( g ( x ) \right ) ^ 2 } } $$

از تعریف پایه مشتق استفاده می‌کنیم:

$$ \large \displaystyle \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { h ( x + \Delta x ) – h ( x ) } { \Delta x } } . $$

از آنجا که $$ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = h ( x ) $$ است، می‌توان نوشت:

$$ \large \displaystyle \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \dfrac { \frac { f ( x + \Delta x ) } { g ( x + \Delta x ) } – \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } { \Delta x } } . $$

عبارت بالا را به صورت زیر ساده می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} \frac { d h ( x ) } { d x } & = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x g ( x ) g ( x + \Delta x ) } } \\\\ & = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { 1 } { g ( x ) g ( x + \Delta x ) } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } \\\\ & = \frac { 1 } { \big ( g ( x ) \big ) ^ 2 } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } . \end {aligned} $$

با اضافه و کم کردن $$ f (x) g ( x ) $$ در صورت کسر، داریم:

$$ \large \displaystyle \frac { d h ( x ) } { d x } = \frac { 1 } { { \big ( g ( x ) \big ) } ^ { 2 } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } $$

با اعمال چند تغییر کوچک در عبارت بالا، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} \frac { d h ( x ) } { d x } & = \frac { 1 } { { g ( x ) } ^ { 2 } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \left ( g ( x ) \bigg ( \frac { f ( x + \Delta x ) – f ( x ) } { \Delta x } \bigg ) – f ( x ) \bigg ( \frac { g ( x + \Delta x ) – g ( x ) } { \Delta x } \bigg ) \right ) } \\\\ & = \dfrac { \displaystyle \left ( g ( x ) \bigg ( \lim _ { \Delta x\rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) – f ( x ) } { \Delta x } } \bigg ) – f ( x ) \bigg ( \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { g ( x + \Delta x ) -g ( x ) } { \Delta x } } \bigg ) \right) } { { g ( x ) } ^ { 2 } } . \end {aligned} $$

در نهایت، فرمول مورد نظر به دست می‌آید:

$$ \large \displaystyle  { \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \dfrac { f’ ( x ) g ( x ) – g’ ( x ) f ( x ) } { { \big ( g ( x ) \big ) } ^ { 2 } } } . \ $$

در بخش آینده با کاربرد این قوانین در محاسبه مشتق‌ توابع مختلف آشنا خواهید شد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات احتمالا می‌توانید از آموزش‌های زیر استفاده کنید:

• مجموعه آموزشی دروس دبیرستان
• مجموعه آموزش‌های ریاضی و فیزیک
• مشتق ضمنی — به زبان ساده
• مساحت در مختصات قطبی — به زبان ساده
• انتگرال به زبان ساده — بخش اول: مفاهیم
• انتگرال به زبان ساده — بخش دوم: روش‌های محاسبه

^^

فیلم‌ های آموزش مشتق و محاسبات آن — به زبان ساده

فیلم آموزشی مفهوم مشتق

فیلم آموزشی محاسبه مشتق توابع

مشاهده این ویدیو نیاز به عضویت و ورود به مجله فرادرس دارد.