ریاضی، علوم پایه، فیزیک 107755 بازدید

مشتق (Derivative) از پرکاربردترین مفاهیم ابداع شده در ریاضیات است. در حقیقت می‌توان گفت قلب ریاضیات مدرن، مفهوم مشتق است. در حالت کلی مشتق بر دو نوع مشتق ساده و جزئی است. البته مشتقات ساده را می‌توان با دو روش صریح و ضمنی بدست آورد. در این مطلب تنها روش صریح توضیح داده شده است. البته در آینده مشتق توابع لگاریتمی، توابع معکوس مثلثاتی و مشتق زنجیره‌ای را نیز توضیح خواهیم داد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

کاربرد مشتق در چیست؟

مفهوم مشتق در ریاضیات بیان می‌کند که یک پارامتر با چه سرعتی در زمان تغییر می‌کند. از این رو این ابزار در فیزیک کاربرد بسیاری دارد. برای مثال تصور کنید که خودرویی در حال پیمودن مسافت مشخصی است. در این حالت اگر تغییرات مسافت پیموده شده نسبت به زمان معلوم باشد، می‌توان نرخ این مسافت را در واحد زمان محاسبه کرد. از این رو در اکثر مسائلی که با سرعتِ تغییرِ یک پارامتر سروکار داریم، مشتق ظاهر خواهد شد.

derivative
شیب نمودار جابجایی-زمان در لحظه t0 در واقع سرعت در این لحظه را نشان می‌دهد.

مفهوم مشتق

همان‌طور که در بالا نیز اشاره شد، مشتق بیان می‌کند که یک تابع (مثلا جابجایی صورت گرفته توسط یک خودرو) با چه نرخی نسبت به متغیر وابسته‌اش تغییر می‌کند. برای نمونه در مثال خودرو، شیب تغییرات مسافت نسبت به زمان، همان مشتق است.

فرض کنید خودرویی فاصله مشخصی را می‌پیماید. هم‌چنین تصور کنید که نمودار مسافت پیموده شده نسبت به زمان را در اختیار داریم. شکل زیر این تغییرات را نشان می‌دهد.

derivative-speed

این نمودار بیان می‌کند که خودرو در هر لحظه در چه مکانی قرار گرفته. بنابراین با بدست آوردن شیب این نمودار، می‌توان فهمید که در هر ثانیه این خودرو به چه میزان جابجا می‌شود. این عدد بدست آمده، همان مفهوم سرعت است.

حال تصور کنید که این تغییرات، همچون نمودار پایین غیرخطی باشند. به راستی در این حالت سرعت را چطور می‌توان بدست آورد؟

non-linear-function

فرض کنید می‌خواهیم شیب نمودار را در نقطه (x0,y0) بیابیم. از این رو به نقطه دومی هم نیاز داریم. اگر این نقطه را به فاصله زیادی از (x0,y0) در نظر بگیریم، شیب بین این دو نقطه، عدد دقیقی را از شیب در نقطه (x0,y0) بدست نمی‌دهد. بنابراین بایستی چه کرد؟ حال نقطه دوم را بسیار نزدیک به (x0,y0) در نظر می‌گیریم. در حقیقت مختصات نقطه دوم به صورت $$(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$$ در نظر گرفته شده. بنابراین شیب بین این دو نقطه برابر است با:

$${{y_0+\Delta y-y_0} \over {x_0+\Delta x-x_0}}={\Delta y \over \Delta x}$$

از این رو شیب بین دو نقطهِ (x0,y0) و $$(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$$ برابر با $${\Delta y \over \Delta x}$$ می‌شود. اما هنوز این مقدار شیب دقیقی را در نقطه (x0,y0) به ما نمی‌دهد. اگر فاصله دو نقطه را به صفر نزدیک کنیم دقیقا شیب در نقطه مفروض بدست خواهد آمد. بنابراین می‌توان گفت شیب در نقطه (x0,y0) برابر است با:

$$\lim_{\Delta x \to 0} {\Delta y \over \Delta x} ={dy \over dx}$$

به عبارت $$dy \over dx$$ مشتق تابع y نسبت به x گفته می‌شود. این مقدار، تغییرات تابع y را نسبت به متغیر x در یک نقطه خاص، محاسبه می‌کند. انیمیشن زیر تغییرات شیب با نزدیک شدن به نقطه (x0,y0) را نشان می‌دهد.

derivation

به عملیاتی که در بالا انجام شد، مشتق‌گیری تابع y نسبت به x گفته می‌شود.

بنابراین مشتق تابع (y=f(x نسبت به x برابر است با:

$${f'(x)}=\lim_{\Delta x \to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}={dy \over dx} \enspace \enspace \enspace*$$

فیلم‌های آموزشی مرتبط

در توابع مختلف حاصل این حد حساب شده است.

محاسبه مشتق در توابع مختلف

در این قسمت می‌خواهیم مشتق چند تابع را بدست آوریم. البته توجه داشته باشید که مواردی که تابع y مستقیما، به‌صورت صریح بر حسب x بیان نمی‌شود، می‌توان از مشتق‌گیری ضمنی استفاده کرد.

مثال ۱

مشتق تابع f(x)=x را بدست آورید.

با جایگذاری تابع f در معادله * داریم:

$${f'(x)}=\lim_{\Delta x \to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x}={{x+\Delta x -x} \over {\Delta x}}=1 \enspace \enspace \enspace$$

با توجه به پاسخ بدست آمده شیب این تابع در تمامی نقاطش برابر با ۱ است.

دیگر توابع

فرض کنید در جلسه امتحان حضور دارید و می‌خواهید مشتق تابع $$f(x)=xtan(x)$$ را محاسبه کنید. در ابتدا به نظر می‌رسد بایستی برای قبول شدن در این درس تا سال بعد صبر کنید! اما واقعیت این است که مشتق توابع مختلف را می‌توان با استفاده از قوانین حاکم بر آن‌ها پیدا کرد و همواره نیاز نیست تا از طریق معادله * عمل کرد. در جدول زیر حاصل مشتقِ معروف‌ترین توابع موجود در ریاضیات بیان شده است.

مشتق
منبع تصویر وبسایت Mathisfun است.

قوانین مشتق‌گیری

با استفاده از مشتقات توابع معرفی شده در بالا می‌توان مشتق هر نوع تابعی را بدست آورد. البته بایستی قوانین حاکم بر مشتق را دانست. برای مثال مشتق تابع $$y=f(x)+g(x)$$ با مشتق $$y=g(x)+y(x)$$ برابر است. در جدول زیر مهم‌ترین قوانین کاربردی در فرآیند مشتق‌گیری معرفی شده‌اند.

derivative-table
منبع تصویر وبسایت Mathisfun است.

اثبات مشتق جمع دو تابع

فرض کنید دو تابع $$ f (x) $$ و $$ g ( x ) $$ داده شده‌اند که در نقطه‌ای مانند $$x$$ مشتق‌پذیر هستند. می‌خواهیم مشتق اثبات کنیم مشتق جمع دو تابع، یعنی $$ h (x ) = f (x) + g ( x ) $$، برابر با $$h'(x) = f'(x)+g'(x)$$. برای این کار از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم.

$$ \large \begin {align} h'(x) & = \lim _ { a\to 0} \frac{h(x+a)-h(x)}{a} \\
& = \lim_{a\to 0} \frac{[f(x+a)+g(x+a)]-[f(x)+g(x)]}{a} \\
& = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)+g(x+a)-g(x)}{a}
\\
& = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)}{a} + \lim_{a\to 0} \frac{g(x+a)-g(x)}{a} \\
&= f'(x)+g'(x)
\end {align} $$

اثبات مشتق تفریق دو تابع

اثبات مشتق تفریق دو تابع نیز مشابه اثبات مشتق جمع دو تابع است. فرض کنید دو تابع $$ f (x) $$ و $$ g ( x ) $$ داده شده‌اند که در نقطه‌ای مانند $$x$$ مشتق‌پذیر هستند. می‌خواهیم مشتق اثبات کنیم مشتق تفریق دو تابع، یعنی $$ h (x ) = f (x) – g ( x ) $$، برابر با $$h'(x) = f'(x)-g'(x)$$. برای این کار از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم.

$$ \large \begin {align} h'(x) & = \lim _ { a\to 0} \frac{h(x+a)-h(x)}{a} \\
& = \lim_{a\to 0} \frac{[f(x+a)-g(x+a)]-[f(x)-g(x)]}{a} \\
& = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)-[g(x+a)-g(x)]}{a}
\\
& = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)}{a} – \lim_{a\to 0} \frac{g(x+a)-g(x)}{a} \\
&= f'(x)-g'(x)
\end {align} $$

اثبات مشتق ضرب دو تابع

فرض کنید $$ h ( x ) = f ( x ) g ( x ) $$ را داشته باشیم. که در آن، $$f$$ و $$g$$ دو تابع مشتق‌پذیر هستند. می‌خواهیم اثبات کنیم مشتق $$h$$ برابر با $$ h'(x) =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ است.

برای این کار، از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم:

$$ \large \begin{align}
h'(x) &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\big[f(x+\Delta x)-f(x)\big] \cdot g(x+\Delta x) + f(x) \cdot \big[g(x+\Delta x)-g(x)\big]}{\Delta x} \\[5pt] &= \lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot {\lim_{\Delta x\to 0} g(x+\Delta x)}
+ \lim_{\Delta x\to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta x\to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\[5pt] &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
\end{align} $$

در عملیات بالا، تساوی $$\lim_{\Delta x\to0} g(x+\Delta x) = g(x)$$ طبق قضیه‌ای نوشته شده که بیان می‌کند توابع مشتق‌پذیر پیوسته‌اند.

اثبات مشتق تقسیم دو تابع

می‌خواهیم تساوی زیر را اثبات کنیم:

$$ \large { h’ ( x ) = \frac { g ( x ) \cdot f’ ( x ) – f ( x ) \cdot g’ ( x ) } { \left ( g ( x ) \right ) ^ 2 } } $$

از تعریف پایه مشتق استفاده می‌کنیم:

$$ \large \displaystyle \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { h ( x + \Delta x ) – h ( x ) } { \Delta x } } . $$

از آنجا که $$ \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = h ( x ) $$ است، می‌توان نوشت:

$$ \large \displaystyle \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \dfrac { \frac { f ( x + \Delta x ) } { g ( x + \Delta x ) } – \frac { f ( x ) } { g ( x ) } } { \Delta x } } . $$

عبارت بالا را به صورت زیر ساده می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} \frac { d h ( x ) } { d x } & = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x g ( x ) g ( x + \Delta x ) } } \\\\ & = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { 1 } { g ( x ) g ( x + \Delta x ) } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } \\\\ & = \frac { 1 } { \big ( g ( x ) \big ) ^ 2 } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } . \end {aligned} $$

با اضافه و کم کردن $$ f (x) g ( x ) $$ در صورت کسر، داریم:

$$ \large \displaystyle \frac { d h ( x ) } { d x } = \frac { 1 } { { \big ( g ( x ) \big ) } ^ { 2 } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x + \Delta x ) } { \Delta x } } $$

با اعمال چند تغییر کوچک در عبارت بالا، خواهیم داشت:

$$ \large \begin {aligned} \frac { d h ( x ) } { d x } & = \frac { 1 } { { g ( x ) } ^ { 2 } } \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \left ( g ( x ) \bigg ( \frac { f ( x + \Delta x ) – f ( x ) } { \Delta x } \bigg ) – f ( x ) \bigg ( \frac { g ( x + \Delta x ) – g ( x ) } { \Delta x } \bigg ) \right ) } \\\\ & = \dfrac { \displaystyle \left ( g ( x ) \bigg ( \lim _ { \Delta x\rightarrow 0 } { \frac { f ( x + \Delta x ) – f ( x ) } { \Delta x } } \bigg ) – f ( x ) \bigg ( \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } { \frac { g ( x + \Delta x ) -g ( x ) } { \Delta x } } \bigg ) \right) } { { g ( x ) } ^ { 2 } } . \end {aligned} $$

در نهایت، فرمول مورد نظر به دست می‌آید:

$$ \large \displaystyle  { \dfrac { d h ( x ) } { d x } = \dfrac { f’ ( x ) g ( x ) – g’ ( x ) f ( x ) } { { \big ( g ( x ) \big ) } ^ { 2 } } } . \ $$

در بخش آینده با کاربرد این قوانین در محاسبه مشتق‌ توابع مختلف آشنا خواهید شد.

در صورت علاقه‌مندی به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات احتمالا می‌توانید از آموزش‌های زیر استفاده کنید:

^^

فیلم‌ های آموزش مشتق و محاسبات آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

فیلم آموزشی مفهوم مشتق

دانلود ویدیو

فیلم آموزشی محاسبه مشتق توابع

اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«مجید عوض‌زاده»، فارغ‌ التحصیل مقطع کارشناسی ارشد رشته مهندسی مکانیک از دانشگاه تهران است. فیزیک، ریاضیات و مهندسی مکانیک از جمله مباحث مورد علاقه او هستند که در رابطه با آن‌ها تولید محتوا می‌کند.

بر اساس رای 279 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

22 نظر در “مشتق و محاسبات آن — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)

  • این یک بحث فلسفی است البته به نظر من.
    تعارضات در سازمان یک پیچیدگی درونی است که ریشه در شاکله و دات سازمان ما دارد.
    خب حالا اگر بخواهیم شاکله را به زبان ریاضی بیان کنیم. بایستی به قولی اینطور میگو.یند که شاکله به زبان ریاضی انتگرال اعمال ماست و عمل مشتق این شاکله در هر لحظه میباشد. به عنوان ریاضی دان چگونه میتوانید این موضوع را توضیح وتفسیر نمایید که بنده بفهمم. من ریاضی نمیدونم ولی این موضوع مرا درگیر کرده است . مرسی. فیروزیان.

  • سلام وقت بخیر میشه کمکم کنین؟من دوتا مثال میخوام که مشتق تابع در اون نقطه بشه ½ و -¾…دوتا مثال میخوام ک مشتقشون این بشه خودم نمیتونم بدست بیارم☹

  • چند حدیث از پیامبر (ص) در مورد علم

    ۱-من طلب العلم تکفّل اللَّه برزقه؛ هر که علم جوید خدا عهده دار روزی او شود.
    ۲- ما تصدّق النّاس بصدقه أفضل من علم ینشر؛ هیچ صدقه ای که مردم دهند از علمی که منتشر شود بهتر نیست.
    ۳- عالم ینتفع بعلمه خیر من ألف عابد؛ دانشمندی که از علم او سود برند، از هزار عابد بهتر است.
    ۴- العلم میراثی و میراث الأنبیاء من قبلی؛ علم میراث من و میراث پیامبران پیش از من است.
    ۵- طلب العلم ساعه خیر من قیام لیله و طلب العلم یوما خیر من صیام ثلاثه أشهر؛ ساعتی علم جستن بهتر از نمازگزاری یک شب است و روزی علم جستن بهتر از سه ماه روزه داری است.

    امیر المؤمنین على بن ابیطالب علیه السّلام
    زکات دانش،نشر آن است.
    زکوه العلم نشره
    غرر الحکم و درر الکلم، ج ۱، ص ۵۲

    1. (F’x/F’y)= _ (2x/5۰y )_
      در صورت y را عددی ثابت در نظر میگیریم و مشتق میگیرم
      و در مخرج x را عددی ثابت در نظر میگیریم و مشتق

  • سپاس گذارم از اموزش خوبتون فقط ی سوال درباره مفهوم مشتق داشتم…

    وقتی مشتق یک تابع رو بدست میاریم در واقع داریم شیب مماس در نقطه خاص بدست میاریم اگه اینجوریه پس چرا اونو به کل تابع نسبت میدیم؟؟؟؟ مثلا میگیم مشتق ایکس دو میشه دو ایکس چجوری بجای ی نقطه خاص به کل تابع ما دو ایکسو نسبت میدیم؟؟؟؟

    1. درست است.مشتق در هر نقطه شیب خط مماس در آن نقطه است، هر نقطه مقدار ایکس مربوط به خودش و نیز شیب خط مماس بر خودش را داراست.
      اگر در مشتق، ایکس وجود نداشته باشد به این معنی است که مشتق در همه نقاط تابع ثابت است. مثلا مشتق تابع دوایکس(که یک خط راست است) میشود دو.

  • سلام واقعا ممنونم از اموزشاتتون به خصوص در رشته ریاضیات که بسیار عالی هستن و اقای عوض زاده واقعا بسیار خوب و همه فهم مطالب رو توضیح میدن. اما در مواردی مانند مشتق و حد میتونستن کمی ساده تر مطالب رو بیان کنن. اما باز هم واقعا از سایتتون ممنونم که در پیشرفت تحصیلی شخص بنده کمک موثری بود. واقعا ممنون

  • سلام. میشه در یه پیج دیگه قوانین مشتق رو با استفاده از تعریف مشتق اثبات بکنید. خیلی ممنون از سایت فرادرس عزیز

  • تشکر از گروه فرادرس . بعد از چند سال جدایی از دانشگاه تصمیم به ادامه تحصیل گرفتم . خیلی از مطالب فراموش شده بود که با استفاده از فیلم ها و مطالب وبلاگ دوباره یاداوری شد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *