جمع کسرها — آموزش کامل به زبان ساده + حل تمرین

جمع یکی از چهار عمل اصلی حساب اعداد صحیح، اعداد اعشاری، اعداد کسری، اعداد حقیقی و اعداد مختلط و همچنین عبارت‌های جبری و بردارها است. در این آموزش با روش‌های مختلف جمع کسرها آشنا می‌شویم و مثال‌های متنوعی را بررسی خواهیم کرد.

کسر چیست‌؟

کسرها دسته‌ای از اعداد هستند که با تقسیم دو عدد صحیح تعریف می‌شوند و برای نشان دادن هر تعداد از قسمت‌های مساوی یک چیز به‌کار می‌روند.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

کسر عددی حقیقی به‌شکل $$\frac m  n$$ است که در آن‌ها $$m$$ و $$n$$ اعدادی صحیح‌اند و به‌ترتیب، «صورت کسر» و «مخرج کسر» نامیده می‌شود. بنابراین، در کسر $$\frac 45$$ عدد ۴ صورت و عدد 5 مخرج کسر است و آن را «چهارپنجم» می‌خوانیم.

در گام‌های زیر می‌توان برای کسر $$\frac 23$$ یک شکل رسم کرد.

۱. ابتدا کل شکل که ۱ واحد است را رسم می‌کنیم.

۲. این یک واحد را طبق مخرج (عدد ۳) به سه قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم (یعنی $$\frac 13$$).

۳. به‌اندازه عدد صورت، یعنی ۲، را رنگ می‌زنیم و به کسر $$\frac 23$$ می‌رسیم.

کسرها را می‌توان به سه دسته تقسیم کرد:

• کسرهای سره که در آن‌ها صورت از مخرج کوچک‌تر است، مثل $$\frac 45$$
• کسرهای ناسره که در آن‌ها صورت کسر از مخرج آن بزرگ‌تر است، مانند $$\frac 7 4$$.
• عدد مخلوط که بخشی از آن یک عدد صحیح و بخشی از آن یک کسر است. بخش کسری این عدد همواره یک کسر سره است.

جمع کسرها با مخرج مساوی

جمع کسرها با مخرج مساوی کار بسیار آسانی است. کافی است صورت‌ها را با هم جمع کنیم و مخرج را همان مخرج مساوی کسرها قرار دهیم.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

برای مثال، جمع دو کسر $$\frac 17$$ و $$\frac 37$$ به‌‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \frac 17 + \frac 37 = \frac {1 + 3 } { 7 } = \frac 4 7$$

یا جمع دو کسر $$\frac 49$$ و $$\frac 19$$ برابر است با

$$\large \frac 49 + \frac 19 = \frac {4 + 1 }{9 } = \frac 59$$

جمع کسرها با مخرج نامساوی

برای جمع کردن دو یا چند کسر با مخرج نامساوی، ابتدا باید مخرج آن‌ها را با هم برابر کنیم، سپس یکی از مخرج‌ها را نوشته و صورت‌ها را با هم جمع کنیم. در واقع، باید ابتدا بین کسرها مخرج مشترک بگیریم.

گام اول: مخرج مشترک گرفتن

در اینجا، روش مخرج مشترک گرفتن بین کسرها را بیان می‌کنیم. همان‌طور که می‌دانیم، اگر صورت و مخرج یک کسر در مقدار ثابتی (غیر از صفر) ضرب کنیم، مقدار کسر تغییری نخواهد کرد. برای مثال، برای کسر $$\frac 35$$، داریم:

$$\large \large {\displaystyle \dfrac{ 3}{ 5} = \dfrac{ 3 \times 2}{ 5 \times 2} = \dfrac{ 3 \times 4}{ 5 \times 4} = \dfrac{ 3\times 10}{ 5 \times 10}}$$

همه کسرهای بالا مقداری ثابت و برابر با $$\frac 35$$ دارند. از این مفهوم برای مخرج مشترک گرفتن استفاده می‌کنیم. مخرج مشترک گرفتن بین دو کسر، یعنی مخرج یکی از آن‌ها یا هردو را در عددی ضرب کنیم تا مخرجشان برابر شود. باید دقت کنیم که وقتی مخرج را در عددی ضرب می‌کنیم، باید صورت را نیز در همان عدد ضرب کنیم تا کسر تغییری نکند.

با مثال، مخرج مشترک گرفتن را توضیح می‌دهیم. فرض کنید دو کسر $$\frac 12$$ و $$\frac 35$$ را داریم. همان‌طور که می‌بینیم مخرج یکی $$2$$ و مخرج دیگری $$5$$ است و این دو مخرج برابر نیستند. می‌خواهیم مخرج مشترک دو کسر را محاسبه کنیم. بدین منظور، باید کوچک‌ترین مضرب مشترک یا ک.م.م. بین دو مخرج را پیدا کنیم.

برای محاسبه ک.م.م. دو عدد $$2$$ و $$5$$، چند مضرب نخست آن‌ها را می‌نویسیم، سپس به کوچک‌ترین مضرب مشترک بین آن‌ها را انتخاب می‌کنیم:

• مضرب‌های عدد $$2$$: $$2$$ و $$4$$ و $$6$$ و $$8$$ و $$10$$ و $$12$$ و $$14$$ و $$16$$ و $$18$$ و $$20$$ و ...
• مضرب‌های عدد $$5$$: $$5$$ و $$10$$ و $$15$$ و $$20$$ و...

می‌بینیم که مضرب‌های $$10$$ و $$20$$ و... بین دو عدد مشترک است و کوچک‌ترین آن‌ها $$10$$ است. بنابراین، مخرج مشترک دو کسر عدد $$10$$ خواهد بود. برای رسیدن به این مخرج مشترک، باید $$5$$ را در $$2$$ ضرب کنیم و $$2$$ را در $$5$$. بنابرین، دو کسر را به‌‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$\large \begin {align} \frac 1 2 & = \frac {1 \times 5 } { 2 \times 5 } = \frac 5 { 10 } \\ \frac 35 & = \frac {3 \times 2 } { 5 \times 2 } = \frac {6 } { 10 } \end {align}$$

اکنون دو کسر $$\frac 5 {10}$$ و $$\frac 6 {10}$$ را داریم که مخرج برابر دارند.

در آموزش «ک م م یا کوچکترین مضرب مشترک چیست؟ — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)» درباره محاسبه ک.م.م. توضیح داده‌ایم.

گام دوم: جمع کسرها

پس از آنکه مخرج دو کسر را برابر کردیم، مانند جمع کسرها با مخرج مساوی عمل می‌کنیم. مخرج برابر را می‌نویسیم و صورت‌ها را با هم جمع می‌کنیم. به مثال جمع دو کسر $$\frac 12$$ و $$\frac 35$$ برمی‌گردیم. دیدیم که با مخرج مشترک گرفتن، این دو کسر، به‌ترتیب، برابر با کسرهای $$\frac 5 {10}$$ و $$\frac 6 {10}$$ هستند. اکنون این دو کسر را که مخرج مساوی دارند با هم جمع می‌کنیم:

$$\large \frac 12 + \frac 35 = \frac 5 { 10 } + \frac 6 { 10 } = \frac {5 + 6 } { 10 } = \frac {11}{ 10}$$

بنابراین جواب $$\frac {11}{10}$$ است. با توجه به اینکه این کسر ناسره است، می‌توانیم آن را به یک عدد مخلوط تبدیل کنیم:

$$\large \frac {11 } { 10 } = \frac { 1 0 + 1 } { 10 } = \frac {10 }{10 }+ \frac 1 {10} = 1 + \frac 1 {10} = 1 \frac 1 {10}$$

جمع کسرها با شکل

جمع کسرها با شکل را با مثال‌ توضیح می‌دهیم. فرض کنید می‌خواهیم جمع زیر را انجام دهیم:

$$\large \frac 15 + \frac 35$$

ابتدا شکل دو کسر را رسم می‌کنیم.

با توجه به برابر بودن مخرج دو کسر، برای جمع آن‌ها از شکل پنج‌قسمتی استفاده می‌کنیم. یک خانه برای کسر نخست و سه خانه را برای کسر دوم رنگ می‌کنیم و در نهایت، تعداد خانه‌های رنگ‌شده را می‌شماریم.

می‌بینیم که تعداد $$4$$ خانه رنگ شده و شکل $$5$$ قسمت دارد. بنابراین، جواب $$\frac 45$$ است.

اکنون حالتی را بررسی می‌کنیم که مخرج دو کسر برابر نباشد. فرض کنید می‌خواهیم جمع زیر را انجام دهیم:

$$\large \frac 1 4 + \frac 58$$

ابتدا بین دو کسر مخرج مشترک می‌گیریم. این مخرج مشترک $$8$$ است. همان‌طور که می‌بینیم، کسر $$\frac 14$$ معادل $$\frac 28$$ است. بنابراین، باید دو کسر $$\frac 28$$ و $$\frac 58$$ را محاسبه کنیم.

بنابراین، برای $$\frac 14 =\frac 28$$ تعداد $$2$$ خانه و برای $$\frac 58$$ تعداد $$5$$ خانه را رنگ می‌زنیم. می‌بینیم که مجموع این خانه‌های رنگ‌شده $$7$$ تا است. بنابراین، جواب $$\frac 78$$ خواهد بود.

جمع کسرها روی محور اعداد

برای جمع کسرها روی محور، مخرج دو کسر باید برابر باشد. فرض کنید می‌خواهیم دو کسر $$\frac 25$$ و $$\frac 15$$ را با هم جمع کنیم.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم – جامع و با نکات مهم در فرادرس

کلیک کنید

برای این کار، ابتدا یک واحد روی محور را به $$5$$ قسمت تبدیل می‌کنیم. سپس کسر $$\frac 25$$ را روی محور مشخص می‌کنیم. در ادامه، یک کمان به اندازه $$\frac 15$$ رسم می‌کنیم که انتهای آن جمع دو کسر را نشان می‌دهد. می‌بینیم که حاصل جمع دو کسر $$\frac 25$$ و $$\frac 15$$ برابر با $$\frac 35$$ است.

اکنون مثالی را بررسی می‌کنیم که در آن، مخرج دو کسر برابر نیست. می‌خواهیم جمع دو کسر $$\frac 12$$ و $$\frac 38$$ را انجام دهیم. برای این کار، ابتدا مخرج مشترک می‌گیریم:

• مضارب عدد $$2$$: $$2$$ و $$4$$ و $$6$$ و $$8$$ و $$10$$ و...
• مضارب عدد $$8$$: $$8$$ و $$16$$ و...

می‌بینیم که کوچک‌ترین مضرب مشترک دو مخرج، عدد $$8$$ است. کسر $$\frac 12$$ به‌صورت زیر در می‌آید:

$$\large \frac 12 = \frac {1 \times 4}{2 \times 4 }= \frac 4 8$$

بنابراین، باید جمع $$\frac 48$$ و $$\frac 38$$‌را انجام دهیم. برای این کار، ابتدا یک واحد را روی محور اعداد مشخص می‌کنیم. سپس با توجه به اینکه مخرج $$8$$ است، آن را به $$8$$ بخش تقسیم می‌کنیم. در ادامه، با یک کمان، $$4$$ خانه را می‌شماریم و عدد $$\frac 48$$‌ را روی محور مشخص می‌کنیم. سپس از انتهای کمان $$\frac 48$$، کمانی به‌اندازه $$3$$ خانه رسم می‌کنیم که عدد $$\frac 38$$ را نشان می‌دهد. انتهای کمان دوم، مجموع دو کسر را نشان می‌دهد. می‌بینیم که این عدد $$\frac 78$$ است.

جمع کسر با عدد صحیح

برای جمع کسر با عدد صحیح، کافی است عدد صحیح را به‌شکل یک کسر هم‌مخرج با کسری که با آن جمع می‌شود، بنویسیم.

فرض کنید می‌خواهیم جمع عدد صحیح $$2$$ و کسر $$\frac 3 5$$ را انجام دهیم. طبق آنچه کفتیم، ابتدا عدد $$2$$ را به عددی با مخرج $$5$$ تبدیل می‌کنیم. کافی است که مخرج را $$5$$ بگذاریم و به‌جای صورت ضرب $$2$$‌ در $$5$$ را قرار دهیم:

$$\large 2 + \frac 35 = \frac {2 \times 5}{5 }+ \frac 35 = \frac {10}{5 } + \frac 35 = \frac {13} 5$$

مثال‌های جمع کسرها

در این بخش، مثال‌هایی را از جمع کسرها بررسی می‌کنیم.

مثال اول جمع کسرها

جمع دو کسر $$\frac 13$$ و $$\frac 25$$ را انجام دهید.

حل: می‌بینیم که مخرج‌ها مساوی نیستند. بنابراین، باید مخرج مشترک بگیریم. ک.م.م. دو عدد $$3$$ و $$5$$ عدد $$15$$ است. بنابراین، صورت و مخرج کسر $$\frac 13$$ را در $$5$$ و صورت و مخرج کسر $$\frac 25$$‌ را در $$3$$ ضرب می‌کنیم:

$$\large \frac 1 3 + \frac 2 5 = \frac {1 \times 5 } { 3 \times 5 } + \frac { 2 \times 3 } { 5 \times 3 } = \frac {5}{15} + \frac {6}{15} = \frac {5+6}{15}= \frac {11} {15}$$

تصویر زیر مراحل این کار را به‌خوبی نشان می‌دهد.

مثال دوم جمع کسرها

حاصل‌جمع $$3 \frac { 5 } { 8 } + 2 \frac { 2 } { 3 }$$ را محاسبه کنید.

حل: برای به‌دست آوردن جواب، اعداد صحیح را جدا، و اعداد کسری را جدا با هم جمع می‌کنیم.

$$\large \begin {aligned} & 3 \frac { 5 } { 8 } + 2 \frac { 2 } { 3 } \\ & = ( 3 + 2 ) + \left ( \frac { 5 } { 8 } + \frac { 2 } { 3 } \right ) \\ & = 5 + \left ( \frac { 5 } { 8 } + \frac { 2 } { 3 } \right ) \end {aligned}$$

می‌بینیم که دو عدد کسری، مخرج یکسانی ندارند. بنابراین، باید مخرج مشترک بگیریم و آن دو را با هم جمع کنیم. ک‌.‌م.‌م. دو عدد $$3$$ و $$8$$، عدد $$24$$ است که مخرج مشترک دو کسر می‌شود. مراحل زیر، نحوه محاسبه جواب نهایی را نشان می‌دهند:

$$\large \begin {aligned} & = 5 + \frac { 5 \times 3 } { 8 \times 3 } + \frac{ 2 \times 8} { 3 \times 8 } \\ & = 5 + \frac { 1 5 } { 2 4 } + \frac { 1 6 } { 2 4 } \\ & = 5 + \frac { 1 5 + 1 6 } { 2 4 } \\ & = 5 + \frac { 3 1 } { 2 4 } \\ & = 5 + 1 \frac { 7 } { 2 4 } \\ & = 6 \frac { 7 } { 2 4 } \end {aligned}$$

مثال سوم جمع کسرها

جمع سه عدد $$1 \frac{1}{6}$$ و $$2 \frac{1}{8}$$ و $$3 \frac{1}{4}$$ را محاسبه کنید.

حل: باید حاصل‌جمع $$1 \frac { 1 } { 6 } + 2 \frac { 1 } { 8 } + 3 \frac { 1 } { 4 }$$ را به‌دست آوریم. مطابق آنچه پیش‌تر نیز انجام دادیم، اعداد صحیح را جدا و کسرها را جدا با هم جمع می‌کنیم. چون مخرج کسرها (اعداد $$4$$ و $$6$$ و $$8$$)‌ یکسان نیستند، باید مخرج مشترک بگیریم. مخرج مشترک عدد $$24$$ است. در نتیجه، خواهیم داشت:

$$\large \begin {aligned} & = ( 1 + 2 + 3 ) + \left ( \frac { 1 } { 6} + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 4 } \right ) \\ & = 6 + \left ( \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 }{ 4 } \right ) \\ & = 6 + \frac { 1 \times 4 } { 6 \times 4 } + \frac { 1 \times 3 } { 8 \times 3 } + \frac { 1 \times 6 } { 4 \times 6 } \\ & = 6 + \frac { 4} { 2 4 } + \frac { 3 } { 2 4 } + \frac { 6 } { 2 4 } \\ & = 6 + \frac { 4 + 3 + 6 } { 2 4 } \\ & = 6 + \frac { 1 3 } { 2 4 } \\ & = 6 \frac { 1 3 } { 2 4 } \end {aligned}$$

مثال چهارم جمع کسرها

جمع $$2 \frac { 3 } { 9 } + 1 \frac { 1 } { 6 } + 2 \frac { 2 } { 3 }$$ را محاسبه کنید.

حل: این مثال را با روش دیگری حل می‌کنیم. به‌جای آنکه اعداد صحیح را جدا و کسرها را جدا جمع کنیم، ابتدا اعداد مخلوط را به کسر تبدیل و سپس جمعشان می‌کنیم. مخرج مشترک سه کسر $$18$$‌ است. جواب به‌شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$\large \begin{aligned} & 2 \frac { 3 } { 9 } + 1 \frac { 1 } { 6 } + 2 \frac { 2 } { 3 } \\ & = \frac { ( 9 \times 2 ) + 3 } { 9 } + \frac { ( 6 \times 1 ) + 1 } { 6 } + \frac { ( 3 \times 2 ) + 2 } { 3 } \\ & = \frac { 2 1 } { 9 } + \frac { 7 } {6 } + \frac { 8 } { 3 } \\ & = \frac { 2 1 \times 2 } { 9 \times 2 } + \frac { 7 \times 3 } { 6 \times 3 } + \frac { 8 \times 6 } { 3 \times 6 } \\ & =\frac { 4 2 } { 1 8 } + \frac { 2 1 } { 1 8 } + \frac { 4 8 }{ 1 8 } \\ & = \frac { 4 2 + 2 1 + 4 8 } { 1 8 } \\ & = \frac { 1 1 1 } { 1 8 } \\ & = \frac { 3 7 } { 6 } \\ & = 6 \frac { 1 } { 6 } \end {aligned}$$

مثال پنجم جمع کسرها

جمع دو کسر $$\frac 14$$ و $$\frac 38$$ را انجام دهید.

حل: تصویر زیر نحوه محاسبه جمع دو کسر را به‌خوبی نشان می‌دهد.

مثال ششم جمع کسرها

حاصل جمع‌های زیر را بنویسید.

الف)‌ $$\frac 78 + \frac 18$$

ب) $$\frac 18 + \frac 3 {24}$$

ج) $$\frac 5 {20}+ \frac 3 {10}$$

د) $$\frac 34 + \frac 5 {12}$$

جواب الف:

$$\large \frac 78 + \frac 18 = \frac {7 + 1 } { 8 } = \frac 88 = 1$$

جواب ب:

$$\large \frac 18 + \frac 3 {24} = \frac {1 \times 3}{8\times 3 } +\frac 3 {24} = \frac 3 {24} + \frac 3 {24} = \frac {3+3}{24}=\frac 6 {24}=\frac 14$$

جواب ج:

$$\large \frac 5 { 2 0 }+ \frac 3 { 1 0 } = \frac 5 {20} + \frac { 3 \times 2} { 10 \times 2 }= \frac 5 {20} + \frac {6 } {20} = \frac {5+6} { 20 } = \frac {11}{20}$$

جواب د:

$$\large \frac 34 + \frac 5 {12} = \frac {3 \times 3}{4\times 3 } + \frac 5 {12} = \frac 9 {12} + \frac 5 {12} = \frac {9+5}{12}= \frac {14}{12}=\frac 76=1\frac 16$$

مثال هفتم جمع کسرها

برای شکل زیر یک جمع بنویسید.

حل: همان‌گونه که می‌بینیم، نوع هاشور در این شکل وجود دارد، پس جمع دو عدد را داریم. ردیف بالا مربوط به عدد نخست و ردیف پایین مربوط به عدد دوم است. در ردیف بالا، $$3$$ بخش از $$6$$ بخش هاشور زده شده است. پس کسر مربوط به آن، $$\frac 3 6$$ است. برای ردیف پایین نیز، $$5$$ بخش از $$6$$‌ بخش هاشور زده شده است. پس کسر مربوط به آن $$\frac 5 6$$ است.

بنابراین، جمع زیر را داریم:

$$\large \frac 36 + \frac 56 = \frac {8} {6} = \frac 4 3 = 1\frac 13$$

آزمون جمع کسرها

برای درک بهتر جمع کسرها، چند پرسش چهار گزینه‌ای در ادامه مطرح شده است.