مخروط چیست؟ | تعریف، شکل، مفاهیم و فرمول ها

۲۱۶۸۸ بازدید
آخرین به‌روزرسانی: ۰۱ مهر ۱۴۰۲
زمان مطالعه: ۴ دقیقه
مخروط چیست؟ | تعریف، شکل، مفاهیم و فرمول ها

در آموزش‌های قبلی مجله فرادرس، مطالبی را درباره برخی از اشکال هندسی سه‌بعدی از قبیل استوانه بیان کردیم. در این آموزش، با مخروط آشنا می‌شویم، انواع آن را معرفی و روش محاسبه حجم و مساحت سطح آن را بیان می‌کنیم.

مخروط چیست؟

مخروط یک شکل سه‌بعدی در هندسه است که از یک قاعده دایره‌ای صاف شروع شده و به آرامی به یک نقطه می‌رسد که یک محور را به مرکز قاعده می‌سازد. این نقطه رأس نام دارد. همچنین، می‌توانیم مخروط‌ را به عنوان هرمی تعریف کنیم که دارای یک سطح مقطع دایره‌ای است. این مخروط‌ها به عنوان مخروط‌ دایره‌ای نیز شناخته می‌شوند.

طبق یک تعریف دقیق‌تر، مخروط شکلی است که با مجموعه‌ای از پاره‌خط‌هایی تشکیل می‌شود که یک نقطه مشترک به نام رأس را به تمام نقاط مرز یک قاعده دایره‌ای متصل می‌کنند. فاصله از رأس و طول مخروط‌ از رأس تا هر نقطه از محیط قاعده «یال» نامیده می‌شود.

شکل زیر رأس، ارتفاع، یال، قاعده و شعاع قاعده مخروط‌ را نشان می‌دهد.

مخروط
شکل زیر، نمایی سه‌بعدی از یک مخروط‌ را نشان می‌دهد.
مخروط
مخروط‌ را می‌توان شکلی سه‌بعدی تصور کرد که از دوران یک مثلث قائم‌الزاویه حول ارتفاع حاصل می‌شود.
تشکیل مخروط

نکته: احتمالاً شنیده‌اید که به برخی اجسام مخروطی می‌گویند. در واقع، به هر جسمی که شبیه یک مخروط‌ باشد، «مخروط» گفته می‌شود.

چندین بستنی قیفی با رنگ های مختلف با نان مخروط شکل
نان بستنی قیفی به شکل مخروط است.

انواع مخروط

مخروط‌ها را می‌توان به سه دسته قائم، مایل و ناقص تقسیم کرد.

مخروط قائم

مخروط قائم نوعی مخروط‌ است که در آن، فاصله همه نقاط روی دایره قاعده از رأس مخروط یکسان باشد. به عبارت دیگر، اگر خطی عمود از مرکز قاعده دایره‌ای رسم کنیم، از رأس مخروط عبور خواهد کرد. شکل زیر یک مخروط قائم را نشان می‌دهد.

مخروط قائم

مخروط مایل

مخروط مایل نوعی مخروط است که اصطلاحاً کج شده است. در واقع، در مخروط مایل، اگر خط عمود بر قاعده از رأس (یا همان ارتفاع) برا خطی که از رأس و مرکز دایره قاعده می‌گذرد، منطبق نیست. شکل زیر یک مخروط مایل را نشان می‌دهد.

مخروط مایل 

مخروط ناقص

مخروط ناقص اصطلاحاً به مخروطی می‌گویند که از بالا بریده شده باشد. شکل زیر یک مخروط ناقص را نشان می‌دهد.

مخروط ناقص

مساحت سطح مخروط

مساحت مخروط‌ برابر با مجموع مساحت سطح جانبی مخروط‌ و مساحت قاعده آن است.

قاعده یک دایره است و سطح جانبی بخشی از یک دایره به شعاع یال مخروط. شکل زیر مساحت سطح جانبی مخروط‌ را به خوبی نشان می‌دهد.

سطح جانبی مخروط

بنابراین، مساحت کل سطح مخروط به صورت شکل زیر خواهد بود.

مخروط

بنابراین، مساحت مخروطی با اندازه یال $$l$$ و شعاع قاعده $$r$$، برابر خواهد بود با:

$$ \large A  =\pi r ^ 2 + \pi r  l= \pi r (r + l)=\pi \times 3 \times (3+5) = 24 \pi $$

نکته: اگر اندازه ارتفاع $$h$$ را داشته باشیم، می‌توانیم مقدار $$l$$ را با استفاده از قضیه فیثاغورس محاسبه کنیم:

$$ \large l = \sqrt {r^2+h^2}$$

حجم مخروط

فرمول محاسبه حجم مخروط‌ را می‌توان برای سه مخروطی که در بالا به آن‌ها اشاره کردیم، بیان کرد.

حجم مخروط قائم

برای محاسبه حجم مخروط‌ قائم کافی است شعاع قاعده و ارتفاع آن را داشته باشیم. شکل زیر یک مخروط‌ قائم را با شعاع قاعده $$r$$ و ارتفاع $$h$$ نشان می‌دهد. مخروط

فرمول محاسبه حجم مخروط‌ به صورت زیر است:

$$ \large \boxed { V = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h } $$

نکته: شاید برایتان جالب باشد که بدانید حجم استوانه‌ای با شعاع قاعده و ارتفاع مشخص، سه برابر مخروطی با همان شعاع قاعده و ارتفاع است. تصویر متحرک زیر این موضوع را به خوبی نشان می‌دهد.

حجم مخروط و استوانه

حجم مخروط مایل

شکل زیر یک مخروط‌ مایل را نشان می‌دهد.

مخروط مایل

حجم یک مخروط‌ مایل با ارتفاع $$ h$$ و شعاع قاعده $$r$$ با فرمول زیر به دست می‌آید و تفاوتی با مخروط‌ قائم ندارد:

$$ \large V = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h $$

فرمول حجم مخروط ناقص

همان‌طور که در بالا گفتیم، مخروط‌ ناقص اصطلاحاً به مخروطی می‌گویند که از بالا بریده شده باشد. شکل زیر یک مخروط ناقص را نشان می‌دهد.

مخروط ناقص

حجم یک مخروط ناقص با شعاع قاعده کوچک $$r_1$$ و شعاع قاعده بزرگ $$r_2$$ و ارتفاع $$h$$ با فرمول زیر به دست می‌آید:

$$ \large V = \frac 13 \times \pi \times h \times (r_1^2 +r_1r_2+r_2^2) $$

مثال های مخروط

در این بخش، چند مثال را درباره مخروط حل می‌کنیم.

مثال اول مخروط

اندازه یال مخروطی $$25$$ و شعاع قاعده‌اش برابر با $$24$$ است. حجم آن را به دست آورید.

حل: $$h$$ و $$l$$ را به ترتیب به عنوان ارتفاع و یال مخروط فرض می‌کنیم. برای محاسبه حجم مخروط باید شعاع قاعده $$r$$ و ارتفاع $$h$$ را بیابیم. ارتفاع را با استفاده از یال و قضیه فیثاغورس محاسبه می‌کنیم:

$$ \large \begin {aligned} l & =\sqrt { h ^ 2 + r ^ 2 } \\ 2 5 ^ 2 & = \sqrt { h ^ 2 + 2 4 ^ 2 } \\ h ^ 2 & = 4 9 \\ h & = 7 . \end {aligned} $$

بنابراین، حجم مخروط برابر خواهد بود با:

$$ \large \frac { 1 } { 3 } \pi \times 2 4 ^ 2 \times 7 = 1 3 4 4 \pi . $$

مثال دوم مخروط

ساعت شنی زیر داده شده است. پیش از خالی شدن شنِ‌ مخروط بالایی در مخروط پایینی، شخصی باید به سؤال‌هایی که مطرح می‌شود پاسخ دهد. سرعت ریزش شن $$50$$ میلی‌متر مکعب بر ثانیه است. مدت زمان پاسخ به سؤالات را بر حسب ثانیه به دست آورید.

حجم مخروط

حل: ابتدا حجم شن در مخروط بالایی را به دست می‌آوریم:

$$ \large V = \dfrac { 1 } { 3 } \pi r ^ 2 h = \dfrac { 1 }{ 3 } \pi \cdot 1 0 ^ 2 \cdot 2 4 = 8 0 0 \pi . $$

بنابراین، حجم شن موجود در مخروط $$800 \pi$$ میلی‌متر مکعب است. برای یافتن زمانی که باید به سؤال پاسخ داده شود، باید حجم را بر سرعت ریزش تقسیم کنیم:

$$ \large 800 \pi\times\dfrac{1}{50}=16\pi\approx 50.265\text{ (seconds)}. $$

مثال سوم مخروط

مخروط زیر داده شده است که در آن، $$h=4$$ و $$r=3$$. مساحت سطح این مخروط را محاسبه کنید.

مخروط

حل: ابتدا طول یال $$l$$ را با استفاده از قضیه فیثاغورس محاسبه می‌کنیم:

$$ \large l  = \sqrt { h ^ 2 + r ^ 2 } = \sqrt {4 ^ 2 + 3 ^ 2 } = \sqrt {25} = 5 $$

بنابراین، $$l=5$$ و $$r=3$$ را داریم. با توجه به فرمولی که بیان کردیم، مساحت مخروط به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ \large A  =\pi r ^ 2 + \pi r  l= \pi r (r + l)=\pi \times 3 \times (3+5) = 24 \pi $$

بر اساس رای ۹۶ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
مجله فرادرس
۳ دیدگاه برای «مخروط چیست؟ | تعریف، شکل، مفاهیم و فرمول ها»

با سلام و خسته نباشید خدمت اساتید گرامی
ضمن تشکر و قدردانی از زحماتتان ان شاالله که خداوند مزد این خدمت شمارا میدهد.
در مثال دوم مخروط شعاع پنج میلی متر است.

با تشکر

ممنون عالی عالی عالی

عالی بود ??

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *