ریاضی، علوم پایه ۵۸۸۳ بازدید

به زاویه‌های روبه‌رو در محل برخورد دو خط متقاطع، زاویه متقابل به راس می‌گویند. اندازه زاویه‌های متقابل به راس با هم برابر است. این زاویه‌ها، کاربرد گسترده‌ای در اثبات قضیه‌های هندسی و محاسبه اندازه انواع جفت‌زاویه‌ها دارند. در این مقاله، به معرفی زاویه متقابل به راس و کاربردهای آن در هندسه می‌پردازیم. ازاین‌رو، چندین مثال متنوع را نیز مورد بررسی قرار می‌دهیم.

فهرست مطالب این نوشته

انواع زاویه چه هستند؟

زاویه‌ها، یکی از شکل‌های پرکاربرد هندسی هستند که انواع مختلفی دارند. بیشتر زاویه‌ها، بر اساس اندازه‌شان شناخته می‌شوند. به‌عنوان‌‌مثال، جدول زیر، انواع زاویه را بر اساس اندازه نمایش می‌دهد.

اندازه زاویه بر حسب درجه عنوان زاویه
۰ زاویه صفر
۰ تا ۹۰ زاویه تند یا حاده
۹۰ زاویه راست یا قائمه
۹۰ تا ۱۸۰ زاویه باز یا منفرجه
۱۸۰ زاویه مستقیم یا نیم‌صفحه
۱۸۰ تا ۳۶۰ زاویه کاو، مقعر یا بازتاب
۳۶۰ زاویه کامل یا تمام صفحه

علاوه بر اندازه، معیارهای دیگری نظیر جهت اندازه‌گیری زاویه‌ها، رابطه بین جفت زاویه‌ها و موقعیت قرارگیری زاویه‌ها نسبت به شکل‌های هندسی نیز به منظور تقسیم‌بندی انواع زاویه‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد.

جفت زاویه چیست ؟

دو خط غیرمتقاطع را در نظر بگیرید. اگر خط دیگری این دو خط را قطع کند، در محل برخورد بین خطوط، درمجموع هشت زاویه به وجود می‌آید. تمام این هشت زاویه، به صورت دو به دو، با یکدیگر رابطه دارند. برای رابطه بین هر دو زاویه در شکل زیر، یک نام اختصاص داده می‌شود. این زاویه‌ها می‌توانند متناظر، متبادل خارجی، مجاور داخلی، متبادل خارجی و متقابل به راس باشند.

جفت زاویه ها

نوع جفت‌زاویه‌ها، بر اساس رابطه بین اندازه آن‌ها و محل قرارگیری‌شان تعیین می‌شود. به‌عنوان‌مثال، زاویه‌های ۱ و ۵، متناظر هستند؛ در صورتی که زاویه‌های ۱ و ۳، دو زاویه متقابل به راس به شمار می‌روند. به طور کلی، جفت‌زاویه‌ها، یا هم‌اندازه هستند یا با یکدیگر زاویه ۱۸۰ درجه می‌سازند.

زاویه متقابل به راس چیست؟

زاویه های متقابل به راس، یکی از انواع جفت‌زاویه‌ها هستند که در محل تقاطع دو خط به وجود می‌آیند. تصویر زیر، زاویه‌های حاصل از تقاطع دو خط را نمایش می‌دهد. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در صورت عبور دو خط از روی یکدیگر، چهار زاویه در محل برخورد خطوط تشکیل می‌شود. به زاویه‌هایی که روبه‌روی هم قرار می‌گیرند، «زاویه های متقابل به راس» (Vertical Angles) می‌گویند.

دو جفت زاویه متقابل به راس

در شکل بالا، زاویه‌های ۱ و ۳ و زاویه‌های ۲ و ۴، متقابل به راس هستند.

خواص زاویه های متقابل به راس

از مهم‌ترین ویژگی های دو زاویه متقابل به راس می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

  • زاویه‌های متقابل به راس، با یکدیگر برابر هستند. به عبارت دیگر، این زاویه‌ها، هم‌نهشت یکدیگر محسوب می‌شوند.
  • زاویه‌های متقابل به راس، دارای راس مشترک هستند.
  • زاویه‌های متقابل به راس، هیچ ضلع مشترکی ندارند.

مثال ۱: محاسبه زاویه متقابل به راس

اندازه زاویه β را به دست بیاورید.

زاویه متقابل به راس 46 درجه

در شکل بالا، چهار زاویه وجود دارد. این چهار زاویه از برخورد دو خط تشکیل شده‌اند. اندازه یکی از چهار زاویه برابر با ۴۶ درجه است. زاویه β، در مقابل این زاویه قرار دارد. بنابراین، این دو زاویه، متقابل به راس هستند. در نتیجه، اندازه زاویه β نیز برابر با ۴۶ درجه می‌شود.

مثال ۲: محاسبه اندازه زاویه‌های متقابل به راس از روی مجموع آن‌ها

مجموع دو زاویه متقابل به راس برابر با ۱۰۶ درجه است. اندازه هر یک از این زاویه‌ها را حساب کنید.

رابطه جمع دو زاویه مورد سوال، به صورت زیر نوشته می‌شود:

۱۰۶° = زاویه دوم + زاویه اول

بر اساس اطلاعات مسئله، زاویه اول و دوم، متقابل به راس هستند. بنابراین، این دو زاویه، اندازه برابر دارند. به عبارت دیگر، می‌توانیم رابطه بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

۱۰۶° = زاویه متقابل به راس + زاویه متقابل به راس

۱۰۶° = زاویه متقابل به راس × ۲

۲ ÷ ۱۰۶° = زاویه متقابل به راس

۵۳° = زاویه متقابل به راس

در نتیجه، اندازه هر یک از زاویه‌های متقابل به راس برابر با ۵۳ درجه است.

مثال ۳: تشخیص زاویه‌های متقابل به راس

کدام جفت‌زاویه نمایش داده شده در تصویر زیر، متقابل به راس هستند.

جفت زاویه های تشکیل شده از برخورد سه خط

در شکل بالا، چهار خط، به گونه‌ای همدیگر را قطع کرده‌اند که باعث ایجاد ۲۰ زاویه شده است. به منظور تشخیص زاویه‌های متقابل به راس، محل برخورد هر دو خط را مورد بررسی قرار می‌هیم. زاویه‌های روبه‌رویی در تقاطع خطوط، متقبل به راس هستند. بنابراین، داریم:

  • زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «الف» با خط «ج»
    • زاویه‌های ۱ و ۳
    • زاویه‌های ۲ و ۴
  • زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «الف» با خط «د»
    • زاویه‌های ۵ و ۷
    • زاویه‌های ۶ و ۸
  • زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «ب» با خط «ج»
    • زاویه‌های ۹ و ۱۱
    • زاویه‌های ۱۰ و ۱۲
  • زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «ب» با خط «د»
    • زاویه‌های ۱۳ و ۱۵
    • زاویه‌های ۱۴ و ۱۶
  • زاویه‌های متقابل به راس در محل برخورد خط «ج» با خط «د»
    • زاویه‌های ۱۷ و ۱۹
    • زاویه‌های ۱۸ و۲۰

مقایسه زاویه متقابل به راس با دیگر جفت زاویه ها

زاویه‌های متقابل به راس، از انواع جفت‌زاویه‌های تشکیل شده در محل برخورد دو خط است. بین این زاویه و دیگر جفت‌زاویه‌ها، شباهت‌ها و تفاوت‌هایی وجود دارند که در این بخش به معرفی آن‌ها می‌پردازیم.

تفاوت بین زاویه مجاور و زاویه متقابل به راس

یکی از انواع زاویه‌هایی که ارتباط بسیار نزدیکی با زاویه‌های متقابل به راس دارند، زاویه‌های مجاور هستند. جدول زیر، ویژگی‌های این زاویه‌ها و مقایسه آن‌ها با زاویه‌های متقابل به راس را نمایش می‌دهد.

زاویه‌های مجاور زاویه‌های متقابل به راس
یک راس مشترک دارند. یک راس مشترک دارند.
یک ضلع مشترک دارند. بدون ضلع مشترک دارند.
لزوما با هم برابر نیستند. حتما با هم برابر هستند.
در خطوط متقاطع، جمع آن‌ها برابر با ۱۸۰ درجه می‌شود. جمع آن‌ها می‌تواند بین ۰ تا ۳۶۰ درجه باشد.
دو خط متقاطع و چهار زاویه بین آن‌ها

در تصویر بالا، زاویه‌های ۱ و ۲، زاویه‌های ۲ و ۳، زاویه‌های ۳ و ۴ و تمام زاویه‌هایی که دارای یک ضلع و راس مشترک هستند، به عنوان زاویه‌های مجاور در نظر گرفته می‌شوند.

تفاوت بین زاویه متمم و متقابل به راس

زاویه‌های متمم، به زاویه‌هایی گفته می‌شود که جمع آن‌ها برابر با ۹۰ درجه باشد. این زاویه‌ها می‌توانند مجاور یا غیرمجاور (متقابل به راس، متناظر، متبادل و غیره) باشند.

زاویه متمم

مثال ۴: محاسبه اندازه زاویه‌های متقابل به راس از روی متمم

دو زاویه‌، متقابل به راس و متمم یکدیگرند. اندازه هر زاویه چقدر است؟

اگر دو زاویه، متمم یکدیگر باشند، حاصل‌جمع آن‌ها برابر با ۹۰ درجه خواهد بود:

۹۰° = زاویه اول + زاویه دوم

به دلیل متقابل به راس بودن این زاویه‌ها، اندازه زاویه اول با زاویه دوم برابر می‌شود:

۹۰° = زاویه متقابل به راس + زاویه متقابل به راس

۹۰° = زاویه متقابل به راس × ۲

۲ ÷ ۹۰° = زاویه متقابل به راس

۴۵° = زاویه متقابل به راس

در نتیجه، اندازه هر زاویه برابر با ۴۵ درجه است.

تفاوت بین زاویه مکمل و زاویه متقابل به راس

اگر جمع دو زاویه برابر با ۱۸۰ درجه شود، به آن‌ها مکمل یکدیگر می‌گویند. زاویه‌های مکمل می‌توانند مجاور یا غیرمجاور باشند. در خطوط متقاطع (مانند تصویر زیر)، هر دو زاویه مجاور، مکمل یکدیگرند. به عبارت دیگر، جمع زاویه‌های ۵ و ۶، زاویه‌های ۶ و ۷، زاویه‌های ۷ و ۸ برابر با ۱۸۰ درجه است. زاویه‌های مکمل در خطوط متقاطع، یک راس و یک ضلع مشترک دارند. به علاوه، ضلع‌های غیرمشترک آن‌ها با یکدیگر، یک خط راست را تشکیل می‌دهند.

چهار زاویه حاصل از برخورد دو خط

مثال ۵: محاسبه اندازه زاویه‌های متقابل به راس از روی مکمل

در اثر برخورد دو خط، چهار زاویه ایجاد می‌شود. اگر مکمل یکی از زاویه‌ها برابر با ۶۷ درجه باشد، اندازه زاویه‌های سه زاویه دیگر چقدر خواهد بود؟

به منظور حل این مثال، ابتدا، مکمل زاویه ۶۷ درجه را به دست می‌آوریم. این زاویه عبارت است از:

۱۸۰° = ۶۷° + مکمل زاویه

۶۷° – ۱۸۰° = مکمل زاویه

۱۱۳° = مکمل زاویه

در نتیجه، دو زاویه از چهار زاویه ایجاد شده از تقاطع دو خط، برابر با ۶۳ و ۱۱۳ درجه هستند. دو زاویه دیگر، زاویه‌های متقابل به راس زوایای ۶۳ و ۱۱۳ را تشکیل می‌دهند. بنابراین، اندازه آن‌ها نیز برابر با ۶۳ و ۱۱۳ درجه است.

اثبات برابر بودن زاویه های متقابل به راس

در این بخش قصد داریم ثابت کنیم زاویه های متقابل به راس با هم برابرند. به این منظور، ابتدا دو خط متقاطع را رسم و اجزای زاویه‌های ایجاد شده را نام‌گذاری می‌کنیم.

دو خط متقاطع

در شکل بالا، چهار زاویه با نام‌های زیر وجود دارند:

  • زاویه AOB
  • زاویه BOC
  • زاویه COD
  • زاویه DOA

هدف ما، اثبات برابر بودن زاویه‌های روبه‌رویی یا همان زاویه‌های متقابل به راس است. در اینجا دو زاویه AOB و COD و دو زاویه BOC و DOA، روبه‌روی یکدیگر قرار دارند. بنابراین می‌خواهیم به رابطه‌های زیر برسیم:

$$
\angle AOB = \angle COD
$$

$$
\angle BOC = \angle DOA
$$

اگر یکی از رابطه‌های بالا را اثبات کنیم، رابطه دیگر نیز اثبات می‌شود. طبق تعریف، زاویه‌های مکمل، با یکدیگر زاویه ۱۸۰ درجه می‌سازند. در صورت مجاور بودن دو زاویه مکمل، یک خط راست به وجود می‌آید. با توجه به این موضوع، می‌توان مشاهده کرد که دو زاویه AOB و BOC، مکمل یکدیگر هستند.

جفت زاویه مکمل

رابطه بین زاویه‌های AOB و BOC را می‌نویسیم:

$$
\angle AOB + \angle BOC = ۱۸۰ ^ { \circ }
$$

به همین شکل، می‌توانیم مشاهده کنیم که دو زاویه DOA و AOB نیز مکمل یکدیگر محسوب می‌شوند؛ چراکه ضلع‌های غیرمشترک این دو زاویه، یک خط راست را تشکیل می‌دهند.

دو زاویه مکمل در تقاطع خط ها

رابطه بین زاویه‌های DOA و AOB نیز به صورت زیر است:

$$
\angle DOA + \angle AOB = ۱۸۰ ^ { \circ }
$$

روابط نوشته شده را در کنار یکدیگر قرار می‌دهیم:

$$
\angle AOB + \angle BOC = ۱۸۰ ^ { \circ }
$$

$$
\angle DOA + \angle AOB = ۱۸۰ ^ { \circ }
$$

مجموع هر دو جفت‌زاویه برابر با ۱۸۰ درجه است. بنابراین می‌توانیم رابطه بین آن‌ها را به صورت زیر بنویسیم:

$$
\angle AOB + \angle BOC = \angle DOA + \angle AOB
$$

زاویه AOB در هر دو طرف معادله قرار دارد. به همین دلیل می‌توانیم آن را از هر دو طرف حذف کنیم:

$$
\angle BOC = \angle DOA
$$

در نتیجه، دو زاویه متقابل راس BOC و DOA با یکدیگر برابرند. با تکرار همین روند برای زاویه‌های دیگر، برابر بودن زاویه‌های AOB و COD نیز اثبات می‌شود.

زاویه های متناظر و متقابل به راس

یکی از روش‌های محاسبه زاویه‌های متقابل به راس، استفاده از رابطه بین آن‌ها و دیگر جفت‌زاویه‌ها است. در خطوط متقاطع، به زاویه‌هایی که از نظر موقعیت قرارگیری، مشابه یکدیگر هستند، زاویه‌های متناظر می‌گویند. به‌عنوان‌مثال، زاویه‌های ۲ و ۶ در شکل زیر، دو زاویه متناظر در نظر گرفته می‌شوند. زاویه‌های متناظر، اندازه‌های برابر دارند.

زاویه های متناظر در خطوط متقاطع

مثال ۶: محاسبه زاویه متقابل به راس از روی زاویه متناظر

اندازه زاویه e را تعیین کنید.

زاویه های متقاطع مثال زاویه متقابل به راس

به‌منظور تعیین اندازه زاویه e می‌توانیم از دو روش استفاده کنیم.

روش اول

می‌دانیم که زاویه e با زاویه b متناظر است. به عبارت دیگر، این دو زاویه، اندازه‌های برابر دارند:

$$
\angle e = \angle b
$$

از طرفی، زاویه‌های b و ۶۵ درجه، متقابل به راس هستند. بنابراین داریم:

$$
\angle b = ۶۵ ^ { \circ }
$$

به این ترتیب می‌توانیم بگوییم:

$$
\angle e = ۶۵ ^ { \circ }
$$

روش دوم

با توجه به شکل، زاویه ۶۵ درجه با زاویه g متناظر است. از این‌رو:

$$
\angle g = ۶۵ ^ { \circ }
$$

از طرفی، زاویه‌های e و g، متقابل به راس هستند:

$$
\angle e = \angle g
$$

بر اساس این دو رابطه می‌توانیم بگوییم:

$$
\angle e = ۶۵ ^ { \circ }
$$

زاویه های متقابل به راس در چند ضلعی ها

مفاهیم مرتبط با زاویه‌های متقابل به راس، در رسم زاویه‌های خارجی چندضلعی‌ها کاربرد دارند. زاویه خارجی، زاویه‌ای است که بین یک ضلع و امتداد ضلع مجاور آن ایجاد می‌شود. تصویر زیر، زاویه‌های خارجی یک چندضلعی منتظم را نمایش می‌دهد.

زاویه های خارجی یک پنج ضلعی منتظم

هر راس چندضلعی، از برخورد دو ضلع تشکیل می‌شود. در شکل بالا، اگر ضلع‌های دیگر هر راس امتداد پیدا می‌کردند، مجدد زاویه‌های خارجی هر راس به وجود می‌آمدند (تصویر زیر). اندازه زاویه‌های خارجی نمایش داده شده در تصویر زیر با زاویه‌های خارجی نمایش داده شده در تصویر بالا با هم برابر هستند.

زاویه های خارجی یک پنج ضلعی منتظم با امتداد ضلع‌های دیگر

برای درک برابر بودن هر دو زاویه خارجی رسم شده از یک راس، تصویر زیر را در نظر بگیرید. در این شکل، هر دو ضلع راس‌ها امتداد یافته‌اند. به این ترتیب، دو زاویه خارجی در مجاورت هر زاویه داخلی به وجود آمده است.

زاویه های خارجی زاویه متقابل به راس در پنج ضلعی

بر اساس تصویر بالا، هر دو زاویه خارجی یک راس، متقابل به راس هستند. بنابراین، تفاوتی ندارد که کدام زاویه خارجی را رسم کنیم. در هر حال، اندازه این دو زاویه با هم برابر خواهد بود. علاوه بر این، هر زاویه داخلی، با زاویه خارجی مجاورش، یک خط راست می‌سازد. بنابراین، زاویه‌های داخلی و خارجی یک راس، مکمل یکدیگرند و جمع‌شان برابر با ۱۸۰ درجه می‌شود.

رابطه بین زاویه های خارجی (زاویه متقابل به راس) و زاویه داخلی با خارجی (مکمل) در چندضلعی

سوالات متداول در رابطه با زاویه متقابل به راس

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با زاویه‌های متقابل به راس به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

تعریف زاویه های متقابل به راس چیست ؟

وقتی دو خط، همدیگر را خط می‌کنند، چهار زاویه درست می‌شود. زاویه‌های روبه‌رو، دو به دو متقابل به راس هستند.

آیا دو زاویه متقابل به راس با هم برابرند ؟

بله. زاویه‌های مقابل به هم در محل تقاطع دو خط، همواره مساوی هستند.

آیا جمع دو زاویه متقابل به راس برابر با ۱۸۰ درجه است؟

همیشه نه. جمع زاویه‌های متقابل به راس می‌تواند عددی بین ۰ تا ۳۶۰ درجه باشد. جمع جفت‌زاویه‌های مجاور و مکمل، برابر با ۱۸۰ درجه است.

آیا دو زاویه متقابل به راس می توانند مکمل یکدیگر باشند؟

بله. دو زاویه متقابل به راس با اندازه ۹۰ درجه، مکمل یکدیگرند.

آیا دو زاویه متقابل به راس می توانند متمم یکدیگر باشند؟

بله. دو زاویه متقابل به راس با اندازه ۴۵ درجه، متمم یکدیگرند.

هم نهشتی زاویه های متقابل به راس چیست ؟

به زاویه‌هایی که دارای اندازه برابر باشند، زاویه‌های هم‌نهشت می‌گویند. دو زاویه متقابل به راس، همواره هم‌نهشت هستند.

آیا زاویه های متقابل به راس ضلع مشترک دارند؟

خیر.

کدام یک از اجزای زاویه های متقابل به راس مشترک است؟

زاویه‌های متقابل به راس همیشه در راس مشترک هستند.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

بر اساس رای ۹ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.

«حسین زبرجدی دانا»، کارشناس ارشد مهندسی استخراج معدن است. فعالیت‌های علمی او در زمینه تحلیل عددی سازه‌های مهندسی بوده و در حال حاضر آموزش‌های مهندسی عمران، معدن و ژئوتکنیک مجله فرادرس را می‌نویسد.

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

مشاهده بیشتر