قطر چیست؟ – قطر در اشکال هندسی

قطر یکی از مفاهیم مهم در شکل‌هایی نظیر چندضلعی‌ها، چندوجهی‌ها، دایره‌ها و بیضی‌ها است. در چندضلعی‌ها و چندوجهی‌ها، پاره‌خط بین گوشه‌ها یا راس‌های غیر مجاور، با عنوان قطر شناخته می‌شود. در دایره و بیضی، به پاره‌خط گذرنده از مرکز در فاصله بین دو نقطه از محیط، قطر می‌گویند. قطرها، در محاسبات محیط و مساحت اشکال هندسی مورد استفاده قرار می‌گیرند. به علاوه، برخی از این پاره‌خط‌ها، محور تقارن شکل‌های هندسی هستند. در این مقاله از مجله فرادرس، به معرفی مفاهیم و فرمول‌های مرتبط با قطر انواع شکل‌های هندسی می‌پردازیم و به سوال «قطر در ریاضی چیست ؟» به طور کامل پاسخ می‌دهیم.

قطر چیست؟

«قطر» (Diagonal)، پاره‌خطی است که دو راس غیر مجاور در چندضلعی‌ها یا چندوجهی‌ها را به یکدیگر وصل می‌کند. در دایره، به پاره‌خطی که از مرکز عبور می‌کند و دو نقطه انتهایی آن بر روی محیط قرار می‌گیردن، با عنوان «قطر» (Diameter) شناخته می‌شود.

کاربرد قطر چیست ؟

قطر، یکی از اندازه‌های مهم در بسیاری از شکل‌های هندسی است که می‌توان از آن برای محاسبه اندازه‌های دیگر نظیر طول ضلع، محیط، مساحت و غیره استفاده کرد.

قطر در چند ضلعی ها چیست ؟

فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر، چند نمونه از چندضلعی‌ها را مشاهده می‌کنید.

با توجه به تعریف قطر چندضلعی، قلم خود را بر روی یکی از راس قرار می‌دهیم. سپس، پاره‌خطی را به سمت یکی از راس‌های غیر مجاور رسم می‌کنیم. این پاره‌خط، همان قطر چندضلعی است.

در تعریف و رسم قطرهای چند ضلعی، به غیر مجاور بودن راس‌ها، توجه داشته باشید. این نکته، تفاوت اصلی بین قطر و ضلع است.

تفاوت ضلع و قطر چند ضلعی چیست ؟

ضلع یا لبه چندضلعی، پاره‌خطی است که دو راس مجاور را به یکدیگر وصل می‌کند. در صورتی که قطر، پاره‌خط بین دو راس غیر مجاور است.

فیلم مجموعه آموزش دروس پایه هفتم – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر، تفاوت بین قطر و ضلع در یک چندضلعی را نمایش می‌دهد.

مثال ۱: رسم قطرهای پنج ضلعی

قطرهای پنج‌‌ضلعی زیر را رسم کنید. این پنج‌ضلعی چند قطر دارد؟

تصویر بالا، پنج‌ضلعی «ب ج ک ف ش» را نمایش می‌دهد. به منظور رسم قطرهای این پنج‌ضلعی، یکی از راس‌های آن مانند راس «ش» را در نظر می‌گیریم. قلم خود را بر روی این راس قرار می‌دهیم.

راس‌های «ج» و «ک»، راس‌های غیر مجاور با راس «ش» هستند. پاره‌خطی را از راس «ش»، پاره‌خطی را تا یکی از راس‌های غیر مجاور رسم می‌کنیم.

این کار را برای راس غیر مجاور بعدی نیز انجام می‌دهیم.

دیگر هیچ راس غیر مجاوری با راس «ش» وجود ندارد. بنابراین، به سراغ راس‌های دیگر می‌رویم. مراحل بالا را برای این راس‌ها نیز تکرار می‌کنیم. به این ترتیب، تمام قطرهای پنج‌ضلعی رسم می‌شوند.

تصویر زیر، تمام قطرهای رسم شده پنج‌ضلعی را نمایش می‌دهد. تعداد این قطرها برابر با ۵ است. البته، می‌توانستیم تعداد قطرهای پنج‌ضلعی را توسط یک فرمول مخصوص نیز به دست بیاوریم. در بخش بعدی به معرفی این فرمول می‌پردازیم.

فرمول تعداد قطر چند ضلعی چیست ؟

تعداد قطرهای چندضلعی از رابطه زیر به دست می‌آید:

۲ ÷ [(۳ - تعداد ضلع‌ها) × تعداد ضلع‌ها] = تعداد قطرها

عبارت جبری فرمول تعداد قطرهای چندضلعی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$d _ { n } = \frac { n ( n – ۳ ) } { ۲ }$$

در این فرمول داریم:

• d_n: تعداد قطرهای چندضلعی
• n: تعداد ضلع‌های چندضلعی

بر اساس فرمول بالا، تعداد قطرهای یک چندضلعی، فقط به تعداد ضلع‌های آن بستگی دارد.

مثال ۱: محاسبه تعداد قطرهای هشت ضلعی

اندازه تمام ضلع‌های یک هشت‌ضلعی برابر با ۱۰ سانتی‌متر است. تعداد قطرهای این هشت‌ضلعی را به دست بیاورید.

تعداد قطرهای یک چندضلعی، با توجه به تعداد ضلع‌های آن تعیین می‌شود و به اندازه‌های دیگری نظیر ضلع ارتباط ندارد. بر اساس فرمول تعداد قطرهای چندضلعی، داریم:

$$d _ { n } = \frac { n ( n – ۳ ) } { ۲ }$$

در این فرمول داریم:

• d_n: تعداد قطرهای هشت‌ضلعی
• n: تعداد ضلع‌های هشت‌ضلعی برابر با ۸

تعداد ضلع‌ها درون فرمول قرار می‌دهیم و آن را حل می‌کنیم:

$$d _ { ۸ } = \frac { ۸ \times ( ۸ – ۳ ) } { ۲ }$$

$$d _ { ۸ } = \frac { ۸ \times ( ۵) } { ۲ }$$

$$d _ { ۸ } = \frac { ۴۰ } { ۲ }$$

$$d _ { ۸ } = ۲۰$$

در نتیجه، یک هشت‌ضلعی، ۲۰ قطر دارد.

قطر سه ضلعی یا قطر مثلث چیست ؟

قطر چهار ضلعی چیست ؟

قطر مربع چیست ؟

رابطه بین ضلع و قطر مربع چیست ؟

$$d = \sqrt { ۲ } \space a$$

در این رابطه داریم:

• d: قطر مربع
• a: ضلع مربع

محاسبه محیط مربع با قطر چگونه است ؟

$$P = ۲ \times \sqrt { ۲ } \times d$$

در این فرمول داریم:

• P: محیط
• d: قطر

محاسبه مساحت مربع با قطر چگونه است ؟

$$A = \frac { ۱ } { ۲ } d ^ { ۲ }$$

• A: مساحت مربع
• d: قطر مربع

قطر مستطیل چیست ؟

رابطه بین طول و عرض با قطر مستطیل چیست ؟

رابطه بین قطر مستطیل با طول و عرض آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$d ^ { ۲ } = w ^ { ۲ } + l ^ { ۲ }$$

در این رابطه داریم:

• d: قطر مستطیل
• w: عرض مستطیل
• l: طول مستطیل

محاسبه محیط مستطیل با قطر چگونه است ؟

$$P = ۲ a + ۲ \sqrt { d ^ { ۲ } - a ^ { ۲ } }$$

در این فرمول داریم:

• P: محیط مستطیل
• a: یکی از ضلع‌های مستطیل (طول یا عرض)
• d: قطر مستطیل

محاسبه مساحت مستطیل با قطر چگونه است ؟

$$A = a \sqrt { d ^ { ۲ } - a ^ { ۲ } }$$

فیلم آموزش محاسبه‌ مساحت‌ مستطیل در فرادرس

کلیک کنید

در این فرمول داریم:

• A: مساحت
• a: یکی از ضلع‌ها
• d: قطر

قطر لوزی چیست ؟

فیلم مجموعه آموزش دروس پایه هشتم – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

این قطرها، معمولا در محاسبه مساحت لوزی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

رابطه بین ضلع و قطرهای لوزی چیست ؟

اندازه هر یک از ضلع‌های لوزی را می‌توان با استفاده از اندازه قطرهای بزرگ و کوچک آن به دست آورید:

$$a = \frac { \sqrt { q ^ { ۲ } + p ^ { ۲ } } } { ۲ }$$

در این فرمول داریم:

• a: اندازه ضلع لوزی
• q: اندازه یکی از قطرها
• p: اندازه قطر دیگر

محاسبه محیط لوزی با قطر چگونه است ؟

$$P = ۲ \sqrt { q ^ { ۲ } + p ^ { ۲ } }$$

در این فرمول داریم:

• P: محیط لوزی
• q: اندازه یکی از قطرها
• p: اندازه قطر دیگر

محاسبه مساحت لوزی با قطر چگونه است ؟

$$A = \frac { p q } { ۲ }$$

در این فرمول داریم:

• A: مساحت لوزی
• p: اندازه یکی از قطرها
• q: اندازه قطر دیگر

$$S = \frac { p q } { ۲ }$$

در صورت تمایل به یادگیری بیشتر راجع به مساحت لوزی با قطر و بدون قطر، مطالعه مطالب زیر را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• مساحت لوزی با قطر چگونه بدست می‌آید؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
• مساحت لوزی بدون قطر چگونه بدست می‌آید؟ — به زبان ساده + حل مثال

قطر متوازی الاضلاع چیست ؟

$$p = \sqrt { a ^ { ۲ } + b ^ { ۲ } - ۲ a b \cos ( A ) }$$

$$= \sqrt { a ^ { ۲ } + b ^ { ۲ } + ۲ a b \cos ( B ) }$$

$$q = \sqrt { a ^ { ۲ } + b ^ { ۲ } + ۲ a b \cos ( A ) }$$

$$=\sqrt { a ^ { ۲ } + b ^ { ۲ } - ۲ a b \cos ( B ) }$$

در این فرمول‌ها داریم:

• p: یکی از قطرهای متوازی‌الاضلاع
• q: قطر دیگر متوازی‌الاضلاع
• a: یکی از ضلع‌های متوازی‌الاضلاع
• b: ضلع دیگر متوازی‌الاضلاع

محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با قطر چگونه است ؟

$$A = \frac { ۱ } { ۲ } pq \sin { \alpha }$$

در فرمول بالا داریم:

• A: مساحت متوازی‌الاضلاع
• p: اندازه یکی از قطرها
• q: اندازه قطر دیگر
• α: زاویه برخورد دو قطر (یکی از دو زاویه برخورد)

امکن محاسبه محیط متوازی‌الاضلاع با استفاده از اندازه قطر آن نیز وجود دارد. در صورت تمایل به یادگیری در مورد این موضوع و مساحت متوازی‌الاضلاع، مطالعه مطالب زیر از مجله فرادرس را به شما پیشنهاد می‌کنیم:

• محیط متوازی‌الاضلاع چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال
• مساحت متوازی‌الاضلاع چیست؟ — فیلم آموزش رایگان + حل تمرین و مثال

قطر ذوزنقه چیست ؟

قطر چند ضلعی منتظم چیست ؟

قطر چند ضلعی نامنتظم چیست ؟

به چندضلعی‌هایی که تمام ضلع‌ها و زاویه‌های آن‌ها با هم برابر نباشند، چندضلعی نامنتظم یا نامنظم می‌گویند. در بخش‌های قبلی، قطرهای برخی از چندضلعی‌های نامنتظم مانند مستطیل، لوزی، متوازی‌الاضلاع و ذوزنقه را معرفی کردیم. قطرهای چندضلعی‌های منتظم و نامنتظم، تفاوتی از نظر تعداد با یکدیگر ندارند. برای تایید این موضوع می‌توانید تصویر زیر را با تصویر قطرهای چندضلعی‌های منتظم مقایسه کنید.

جدول زیر، تعداد قطرهای چندضلعی‌های مختلف را بر اساس تعداد ضلع نمایش می‌دهد.

قطر چند ضلعی محدب و مقعر چیست ؟

قطر در دایره چیست ؟

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

محیط دایره از بی‌نهایت نقطه تشکیل می‌شود. از روی هر یک از این نقاط می‌تواند یک قطر رسم کرد. بنابراین، دایره بی‌نهایت قطر دارد.

محاسبه محیط دایره با قطر چگونه است ؟

قطر × ۳/۱۴ = محیط دایره

$$C = \pi d$$

• C: محیط دایره
• π: عدد ثابت ۳/۱۴
• d: قطر دایره

محاسبه مساحت دایره با قطر چگونه است ؟

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع دایره، نصف قطر آن است. بنابراین می‌توانیم فرمول بالا را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

[۴ ÷ (قطر × قطر)] × عدد پی = مساحت دایره

$$A = \pi ( \frac { d } { ۲ } ) ^ { ۲ }$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت ۳/۱۴
• d: قطر دایره

فرق بین قطر و شعاع دایره چیست ؟

قطر دایره، دو برابر شعاع آن است. در واقع هر قطر، از دو شعاع تشکیل می‌شود.

قطر نیم دایره چیست ؟

محیط و مساحت نیم دایره

قطر دایره + نصف محیط دایره = محیط نیم دایره

مساحت نیم‌دایره، از نصف مساحت دایره به دست می‌آید:

۲ ÷ مساحت دایره = مساحت نیم‌دایره

قطر بیضی چیست ؟

به فاصله مرکز تا گوشه‌ها، شعاع بیضی می‌گویند. اندازه شعاع کوچک بیضی، نصف قطر کوچک و اندازه شعاع بزرگ بیضی، نصف قطر بزرگ آن است. شعاع‌ها، به منظور تعیین محیط و مساحت بیضی مورد استفاده قرار می‌گیرند. بنابراین، قطر، به صورت غیر مستقیم در محاسبات بیضی تاثیر می‌گذارد.

قطر در چند وجهی ها چیست ؟

مکعب، یک چندوجهی است که از شش وجه مربعی شکل تشکیل می‌شود. هر یک از وجه‌های این شکل، دو قطر دارند. این قطرها را می‌توان به عنوان قطرهای جانبی مکعب در نظر گرفت. علاوه بر این، از اتصال هر راس به دیگر راس‌های غیر مجاور بر روی وجه‌های دیگر، قطرهای داخلی مکعب تشکیل می‌شوند.

اندازه قطرهای روی وجه‌های مکعب، از همان فرمول اندازه قطر دایره به دست می‌آید:

$$d _ { F }= \sqrt { ۲ } \space a$$

در این رابطه داریم:

• d_F: قطر روی وجه مکعب
• a: اندازه ضلع مکعب

اندازه قطرهای درون حجم مکعب نیز با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$d _ { B }= \sqrt { ۳ } \space a$$

• d_B: قطر درون حجم مکعب
• a: اندازه ضلع مکعب

اثبات اندازه قطر مکعب بر اساس قضیه فیثاغورس انجام می‌گیرد.

تفاوت خط تقارن و قطر چیست ؟

به غیر از چندضلعی‌های منتظم، قطر شکل‌های دیگری نظیر لوزی، شبه‌لوزی، دایره، بیضی و غیره نیز می‌تواند این شکل‌ها را به دو قسمت مساوی تقسیم کند. در دایره، قطر، همان خط تقارن است. بنابراین، دایره، بی‌نهایت خط تقارن دارد. در بیضی، دو قطر بزرگ و کوچک به عنوان خط تقارن شکل محسوب می‌شوند.

سوالات متداول در رابطه با قطر در اشکال هندسی

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با قطر شکل‌های هندسی به طور مختصر پاسخ می‌دهیم.

تعریف قطر چند ضلعی چیست ؟

قطر یک چندضلعی، پاره‌خط اتصال‌دهنده گوشه‌های غیر مجاور آن است.

قطر مربع چند برابر ضلع مربع است ؟

قطر مربع، رادیکال 2 برابر ضلع آن است.

 کدام چند ضلعی قطر ندارد ؟

مثلث یا سه‌ضلعی، هیچ قطری ندارد.

قطر کره زمین چقدر است؟

کره زمین، یک شکل بیضوی با قطر 12742 کیلومتر است.

چند ضلعی ها چند قطر دارند ؟

هر n ضلعی، ۲ ÷ [(۳ - n) × n] قطر دارد.

قطرهای کدام شکل با هم برابر هستند ؟

قطرهای چندضلعی‌های منتظم با هم برابر هستند. البته دایره نیز قطرهای هم‌اندازه دارد.

آیا قطرهای لوزی با هم برابرند؟

خیر. قطرهای لوزی بر هم عمودند. فقط قطرهای یک نوع لوزی (مربع)، با هم برابرند.

فرق قطر و خط تقارن چیست ؟

قطر، دو گوشه غیر مجاور را به هم وصل می‌کند؛ در صورتی که خط تقارن، شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.

آیا قطر خط تقارن است ؟

قطر لزوما خط تقارن شکل نیست. با این وجود، قطرهای برخی از شکل‌ها (مانند لوزی) می‌توانند آن‌ها را به دو قسمت مساوی تقسیم کنند.

مثلث چند قطر دارد ؟

مثلث، قطر ندارد.

مربع چند قطر دارد ؟

مربع، 2 قطر دارد.

مستطیل چند قطر دارد ؟

مستطیل، 2 قطر دارد.

ذوزنقه چند قطر دارد ؟

ذوزنقه، 2 قطر دارد.

پنج ضلعی چند قطر دارد ؟

5 ضلعی، 5 قطر دارد.

شش ضلعی چند قطر دارد ؟

6 ضلعی، 9 قطر دارد.

تعریف قطر دایره چیست ؟

قطر یک دایره، پاره‌خط گذرنده از مرکز آن است که دو نقطه از محیط را به یکدیگر متصل می‌کند.

دایره چند قطر دارد ؟

دایره، بی‌نهایت قطر دارد.

بیضی چند قطر دارد؟

بیضی، دو قطر (یک محور اصلی و یک محور فرعی) دارد.

قطر دایره چند برابر شعاع دایره است ؟

قطر دایره، دو برابر شعاع آن است.

فرق بین وتر و قطر دایره چیست ؟

به هر پاره‌خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل کند، وتر می‌گویند. قطر، بزرگ‌ترین وتر دایره است.

نسبت محیط به قطر دایره چیست؟

نسبت محیط به قطر دایره، عدد ثابت ۳/۱۴ یا همان عدد پی است.

آیا قطر دایره خط تقارن آن است ؟

بله. قطر دایره، آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.