قطر بیضی چیست و بیضی چند قطر دارد؟ — به زبان ساده

قطر بیضی پاره‌خطی است که دو نقطه روبه‌رویی محیط آن را به یکدیگر متصل می‌کند. مهم‌ترین قطرهای بیضی با عنوان محور اصلی و فرعی شناخته می‌شوند. اندازه این محورها، به منظور تعیین محیط، مساحت و فاصله کانونی مورد استفاده قرار می‌گیرد. در این آموزش، تعریف ساده‌ای از قطر بیضی و اجزای مرتبط با آن را ارائه می‌کنیم. سپس، نحوه محاسبه قطرهای بزرگ و کوچک را با حل یک مثال توضیح می‌دهیم.

بیضی چیست؟

بیضی، منحنی بسته‌‌ای است که به دایره فشرده یا کشیده شده شباهت دارد. دایره، یکی از حالت‌های خاص بیضی محسوب می‌شود.

فیلم آموزش هندسه ۳ – پایه دوازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

تصویر زیر، تفاوت بین دایره و بیضی را نمایش می‌دهد. بسیاری از اجزای دایره و بیضی، مشابه یکدیگر هستند.

اجزای بیضی چه هستند؟

در بیضی، مجموع فاصله تمام نقاط از دو نقطه ثابت، به یک اندازه است. این دو نقطه با عنوان کانون‌های بیضی شناخته می‌شوند. از دیگر اجزای مهم بیضی می‌توان به محورها، مرکز، گوشه، قطر و شعاع اشاره کرد.

در تصویر بالا، دو قطر بیضی، با عنوان محور اصلی و محور فرعی نمایش داده شده‌اند. این محورها، معمولا به منظور محاسبه محیط و مساحت بیضی مورد استفاده قرار می‌گیرند.

قطر بیضی چیست؟

قطر بیضی، پاره‌خطی است که از یک نقطه بر روی محیط تا نقطه مقابل آن بر روی محیط کشیده می‌شود و از مرکز بیضی عبور می‌کند.

فیلم آموزش ریاضی ۳ – پایه دوازدهم علوم تجربی در فرادرس

کلیک کنید

به عنوان مثال، پاره خط (الف ب) در تصویر زیر، یکی از قطرهای بیضی را نمایش می‌دهد.

بر اساس تعریف، بیضی می‌تواند بی‌نهایت قطر داشته باشد. با این وجود، در اغلب موارد منظور از قطرهای بیضی، محورهای اصلی و فرعی آن است. هر یک از این محورها، بیضی را به دو قسمت مساوی و متقارن تقسیم می‌کنند.

قطر بزرگ بیضی چیست؟

به بلندترین پاره‌خط بین دو نقطه مقابل بر روی محیط بیضی، محور اصلی یا قطر بزرگ می‌گویند. کانون‌های بیضی بر روی قطر بزرگ آن قرار دارند. در ریاضیات، اندازه محور بزرگ بیضی را با 2a نمایش می‌دهند.

جهت گسترش قطر بزرگ یا محور اصلی، به راستای کشیدگی بیضی بستگی دارد. به عنوان مثال، اگر مانند تصویر بالا، بیضی در جهت عمودی کشیده شده باشد، محور اصلی آن نیز عمودی خواهد بود.

قطر کوچک بیضی چیست؟

به کوتاه‌ترین پاره‌خط بین دو نقطه مقابل بر روی محیط بیضی، محور فرعی یا قطر کوچک می‌گویند. طول این محور، معمولا با 2b نمایش داده می‌شود.

گسترش قطر کوچک یا محور فرعی بیضی به راستای فشردگی آن بستگی دارد. اگر مانند تصویر بالا، بیضی در جهت افقی فشرده شده باشد، محور فرعی آن نیز افقی خواهد بود.

گوشه بیضی چیست؟

محل برخورد قطرهای بزرگ و کوچک بیضی به محیط آن، با عنوان «گوشه» شناخته می‌شود. هر بیضی، چهار گوشه دارد.

شعاع بیضی چیست؟

شعاع، به صورت فاصله محیط تا مرکز یک شکل هندسی تعریف می‌شود. شعاع بیضی، نصف قطر آن است. اندازه شعاع کوچک و بزرگ، اهمیت بسیار زیادی در محاسبه محیط و مساحت دارد. در فرمول‌های ریاضی، شعاع‌های بزرگ و کوچک بیضی را به ترتیب با a و b نمایش می‌دهند.

فاصله کانونی بیضی چیست؟

به فاصله بین دو کانون بر روی محور اصلی، فاصله کانونی می‌گویند. رسم یبضی با استفاده از راستای قطرهای آن و نقاط کانونی صورت می‌گیرد.

قطر بیضی چگونه بدست می آید ؟

قطر بیضی، با استفاده از معادله بیضی به دست می‌آید. اگر مرکز یک بیضی با قطرهای 2a و 2b، بر روی نقطه (0 و 0) قرار داشته باشد، نمایش آن در دستگاه مختصات به صورت زیر خواهد بود.

معادله بیضی بالا عبارت است از:

$$
\frac{x^{۲}}{a^{۲}}+\frac{y^{۲}}{b^{۲}}=۱
$$

a و b، شعاع‌های بزرگ و کوچک بیضی هستند. x و y، راستای گسترش این شعاع‌ها را مشخص می‌کنند. در تصویر، گسترش قطر افقی بیشتر از قطر عمودی است. به همین دلیل، فاصله بین مرکز تا نقطه (a, 0)، به عنوان شعاع بزرگ و فاصله بین مرکز تا نقطه (b, 0)، به عنوان شعاع کوچک در نظر گرفته می‌شود. اندازه این شعاع‌ها به ترتیب برابر a و b است. محورها یا قطرهای بیضی، دو برابر شعاع‌های آن هستند. بنابراین، داریم:

۲a = محور اصلی یا قطر بزرگ

2b = محور فرعی یا قطر کوچک

نحوه استفاده از معادله بیضی برای یافتن قطر را با یک مثال توضیح خواهیم داد.

محاسبه فاصله کانونی بیضی

فاصله بین مرکز بیضی تا یکی از کانون‌های آن، با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

$$
C= \sqrt { a^۲ - b^۲}
$$

اگر این مقدار را در عدد 2 ضرب کنیم، فاصله کانونی بیضی به دست می‌آید.

مثال پیدا کردن قطر بزرگ و قطر کوچک بیضی

اندازه قطرهای یک بیضی با معادله زیر را به دست بیاورید. سپس، فاصله کانونی بیضی را حساب کنید.

$$
\frac{x^{۲}}{۴۹}+\frac{y^{۲}}{۱۶}=۱
$$

به منظور تعیین قطرهای بیضی، معادله بیضی را می‌نویسیم و آن را به معادله بالا مقایسه می‌کنیم:

$$
\frac{x^{۲}}{a^{۲}}+\frac{y^{۲}}{b^{۲}}=۱
$$

با توجه به این معادلات، داریم:

$$
a^۲ = ۴۹
$$

$$
b^۲ = ۱۶
$$

به این ترتیب، اندازه a و b محاسبه می‌شود:

$$
a = \sqrt {۴۹} = ۷
$$

$$
b = \sqrt {۱۶} = ۴
$$

مقادیر a و b، شعاع‌های کوچک و بزرگ بیضی هستند. بنابراین، قطرهای بزرگ و کوچک بیضی از روابط زیر به دست می‌آیند:

۱۴ = ۲ × ۲ = ۲a = قطر بزرگ

۸ = ۴ × ۲ = ۲b = قطر کوچک

فاصله بین مرکز بیضی تا یکی از کانون‌ها برابر است با:

$$
C= \sqrt { a^۲ - b^۲}
$$

• C: فاصله مرکز تا کانون
• a: شعاع بزرگ برابر 7
• b: شعاع کوچک برابر 4

$$
C= \sqrt { ۷^۲ - ۴^۲}
$$

$$
C= \sqrt { ۴۹ - ۱۶}
$$

$$
C= \sqrt { ۳۳}
$$

$$
C= ۵/۷
$$

فاصله کانونی، دو برابر اندازه به دست آمده است:

۱۱/۴ = ۵/۷ × ۲ = فاصله کانونی

سوالات متداول در رابطه با قطر بیضی

در این بخش، به برخی از سوالات پرتکرار در رابطه با قطر بیضی به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

فیلم مجموعه آموزش ریاضیات – مقدماتی تا پیشرفته در فرادرس

کلیک کنید

تعریف قطر در شکل های هندسی چیست؟

در چند ضلعی‌ها، قطر، پاره‌خط اتصال‌دهنده دو راس غیر مجاور یا پاره‌خط اتصال دهنده دو نقطه مقابل بر روی محیط است.

آیا بیضی قطر دارد؟

بله. به بلندترین فاصله بین دو نقطه از بیضی، قطر بزرگ (محور اصلی) و به کوچک‌ترین فاصله بین دو نقطه از بیضی، قطر کوچک (محور فرعی) می‌گویند.

یبضی چند قطر دارد؟

بیضی دو قطر اصلی دارد. با این وجود، اگر بخواهیم تمام پاره‌خط‌های اتصال دهنده دو نقطه مقابل بر روی محیط آن را در نظر بگیریم، تعداد قطرهای بیضی به بی‌نهایت می‌رسد.

قطر کانونی بیضی چیست؟

به قطری که از دو کانون بیضی عبور می‌کند، قطر کانونی بیضی می‌گویند. محور اصلی یا قطر بزرگ، همان قطر کانونی است.

آیا بیضی محور تقارن دارد؟

بله. بیضی، شکلی متقارن و دارای دو محورتقارن است.

محورهای تقارن بیضی چه هستند؟

محورهای تقارن بیضی، همان محورهای اصلی و فرعی یا قطرهای بزرگ و کوچک آن هستند.

محاسبه قطر بیضی چگونه انجام می‌شود؟

محاسبه قطر بیضی، معمولا از روی فرمول مساحت یا فاصله کانونی آن انجام می‌شود. با استفاده از این فرمول‌ها، اندازه شعاع (نصف قطر) به دست می‌آید.

کاربرد قطر بیضی چیست؟

انداز قطر بیضی به منظور تعیین محیط، مساحت و محل قرارگیری کانون‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد.