فرمول مساحت دایره چیست؟ — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

فرمول مساحت دایره برابر «شعاع × شعاع × عدد پی» یا πr² است. در این مطلب، به معرفی فرمول مساحت دایره با شعاع و قطر به همراه حل چندین مثال متنوع و کاربردی برای دایره، نیم دایره و ربع دایره می‌پردازیم.

مساحت دایره چیست؟

به اندازه سطح هر شکل، مساحت آن شکل می‌گویند. بر اساس این تعریف، مساحت دایره، اندازه سطح آن است.

فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم در فرادرس

کلیک کنید

بخش رنگی تصویر زیر، یک دایره و سطح داخل آن را نمایش می‌دهد. در صورت اندازه‌گیری این بخش، مساحت دایره به دست می‌آید.

مساحت دایره چگونه بدست می‌آید؟

مساحت دایره با استفاده از اندازه قطر یا شعاع آن و عدد پی محاسبه می‌شود. نسبت محیط دایره به قطر آن، همواره عددی ثابت و برابر 3/14 است. به این نسبت، عدد پی می‌گویند.

مساحت دایره با استفاده از رابطه زیر به دست می‌آید:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع × شعاع × 3/14 = مساحت دایره

به منظور تعیین مساحت دایره می‌توانیم از رابطه بالا استفاده کنیم یا آن را بر حسب قطر بازنویسی کنیم:

(4 ÷ قطر × قطر) × عدد پی = مساحت دایره

(4 ÷ قطر × قطر) × 3/14 = مساحت دایره

به طور کلی، نوشتن فرمول مساحت دایره بر حسب شعاع ساده‌تر است. به همین دلیل، در صورت داشتن اندازه قطر، این اندازه به شعاع تبدیل (تقسیم بر دو) می‌شود.

مثال 1: محاسبه مساحت دایره با شعاع

مساحت دایره‌ای به شعاع 4 را حساب کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

برای حل این مسئله، ابتدا فرمول مساحت دایره را می‌نویسیم:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع دایره برابر 4 است. این عدد را در فرمول بالا قرار داده و محاسبات آن را انجام می‌دهیم:

4 × 4 × 3 = مساحت دایره

4 × 12 = مساحت دایره

48 = مساحت دایره

در نتیجه، مساحت دایره‌ای به شعاع 4، برابر 48 است.

رابطه بین محیط دایره و مساحت دایره چیست؟

فرمول مساحت دایره را می‌توان بر حسب محیط دایره نیز نوشت. بر اساس اندازه محیط و شعاع، مساحت دایره برابر است با:

شعاع × نصف محیط دایره = مساحت دایره

فرمول مساحت دایره چیست ؟

در ریاضیات، مساحت دایره با حرف انگلیسی A، اندازه شعاع دایره با حرف انگلیسی r، اندازه قطر دایره با حرف انگلیسی d و عدد پی با حرف یونانی π نمایش داده می‌شود. بر اساس این متغیرها، فرمول ریاضی مساحت دایره برابر با عبارت زیر است:

$$
A = \pi \times r \times r
$$

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

البته ممکن است فرمول مساحت دایره را در کتاب‌های مختلف، به شکل زیر نیز مشاهده کنید:

$$
A = 3.14 \times r \times r
$$

به علاوه، در کتاب‌های درسی ما، از حرف انگلیسی S برای نشان دادن متغیر مساحت دایره استفاده می‌شود. فرمول مساحت دایره در این کتاب‌ها به شکل زیر است:

$$
S = \pi \times r \times r
$$

$$
S = 3.14 \times r \times r
$$

در هر صورت، به خاطر داشته باشید که مساحت دایره از ضرب عدد پی در شعاع در شعاع به دست می‌آید.

مثال 2: محاسبه مساحت دایره ای به شعاع r

مساحت یک دایره به شعاع r را حساب کنید.

بر اساس فرمول کلامی، مساحت دایره به صورت زیر محاسبه می‌شود:

شعاع × شعاع × عدد پی = مساحت دایره

شعاع دایره برابر متغیر r است. این متغیر را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

r × r × عدد پی = مساحت دایره

برای نمایش عدد پی نیز از متغیر π استفاده می‌کنیم:

π × r × r = مساحت دایره

اگر چند متغیر با هم برابر باشند، حاصلضرب آن‌ها به صورت عدد توان‌دار نمایش داده می‌شود. از آنجایی که در فرمول مساحت دایره، دو متغیر r (دو شعاع) داریم، می‌توانیم فرمول را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

π × r² = مساحت دایره

در نتیجه، مساحت دایره‌ای با شعاع برابر πr² است. به طور کلی، شکل‌های مرسوم فرمول مساحت دایره به صورت زیر هستند:

$$
A = \pi r^2
$$

$$
A = 3.14 \times r^2
$$

فرمول مساحت دایره با قطر چیست ؟

اندازه قطر، دو برابر اندازه شعاع است. نسبت قطر و شعاع دایره را می‌توانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$
\frac {d} {r} = 2
$$

یا

$$
r = \frac {d} {2}
$$

فیلم آموزش ریاضی – پایه نهم در فرادرس

کلیک کنید

با توجه به نسبت بالا، فرمول ریاضی مساحت دایره بر حسب قطر، به شکل‌های زیر نوشته می‌شود:

$$
A = \pi (\frac {d} {2})^2
$$

$$
A = 3.14 \times (\frac {d} {2})^2
$$

$$
A = \pi \frac {d^2} {4}
$$

$$
A = 3.14 \times \frac {d^2} {4}
$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• d: قطر دایره

فرمول مساحت نیم دایره چیست ؟

نیم‌دایره، شکلی است که تقسیم دایره به دو قسمت مساوی تشکیل می‌شود. تصویر زیر، یک نیم‌دایره را نمایش می‌دهد.

همان‌طور که از شکل بالا مشخص است، مساحت نیم‌دایره، نصف مساحت دایره کامل (با همان شعاع یا قطر) است. در نتیجه، فرمول مساحت نیم دایره به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
A_s = \frac {A} {2}
$$

$$
A_s = \frac {1} {2} \pi r^2
$$

• A_s: مساحت نیم دایره
• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره

مثال 3: محاسبه مساحت نصف پیتزا

قطر یک پیتزای کامل برابر 20 سانتی‌متر است. مساحت نصف این پیتزا را تعیین کنید. (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

نصف پیتزای بالا به شکل یک نیم‌دایره است. قطر دایره کامل و قطر نیم‌دایره نیز تفاوتی با یکدیگر ندارند. از این‌رو، به منظور محاسبه مساحت نصف پیتزا، ابتدا باید مساحت پیتزای کامل را حساب کرده و سپس عدد به دست آمده را تقسیم بر دو کنیم. فرمول مساحت دایره کامل برابر است با:

$$
A = \pi (\frac {d} {2})^2
$$

• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت 3 (بر اساس فرض مسئله)
• d: قطر پیتزا برابر 20 سانتی‌متر

اندازه‌های معلوم را درون فرمول بالا قرار می‌دهیم:

$$
A = 3 \times (\frac {20} {2})^2
$$

$$
A = 3 \times (10)^2
$$

$$
A = 3 \times 10 \times 10
$$

$$
A = 300
$$

مساحت پیتزای کامل برابر 300 سانتی‌متر مربع است. بنابراین، مساحت نصف پیتزا از نسبت زیر به دست می‌آید:

2 ÷ مساحت پیتزای کامل = مساحت نصف پیتزا

2 ÷ 300 = مساحت نصف پیتزا

150 = مساحت نصف پیتزا

در نتیجه، مساحت نصف پیتزا برابر 150 سانتی‌متر مربع است.

مساحت ربع دایره و دیگر قطاع های دایره

اگر دایره را به چهار قسمت مساوی تقسیم کنیم، چهار ربع دایره تشکیل می‌شود. به نیم‌دایره، ربع دایره و بخش‌های دیگری از دایره که مانند تصویر زیر، نسبتی از کل دایره هستند، قطاع می‌گویند.

مساحت قطاع دایره از تقسیم مساحت کل دایره به نسبت قطاع به دست می‌آید. به عنوان مثال، فرمول مساحت ربع دایره برابر است با:

فیلم آموزش هندسه ۲ – پایه یازدهم رشته ریاضی و فیزیک در فرادرس

کلیک کنید

4 ÷ مساحت دایره کامل = مساحت ربع دایره

$$
A_q = \frac {A} {4} = \frac {\pi r^2} {4}
$$

• A_q: مساحت ربع دایره
• A: مساحت دایره
• π: عدد ثابت 3/14
• r: شعاع دایره

مثال 4: محاسبه مساحت میز ربع دایره

تصویر زیر، یک میز به شکل ربع دایره را نمایش می‌دهد. اگر شعاع این میز برابر 1 متر باشد، مساحت آن چقدر است؟ (عدد پی را برابر 3 در نظر بگیرید.)

به منظور محاسبه مساحت میز بالا، فرمول مساحت ربع دایره را می‌نویسیم:

$$
A_q = \frac {\pi r^2} {4}
$$

• A_q: مساحت ربع دایره
• π: عدد ثابت 3 (بر اساس فرض مسئله)
• r: شعاع میز برابر 1 متر

$$
A_q = \frac {3 \times 1^2} {4}
$$

$$
A_q = \frac {3 \times 1 \times 1} {4}
$$

$$
A_q = \frac {3} {4}
$$

$$
A_q = 0.75
$$

در نتیجه، مساحت ربع دایره برابر 0/75 متر مربع است.

سوالات متداول در رابطه با فرمول مساحت دایره

در این بخش، به برخی از سوالات متداول در رابطه فرمول‌های مساحت دایره به طور خلاصه پاسخ می‌دهیم.

فیلم مجموعه آموزش دروس متوسطه دوم و کنکور – درس، تمرین، حل مثال و تست در فرادرس

کلیک کنید

مساحت دایره چیست و چگونه محاسبه می شود؟

مساحت دایره، اندازه سطح داخلی این شکل است که با استفاده از اندازه شعاع یا قطر و عددی پی (3/14) محاسبه می‌شود.

فرمول مساحت دایره با شعاع چیست؟

فرمول مساحت دایره با شعاع برابر «شعاع × شعاع × عدد پی» یا πr² است. π، عدد ثابت 3/14 و r، شعاع دایره را نمایش می‌دهد.

فرمول مساحت دایره با قطر چیست؟

فرمول مساحت دایره با قطر برابر «(4 ÷ قطر × قطر) × عدد پی» یا 4/πd² است. π، عدد ثابت 3/14 و d، شعاع دایره را نمایش می‌دهد.