فرمول هرون — به زبان ساده

آخرین به‌روزرسانی: ۳ دی ۱۴۰۱
زمان مطالعه: ۱ دقیقه

پیش‌تر، در مجله فرادرس با مثلث و محاسبات مربوط به آن در هندسه آشنا شدیم. در این آموزش، چگونگی محاسبه مساحت مثلث را با استفاده از اضلاع آن بررسی می‌کنیم.

«فرمول هرون» (Heron’s formula)  که با نام‌های «قضیه هرون» و «دستور هرون» نیز شناخته می‌شود، فرمولی است که با استفاده از آن می‌توان مساحت یک مثلث را با داشتن طول اضلاع محاسبه کرد. این فرمول را می‌توان برای هر نوع مثلثی به‌کار برد. این فرمول را «هرون اسکندرانی» (Hero of Alexandria)، مهندس و ریاضی‌دان یونانی در 70-10 میلادی معرفی کرد.

طبق فرمول هرون، مساحت یک مثلث با اضلاعی به‌طول b ،a و c را می‌توان با رابطه زیر محاسبه کرد:

فرمول هرون

که در آن، s برابر با نصف محیط (مجموع طول سه ضلع) مثلث است:

فرمول هرون

فرمول هرون، به فرم‌های دیگری نیز نوشته می‌شود:

فرمول هرون

اثبات: همان‌طور که می‌دانیم، مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع آن است:

مساحت مثلث

با استفاده از قانون کسینوس‌ها، عبارت زیر را داریم:

قانون کسینوس‌ها

اگر از قضیه فیثاغورس کمک بگیریم، می‌توانیم کسینوس بالا را به سینوس تبدیل کنیم:

قضیه فیثاغورث

با جایگذاری مقدار سمت راست معادله $$\cos C$$ در رابطه اخیر و قرار دادن این رابطه در فرمول مساحت، بعد از چند عملیات جبری ساده، فرمول هرون اثبات می‌شود.

مثال

مساحت مثلث زیر را به‌دست آورید.

مثلث

حل: از آن‌جایی که طول هر سه ضلع مثلث 6 است، نصف محیط آن برابر است با $$s=\frac{6+6+6}{2}=9$$. بنابراین، مساحت به‌سادگی و به صورت زیر به‌دست می‌آید:

مساحت مثلث

مطلبی که در بالا مطالعه کردید بخشی از مجموعه مطالب «محاسبه محیط و مساحت مثلث — انواع مثلث و تمامی فرمول ها» است. در ادامه، می‌توانید فهرست این مطالب را ببینید:

بر اساس رای ۵۵ نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
شما قبلا رای داده‌اید!
اگر بازخوردی درباره این مطلب دارید یا پرسشی دارید که بدون پاسخ مانده است، آن را از طریق بخش نظرات مطرح کنید.
منابع:
Brilliant
۳ thoughts on “فرمول هرون — به زبان ساده

نظر شما چیست؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *